Портфельные решения с распределенным риском и упреждающей оценкой доходности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЭКОНОМИКА

В.И. ТИНЯКОВА, доктор экономических наук, профессор кафедры информационных технологий и математических методов в экономике ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Тел.: 8 903 650 5190; [email protected]

Е.А. РАТУШНАЯ, соискатель кафедры информационных технологий

и математических методов в экономике ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет» Тел.: 8 928 39620 06; [email protected]

ПОРТФЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ РИСКОМ И УПРЕЖДАЮЩЕЙ ОЦЕНКОЙ ДОХОДНОСТИ

Предлагается в модели Марковица заменить традиционный измеритель риска в виде среднеквадратического отклонения распределенным риском. Обсуждаются возможности моделей портфельного инвестирования с распределенным риском. Приводятся результаты эмпирических исследований, подтверждающие эффективность модифицированных портфелей на упреждающем отрезке времени.

Ключевые слова: портфель ценных бумаг, модель Марковица, модификация модели Марковица, распределенный риск, упреждающая оценка доходности.

Несмотря на то, что идея портфельного инвестирования после финансового кризиса 1973 года полностью завладела умами инвесторов, модель Марковица [2] так и не стала инструментом, широко используемым в практике инвестиционного менеджмента. Исследования модели Марковица, а также разработка ее всевозможных модификаций (модели Блэка, Тобина, Шарпа) продолжили формирование фундамента современной теории портфельного инвестирования, но вопросы практического использования остались неизменными. Причин этому много, но самая главная, на наш взгляд, в том, что портфель строится в предположении стационарного поведения рынка.

Возможно, рынок и стационарен на бесконечном промежутке времени, когда любые отклонения можно считать случайными помехами, но на конечных отрезках реального инвестирования рынок утрачивает свойство стационарности, его поведение становится непредсказуемым. (Заметим, что надежный аппарат прогнозирования разработан только для стационарных временных рядов.) Несмотря на это, модель Марковица строится в предположении стационарного поведения рынка, поскольку используемые при ее построении средние доходности активов и их риски (среднеквадратические отклонения) являются постоянными величинами. В разрабатываемом нами подходе к формированию портфеля ценных бумаг мы отказываемся от этого предположения.

Для того чтобы при формировании портфеля можно было учитывать ориентиры на упреждающий период, на наш взгляд, необходимо ввести новый измеритель риска - «распределенный риск». Величина распределенного риска зависит от ситуации на финансовом рынке, а построение портфеля ценных бумаг осуществляется с учетом текущего и упреждающего значений риска.

На формальном уровне распределенный риск идентифицируется с помощью следующей модели:

© В.И. Тинякова, Е.А. Ратушная

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ

rt = М( rt) + ap,

(і)

d = M[(rt - M(rt)) • sign(rt - M(rt))], (2)

G? = d - 2d F(z t b),

F(z tb) =

e

b0 + b1 Zt

1 + e

b0 + b1z, ’

z = rIt- M( rIt к

(3)

(4)

(5)

где rt - доходность акции в момент времени t; M(rt) - математическое ожидание доходности акции, включаемой в портфель; d - средняя величина отклонения доходности акции от математического ожидания; <jp - распределенный риск доходности акции в момент времени t; zt - отклонение значений индекса в момент времени t от математического ожидания; rlt- доходность индекса в момент времени t; M(r|t) - математическое ожидание доходности индекса.

Оцениваемый параметр d является измерителем средней величины риска, с помощью которого в рамках модели определяются верхний предел и нижний предел ожидаемой средней доходности, по которым без труда рассчитываются потери покупателя и продавца ценной бумаги. Такой подход к измерению риска напоминает методику «риск-метрика», предложенную компанией J.P. Morgan для расчета VaR.

И в предлагаемом подходе, и в подходе компании J.P. Morgan величина риска определяется в зависимости от вероятности. Но если при оценке VaR вероятность указывается инвестором, то величина распределенного риска, рассчитываемая по d с помощью выражения (3), в явном виде зависит от вероятностного распределения и индекса, характеризующего активность фондового рынка.

Таким образом, если ковариационную матрицу строить с учетом распределенного риска, то в свойствах портфеля должно найти отражение текущее состояние рынка. Возникает вопрос: «Как это можно сделать?» Наше предложение в том, чтобы при расчете элементов ковариационной матрицы отклонения от среднего были заменены соответствующими расчетными значениями распределенного риска. Возможности проведения подобных расчетов предшествует идентификация уравнения (3), с помощью которого определяются расчетные значения риска.

Идентификация осуществляется в предположении, что риск ценной бумаги проявляется в виде отклонения от ее средней доходности. Причем это

отклонение, как правило, корреспондируется с соответствующим отклонением от средней доходности индекса. По сути, предлагаемая схема расчетов распределенного риска основана на предположении, что риск ценной бумаги связан с рыночным риском. Это положение, действительно, имеет место, в частности оно нашло отражение в широко известной одноиндексной модели Шарпа [1].

В отличие от линейной взаимосвязи между рисками, используемой Шарпом в своей модели, нами предлагается идентификация стохастической взаимосвязи, которая позволяет оценить вероятность того, что вслед за, например, положительным отклонением доходности индекса от среднего последует положительное отклонение доходности ценной бумаги. Необходимость использования стохастических взаимосвязей в нашем подходе объясняется спецификой российского финансового рынка, который явно отличается от более развитых рынков США и Западной Европы, данные о которых исследовались Шарпом при построении своей модели.

Предлагаемая процедура идентификации уравнения (3) двухэтапная. На первом этапе определяется параметр d в виде средней величины отклонений доходности ценной бумаги, имевших место на историческом периоде. На втором шаге идентифицируется эконометрическая модель бинарного выбора с дискретной зависимой переменной, определяемой соотношением

\+1, rt - M(rt) > 0; [-1, rt - M(rt) < 0.

В качестве независимой переменной этой модели используются соответствующие отклонения текущей доходности индекса от среднего значения, определяемые уравнением (5).

Таким образом, получается уравнение, позволяющее оценивать величину риска ценной бумаги в зависимости от колебаний доходности индекса. Данный подход к определению риска обеспечивает решение тех вопросов, которые возникают в связи с проблемой упреждающей оценки доходности портфеля.

В отличие от риска в виде среднеквадратического отклонения распределенный риск можно тестировать на предмет воспроизведения отклонений исторического периода. Для достижения требуемого уровня адекватности иногда возникает необходимость в усложнении уравнения (3). С этой целью имеет смысл рассмотреть возможность построения модели, обеспечивающей бо-

ЭКОНОМИКА

iscjg

лее точную аппроксимацию отклонений. Такая возможность реализуется с помощью модели распределенного риска второго порядка:

rt = M(r) + a[ p 2

(6)

dx = M[(rr - M(r )) • sign (rt — M(r ))], [7)

d2 = M[(rt - M(rt,Xt1)) • sign(rt — M(rt,*t!))], (8)

p’ ] = d1 + d2 — 2P0(d1 + d2) — 2P1d1 — 2P2d2 , (9) P0 = P(a[p,2] =—di — d 2 / zt ) , (10)

Pi = P(afp,2] =—di + d2 / zt) , ( 11)

12)

P2 = p (a)p ’2] = d1 — d 2 / zt ),

p3 = p (a)p ,2] = d1 + d 2 / zt) = 1 — P0 — P1 — P2 , (13)

zt = rit — M(r/t ) ,

(14)

где xt1 - дискретная переменная, принимающая значение +1, когда отклонение от среднего неотрицательное, и - 1, когда отрицательное; d1, d2 -параметры распределенного риска, оцениваемые с помощью метода наименьших квадратов;

M(rt,xt1) - математическое ожидание абсолютных

значений отклонений доходности акций.

В отличие от распределенного риска первого порядка в модели (6)-(14) идентифицируется мультиномиальная логит-модель [1].

Чтобы убедиться в эффективности предлагаемого подхода к портфельному инвестированию, были проведены эмпирические исследования. Смысл этих исследований состоял в построении модели Марковица и различных ее модификаций с распределенным риском и упреждающей оценкой доходности на одном и том же статистическом материале с последующей проверкой на данных упреждающего периода.

Эмпирическую базу исследования составили котировки акций шести российских компаний (Лукойл, Газпром, НГМК, СургутНГ, Сбербанк, Роснефть) и динамика индекса РТС за период с 01.04.2009 г. по 31.12.2009 г. (www.rts.ru). Причем последние десять наблюдений были приняты за данные упреждающего периода и в расчетах по построению модели не использовались.

Модель Марковица в общем виде записывается следующим образом:

w/Ew ^ min , (15)

w m = 1, w i = 1,

(16)

(17)

где w - вектор, определяющий структуру портфеля, где /-я компонента w¡ есть доля средств, вложенная в /-й актив; т - математическое ожидание

вектора доходностей активов за рассматриваемый промежуток времени; X - ковариационная матрица доходностей финансовых активов; I - вектор из единиц; \х - ожидаемая доходность.

Предлагаемые нами модификации модели Марковица отличаются только способом расчета ковариационной матрицы и математических ожиданий доходности активов, включаемых в портфель.

Для модели Марковица элементы ковариационной матрицы рассчитываются по формуле:

1 т

a = —- X(rti— ri)(rtj— rj),

j

т — 1 £ й

(18)

а средняя доходность активов, включаемых в портфель, - по формуле

1 т

ri = г X rti,

Tt=1

(19)

где Т - длина исторического периода.

Элементы ковариационной матрицы первого варианта модификации рассчитываются не по отклонениям, а по текущим значениям распределенных рисков исторического периода

1 т

X

т — 11=1

d(i) — 2d

(i)

e

¿0')+b1(') z,

\

1 + e

¿0')+¿1') zt

d(j) — 2d(j) ■

b J)+¿1j) zt

1 + e

(20)

а средние значения доходности определяются также по формуле (19).

Элементы ковариационной матрицы второго варианта модификации рассчитываются путем корректировки на ожидаемые в упреждающем периоде изменения ковариационной матрицы и средних доходностей

( еь0М'\ л

a J =aa J +о—а)

d(') — 2d(')-

1 + e

¿0') +¿1') zt

d(j) — 2d(j)

e ¿0-1)+¿11) zt 1 + e ¿oJ)+¿1J )zt

(21)

а средние значения определяются по формуле

■ ari + (1 — а)

d(i) — 2d(i )-

\

1 + e

¿00')+¿1 1) zt

где а - параметр, характеризующий степень доверия упреждающим оценкам риска.

Формулы (20) - (22) приведены для случая, когда в расчетах используется распределенный риск первого порядка. В случае приме-

нения рисков более высоких порядков эти формулы записываются аналогичным образом.

Результаты эмпирических исследований представлены в таблице.

Таблица - Портфель Марковица и его модификации

Компания Портфель Марковица 1-й вариант модификации 2-й вариант модификации

Структура портфеля

Лукойл -0,0309 1,9818 2,3512

Г азпром -0,6957 -1,0875 -0,6013

СургутНГ 0,2365 0,8729 0,8691

НГМК 0,6207 -2,8757 -3,3162

Сбербанк 0,0146 1,2659 1,1443

Роснефть 0,3558 0,8426 0,5529

Доходность на упреждающем периоде

-0,2553 -0,1812 0,0123

Результаты расчетов, представленные в таблице, показывают, что использование распределенного риска в моделях портфельного инвестирования способствует сохранению его оптимальных свойств на упреждающем периоде.

Сформулированный вывод, конечно, основан на результатах эмпирических исследова-

ний. В силу этого полученные результаты могут свидетельствовать только о статистической предпочтительности модифицированных портфелей в том смысле, что эти портфели будут чаще приносить более высокую доходность на упреждающем периоде, чем портфель Марковица.

Библиографический список

1. Давние В.В. Прогнозные модели экспертных предпочтений: монография [текст] / В.В. Давние, В.И. Тиня-кова. - Воронеж: Изд-во Воронеж. гое. ун-та, 2005. - 248 е.

2. Markowitz, H.M. Portfolio Selection [текст] // Journal of Finance. - 1952. - Vol. 7, №1. - Pp. 77-91.

3. Sharpe W.F. A Simplified Model for Portfolio Analysis / W.F. Sharpe // Management Science. - 1963. - Vol. 9, № 2. - P. 277-293.

V.I. TINYAKOVA, E.A. RATUSHNAYA

PORTFOLIO DECISIONS WITH THE DISTRIBUTED RISK AND AN ANTICIPATORY ESTIMATION

OF PROFITABLENESS

It is offered to replace In Markowitz’s model a traditional measuring Instrument of risk In the form of means squares deviation with the distributed risk. Portfolio investments opportunities of models are discussed with the distributed risk. The results of the empirical researches confirming efficiency of modified portfolios on an anticipatory interval of time are resulted.

Key words: a portfolio of securities, model Markowitz’s, updating of Markowitz’s model, the distributed risk, an anticipatory estimation of profitableness.