Некоторые следствия из теории размерности для импульсных сильноточных разрядов в неограниченном плотном газе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.523

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИЛЬНОТОЧНЫХ РАЗРЯДОВ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПЛОТНОМ ГАЗЕ

У. Юсупалиев

На основе экспериментальных данных и теории размерности определена зависимость обобщенной начальной скорости расширения канала сильноточных разрядов, обладающих цилиндрической симметрией, в плотном неограниченном газе, от обобщенной переменной. Такая зависимость удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными, полученными рядом исследователей в разное время. Исходя из теории размерности, найдены также формулы для температуры плазмы и скорости расширения разрядного канала с точностью до численного коэффициента порядка единицы, полученные ранее на основе автомодельной теории таких разрядов в неограниченном газе.

В работе [1] на основе теории подобия и размерности, а также опытных данных установлены следующие обобщенные переменные Е - I/ Г В / (10А2) и г — ¿/(¿С) для импульсных сильноточных разрядов (ИСР) в плотном неограниченном газе, где

А = 7г • р0

1<1

' 1оо — 1

7оо

Л<г-1/ \7оо + 1/ \7о

и=1

В = 7Г/?0

7 л \ /7оо + 1\ 1 ■1-1/4 2 ) + 2

Л*"1/ ^ 2

Здесь £ - текущее время; и - напряжение на разрядном промежутке; Р - скорость нарастания разрядного тока; Ь и С - индуктивность и емкость разрядного контура; /о -

длина разрядного промежутка; ■jd - показатель адиабаты плазмы разрядного канала; Poo, Роо, Уоо и 7оо - давление, плотность, температура и показатель адиабаты окружающего разряд газа соответственно (температура в энергетических единицах в= к Т00) к - постоянная Больцмана); /, и /х, - потенциал ионизации и доля г-го сорта атомов окружающего разряд газа; Dj и /3,- - потенциал диссоциации и доля j-ro сорта молекул окружающего разряд газа. Для начальной стадии развития разряда (г << 1) показано, что радиус разрядного канала пропорционален т и скорость его расширения Vp постоянна, что в действительности наблюдается на опыте [2-8]. Однако в работе [1] не определена зависимость обобщенной скорости расширения разрядного канала up = у/Со ■ (Vp/coo) от Е, где

(te) • + з] 7оо

\7d-l/ V7oo+iy ( т- игм. ( V Л, Я- - 1 i — tr» V«=i M U V Tu 1 t—1 ~jr~j I /.

Соо - скорость звука в окружающем газе. Данная работа посвящена определению зависимости ир = /(Е) на основе теории размерности, а также другим следствиям этой теории для И СР.

1. Для определения конкретного вида функции /(Е) при г < 1 применим теорию размерности. При этом рассмотрим два предельных случая: Е << 1 и Е >> 1.

В случае Е << 1 из анализа опытных данных следует, что значение Vp кроме

j

величин t, С и L определяется еще и величинами UF/lo и А. Поэтому для Vp при фиксированном т0 < 1, согласно теории размерности [9], можно написать:

VP = [k0(UF)/l0]a ■ А", (1)

где к0 - безразмерный коэффициент, величина которого определяется из опытных данных. Составим уравнение размерностей относительно а и ¡3 для выражения (1)

(LT-1) = (LMT~A)a ■ (MT~2L"У. (2)

Отсюда находим а = 1/2 и /3 = —(1/2). Итак, при Е << 1 и г < 1 для скорости расширения получим следующую формулу:

Vp = y/(k0UF)/(l0A). (3)

Из опытных данных, представленных на рис. 1, следует, что к0 ~ 0.5.

Up

1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

м*

M

Рис. 1. Зависимость обобщенной безразмерной скорости расширения разрядного канала иР от обобщенной безразмерной переменной Е. Литературные источники приведены на рисунке. Кривая построена по формуле (6).

При S >> 1 опытные данные показывают, что значение Vp определяется величинами UF/lo и В. Теория размерности в этом случае дает следующую формулу для Vp:

VP = rf(kQUF)/(l0B). (4)

Из данных рис. 1 следует, что k0 « 0.5. Из асимптотических формул (3) и (4) следует, что зависимость скорости расширения разрядного канала Vp от Е можно представить в виде:

VP = y/zo-iyJl+do^Ë-1), (5)

где z0, d0 - неизвестные величины, которые определяются из сравнений асимптотики (3) с (5) при Е << 1 и асимптотики (4) с (5) при Е >> 1. Такое сравнение дает: zq = А/(2В), ¿о = 2.

Тогда обобщенная функция ир = /(Е) имеет вид:

ир = (6)

X '

1

-г

<1 j

-L

—

ix I

- 1 • -И ■ -[3] А -[4] о -[5] * -[6] + -[7]

- У !

А 1

1 1 1

На рис. 1 представлена сплошная кривая, построенная по формуле (6). Видно, что эта кривая удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными, полученными исследователями в разное время [2 - 8].

Итак, не решая системы дифференциальных уравнений в частных производных [2, 3], на основе накопленных опытных данных и теории размерности удалось получить фор мулу для обобщенной скорости ир, которая удовлетворительно согласуется с опытными данными. Это одно из следствий теории размерности для ИСР. А другим следствием является следующее. Если каким-то способом установлен перечень определяющих параметров исследуемого явления, то на основе рассмотрения физических процессов и теории размерности удается определить функциональные зависимости между параме трами разряда с точностью до постоянного коэффициента. Для подтверждения этого получим результаты теоретических моделей ИСР в неограниченном газе [3, 10], а именно - формулы для У'р и температуры Т таких разрядов.

2. Предположим, что величина температуры плазмы ИСР Т определяется следующим перечнем величин, не зависимых от Т: £/, Ь, С, /о, Рос, а также теплоемкостью плазмы разряда А0 и коэффициентом лучистой теплопроводности плазмы разряда хл-Как видно, в указанном перечне определяющих параметров ИСР не учитываются процессы электронной теплопроводности и ионизации вовлекаемого в разряд газа, а также противодавление газа окружающей среды.

Требуется определить конкретный вид зависимости Т от указанных параметров с точностью до постоянного коэффициента. Для этого из указанных параметров составим размерные комбинации. С этой целью рассмотрим процесс ввода в разряд запасенной электрической энергии на батарее конденсаторов. Опыт показывает, что при колебательном разрядном токе с квазипериодом 2жу/ЬС зависимость вложенной в разряд

т

энергии <3(т) от времени имеет монотонный характер (где С?(т) = /(/(£) ■ J{0C^^1

о

- разрядный ток, £ - переменная интегрирования). Процесс ввода энергии в разряд происходит в три характерные стадии: начальная стадия разряда (£ < у/ЬС), стадия основного энерговклада (л/1С < t < ■ку/ЬС) и поздняя стадия (7Г у/ЬС < г < 2тгу/Тс). Это обстоятельство позволяет представить зависимость г) в виде степенной функции от времени для различных интервалов времени, как это сделано в работе [3] при построения автомодельной теории сильноточных разрядов в неограниченном газе. На основе опытных данных т) можно аппроксимировать следующим выражением:

Я = КлСи^)/210] ■ (тУ,

(7)

где г} - коэффициент преобразования запасенной электрической энергии в энергию разряда, ио - начальное напряжение на батарее конденсаторов, <1 - показатель степени. Значения й в (7) для начальной стадии, стадии основного энерговклада и поздней стадии равны <1 — 2, <1 = 1, d = 1/2 соответственно. Величины [(т/С?7о)/2/о] и (1 /{у/ЬС))6, объединим в следующий размерный комплекс ({т)Си%) / {210 • (у/ЬСУ)), а величины Ао

7 /Л

и хя - в комплекс (хя • А0 ). Тогда, согласно теории размерности [9], для физических величин Г, {(т]Си%)/(210 • (\/ЬСУ)), роо, (хя • аЦа) и t при некоторых значениях действительных чисел а, 13, 8 и 7 должно выполняться следующее соотношение:

Т = {г,СиЦ{210[^/ЬСУ)Г ■ & ■ (хя • АУУ ■ (8)

Для определения величин показателей степени а, /?, 8 и 7 необходимо выбрать систему единиц измерений параметров Т,Ьта, Ь,С,1о, /?оо) А), Хя>Из анализа размерностей

ТТЛПТ7ЛТ ТТГЯ/Л т» Т/ ____ _______ . _______...... . .. _ - • -......- ,, _ _______________________,,,,

ЪЛЪД^ V^l J "llU XJ IVUlUV^V/XiJV^ А Ъ1У11Л ^/UKjiVl^^HUV/ X il J 1\ИОиЛ1111ЛЛ vpixail UVilllX 11Ш mwmiivy

выбрать длину, массу, время и температуру, а их единицами измерения - метр, килограмм, секунду и электрон-вольт соответственно. Повторяя такую же процедуру, что и для скорости Vp, получим: а = 0.265; /? = 0.123; 7 = -0.141; <5 = [0.265(2 + d) - 0.918]/d.

Таким образом, формула для температуры плазмы разрядного канала имеет вид:

Т = (r)CU^/(2l0[VLC]d))0-265 ■ ■ (хя • А70/4)-141 • *(-0.918+(2+<i)-0.265] (9)

Далее предполагая, что величина Vp определяется перечнем величин t, U, L, С, /о, Роо, таким же способом получим:

VP = (VCUS/[2l0(VLC)d])1/4 ■ р^1/4 ■ (10)

Если в выражения (9) и (10) подставить значения d для различных стадий развития разряда (d = 2, d — 1, d = 1/2), то получим формулы для Т и Vp с точностью до численного коэффициента порядка единицы, полученные авторами работы [3] на основе автомодельной теории ИСР в неограниченном газе путем решения системы уравнений гидродинамики с нелинейной теплопроводностью.

3. В работе [10] рассмотрена однородная модель искрового канала с плотной оболочкой. Автор, считая оболочку тонкой и учитывая электронную теплопроводность, получил систему уравнений для радиуса канала R(t). При этом пренебрегалось противодавлением газа окружающей среды, а также процессами лучистой теплопроводности и ионизации вовлекаемого в него газа окружающей среды. Получим формулу для R(t)

при указанных ограничениях на основе теории размерности. Для этого предположим, что величина R(t) определяется следующим перечнем величин: i; J(t); p^', удельной

выберем длину, массу, время и электрический ток, а их единицами измерения метр, килограмм, секунду и ампер. Далее, используя такую же процедуру теории размерности, что и в п.1 и п.2, получим следующую формулу для

Формула (11) с точностью до численного коэффициента порядка единицы совпадает с формулой, полученной автором работы [10]. Наш метод позволяет это сделать намного проще.

[1] Ю с у п а л и е в У. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 42 (2005).

[2] Александров А. Ф., Рухадзе А. А. Физика сильноточных электроразрядных источников света. М., Атомиздат, 1976.

[3] Б о р о в и ч Б. Л., Розанов В. Б., Зуев В. С. и др. Сильноточные излучающие разряды и газовые лазеры с оптической накачкой. М., ВИНИТИ, Итоги науки и техники, Сер. Радиотехника, 1978, Т. 15.

[4] Б а с о в Н. Г., Б о р о в и ч Б. Л., Зуев В. С., Розанов В. Б. и др. ЖТФ, 40, N 3, 516 (1970).

[5] Гегечкори Н. М. ЖЭТФ, 21, 493 (1951).

[6] Вульфсон К. С., Либин И. Ш. ЖЭТФ, 21, 510 (1951).

[7] Александров А. Ф., Рухадзе А. А., Тимофеев И. Б. и др. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 8, 58 (1970).

[8] Ю с у п а л и е в У. Прикладная физика, N 2, 96 (2001).

[9] Клейн Дж. Подобие и приближенные методы. М., Мир, 1968. [10] Брагинский С. И. ЖЭТФ, 34, 1548 (1958).

R(t) = (1 /MY'6 ■ J1'3 ■

(П)

ЛИТЕРАТУРА

Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН

Поступила в редакцию 19 декабря 2005 г.