CC BY
33
ной клети и натяжной станции 2, а также с изменением натяжения полосы при изменении запаса полосы в петлевом устройстве.
4. При наличии колебаний натяжения полосы в головной части стана ролик-компенсатор совершает перемещения, вызывая в петлевой яме смещения полосы металла от вертикального положения на угол в; анализ полученного уравнения показывает, что максимальное смещение полосы составляет 0,281 м.
5. Многократные смещения полосы вызывают
колебательные процессы полосы металла в головной части стана, что оказывает негативное влияние на технологический процесс и качество готового проката.
Литература
1. Дружинин, Н.Н. Непрерывные станы как объект автоматизации / Н.Н. Дружинин. - М., 1975.
УДК 621.783
Р.А. Юдин, И.Р. Юдин, О.И. Костина, В.Л. Гусовский, А.Е. Лившиц
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КЛАССИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
В статье приведены основные классические законы теплового излучения и некоторые особенности расчетов с их использованием. В частности, показано, что при расчетах лучистого теплообмена в литературных источниках рекомендуют использовать в системе СИ два значения постоянной Стефана - Больцмана: оо = 5,67 ■ 10-8 Вт /(м2 ■ К4) и оо = 5,77 ■ 10-8 Вт/(м2 ■ К4). Таким образом, разность двух величин составляет ровно 0,1. Такая точность вызывает недоумение. Погрешность расчетов составляет 1,87 %. В статье дается объяснение этому противоречию.
Длина волны, спектральная плотность излучения, постоянная Стефана - Больцмана, законы Планка, Вина, Рэлея -Джинса.
In the article the basic classical laws of thermal radiation and some features of calculations with their use are given. In particular, it is shown in references that at calculations of radiant heat exchange they recommend to use in system of SI two values of constant Stefana - Boltsmana: оо = 5,67 ■ 10-8 Вт /(м2 ■ К4) и оо = 5,77 ■ 10-8 Вт/(м2 ■ К4). Thus, the difference of two sizes makes exactly 0,1. Such accuracy causes bewilderment. The error of calculations makes 1,87 %. The article presents the explanation of this contradiction.
Length of wave, spectral density of radiation, constant Stefana - Boltsmana, Planck's laws, Vin's, Ralay -Jeans.
При расчетах лучистого теплообмена в печах и топках широко применяется закон Стефана - Больц-мана, позволяющий рассчитывать интегральную величину излучения абсолютно черного тела. Это классический закон, поэтому он представлен в многочисленных научно-технических литературных источниках, например [6], [11]. Следует отметить, что в [1], [6] также представлены и другие нижеприведенные законы теплового излучения. Первоначально плотность излучения абсолютно черного тела Ео, Вт/м2 (ккал/(м2 • ч)), была экспериментально определена Й. Стефаном в 1879 г., установившим пропорциональность излучения для твердых тел четвертой степени абсолютных температур (К):
Ео = оо • Т 4 Вт/м2. (1)
В 1884 г. этот закон был выведен аналитически Л. Больцманом путем приложения к лучистой энергии законов термодинамики. Одновременно полученную закономерность теоретически обосновал русский ученый Б.Б. Голицын. Впоследствии измерения ряда исследователей полностью подтвердили эту закономерность, которая была названа законом Стефана - Больцмана, а коэффициент оо в формуле (1) - постоянной Стефана - Больцмана. В связи с
тем, что значения параметров, которые формируют оо постоянно уточняются, то следует отметить, что при определении оо уже на начальной стадии установления закономерности между данными различных экспериментов имелись небольшие расхождения.
Кроме интегральной плотности излучения, также очень важно определить спектральные плотности излучения. Для этого необходимо разделить весь спектр на бесконечно малые интервалы длин волн и для каждого из них рассчитать отношение плотности излучения к величине интервала спектра, Вт/м3, (ккал/(м3 • ч)), по формуле
ЕоХ = ЛЕа х / Лк. (2)
Используя эту формулу, В. Вин вывел следующую формулу для определения распределения энергии излучения абсолютно черного тела по длинам волн:
Еок = С1 • к-5 • ^ / (к • Я. (3)
Формула Вина дает приближенное решение задачи, справедливое для области спектра, при которой произведение к • Т не превышает 3000 мкм • К. С другой
стороны, для больших длин справедлива приближенная зависимость Рэлея - Джинса:
ЕоХ = C • Т / (С2 • X).
(4)
Полное решение задачи получено М. Планком в 1900 г., принявшим гипотезу, что излучение испускается квантами (фотонами). Эта гипотеза позволила получить формулу распределения спектральной плотности потока лучистой энергии на основе введения понятия квантового осциллятора:
Еох = f (X, Т) = с • X-5 • (е
с/Х ■ T)
- I)"1.
(5)
Здесь с1 = 2п • к • сс - постоянная, равная 3,7413 х х 10 - 16 Вт • м2, или 3,2169 • 10 - 16 ккал • м2/ ч; с2 = = к • сс/ к0 - постоянная, равная 1,4387 • 10-2 м • К, где к = 6,626196 • 10 - 34 Дж • с - постоянная Планка; сс = = 2,99792458 • 10 - 8 м/с - скорость света в вакууме; к0 = 1,38044 • 10 - 23 Дж/К - постоянная Больцмана.
Полный вывод формулы Планка, выполненный на основе впервые введенного им понятия квантового осциллятора, приведен в [10, с. 201-208].
В табл. 1 представлены зависимости спектрального распределения плотности потока полусферического излучения абсолютно черного тела от длины волны при фиксированных температурах, полученные по формуле (5), так как в научно-технических источниках результаты расчетов представлены исключительно в графической форме.
Результаты расчетов, представленные в табл. 1, показаны в графической форме на рис. 1.
Таблица 1
Зависимости спектральной плотности потока излучения абсолютно черного тела от абсолютной температуры и длины волны
Спектральная плотность излучения абсолютно черного тела Ео1, Вт/м3
Длина волны l, мкм Температура Т, К
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
0,5 0,01 0,2 13,7 108,2
1 0,01 0,21 2,3 12,7 45,6 126,6 287,9
1,5 0,31 3,4 16,6 52,2 123 240,2 410,6
2 1,5 8,8 29,2 69 131,9 218,9 329,5
2,5 2,9 12,1 31,9 63,9 108 163,3 215,6
3 3,8 12,8 28,8 51,2 80,9 115,3 154
3,5 4,2 11,9 23,5 39,9 54,6 80,8 104,6
4 4,1 10,3 18,2 30,3 43,1 68 72,5
Следует отметить, что, в отличие от зависимостей, приведенных в других литературных источниках, например [6], [11], на рис. 1 диапазон длин волн сужен с 0-10 до 0,5-4 мкм, а диапазон абсолютных температур с 600-2000 до 800-2000 К, так как именно в этом диапазоне данные рис.1 возможно использовать в качестве номограммы. Из рис. 1 вид-
но, что с увеличением температуры абсолютно черного тела максимум излучения смещается в сторону более коротких длин волн. Положение максимумов излучения относительно длины волны можно получить по формуле (2) путем дифференцирования формулы Планка. Полагая dEо■k/dk = 0, находим длину Хтах, которой при конкретной температуре соответствует максимальная плотность излучения:
C2/(Xmax • T = 5(1 " e
El, Вт/м3
C2 / (Xmax ■ T)
(5.1)
450400350300250200150 100!
50 0
-800 -1000 -1200 1400 -1600 -1800 2000
l, мкм
Рис. 1. Зависимости плотности потока излучения абсолютно черного тела от длины волны и абсолютной температуры
После пятого приближения разложения экспоненты в (5.1) получим:
Xmax T = const = 2,8978 • 10-3 м • К. (6)
Зависимость (6) выражает закон смещения Вина, которому соответствует штриховая линия, проходящая через максимумы изотерм рис. 1. Понятно, что расчет изотерм выполнен непосредственно по формуле М. Планка (5) без всяких алгебраических нюансов. Несложно также по формуле (6) напрямую рассчитать максимальные значения длины волны lmax, задавая абсолютные температуры (К). Для того чтобы рассчитать максимальные спектральные плотности излучения (Ео1)тах, необходимо отметить, что знаменателем экспоненты формулы (5) является произведение l • Т, которое для максимальных значений длины волны по формуле (6) равно 2,8978 х х 10-3 м • К. Таким образом, в формулу (5) необходимо подставить именно это значение, а также максимальную длину волны в минус пятой степени при заданной абсолютной температуре. В частности, им соответствует штриховая линия на рис. 1. Результаты расчетов максимальной длины волны lmax и спектральной плотности излучения абсолютно черного
Т, К
0,5
1,5
2
2,5
3
3,5
4
тела (Ео1)тах от абсолютной температуры Т представлены в табл. 2 и на рис. 2.
Таблица 2
Параметр Температура Т, К
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Максималь-
ная длина волны 1тах , 3,62 2,9 2,41 2,07 1,81 1,61 1,45
мкм
Максималь-
ная спек-
тральная плотность 1 4,2 32 69,2 134,9 243,1 411,7
излучения (ЕоА.)тк -I09, Вт/м3
4 Т Т600 3 | 3,5 —------------500 (§
2,5------Ч^---------300
2-----------200
(ЕЯ^ах__—1 *
1 ^——I——I——I——Ь 0
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Т К
Рис. 2. Зависимости максимальных длины волны и спектральной плотности излучения от абсолютной температуры
Значение максимальной плотности потока излучения абсолютно черного тела, Вт/м3, может быть также найдено из закона Планка путем подстановки к = ктах в формулу (5) с последующим интегрированием по ЛЯ по формуле
(Еок)тах = С3 • Г5, (7)
где с3 = 1,307 Вт/(м3 • К5). Здесь не приведен вывод (7), так как получение (7) представляется очевидным. Дело в том, что выражение в скобках в формуле (5) при постоянной длине волны также является постоянной величиной, а спектральная плотность излучения по формуле (5) обратно пропорциональна длине волны в пятой степени. Следовательно, по закону смещения Вина, который математически выражается формулой (6), этот параметр прямо пропорционален абсолютной температуре в пятой степени. Ниже приведен более сложный вывод для всего интервала длин волн, результаты которого не столь очевидны.
Таким образом, из (7) следует, что максимальная спектральная плотность излучения пропорциональна абсолютной температуре тела в пятой степени. При к < ктах интенсивность излучения возрастает еще быстрее. Так, в области видимого излучения Еок =
= А • Т14'"17. Этот уровень рассматриваемой зависимости в световой области спектра используют в измерительной технике (например, в оптической пирометрии для определения температур оптическими параметрами [8]. Погрешность в измерении соответствующей температуры оказывается вполне приемлемой, так как Т = / (Еок) (1/14' 1/17) .
Выше показано, что закон смещения Вина (6), а также зависимость (7) можно получить, используя закон Планка (5). Кроме того, зависимости (3), (6) -частные случаи закона Планка. Выше также указывалось, что закон Стефана - Больцмана (4) установлен задолго до фундаментального закона Планка. Однако и закон (4) можно получить с использованием формулы (5) путем ее интегрирования по длине волны от нуля до бесконечности:
¥ ¥
Ео = I Еок Лк = с1 (Т/с2)41 х 3 (ех - 1 )-1 Лх, (8) 0 0
где с1 и с2 - постоянные величины формулы (5); х = с2/(к • Т). Разложив в ряд подынтегральную функцию, получим:
¥
Ео = с1(Т / с2)4 1 (е~х + е_2х + „.) х ъйх. (9) 0
Интегрируя формулу (9) почленно и подставляя значения ряда (1 + 1/24 + 1/34 + '), получим:
Ео = с1(Т / с2)4 • п4/15 = (гс5£4)Т / (7,5й3сс2) = ооТ4, (10)
где значения постоянной Стефана - Больцмана Оо » 5,67-10 - 8 Вт/(м2 • К4), или 4,88 • 10-8 ккал/(м2 • ч • К4). Очевидно, что это значение оо получено путем подстановки в формулу (10) указанных в ней постоянных, значения которых приведены выше, по двум вариантам этой формулы. Следует отметить, что только в одном научно-техническом источнике [5], указано именно последнее значение оо. Здесь уместно отметить, что во время написания [5] система СИ в СССР еще не действовала.
Однако не во всех научно-технических источниках приведены указанные значения постоянной Стефана - Больцмана оо. Так, в [5, с. 571], в [6, с. 215], в [7, с. 14], в [8, с. 46], оо = 4,96 • 10-8 ккал/(м2 • ч • К4), а в системе СИ оо = 5,77 • 10-8 Вт/(м2 • К4). Эта величина указана во многих источниках, а в [3] - в обеих системах. Во многих источниках, например [4], [6], [7], [11], как показано выше, при выводе формулы (10), оо = 5,67 • 10-8 Вт/(м2 • К4).
Это связано с тем, что по мере совершенствования техники измерения значений указанных выше физических констант, формирующих оо, постоянно уточняются. Для обеспечения единой системы в законах теплового излучения значения рассматриваемых констант принимаются в законодательном по-
"Ч^тах
- (ЕЯ )тх . ' 1
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
рядке на длительный срок [9]. Например, когда уже было определено, что с2 = 1,4388 • 10-2 м • К, ее значение принималось равным 1,4381 • 10-2 м • К. Причем в Советском Союзе полученные уточнения принимали законную силу с определенным запаздыванием. Этими двумя причинами и обусловлены различные значения постоянной оо. Однако расхождения постоянной в системе СИ составляют ровно 0,1 (1,87 %). Причем в большинстве литературных источников приведены только значения постоянной оо. Именно этот факт вызывает у многих инженеров, исследователей и проектантов понятное недоумение, а при расчетах различные организации используют одно из двух значений.
Уместно также отметить, что проведенный авторами обзор литературных источников обнаружил только в [5], [6] значения постоянной оо = = 4,88 • 10-8 ккал/(м2 • ч • К4), что соответствует 5,67 • 10-8 Вт/(м2 • К4) в системе СИ. На взгляд авторов, описанное положение вещей также возникло из-за информационного разрыва у ученых в областях фундаментальных и отраслевых наук. Причем во многих технических источниках даны правильные значения постоянной Стефана - Больцмана, но отсутствуют объяснения о расхождениях ее значений с более ранними. Авторы надеются, что данная работа позволяет исправить эту ошибку.
Литература
1. Аптерман, В.Н. Протяжные печи / В.Н. Аптерман,
B.М. Тымчак. - М., 1969.
2. Бахмачевский, Б.И. Теплотехника / Б.И. Бахмачев-ский, Р.Г. Зах, Г.П. Лызо и др. - М., 1963.
3. Бергауз, А.Л. Справочник конструктора печей прокатного производства / А.Л. Бергауз, В.Л. Гусовский, Н.И. Иванова и др. - М., 1970. - Т. 1.
4. Исаченко, В.П. Теплопередача / В.П. Исаченко, В .А. Осипова, А.С. Сукомел. - М., 1975.
5. Кутателадзе, С. С. Основы теории теплообмена /
C.С. Кутателадзе. - М.; Л., 1962.
6. Невский, А. С. Лучистый теплообмен в печах и топках / А.С. Невский. - М., 1971.
7. Политехнический словарь / ред. А.Ю. Ишлинский. - 2-е изд. - М., 1980.
8. Чередниченков, В.С. Электрические печи сопротивления. Т. 1: Современные электротехнологии / В.С. Чередниченков, А.С. Бородачев, В.Ф. Артемьев. - Новосибирск, 2006.
9. Шедлин, А.Е. Излучательные свойства твердых материалов: справочник / А.Е. Шедлин. - М., 1974.
10. Шеффер, К. Теория теплоты. Ч. 2 / К. Шеффер. -М.; Л., 1933.
11. Юдаев, Б.Н. Теплопередача / Б.Н. Юдаев. - М., 1973.
12. HUTTE: справочник для инженеров, техников и студентов / В.К. Запорожец, С.И. Курбатова, С.Ф. Лебедева, Н.Л. Мануйлова. - М.; Л., 1936. - Т. 1.
