CC BY
38
HayKoBHH BiCHUK ^BBiBctKoro HanjoHantHoro ymBepcureTy BeTepHHapHoi MegunuHH Ta GioTexHOnorifi iMem C.3. muntKoro Scientific Messenger of Lviv National University of Veterinary Medicine and Biotechnologies named after S.Z. Gzhytskyj
doi:10.15421/nvlvet6807
ISSN 2413-5550 print ISSN 2518-1327 online
http://nvlvet.com.ua/
УДК 664.02.(075.8)
Деяк основш спiввiдношення алгебри асиметричних узагальнених функцiй в задачах неоднородно'! теплопровiдностi i термопружностi
В О. Волос1, Б.Р. Щж1,2, Ю.Ю. Варивода1, М.1. Чохань1, Ф.М. Гончар3
tsizhb@ukr.net
1^beiecbKrn нацюнальний утверситет ветеринарноь медицини та бютехнологш iMeHi С. З. Гжицького,
вул. Пекарська, 50, м. Львiв, 79010, Укра'та;
2Kazimierz Wielki University in Bydgoszcz, Bydgoszcz, Poland;
3 Львiвський нацюнальний утверситет «Львiвська полтехмка», вул. Степана Бандери, 12, Львiв, 79013, Украша
Запропоновано метод представлення тeплофiзичних i фiзико-мeханiчних характеристик кусково—однорiдних робочих вузлiв машин i мeханiзмiв харчових виробництв за допомогою асиметричних узагальнених функцт. Таю вузли, що склада-ються з окремих частин з рiзними, i не посттними в межах кожноi i3 них, фiзико—мeханiчних характеристик, можуть бути записат для кусково—однорiдного тыа як единого цыого за допомогою асиметричних одиничних функцт та повног дельта-функцп Дiрака.
Показано, що застосування апарату узагальнених функцш для до^дження теплового стану нeоднорiдних eлeмeнтiв конструкцп е одтею iз ефективних теорт розв'язку проблем термомехашки ты нeоднорiдноi структуры на сучасному етат ii до^дження. Ця тeорiя в термомеханц ты нeоднорiдноi структури призвела до виникнення нового напрямку -застосування узагальнених функцш в термомеханщ ты нeоднорiдноi структури: багатошарових, армованих ты, ты iз нас^зними i ненас^зними включеннями, покриттями, iз залежними вiд температури тeплофiзичними характеристиками, iз неперервною нeоднорiднiстю, з кусково-постшними коефщентами тeпловiддачi, багатоступеневих пластин, оболо-нок, валiв. В запропонованш роботi показано, що вiдповiднi нeоднорiднi характеристики можуть складатися не лише iз посттнихрiзних величин, що змтюються стрибкоподiбно на межах спряження, але й iз рiзних кусюв неперервних функцт, заданих в областi визначення кожноi компоненти нeоднорiдного тыа як единого цыого.
Для цього отримано правила диференцювання розривних функцт, а також функцт, що представляються у виглядi до-бутку двох розривних функцт, i правила знаходження узагальнeноi похiдноi кусково—неперервноь функци.
Knmnoei слова: нестащонарна тeплопровiднiсть, термопружний стан нeоднорiдних ты, коефщент теплового розши-рення, чужорiднi включення, кусково—однорiднi тыа, асиметричш одиничш функци, односторонш гранищ, узагальнена похiдна, точка розриву, класична похiдна.
Некоторые основные соотношения алгебры ассимметричных обобщенных функций в задачах неоднородной теплопроводности и термоупругости
ВО. Волос1, Б.Р. Циж1,2, Ю.Ю. Варивода1, М.1. Чохань1, Ф.М. Гончар3
tsizhb@ukr.net
1 Львовский национальный университет ветеринарной медицины и биотехнологий имени С. З. Гжицкого,
ул. Пекарская, 50, г. Львов, 79010, Украина;
2Kazimierz Wielki University in Bydgoszcz, Bydgoszcz, Poland;
3Львовский национальный университет «Львовская политехника», ул. Степана Бандеры, 12, Львов, 79013, Украина
Citation:
Volos, V.O., Tsizh, B.R., Varyvoda, Yu.Yu., Chokhan, M.I., Gonchar, F.M. (2016). Some basic relations of asymmetric distributions algebra in the tasks of inhomogeneous heat conduction and thermoelasticity. Scientific Messenger LNUVMBT named after S.Z. Gzhytskyj, 18, 2(68), 37-40.
Предложен метод представления теплофизических и физико-механических характеристик кусочно-однородных рабочих узлов и механизмов пищевых производств с помощью асимметричных обобщенных функций. Такие узлы, состоящие из отдельных частей с разными, и не постоянными в пределах каждой из них, физико—механических характеристик, могут быть записаны для кусочно-однородного тела как единого целого с помощью асимметричных единичных функций и полной дельта- функции Дирака.
Показано, что применение аппарата обобщенных функций для исследования теплового состояния неоднородных элементов конструкции является одной из эффективных теорий решения проблем термомеханики тел неоднородной структуры на современном этапе ее исследования. Эта теория в термомеханике тел неоднородной структуры привела к возникновению нового направления - применения обобщенных функций в термомеханике тел неоднородной структуры: многослойных, армированных тел, тел со сквозными и не сквозными включениями, покрытиями, с зависимыми от температуры теплофизическими характеристиками, с непрерывной неоднородностью, с кусочно-постоянными коэффициентами теплоотдачи, многоступенчатых пластин, оболочек, валов. В предлагаемой работе показано, что соответствующие неоднородные характеристики могут состоять не только из постоянных различных изменяющихся скачкообразно на границах сопряжения, но и из разных кусков непрерывных функций, заданных в области определения каждой компоненты неоднородного тела как единого целого.
Для этого получены правила дифференцирования разрывных функций, а также функций, которые представляются в виде произведения двух разрывных функций, и правила нахождения обобщенной производной кусочно-непрерывной функции.
Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, термоупругое состояние неоднородных тел, коэффициент теплового расширения, инородные включения, кусочно-однородные тела, асимметричные единичные функции, односторонние пределы, обобщенная производная, точка разрыва, классическая производная.
Some basic relations of asymmetric distributions algebra in the tasks of inhomogeneous heat conduction and thermoelasticity
V.O. Volos 1 B.R. Tsizh1,2, Yu.Yu. Varyvoda1, M.I. Chokhan1, F.M. Gonchar3
tsizhb@ukr.net
1Lviv national university of veterinary medicine and biotechnologies named after S. Gzhytskyj, Pekarska Str., 50, Lviv, 79010, Ukraine;
2Kazimierz Wielki University in Bydgoszcz, Bydgoszcz, Poland;
3 Lviv National Polytechnic University «Lviv Polytechnic», Stepan Bandera Str., 12, Lviv 79013, Ukraine;
The method of presenting thermophysical and physical and mechanical properties of piecewise homogeneous production nodes and mechanisms offood facilities using asymmetric distributions has been suggested. These nodes, consisting of separate parts with different and nonconstant physical and mechanical characteristics within each of them, can be written for a piecewise homogeneous solid as a whole using asymmetric unitfunctions and full Dirac delta function.
It is shown that the use of the apparatus of generalized functions stud-tion for the thermal state of heterogeneous elements of the design is one of the effective solution of problems theories thermomechanics bodies heterogeneous structure at the present stage of its investigation. This theory termomehanitsi bodies heterogeneous structure led to a new direction - the use of distributions in termomehanitsi heterogeneous body structure: multilayer reinforced bodies, the bodies of the cross and not cross inclusions coated with temperature-dependent thermophysical characteristics of continuous heterogeneity,with piecewise constant coefficients of heat transfer, multi-plates, shells, walls. In the proposed paper shows that the relevant heterogeneous characteristics may consist not only of different values of constant changing abruptly at the boundaries of interface, but with different pieces of continuous functions defined in the definition of each component inhomogeneous body as a whole.
For this received the differentiation rules of discontinuous functions and functions that are represented as the product of two discontinuous functions and the rules of determination of the generalized derivative of piecewise continuous function have been obtained.
It is shown that close task solving problem can be obtained by limiting transition in precise upshot. In particular example it was investigated limit of the admissibility of the application of the approximate upshot.
Some basic relations of asymmetric distributions algebra in the tasks of inhomogeneous heat conduction and thermoelasticity.
Key words: transient heat conduction, thermoelastic state of inhomogeneous solids, thermal expansion coefficient, foreign inclusions, piecewise homogeneous solids, asymmetrical unit functions, unilateral boundaries, distributional derivative, points of discontinuity, classic derivative.
Вступ
Велика кшьшсть елеменпв технолопчного устат-кування, оснастки i машин, що виготовляються i3 конструкцшно1 стал^ i використовуються при тдви-щених температурах експлуатаци знаходять широке застосування у багатьох галузях виробництв харчово1 промисловосп. В процес виготовлення i експлуатаци неоднорщш вузли таких машин зазнають миттевих або тривалих теплових впливiв. Працездатшсть таких
неодорвдних елеменпв конструкцш при тдвищених температурах обумовлена ïx геометричною формою, ф1зико-мехашчними властивостями матер1ал1в та умовами експлуатаци. При чому, якщо умови експлуатаци, як правило задаються, то перш1 два фактори можуть варшватися i повинш розглядатися у пснш взаемоди один з другим. Одним i3 визначальних критерий при виборi матерiалу i конструкцшному вико-нанш неоднорвдних матерiалiв е ïx термомщшсть, тд якою в даному випадку розумшть здатшсть неодно-
HayKOBHH BicHHK HHyBMET iMeHi C.3. IW^koto, 2016, t 18, № 2 (68)
pigHoro eneMemy hhhhth onip BnnHBOM TennoBHx Ha-Bama^eHb He pyHHyranucb. (Podstrigach et al., 198; Podstrigach et al., 1984; Plahotyn et al., 2016).
B po6oTi BCTaHOB^eHO , ^o BHHocnuBicTb i xapaKTep pyHHyBaHHH TBepgux cnnaBiB HeogHopigHHx po6onux By3niB BH3HanaeTbC3 BnaCTHBOCTaMH i OCO6nHBOCTaMH CTpyKTypH OKpeMHx CKnagoBHx. B HacnigoK piзннцi b Koe^^ieHTax TennoBoro po3mupeHHa MarepianiB MaT-pнцi i ny^opigHHx BKnraneHb b 3OHi lx 3'egHaHHa bhhh-KaroTb TepMinHi Hanpy®eHHa aKi MO®yTb gocaraTH 3Ha-HHoi' Be^HHHHH npu BenHKin piзннцi Koe^^iemiB Ten-noBoro po3mupeHHa (Vladimirov, 1979; Panfylov, 1993). OcKinbKH мiцнicтнi xapaKTepHCTHKH MarepianiB мaтpнцi MO^yTb 6yTH gOCHTb HH3bKHMH, TO HaaBHiCTb HeogHopigHoro BKnMneHHH MO®e npuBecm go pyHHyBaHHa 3'egHaHHa. ToMy 3agana BH3HaneHHa TepMonpy®Horo CTaHy b 3OHi 3e'gHaHHa MaTpu^ i BKnraneHHa aBnaeTbca gy®e Ba^nHBOM.
MaTepia^ Ta MeTogu gocrng^eHt
3aCTOCyBaHHa MeTogy npegcTaBneHHa Tenno$i3HH-hhx i TepMonpy^HHx xapaKTepucTHK HeogHopigHHx eneMeHTiB po6onux By3niB MamHH i MexaHi3MiB M'acHHx i MonoHHHx rany3en xapnoBoi npoMHcnoBOCTi BHMarae TeopeTHHHoro i npaKTHHHoro o6rpyHTyBaHHa MaTeMam-hhhx BHKnagoK Hag onepaqiaMH 3 y3aranbHeHHMH $yHK-^aMH Ta no6ygoBH cne^anbHoi' anre6pu npu OTpHMaHi ochobhhx cniBBigHomeHb. npunoMy, nepeBipKa, Hanpu-Knag, 36epe®eHHa rinoTe3H He3MiHHHx HopManen (gna BunagKy y3aranbHeHoro nnocKoro Hanpy®eHoro CTaHy) noKa3ye ^o TaKe npegcTaBneHHa npHBogHTb go «aBTO-MaTHHHoro» BHKOHaHHa yMOB igeanbHoro TennoBoro Ta MexaHinHoro KOHTaKTy Ha Me®i cnpa®eHHa ny^opigHux eneMeHTiB. BcTaHOBneHO gocTOBipHicTb OTpuMaHHx pe3ynbTariB b ochobhhx nacTKOBux BHnagKax: ogHOBH-MipHux i gBOBHMipHux 3aganax HeogHopigHol Tennonpo-BigHOCTi, aKi 6ynu po3B'a3aHi paHime MeTogoM «3mu-BaHHa» Ha Me® po3giny OKpeMHx eneMeHTiB, ^o b kIh-цeвoмy nigcyMKy npHBogHTb go cyTTeBoro cnpo^eHHa MaTeMaTHHHHx BHKnagoK Ta npegcTaBneHHa CKnagHux HeogHopigHHx o6nacreH y Burnagi egHHoro цinoro.
Pe3ymTaTH Ta ix oßroBopeHHH
npegcTaBneHHa $i3HKO-MexamnHHx xapaKTepucTHK HeogHopigHHx Tin y Burnagi acuMeTpuHHux, CHMeTpun-hhx, oguHHHHux y3aranbHeHux ^yHKqin go3Bonae myKa-th po3B'a3KH 3agan HeogHopigHol TennonpoBigHOCTi i TepMonpy^HOCTi gna BCboro HeogHopigHoro Tina aK eguHoro цinoro. y po6oTi noKa3aHO, ^o 3anponoroBa-hhh MeTog e go^nbHHM i cnpaBegnuBHM gna 3agan He-CTa^OHapHOi TennonpoBigHOCTi i TepMonpy^HOcri aK gna ogHO-gBox TaK i gna TpboxBHMipHux HeogHopigHHx CTpyKTyp. npuHOMy, oco6nuBO 3pyHHHM BiH e gna 3anu-cy HeogHopigHHx Koe^i^emiB nimÖHoro po3mupeHHa OKpeMHx KOMnoHeHTiB, Koe^i^emiB o6'eMHol' ge$op-Maqil, Koe^i^emiB .HaMe i nyaccoHa, Mogyna MHra, a TaKO® 3MiHHHx Koe^i^emiB TennoBiggani 3 OKpeMHx nacTHH HeogHopigHHx Tin, nonarKOBHx i rpaHHHHux yMOB npu BigoMHx 3agaHHx ^yHKqiax nacy i po3pHBHHx
TeMnepaTypax 3OBHimHboro cepegoBH^a Ha OKpeMHx ginaHKax HeogHopigHoro po6onoro By3na.
B noganbmoMy 6ygeMO po3rnagaTH TaKi KycKOBO-ogHopigHi Tina, aKHMH 6ygeMO MogenMBaTH HeogHopig-Hi po6oni By3nu MexaHi3MiB i MamHH xapnoBHx Bupo6-ннцтв. npunycKaeMO, b 3aranbHOMy, ^o цi Tina CKnaga-MTbCa i3 OKpeMHx HaCTHH 3 pi3HHMH ( Ta 3MiHHHMH B KO®HOMy 3 KOMnoHeHTiB ) $i3HKO-MexaHinHHMH xapaK-TepucTHKaMH. OnumeMO ^ xapaKTepHCTHKH gna ko®ho-rO KOHKpeTHOrO BHnagKy aCHMeTpHHHHMH OgUHHHHHMH (|)VHKui;iMH BHrjiagy
f lrx > 0
.
( < 0
npoBegeMO geaKi 3aMiHH, Heo6xigHi gna OTpuMaHHa piBHaHb TennonpoBigHOCTi Tin i3 BKnMneHHaMH [2].
rioxigm po3rjiagyBaHHx acuMCTpuHHux i CHMe-
TpHHHOl
,■. :: ;■ ogHHHHHHx $yнкцiн, BH3HanaroTbca
7 ? .. = i TaKHMH CHMBOniHHHMH piBHOCTaMH
Dpi < a
¿?(x} = = -^t"*-)- (!)
Hexan /(x) - TaKa $yнкцia, ^o ogHOCTopoHHi rpa-ннцi
icHyiOTb, gna acumctpuhhux i chmctph-
hhoi ) iMnyjibCHHx (|)VHKuiH ri i'x noxigHHx npn
6<X1<d. IlpH ubOMy 6ygeMO MaTH HacTynm cniBBigHO-meHHa:
f fix) - a^ids = / (jfj ± OX
xjdx = ex
rö i L
Jk ß{x) ä±iv-xjdx = - [/C*i. - ® + /C*i + 0)1 r
i1//tö - Xj)dx = i (-1)" [ /^Cel -
01 + /w (i, + B)
2
3BigcH BHnnHBae, ^o:
/(x) - = /Cel ± lOJEtfe - xj.
/(x) aC* - =
H
.
3
Пpogн$epeнцiмвaвmн (3) no x, 3HaxogHMo: f(x)S±i>i - =
/(5ä ± o-- ; ± -
f(x)d±& - xj = \ - W + fC^ + W ] ff'cx-xj-
.
4
noKnagaroHH y nepmux cniBBigHomeHHax (3) i (4)
/(х)= - хД^Здопее : /(х)= Six-приходимо до наступних спiввiдношень:
Отримаш останш формули дозволяють вщмггити наступний факт.
Якщо теплофiзичнi i теpмопpужнi характеристики кусково-однорщного тша представляються у вигляд1
' ?СО= Ъ + ДГ^М! - д) У+Се- хХ (6)
то будь-яка ïx комбiнацiя за допомогою тотожно-стей
-h = -+- h S+Ct ~ ^ (7)
J - xj — Sj (ж - miti (Jfy
f
також представляеться у такому ж виглядг Аналогiчно до вище приведених сшввщношень може бути представлена будь-яка кусково-неперервна функц1я однiеï змiнноï /(х) [3]:
де
ДО-
накрсщка дуньшк. та задана на л, <
л = :tf - 1 цчка.уищиьу фуикшиа. цьиму щиишжьу, / - ик^ш ршцлш*.
Узагальнена поxiдна цiеï функцiï обчислюеться за формулою
ге-1
m=ш (/u- ^
де { / } - класична похвдна функци /,
f\ie=xt ~ ~ стркЗак функцЙТ/ в-тотк ж =
Ч
а î\x-xi>f\x-x' ~ ВДП0В«Н0 границ! функци / при прямуванш .ï -i Л'^ справа i зл1ва до точки розриву X =
Враховуючи, що:
w =/±+ £ (/«-/A**-»*
f = L
маемо / = /1+|.
Щкаво, що i3 отриманих сшввщношень (9) (11) випливае, що при знаходженнi узагальнено! похщно! кусково-неперервно! функци (9) сшввщношення (10) може не використовувати, а просто диференцшвати
(9), однак при цьому обов'язково врахувати, що fr - =
1з формули (10) також можна зробити ще один дуже важливий висновок: при диференцiюваннi роз-ривно! функци, яка представляеться у виглядi добутку двох розривних функцш u(x) i v(x) справедливе наступив сшввцщошення:
Ш' = й»}ЧУ [ toil*^ - Cmf)-!^] Xt). (12) f
Тут x = xt - точки розриву добутку, а сам вираз для — береться в залежносп вад того, якою саме асиметричною функцiею зображуються функци u(x) та v(x).
Висновки
Використання отриманих спiввiдношень узагальнених ступеневих та iмпульсивних одиничних функ-цiй дае можливiсть враховувати вплив цшого комплексу теплофiзичних , фiзико - математичних i термоп-ружних характеристик на вивчення i дослщження термопружного стану неоднорщних вузлiв конструк-цiй харчових виробництв шд час !х експлуатаци в робочих умовах та при рiзних змшах температури робочого середовища. Крiм цього застосування апара-ту узагальнених функцш приводить до роздшення взаемозв'язаних систем диференщальних рiвнянь термопружностi в перемщеннях i компонентах тензора напружень для бiльшостi часткових випадшв ( наприклад , випадки тонких чужорщних включень , або випадки зосереджених зовнiшнiх теплових або мехашчних впливiв ). Коефiцiенти при iмпульсних функцiях знаходяться в подальшому iз систем лшш-них алгебра!чних рiвнянь , що значно спрощуе i поле-гшуе отримання розв'язк1в задач без застосування штегральних перетворень змшних.
Бiблiографiчнi посилання
Podstrigach, Ja.S., Lomakin, V.A., Koljanno, Ju.M. (1984). Termouprugost' tel neodnorodnoj struktury (in Russian).
Podstrigach, Ja.S., Koljano, Ju.M., Semerak, M.M. (1981). Temperaturnye polja i naprjazhenija v jelementah jelektrovakuumnyh priborov. Kiev: Nauk, dumka (in Russian). Vladimirov, V.S. (1979). Obobshhenye funkcii v
matematicheskoj fizike. M.: Nauka (in Russian). Panfylov, V.A. (1993). Tehnologicheskie linii pishhevyh processov/ Teorija tehnologicheskogo procesa Agropromizdat (in Russian). Plahotyn, V.Ja., Tjurykova, I.S., Homych, T.P. (2016). Teoretychni osnovy tehnologii' harchovyh vyrobnyctv. Kyi'v (in Ukrainian).
Стаття над1йшла до редакцп 20.09.2016
