CC BY
16
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 6. ЭКОНОМИКА. 2009. № 2
E.b. Панов1,
аспирант Государственного университета — Высшей школы экономики
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИВЕРСИФИКАЦИИ
ДЛЯ ПОРТФЕЛЕЙ, ВКЛЮЧАЮЩИХ АКЦИИ
«ВТОРОГО ЭШЕЛОНА» РТС
На примере акций «второго эшелона» РТС показано, что в случае нерегулярных и редких данных о ценах сделок метод Марковица нахождения эффективных портфелей ценных бумаг должен быть использован с осторожностью. Показано, что большое значение в таком случае имеет то, каким образом была оценена ковариационная матрица доходностей. В этом контексте сделано сравнение выборочной ковариационной матрицы и оценки, специально созданной для нерегулярных временных рядов и рядов различной частотности.
Ключевые слова: диверсификация, РТС, ковариационная матрица, нерегулярная частотность, портфельная теория.
Using illiquid exchange-traded Russian stocks (constiuents of RTS-2 index) it is shown that in case of irregular trade price data Markowitz efficient portfolio construction should be used with care. We demonstrate that it is extremely important which estimator is used for covariance matrix of stock returns. In this context we compare the results of using sample covariance matrix and the estimator designed for time series of irregular frequencies.
Key words: diversification, RTS, covariance matrix, irregular frequency, portfolio selection.
При составлении портфелей ценных бумаг необходимо учитывать их ожидаемые доходности и риски. Одним из способов уменьшения рисков портфеля ценных бумаг является диверсификация — создание портфеля из различных ценных бумаг так, чтобы каждая составляла малую долю стоимости. Считается, что в этом случае неопределенность будущей стоимости портфеля снижается ввиду некоторого рода усреднения.
В данной работе рассмотрены портфели ценных бумаг, включающие так называемые акции «второго эшелона» РТС2. Оказывается, если для измерения возможностей диверсификации применять подход Марковица (основан на использовании ковариационных матриц), то очень большую роль играет, каким образом такие мат-
1 Панов Евгений Валерьевич, тел.: +1-404-717-32-66; e-mail: [email protected].
2 Согласно документации РТС, к акциям «второго эшелона» принято относить широкий спектр ценных бумаг, торгуемых на площадке РТС, «эмитенты которых не входят в число компаний первой величины на фондовом рынке» (http://www. rts.ru/s384).
рицы будут оценены для этих акций. Причина в том, что сделки по акциям «второго эшелона» РТС производятся не каждый день, и значит, оценки, разработанные для временных рядов дневной частотности, могут давать очень малоправдоподобные результаты.
В настоящей работе показано, что если для таких данных использовать оценку, предназначенную для данных одинаковой частотности, это приведет к нежелательным результатам: завышенным представлениям о диверсификации и неверным портфельным решениям. С другой стороны — при использовании оценки, предназначенной для временных рядов различной частотности, результаты оказываются более приемлемыми, и представление о диверсификации — более реалистичным.
Один из подходов к измерению рисков состоит в использовании ковариационных матриц3. Часто нужны не только меры риска каждой ценной бумаги в отдельности, но и величины, описывающие взаимосвязь доходностей исследуемых ценных бумаг друг с другом и с другими показателями (например, макроэкономическими)4. Такие задачи решают, например, исследователи в организациях, выпускающих облигации, обеспеченные ипотечными кредитами5.
То, что роль ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг является очень важной при измерении рисков рыночных цен, было показано на первом этапе развития портфельной теории в работах Х. Марковица, Дж. Тобина, В. Шарпа и др.6 Описание соответствующих результатов приведено в книге А. Шведова7. В современной портфельной теории используются более тонкие подходы, но для их применения на практике тоже приходится оценивать различные ковариационные матрицы, что видно из обзоров популярных систем оценки рисков для акций8.
В данной работе применен метод оценки ковариаций для тех случаев, когда различные временные ряды имеют различную час-
3 Brealey R.A., Myers S.C., Allen F. Principles of Corporate Finance. N.Y., 2005. P. 167—170.
4 Raynes S.R.., Rutledge A.E. The Analysis of Structured Securities. N.Y., 2003. P. 235—236.
5 См., например, опубликованные панельные данные Газпромбанка о базе ипотечных кредитов (http://www.gpb-mortgage.ru/documents/9/ru/09_Mortgage_ Pool_Register_31-01-2007.zip).
6 Markowitz H.M. Portfolio Selection // J. of Finance. 1952. Vol. 7. P. 77—91; Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. N.Y., 1959; Sharpe W.F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // J. of Finance. 1964. Vol. 19. P. 425—442; Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Toward Risk // Review of Economic Studies. 1958. Vol. 25. P. 65—86.
7 См.: Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М., 1999.
8 Mina J., Xiao J. Return to RiskMetrics: The Evolution of a Standard // RiskMetrics Group, 2001 (http://www.riskmetrics.com/publications/techdocs/r2rovv.html); Hemmati F, Hsieh A, Puchkov A., Stefek D. The Barra Integrated Model: Version 204 // MSCI Barra White Paper, 2004.
тотность (в том числе для нерегулярно доступных данных). Для этого делается прореживание частых рядов, что приводит к потере информации. Другим подходом является интерполяция редких рядов, но она может привести к неверным выводам (что будет показано далее).
Оценки ковариационных матриц для рядов, имеющих одинаковую частотность, представлены во многих работах9. В последнее десятилетие опубликован ряд работ, обобщающих известные оценки на случай данных различной частотности10. В этой статье используется оценка ковариационной матрицы, описанная в работах Е. Панова и А. Шведова11.
Сначала в данной работе на примере акций «второго эшелона» РТС рассматривается модель паевого фонда, принимающего решение о включении новых акций в свой портфель. При этом данные о ценах сделок по новым включаемым в портфель акциям доступны с частотностью один-два раза в неделю, а данные о котировках остальных акций — раз в день. Далее раскрывается связь задачи о составлении портфеля с принципом начисления в бухгалтерском учете. В заключение приведены численные результаты для рекомендуемых портфелей ценных бумаг с участием почти всех акций «второго эшелона» РТС (с точки зрения модели Марковица). Оказывается, что использование выборочной ковариационной матрицы для дневных доходностей в качестве оценки создает иллюзии о более обширных возможностях диверсифика-
9 Newey W.K., West K.D. A Simple, Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix // Econometrica. 1987. Vol. 55. N 3. P. 703—708; Andrews D.W.K. Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix Estimation // Econometrica. 1991. Vol. 59. P. 817—58; Litterman R.., Winkelmann K. Estimating Covariance Matrices // Goldman Sachs Risk Management Series. 1998. January; Haan W.J. den, Levin A. Robust Covariance Matrix Estimation with Data-Dependent VAR Prewhitening Order // NBER Technical working paper. 2000. June. N 255; Ledoit O., Wolf M. Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix // Economics Working Paper. Universitat Pompeu Fabra. Department of Economics and Business. 2003. June; Ledoit O., Wolf M. Improved Estimation of the Covariance Matrix of Stock Returns // J. of Empirical Finance. 2003. Vol. 10. P. 603—621; Basak G.K., Jagan-natan R., Ma T. Assessing Risk in Sample Minimum Risk Portfolios // NBER Working Paper. 2004. April. N 10447.
10 Ghysels E., Santa-Clara P., Valkanov R. The MIDAS Touch: Mixed Data Sampling Regression Models // Working Paper, UNC and UCLA. 2002; Ghysels E., Sinko A., Valkanov R. MIDAS Regression: Further Results and New Directions // Econometric Reviews. 2007. Vol. 26(1). P. 53—90.
11 См.: Панов Е.В. Состоятельная оценка ковариационной матрицы в случае временных рядов различной частотности: Препринт WP2/2005/05. M., 2005 (http://new.hse.ru/sites/infospace/podrazd/uvp/id/preprints/DocLib/WP2_2005_05. pdf); PanovE.V., ShvedovA.S. Asymptotic Covariance Matrix Estimators for Time Series of Different Frequencies: Numerical Comparison // The Proceedings from the International Symposium on Forecasting 2007 (http://forecasters.org/submissions/ISF2007-PanovEvgeny.pdf).
2 ВМУ, экономика, № 2
17
ции, чем есть на самом деле. Это приводит к менее правдоподобному портфельному решению в модели Марковица, чем применение оценки ковариационной матрицы, разработанной для временных рядов различной частотности. Выводом работы является то, что в случае российских акций для задач портфельной оптимизации более корректно пользоваться оценками, предназначенными для временных рядов различной частотности.
Рассмотрим пример. Предположим, что 31 марта 2007 г. некоторый паевой фонд владел акциями компаний, входящих в индекс РТС12 в соответствующих долях (т.е. 15% капитала было вложено в акции РАО «Газпром», 15% в акции ОАО «Лукойл» и т.д.). Фонд рассматривает возможность включения в портфель акций ОАО «Аптечная сеть 36,6», не входящих в индекс РТС, для диверсификации. Фонд решает вопрос, какую долю должны составлять акции ОАО «Аптечная сеть 36,6» в портфеле (далее — включаемые акции). Слишком малая доля не создаст достаточной диверсификации, а слишком большая ставит доходность паевого фонда в сильную зависимость от рисков включаемых акций.
Данные о торгах по акциям ОАО «Аптечная сеть 36,6» известны нерегулярно (один-два раза в неделю). Будем для упрощения считать, что данные о значениях индекса РТС известны с частотностью один раз в день (цены закрытия, см. рисунок).
Обозначим через Pt стоимость портфеля в момент времени t, а через St — цену включаемой акции. Считается известным срок т до следующего пересмотра. Обозначим доходности индекса
rt+т = P+т/P -1 и акции гДт = St+т/St -1, тогда E(rtP+x) и E(гДт) —
ожидания доходностей, и C P,S — их ковариационная матрица:
rCOVt (rtpT , rtpT ) COVt (rt+T , rt+T )) COVt (rt+T , rtpT ) COVt (rt+T ' rt+T )j
Система поддержки принятия решений будет рекомендовать управляющему фондом вложить такую долю средств w (0 < w < 1) во включаемые акции, чтобы получить портфель с минимальным риском (по уставам многих паевых фондов их цель — минимизация риска при различных ограничениях).
Такой подход был предложен в работе Х. Марковица в 1952 г. и в настоящее время усовершенствован и используется многими предприятиями13. В случае портфеля из двух финансовых инстру-
12 Определение индекса РТС и полный список акций и весов см.: http://www. rts.ru/?tid=288.
13 Straumann D, Garidi T. Developing an Equity Factor Model for Risk // Risk-Metrics J. 2007. Winter. P. 89—128; Zumbach G. A Gentle Introduction to the RM 2006 methodology // RiskMetrics Group, 2007 (http://www.riskmetrics.com/system/files/ private/RM2006_introduction.pdf).
CP'S = cov
't+т
S
ментов, доходности которых обозначены как гр+х и гДт, подход Марковица, в огрубленном виде, заключается в следующем. Предприятие принимает решение о доле ценной бумаги в портфеле на основе максимизации целевой функции14:
L Ы = Х{(1 - w) ■ E (rf+т) + w • E(rtS+T) }-(l W
I w
CPSi1-w
I W У
(1)
В случае паевого фонда можно считать X = 0 (см. выше). Экономический смысл в том, что для успешной работы фонда управляющей компании совсем не обязательно располагать информацией о будущей стоимости ценных бумаг.
Стоит заметить, что функция (1) является не только предметом теоретических дискуссий, но и находит отражение в бухгалтерской отчетности зарубежных финансовых предприятий. По финансовым стандартам Basel II15, они обязаны отражать изменения в первом слагаемом этой функции в активах, а во втором слагаемом — в пассивах (в виде резервов). По принципу начислений (accrual accounting) резервы для покрытия возможных убытков обычно пропорциональны возможным рискам. Предприятия, следующие таким принципам и стандартам, оказываются вынуждены вести себя так, как если бы они максимизировали целевую функцию, похожую на (1).
Оказывается, что если для т = 1 год в качестве оценки матрицы CP,S использовать выборочную ковариационную матрицу дневных доходностей (для дней без единой сделки использовалась цена, основанная на линейной интерполяции), то, согласно задаче (1), рекомендуемая доля включаемых акций в портфеле составит w = 51%. Если же использовать оценку для временных рядов различной частотности, то эта доля составит w = 17%. С точки зрения фонда последнее значение выглядит намного реалистичнее. Трудно представить паевой фонд, который для диверсификации вложит 49% денег в акции 50 компаний и 51% — в акции одной.
Причина неверного решения в первом случае — плохая оценка ковариационной матрицы. Действительно, правомерна ли интерполяция для редких временных рядов цен акций? Как читатель может убедиться на данном примере, оценка ковариационной матрицы, изначально созданная для рядов различной частотности, оказывается более пригодной.
В табл. 1 приведены значения этих оценок ковариационной матрицы.
14 См.: Шведов АС. Указ. соч. С. 41, 105.
15 International Convergence of Capital Measurement: A Revised Framework — Comprehensive Vision. Bank for International Settlements. 2006. June.
50-1-1-1-1-1-1-1-1-1-
29.12.2006 08.01.2007 18.01.2007 28.01.2007 07.02.2007 17.02.2007 27.02.2007 09.03.2007 19.03.2007 29.03.2007 08.04.2007
— Лучшая цена продажи --- Лучшая цена покупки ■ Первая сделка ■ Наивысшая цена - Наинизшая цена - Последняя сделка
•Первая сделка -Наивысшая цена -Наинизшая цена — Последняя сделка
Рисунок. Цены акций ОАО «Аптечная сеть 36,6» за январь—март 2007 г. (вверху), индек РТС (внизу). Источник: http://www.rts.ra
Две оценки ковариационной матрицы доходностей (по дневным данным о ценах с апреля 2005 по март 2007 г., мат рицы умножены на количество торговых дней в промежутке т = 1 год)
Оценка ковариационной матрицы доходностей индекса РТС и акций ОАО «Аптечная сеть 36,6» по формуле из работы Панова16 для рядов различной частотности Выборочная ковариационная матрица дневных доходностей индекса РТС и акций ОАО «Аптечная сеть 36,6» (для дней без единой сделки по акциям использовалась интерполяционная цена)
(0,084 0,055^ 055 0,200у (0,076 0,021^1 \0,021 0,073у
Источник: расчеты авторов.
Разберемся в том, почему использование второй из этих матриц приводит к меньшей рекомендуемой доле включаемых акций (17%, а не 51%). С точки зрения выборочной ковариационной матрицы (правый столбец табл. 1), вложения во включаемые акции примерно настолько же рискованны, как и вложения в индекс РТС, причем доходности двух инструментов не сильно коррелиро-ваны. Это должно создавать большие возможности для диверсификации. С точки же зрения оценки в левом столбце, высоки и корреляция доходностей, и риск вложений в акции, а значит, возможности диверсификации невелики. Последнее и приводит к меньшей рекомендуемой доле.
Значение первой оценки выглядит реалистичнее и по другим причинам. Во-первых, мера риска вложений в акции одной компании (нижний правый элемент табл.) обычно существенно выше, чем для вложений в средневзвешенный портфель из 50 акций различных отраслей (индекс РТС, верхний левый элемент). Во-вторых, с точки зрения модели оценки капитальных активов (CAMP)17 более обычно отношение верхнего правого элемента матрицы к верхнему левому близкое к единице, так как оно оценивает коэффициент beta в этой модели (см. ниже).
Чтобы убедиться в систематическом характере такого отличия двух оценок, мы проделали подобную процедуру для всех акций «второго эшелона» РТС. В табл. 2 можно ознакомиться с соответствующими результатами.
16 См.: ПановЕ.В. Указ. соч.
17 Fama E.F, French K.R.. The Cross-Section of Expected Stock Returns // J. of Finance. 1992. Vol. 47. N 2. P. 427—465; Fama E.F, French K.R.. Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds // J. of Financial Economics. 1993. Vol. 33. P. 3—56.
Рекомендуемая доля акций компании в портфеле, состоящем из индекса РТС и акций компаний из «второго эшелона» РТС (на основе дневных данных с января 2003 по октябрь 2007 г.). Приведено среднее значение для акций «второго эшелона»
Рекомендуемая доля акций данной компании в портфеле (оценка по формуле из работы Панова18) Рекомендуемая доля акций данной компании в портфеле (выборочная ковариационная матрица)
Период (годы) 2003— 2006 2005— 2007 2006— 2007 2003— 2006 2005— 2007 2006— 2007
Среднее (%) 25 28 34 51 53 61
Источник: расчеты авторов.
Действительно, в случае использования выборочной ковариационной матрицы рекомендуемая доля, как правило, оказывается выше. Результаты, приведенные в табл. 3 и 4, объясняют причины этого различия.
Таблица 3
Оценка волатильности акций (квадратный корень из нижнего правого элемента оценки ковариационной матрицы) для акций «второго эшелона» РТС (на основе дневных данных с января 2003 по октябрь 2007 г.).
Приведено среднее значение для акций «второго эшелона»
Используется формула из работы Панова19 Используется выборочная ковариационная матрица
Период (годы) 2003— 2006 2005— 2007 2006— 2007 2003— 2006 2005— 2007 2006— 2007
Среднее (%) 61 51 48 29 26 24
Источник: расчеты авторов.
Таблица 4
Оценка коэффициента beta (отношение верхнего правого элемента оценки ковариационной матрицы к верхнему левому) для акций «второго эшелона» РТС
Случай оценки по формуле из работы Панова20 Случай выборочной ковариационной матрицы
Период (годы) 2003— 2006 2005— 2007 2006— 2007 2003— 2006 2005— 2007 2006— 2007
Среднее (%) 47 52 47 20 21 20
Источник: расчеты авторов.
18 См.: Панов Е.В. Указ. соч.
19 Там же.
20 Там же.
Экономический смысл коэффициента beta (табл. 4) в том, что он показывает, насколько цена определенной акции подвержена влиянию изменений цен индекса (влиянию рынка), т.е. измеряет один из систематических рисков (рисков, которые нельзя уменьшить посредством диверсификации)21. Чем меньше beta, тем больше возможностей для диверсификации. Волатильности акций (табл. 3) определяют меру так называемого специфического риска, связанного с определенными акциями22. Чем такие волатильности меньше, тем больше возможностей для диверсификации. Обзор основных подходов к оценке beta можно найти в работе Дж. Бендера23.
Итак использование выборочной ковариационной матрицы приводит к недооценке коэффициента beta и к недооценке вола-тильности. В сочетании оба эффекта приводят к переоценке возможностей для диверсификации портфеля.
Последнее и ведет к завышению рекомендуемой доли включаемой акции в табл. 2. Причиной такого различия в результатах использования двух оценок является то, что данные о ценах многих из этих акций доступны нерегулярно и реже чем раз в день. Поэтому оценка, предназначенная для данных без пропусков, создает иллюзии больших возможностей для диверсификации.
Для подтверждения последнего вывода мы оценили волатиль-ность и beta для очень ликвидных акций РТС (данные о ценах сделок по ним доступны за каждый день, табл. 5). В этом случае обе оценки ковариационной матрицы дают намного более схожие результаты. Этот пример подтверждает выводы о том, что эффект имеет место для малоликвидных акций («второго эшелона»).
Таблица 5
Оценка (а) волатильности и (б) коэффициента beta для наиболее ликвидных акций, торгуемых на РТС (ОАО «Лукойл» и ОАО РАО «ЕЭС России») ^НН
(а) волатильность Случай оценки по формуле из работы Панова24 Случай выборочной ковариационной матрицы
Период (годы) 2003— 2006 2005— 2007 2006— 2007 2003— 2006 2005— 2007 2006— 2007
LKOH (%) 16 16 17 17 15 16
EESR (%) 31 27 30 28 25 28
21 См.: Шведов АС. Указ. соч. С. 56.
22 Penades E, Miller G. Comparing Specific Risk Forecasting Methodologies // The MSCI Barra Newsletter. 2005. Summer. P. 20—27.
23 Bender J.C. To Beta or Not to Beta: A Comparison of Historical Versus Fundamental Betas for Hedging Market Risk // The MSCI Barra Newsletter. 2007. Q3/Q4. P. 13—23.
24 См.: Панов Е.В. Указ. соч.
(б) коэффициент beta
Период (годы) 2003— 2006 2005— 2007 2006— 2007 2003— 2006 2005— 2007 2006— 2007
LKOH (%) 89 110 112 101 117 117
EESR (%) 97 95 100 102 113 116
Источник: расчеты авторов.
Таким образом, использование выборочной ковариационной матрицы может приводить к иллюзиям о высоких возможностях диверсификации. Оценивание же ковариаций доходностей по формуле из работы Панова25 приводит к более реалистичным представлениям, так как эта оценка разработана именно для временных рядов различной и нерегулярной частотности.
На практике системы измерения рисков и поддержки принятия решений в паевых фондах и инвестиционных банках могут быть более сложными, но тем или иным образом они основаны на минимизации риска при ограничениях. При этом риск часто понимается как дисперсия доходности портфеля, выраженная через ко-вариации доходностей компонент. Поэтому использование оценок ковариаций, разработанных для временных рядов различной частотности, может оказаться весьма полезным для многих из таких предприятий.
В контексте российского рынка акций такой подход актуален, так как по многим торгуемым на биржах акциям сделки происходят не каждый день, а значит использование выборочной ковариационной матрицы приведет к ложным представлениям о возможностях для диверсификации. С другой стороны — в контексте стандартов финансовой отчетности Basel II подход Марковица оказывается напрямую связан с бухгалтерским учетом.
В заключение стоит заметить, что результаты могут быть улучшены путем параметризации ковариационной матрицы26 согласно соответствующим экономическим моделям27. Тогда оценки таких параметров нужно тоже модифицировать для случая различной частотности.
25 Там же.
26 Такой подход на практике известен как факторная модель риска (factor risk model), модель с несколькими индексами (см.: Шведов A.C. Указ. соч. С. 64) или многофакторные портфельные стрессы (multifactor stresses) (см.: Rubandhas S. Stress Testing in a Multi-Factor Framework // The MSCI Barra Newsletter. 2007. Q3/Q4. P. 36—42).
27 Fama E.F., French K.R.. Op. cit.
Список литературы
Панов Е.В. Состоятельная оценка ковариационной матрицы в случае временных рядов различной частотности: Препринт WP2/2005/05. M., 2005. (http://new.hse.ru/sites/infospace/podrazd/uvp/id/preprints/DocLib/ WP2_2005_05.pdf).
Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М., 1999.
Andrews D.W.K. Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covari-ance Matrix Estimation // Econometrica. 1991. Vol. 59.
Basak G.K., Jagannatan R., Ma T. Assessing Risk in Sample Minimum Risk Portfolios // NBER Working Paper. 2004. April. N 10447.
Bender J.C. To Beta or Not to Beta: A Comparison of Historical Versus Fundamental Betas for Hedging Market Risk // The MSCI Barra Newsletter. 2007. Q3/Q4.
Brealey R.A., Myers S.C., Allen F. Principles of Corporate Finance. N.Y., 2005.
Haan W.J. den, Levin A. Robust Covariance Matrix Estimation with Data-Dependent VAR Prewhitening Order // NBER Technical working paper. 2000. June. N 255.
Fama E.F., French K.R. Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds // J. of Financial Economics. 1993. Vol. 33.
Fama E.F., French K.R. The Cross-Section of Expected Stock Returns // J. of Finance. 1992. Vol. 47. N 2.
Ghysels E, Santa-Clara P., Valkanov R. The MIDAS Touch: Mixed Data Sampling Regression Models // Working Paper, UNC and UCLA. 2002.
Ghysels E, Sinko A., Valkanov R. MIDAS Regression: Further Results and New Directions // Econometric Reviews. 2007. Vol. 26(1).
Hemmati F, Hsieh A., Puchkov A., Stefek D. The Barra Integrated Model: Version 204 // MSCI Barra White Paper. 2004.
International Convergence of Capital Measurement: A Revised Framework — Comprehensive Vision. Bank for International Settlements. 2006. June.
Litterman R., Winkelmann K. Estimating Covariance Matrices // Goldman Sachs Risk Management Series. 1998. January.
Ledoit O, Wolf M. Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix // Economics Working Paper. Universitat Pompeu Fabra. Department of Economics and Business. 2003. June.
Ledoit O, Wolf M. Improved Estimation of the Covariance Matrix of Stock Returns // J. of Empirical Finance. 2003. Vol. 10.
Markowitz H.M. Portfolio Selection // J. of Finance. 1952. Vol. 7.
Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. N.Y., 1959.
Mina J., Xiao J. Return to RiskMetrics: The Evolution of a Standard // RiskMetrics Group, 2001 (http://www.riskmetrics.com/publications/techdocs/ r2rovv.html).
Newey W.K., West K.D. A Simple, Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix // Econometrica. 1987. Vol. 55. N 3.
Panov E.V., Shvedov A.S. Asymptotic Covariance Matrix Estimators for Time Series of Different Frequencies: Numerical Comparison // The Proceedings
from the International Symposium on Forecasting 2007 (http://forecasters.org/ submissions/ISF2007PanovEvgeny.pdf).
Penades E, Miller G. Comparing Specific Risk Forecasting Methodologies // The MSCI Barra Newsletter. 2005. Summer.
Raynes S.R., Rutledge A.E. The Analysis of Structured Securities. N.Y., 2003.
Rubandhas S. Stress Testing in a Multi-Factor Framework // The MSCI Barra Newsletter. 2007. Q3/Q4.
Sharpe W.F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // J. of Finance. 1964. Vol. 19.
Straumann D., Garidi T. Developing an Equity Factor Model for Risk // RiskMetrics J. 2007. Winter.
Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Toward Risk // Review of Economic Studies. 1958. Vol. 25.
Zumbach G. A Gentle Introduction to the RM 2006 Methodology // RiskMetrics Group, 2007 (http://riskmetrics.com/system/files/private/RM2006_ introduction.pdf).
www.gpb-mortgage.ru.
www.rts.ru.
