CC BY
33
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 2 (2012)
Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера
УДК 511.9
НЕКОТОРЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ^—ДРОБЕЙ1
О. А. Горкуша (г. Хабаровск)
Аннотация
Мы исследуем эргодические системы, соответствующие О—дробям — классу непрерывных дробей, тесно связанному с геометрической интерпретацией приближений вещественного числа рациональными числами. Обозначим через Ап/Вп, п = 1,2,..., — последовательность подходящих дробей непрерывной О—дроби числа х € (0,1). Мы получим почти для всех иррациональных чисел х распределение последовательности {Тп}п^1, где Тп = Тп(х) = Вп\ВпХ — Ап\.
§1. Введение
Любое вещественное число х из (0,1) можно представить в виде конечной (если х € Я) или бесконечной регулярной непрерывной дроби
х = [0; й1,й2,... ,ап,...] =-------------------------1-, (1)
а1 + :----------
а2+ 1
а.п+ _
где для всех п ^ 1 неполные частные ап определяются соотношением
1
ап(х)
Тп-1(х)_
если Тп (х) = 0
1 Работа выполнена при поддержке фонда РФФИ, гранты № 11-01-00628-а, № 11-01-12004-офи-м-2011.
а
п
Здесь T : [0,1) м [0,1) — преобразование Гаусса
T(x) = f 1/x - [1/x] x = 0,
( ) | 0 x = 0.
Естественное обобщение преобразования Гаусса получено в 1977 году в работе [1, Theorem 1].
Пусть D = ([0,1] \ Q) х [0,1]. Определим отображение T : D м D :
T(x,y) = j (T(x) wk+v), еслn(x,v)e Dmx = 0; (2)
(0, y), если x = 0.
Автор работы доказал, что система (D, BD, ц, T) с семейством множеств Бореля BD и вероятностной мерой
« = £ IПТЙР ^ « '•
A
формирует эргодическую систему.
Из этого результата были получены многие арифметические и метрические свойства регулярных непрерывных дробей. Перечислим некоторые из них. Определим для любого числа x последовательность {0n}n^ :
0n = ©n(x) = Q
ГД6
P
1 n
x - Qn
(3)
Pn
Q [0; a1, ■ ■ ■ , an— 1]
Qn
— подходящая дробь с номером n регулярной дроби числа x■ В дальнейшем элементы 0n будем называть коэффициентами аппроксимации, соответствующие регулярной непрерывной дроби.
Впервые предельное распределение последовательности {0n}n^1 исследовалось в 20-х годах 20-го столетия. В работе [2] Поль Леви (Paul Levy) показал,
1
lim р{[0; an, an+i, ■ ■.] < z} = ——-—-■ n—x (1 + z)log2
Здесь и далее P{A} означает вероятность события A■ Спустя почти двадцать лет в 1940 году Вольфганг Дублин (Wolfgang Doeblin) опубликовал работу
[3], в которой, в частности, исследовалось предельное распределение величины 1/0n(x)- Автор доказал, что [3, р. 365]
lim J < Д I 1 - йЪ X .если z > 2;
1 0n(x) < J \ Z—2 + Ш■ " 1 < Z < 2
В 1981 году Дональд Кнут (Donald Knuth) в работе [4] опубликовал следующий результат: для z Е [0,1]
mes{x Е (0,1) \ Q| 0n(x) ^ z} = F(z) + O(gn),
где g = 2(^/5 — 1) и
F(z) = j
I log 2
z Е [0,1/2], I0g2(1 — z + log(2z)), z Е (1/2,1].
В том же году Хендрик Ленстра (Hendrik Lenstra) высказал предположение, о
x
lim 1 • #{m Е [1, n] I 0m(x) < z} = F(z).
П^Ж П
А в 1983 г. Вэб Босма (Wieb Bosnia), Хендрик Джагер (Hendrik Jager), Фрик Вейджик (Freek Wiedijk) в работе [5] доказали это утверждение.
В этой статье мы получили аналогичный результат для П — дробей — одного из классов полу регулярных дробей.
Определение 1. Для вещественного числа x из (0,1) конечная или бесконечная непрерывная дробь
£1
x = --------------------= [0; £1/b1,£2/b2,... ,£n/bn,. ■ ■] (4)
£2
bi +
b2 +
' • • +
2 + £ °n
bn +
называется полурегулярной, если Ьп Е И, £п € {—1,1} для всех п ^ 1.
Подходящие дроби, соответствующие дроби (4), будем обозначать через
Ап/Вп • А
—п = [0; е1/Ь1,е2/Ь2,... ,£п-\/Ьп-\], п ^ 1, (5)
Вп
а коэффициенты аппроксимации, соответствующие дроби (4) — через Тп •
Ап
Yn = Yn(x) = B,
x—B
n
(o)
j2. Полурегулярные дроби
Прежде чем приступить к исследованию П-дробей, остановимся вкратце на описании полурегулярных дробей. Более полное изложение представлено, например, в работе [6].
Рассмотрим операцию на неполных частных — операцию сжатия, которая основана на тождестве
£ , £ к +-------~л— — к + £ —
1 + щ 1 +1 + £
где к,1 — натуральные числа, £ €{ — 1,1},£ — вещественное число.
Определение 2. Пусть (4) — конечная или бесконечная полурегулярная дробь с условием: для некоторого п ^ 2
Ьп-1 — 1,£п = 1. (7)
Преобразование ап, которое превращает эту непрерывную дробь в непрерывную дробь
[£1; —£1/(1 + Ь2),£3/Ь3,...] для п — 2,
[0; £1/Ь1, . . . , £n-3/Ьn-3, £п-2/(Ьп-2 + £п-1^ —£п-1/(1 + Ьп) , £п+1 /Ьп+1, . . -\ для, п> 2
называется сжатием. В результате мы сжимаем, пару Ьп-1 — 1,£п — 1. Если в дроби (4) все элементы £^ равны 1, то мы будем говорить, что сжат элемент Ьп-1 — 1.
Заметим, что нельзя одновременно сжать две последовательные пары, поскольку при условиях, что сжата пара Ьп-1 — 1, £п — 1 и выполняется равенство £п-1 — 1, оба неполных частных Ьп-2 и Ьп увеличиваются на единицу.
Определение 3. Процесс сжатия состоит из множества непрерывных дробей и закона, по которому единственным образом, сжимаются пары Ьп-1 —
1 , £п — 1
Для вещественного числа х, представленного в виде дроби (4), будем рассматривать последовательность {1п(х), ьп(х)}п^ 1, где величины Ьп — Ьп(х) и Vп — уп(х) определяются формулами
^ — [0; £п/Ьп,£п+1/Ьп+1, ...\,Уп — Вп-1/Вп, п ^ 1; ь0 — 0. (8)
Последовательность таких пар, полученную для регулярной непрерывной дро-
би, будем обозначать через {Тп(х),Уп(х)}п^1 •
Тп [0; an, ап+1 , . . .\ , Уп Qn— 1/Я^ (9)
при этом хорошо известно тождество для п ^ 1 •
Тп(х, 0) — (Тп+1,Уп+1), где отображение Т задается формулой (2).
Определение 4. Пусть (4) — полурегулярная дробь, полученная из регулярной дроби (1) в результате процесса сжатия. Область Б С [0,1] х [0,1] называется областью сжатия, если неполное частное ап — 1 сжато тогда и только тогда, когда, (Тп,Уп) Е Б.
Из определения и соотношения (9) следует, что
Легко показать, что в результате применения преобразования ап к дроби (4) с ограничением (7), из последовательности подходящих дробей {Ак/Вк}к^1, соответствующих дроби (4), удалена дробь Ап-1/Вп-1. Таким образом, можно сделать вывод, что последовательность подходящих дробей полурегулярной
х,
х.
ли мы определим последовательность индексов п(к) для к ^ 1 по правилу:
Ак/Вк Рп(к)/О п(к), ТО п(0) 0 И
Зависимость элементов последовательностей {Ьп(х),ьп(х)}п^1 и {Тп(х),Уп(х)}п^1 отражена в следующем утверждении.
Лемма 1. Пусть х Е (0,1) — вещественное число и (1) — регулярная дробь этого числа, (4) — полурегулярная дробь, полученная из регулярной дроби в результате процесса сжатия. Тогда для всех к ^ 1
Доказательство. Для фиксированного индекса к ^ 1 положим п — п(к)
£к — 1 £к — — 1 .
Пусть £к — 1. Из (11) следует, что подходящие дроби Рп-1/Оп-1 и Рп/Оп регулярной непрерывной дроби есть подходящие дроби Ак-1/Вк-1 И Ак/Вк полу регулярной дроби. Из замечания к определению 4 и из определения 2 следует, что неполные частные ап-1 и ап не сжимаются. Поэтому Уп — ук,Тп — Ьк.
£к — — 1 ,
дробь Рп-1/Оп-1 регулярной непрерывной дроби не входит в последовательность подходящих дробей полурегулярной дроби. Поэтому неполное частное ап-1 — 1 сжато. Следуя определению 2 находим
Б С (1/2,1] х [0,1].
£к+1 — 1 ^ £к+1 — —1
(и)
£к — 1 , £к — — 1 .
и учитывая соотношения
°п ап — 1 п — 1 + Оп-2 ДЛЯ п ^ I2,
Q0 = 0,Q1 = 1 для знаменателей подходящих дробей регулярной непрерывной дроби, получаем
Bk-1 Qn-2 Qn Qn-1 лг
vk =------=-------=-------------= 1 — Vn.
k Bk Qn Qn
Лемма доказана. □
Дальше нам понадобится лемма, связывающая область сжатия и подходящие дроби полурегулярной дроби, соответствующей заданной области сжатия.
Лемма 2. Для заданного множества S из ((1/2,1] х [0,1]) П D определим множества А, А-, Д+ соотношениями
А = D \ S, А- = TS, Д+ = А \ А-,
где оператор T задается (2). Пусть (4) — полурегулярная дробь вещественного числа x Е (0,1), полученная из регулярной дроби (1) в результате процесса сжатия. Тогда последовательность [An/Bn}n^1 подходящих дробей, соответствующих полурегулярной дроби и последовательность регулярных подходящих дробей [Pn/Qn}n>1 связаны, следующим, образом,:
1- (Tn,Vn) Е S ^ Pn/Qn Е {Ak/Bk}k^1;
2. Pn/Qn Е {Ak/Bk}k'^1 ^ Pn-1/Qn-1 , Pn+1/Qn+1 Е {Ak/Bk}k^1;
3. (Tn, Vn) Е А+ ^ Pn-1/Qn-1, Pn/Qn Е {Ak/Bk}k^1,
4- (Tn,Vn) Е А ^ Pn-1/Qn-1 Е {Ak/Bk}k^1-
Доказательство. Исходя из определений и (10) отметим, что
S С (1/2,1] х [0,1], А- С [0,1] х (1/2,1], А- П S =
Первое и второе утверждения вытекают из определений 2, 4 и замечаний после этих определений. Утверждения 3 и 4 — результат уже доказанного предложения 1 рассматриваемой леммы и свойств множеств S, А, А-, А+. Лемма □
Теперь мы можем описать алгоритм нахождения полурегулярной дроби для
S.
Пусть x — иррациональное чиело из (0,1). Положим
£1 = 1, Ao = 1,Bo = 0, A1 = 0, B1 = 1, V1 = 0. (12)
Предположим, что для некоторого к ^ 1 найдены величины £i,bi-1,Ai,Bi,vi,ti
для всех i ^ к.
Так как \ік\ = (Ьк + ік+1) 1, то
{
1 + [\1/4\] ^ЛИ£к+1 = -1,
[\1/Ік\] , ЄСЛИ Єк+і = 1.
Условие Єк+1 этом
= — 1 эквивалентно условию (Тп+1,Уп+1) Є Б, где п = п(к), при
п+1
V
п+1
(Ш +Єк щ)
-1
Таким образом,
Ьк = ^ 1 + [\1Дк\] , если
[\1/£к\] , в противном случае
У)
є Б,
Ік+1
— ьк, Єк+і = ^ідп(ік+і),
Ак+1 Ьк Ак + Єк Ак—11
Вк+1 Ьк Вк + Єк Вк—11
Вк
Ук+1
В,
к+1
Из полученных рекуррентных соотношений и из (6) следуют равенства
Ак+1 ■ Вк — Вк+1 ■ Ак = (—1)к+ІЄ1 ■ • • • ■ Єк
т
Ук+1
к=
т
к+1
Єк+іІк+1
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
1 + І-к+І^к+І 1 + Ік+іУк+1
§3. П-дроби
Пусть х — вещественное число из интервала (0,1/2). Рассмотрим решетку
на плоскости
Гх = {(п — х ■ т,т)\п,т Є Ъ}.
Определение 5. Назовем ненулевой узел 7 = (7ь72) решетки Гх локальным, минимумом, если не существует ненулевого узла решетки п = (пъп2) (п = ±7), для которого \щ\ ^ ^ и \п2\ ^ \^2\.
Множество локальных минимумов будем обозначать через М(ГХ). Из тео-
х
что
мсто = {±7(п) = (рп — хЯп,Яп)\ п ^ 0}.
(20)
ь
к
Обобщим эту конструкцию. Пусть П — выпуклая, ограниченная и замкнутая область на плоскости с кусочно-гладкой границей, которая содержит некоторую окрестность точки (0, 0) и симметрична относительно координатных осей. Всюду в статье будем считать, что область П обладает такими свойствами. Рассмотрим афинное преобразование
(Хх ,Х2) М (^ Х1,12Х2) = с(х\, х2)
с положительными вещественными числами и Ь2. Обозначим через с(П) мно-
жество точек с(хх,х2), (хх,х2) Е П.
Определение 6. Ненулевой узел 7 решетки Гх назовем, П-минимумом, если для некоторого преобразования с внутри области с(П) нет ненулевых узлов из Гх.
Множество таких минимумов будем обозначать через Ш(Гх;П). Впервые такая конструкция была предложена Эрмитом [7] в случае круга
П = {(хх,х2) Е И2\х1 + х2 ^ 1}.
Позднее Минковский [8] рассмотрел более общую ситуацию с областью
П = Пд = {(хх,х2) Е 2 \\ х 1 \ ^ + \х2\ ^ 1}, в ^ 1.
Минимумы, связанные с такими областями, будем обозначать через Шд (Гх). Из
определений следуют вложения [9, §2, свойство 4].
Шх(Гх) С Ш(Гх; П) С Ш(Гх). (21)
Определим последовательности целых неотрицательных чисел {Ак}к^о и {Бк}к^о с условием Бк < Вк+1 и точек {М}к^о решетки Гх следующим образом
Ш(Гх; П) = {±М(к)\М(к) = (Ак - хБк,Бк), к ^ 0}. (22)
Определение 7. Для, вещественного числа, х из (0,1/2] дробь (4) назовем П-дробью числа, х, если последовательности подходящих дробей {Ак/Бк}к^1 удовлетворяют соотношению (22).
Для, вещественного числа, х из (1/2,1) дробь (4) назовем, П-дробью, если
[0; 1/(62 + 1),£з/Ъз,...]
П 1 - х.
П- П1 П2,
ответственно диагональными и эллиптическими дробями Минковского.
[ ] П
П
тельно заданной области и описана область А ([9, Лемма 2]). Исходя из этого мы можем определить области Б и А_.
Лемма 3. Пусть функция Ф(хх,х2) = 0 описывает границу области П и
с,
с (П) = {(хх,х2)\ \хх\ ^ 1, \х2 \ ^ 1}.
Обозначим, через (2а0, 0), (а0,Ъ0), (Ъ0,а0), (0, 2а0) точки с условием,
Ф(2ао, 0) = Ф(ао, Ъо) = Ф(Ъо, ао) = Ф(0, 2ао) = 0.
Для, всех а из [0,1] будем рассматривать функцию вп = в(а) со свойствами
Ф(п,у) = 0, для, а0 ^ и ^ Ъ0;
Ф(в,Ъ) = 0, и = 5 • в, Ъ = V ■ а для, Ъ0 ^ 5 ^ 2а0;
Ф(х, у) = 0, х = 5 — и, у = Ъ + V для 0 ^ х ^ а0.
Определим области Б(П) и А-(П) соотношениями
Б(П) = {(Т, V) Е В \Т Е [1/2,1], V Е [0, а(Т)]},
А-(П) = {(Т, V) Е Б\ Т Е [0,1], V Е [в(Т), 1]},
где ап = а (в) — функция, обрат ная к во. = в (а).
Тогда Б = Б(П) и А- = А-(П).
Доказательство. Согласно лемме 2 из работы [9] А = {(ТV) V е
[0,1], Т Е [0,в(V)]}, лемме 3 из той же работы в(V) — непрерывная монотонно возрастающая функция и в(V) Е [1/2,1]. Отсюда следует справедливость теоремы относительно множества Б(П).
А-
П,
ставлению
Ф(и, V) = 0, для а0 ^ и ^ Ъ0;
Ф(в,Ъ) = 0, и = 5 ■ 1+а, Ъ = V ■ для Ъ0 ^ 5 ^ 2а0; (23)
Ф(х, у) = 0, х = 5 — и, у = Ъ + V для 0 ^ х ^ а0.
С этой целью сделаем замену переменных (и^) = ^,и), (в,Ъ) = (Ъ,в), (х,у) =
(у, х) П.
придем к таком представлению:
Ф(и^) = 0, для а0 ^ и ^ Ъ0;
Ф(в,Ъ) = 0, V = Ъ ■ в, 5 = и ■ а для 0 ^ 5 ^ а0;
Ф(х, у) = 0, у = Ъ — V, х = 5 + и для Ъх ^ х ^ 2а0.
Переобозначив (х,у) = (в,Ъ), получим представление (23).
Так как Д- = Т(Б) и преобразование Т — диффеоморфно в Б, то достаточно убедиться в том, что при преобразовании Т границы области Б(П) переходят в границы области Д-(П) :
Последнее равенство получено с учетом представления области П в виде (23). Лемма доказана. □
Следуя определениям множеств Д и Д+ в лемме 2, положим
Замечание 1. Функция в (а) монотонно возрастает на отрезке [0,1] и
в (а) ^ 2^а ^ля всех а из [0,1]-
[]
фы 2 и 3.
Пример 1. На рисунке отображены области Б, Д-, Д+ ДЛЯ ДИЯГОНЭЛЬНЫХ, эллиптических дробей и дробей, соответствующих функции в * = в (Т) = 3: +1 :
Т({(Т, 0)|Т е (1/2, 1)}) = {(Т, 1)|Т 6 (0, 1)},
Т({(1, VЖ' е (0,1)}) = {(0, V)|У е (1/2,1)},
Т({(Т,а(Т ))|Т
) Т е (1/2,1)1
= {(Т,в(Т))|Т е (0,1)}.
Д(П) = Д, Д+(П) = Д+-
>
0,5
о
о
0,5 “р
Здесь символами I, II, III обозначены линии
{(Т,в(П Т е [0,1]}, {(Т,а(Т)| Т е [1/2,1]}
соответственно диагональных, эллиптических дробей и дробей, соответствующих функции в*-
Напомним, что область П = П для диагональной дроби — внутренность ромба с вершинами в точках (-1, 0), (0,1), (1, 0), (0, — 1), а область П = П2 для эллиптической дроби — круг единичного радиуса с центром в точке (0,0). Вычислим функции впх (Т), вп2 (Т), используя лемму 3:
1 2Т + 1
в«1 (Т) = 2—Т, вп2 (Т) = Т+Т -
Следовательно,
{(ТV) ^ К2| Т е [0,1]}, V е [21:, 1]} для диагональных дробей,
д — — I э у ) I -1- -1-JJ э у \-2-T
Д | {(Т V) е т?2| т е [0 1]} V е [2Т +1
{(Т^^ К | Т е [0,1]}, V е [22++т1, 1]} Для эллиптических дробей.
П
Основное свойство метрической теории чисел — эргодичность преобразования Гаусса, при помощи которого образуется регулярная непрерывная дробь.
П
для данного класса дробей и сравним ее с эргодической системой для регулярных непрерывных дробей.
Для дальнейшего изложения приведем некоторые факты из эргодической теории. Более подробную информацию можно найти, например, в работе [10].
Основным понятием для нас будут — множество X с некоторой фиксированной сигма-алгеброй его подмножеств и вероятностной мерой ц, определенной на X, измеримое, обратимое, сохраняющее меру преобразование 3, действующее из X в X. Множество А из Вх инвариантно относительно преобразования 3 в том и только в том случае, когда 3—1А = А. Это озтачает, что х принадлежит А в том и только в том случае, если 3х принадлежит А. Преобразование 3 эрго-
А,
риантное относительно 3, удовлетворяет эргодическому свойству ^(А) е {0,1}. Соответствующая система (X, Вх, 3) называется эргодической.
Приведем следствие из эргодической теоремы Биркгофа. Пусть 3 — сохраняющее меру преобразование множества X и пусть А — измеримое подмножество из X. Тогда среднее время пребывания в А для почти всех траекторий пропорционально ц(А), то есть
^ П— 1
Пт хл(3кх) = МА)
к=0
для почти всех х, ще ха обозначает характеристическую функцию на А.
Для фиксированной области П определим множества У,У+,У-, принадлежащие множеству В, следующим образом
У = У(П) = У+(П) и У-(П), У+ = У+(П) = Д+(П), У- = У-(П) = Г(Д-(П)),
(24)
ГД6
Г(М)= ( - ^ 1 - (25)
На множестве У рассмотрим аналог преобразования Т го (2) — оператор 3 для П-
Т(і,у), если (і, у) Є Д+,Т(і,у) Є Д+,
3(іу)) Г о Т2(і,у), еслп(і,у) Є Д+, %(і,у) Є Б, , ,
) ' Т о Г-1 (і,у), если (і, у) Є У-, Т о Г-1(і,у) Є Д+,
Г о Т2 о Г-1(і, V), если (і, у) Є У-, Т о Г-1(і, у) Є Б.
Лемма 4. Множества 3(У) и У совпадают.
Доказательство. Вложение 3(У) ^ У следует из определения (26).
Обратно, пусть (Ь,ь) — точка множества У, не принадлежащая множеству 3(У). Есл и (Ь,ь) е У+, то для некоторого вещественного числа х числа £ и V соответствуют паре Тп(х), Уп(х), определяемой формулой (9): (Ь,ь) = (Тп(х),Уп(х)), где п — 1 — длина регулярной непрерывной дробп числа V.
Используя определение преобразования 3, получаем, что если (Тп—1, Vn—1) е Д+ и Д—, то 3(Тп—1,^п—1) = (Тп, К). Поэтому (Tn—l,Vn—l) е Б. Тогда (Тп, Vn) е Т(Б) = Д—, что противоречит иредположению (Тп^^^ е У+. Следовательно (^^ е У—.
Как и раньше, числам £ и V соответствуют элементы последовательностей {Тк(х)}, {Vk(х)} некоторого вещественного числа х : Г—1(1^) = (Тп, Vn), где п —
1 —длина регулярной непрерывной дроби числа 1+V. Из равенства следует, что (Tn—1,Vn—1) е Б. Учитывая, что при (1^^^^) е Д+ и Д— точка (£^) лежит во множестве 3(У), получаем (Тп—2, Vn—2) е Б. А это влечет за собой вложение (Tn—1,Vn—1) е Д—. Полученное противоречие показывает, что множество У \ 3(У) пусто. Лемма доказана. □
При фиксированном иррациональном числе х из (0,1) определим множество значений
У(х) = {у еЩ(х,у) е У}. (27)
Легко показать, что
3п(х, 0) = (£п+1(х)^п+1 (х)), п ^ 1, (28)
где последовательности {1п(х)}п^1, ^п(х)}п^ь определенные соотношениями
(8), соответствуют П— дроби числа х. Далее вычислим 3п(х,у) для у е У(х).
Пусть
X = [0; £1(ж)/&1(ж),£2(ж)/&2(ж), ...],
У = [0; £1(У)/Ь1(У),£2(У)/Ь2(У),..]
— представления чисел X и у в гаде П— дробей.
Если у — рациональное число, то П— дробь этого числа конечна.
Из условия (х,у) Е У следует, что найдется вещественное число г, для которого (1т+1(г),ьт+1(г)) = (х, у), где т — дай на П— дроби числа у. Это приводит к результату
г = [0; 1/Ьт (у),£т(у)/Ьт-1(у),..., ^Ы/Ыу), £1 (х)/Ь^х), £2(х)/Ь2(х), ...]. Используя соотношение (28), вычислим Зп(х,у) = (£п+т+1 (г),уп+т+1(г)). Тогда
(х, 0) (х, у) (^п+1 (х) ) уп+1 (х)) (^п+т+1(г ),^п+т+1(г))
= (0,^+1 (х) — Уп+т+1(г)).
На основании итерационных формул (15) и (16) представим
Ь1(х) • А + £2(х) • А
Уп+1(х) =
уп+т+1(г) —
Ь1(х) • В + £2(х) • В'7 (Ь(х) + у) • А + £2(х) • А' (Ь(х) + у) • В + £2(х) • В':
где А/В и А'/В' — соседние подходящие дроби с номерами п и п — 1 П—дроби числа ьп+1(х). Учитывая равенства (17) и (18) и тот факт, что последовательности {Вг}г^1 образует подпоследовательность последовательности }г^1 —
х,
Пт(^п(х, 0) — Т(х,у))= Пт (0,---------. ±У +----—^ = (0,0), (29)
п^ж п^ж \ Вп+1(Вп+1 + У • В))
В
[0; 1 £п(х) £з(х)]
^ ; Ьп(х) ’ Ьп—1 (х) ’... ’ Ь2(х^.
В случае иррационального числа у, представим его в виде
У = Пт Ат/Вт,
где Ат/Вт — подходящая дробь П—дроби этого числа с номером т. Далее, повторяя вышеизложенные рассуждения для ут = Ат/Вт, получаем формулу (29).
Теорема 1. Пусть Вп — семейство множеств Бореля на У. Определим, на любом, множестве Бореля, А из Вп функцию цп равенством
Цп(А)
где
1/У* дТдУ
Ф(П) = log2 —
Ф(П)7/ (1 + ТУ)2'
А
1 вп(Т)
дТвУ Г Г дУвТ
77 (1 + ту)2 7 7 (1 + ту)2
5(П) 0 0
и функция вП(Т) определена, в формулировке леммы 3.
Тогда систем,а, (У, Вп,^п,5) формирует эргодическую систему.
Доказательство. По определению цп(У) = 1. Дальше необходимо показать, что оператор 3 обратим и сохраняет меру. Обратимость следует из леммы
4 и из того, что 3 есть композиция биективных отображений Т, Г из (2) и (25). Для доказательства того, что 3 сохраняет меру, следует убедиться в том, что для любого множества Бореля А из Вп
^п(3 1(А)) = Цп(А).
Разделим множество А на два неиересекающихся подмножества А+ С Д+ и А- С У-, и положим
В+ = 3-1 (А+) П Д+, В- = 3-1(А+) \ В+,
С+ = 3-1(А-) П Д+, С- = 3-1(А-) \ С+.
Тогда
В+ и В- = 3-1(А+), С+ и С- = 3-1(А-)
и
3-1(А) = В+ и С+ и В- и С-.
Поскольку отображение 3 биективно, то множества В+ и С+ не пересекаются.
В- С- .
женное разбиение множеств А, 3-1(А) и определение функции цп, вычислим
Ф(П) • /іп(А) =
= Ф(П) • (^П(^ (В+)) + Цп^ (С+) ) + ^п(^ (В-)) + ^п ^ (С-))) =
[ [ dxdy [ [ dxdy [ [ dxdy [ [ dxdy . ,
+ П , ^Л2 + П , „„Л2 + П , ^Л2 . (30)
7 7 (1 + xy)2 7 7 (1 + xy)2 7 7 (1 + xy)2 7 7 (1 + xy)2
3(В+) 3(С+) 3(в-) 3(с-)
Из (26) следует равенство 3(В+) = Т(В+), поэтому, полагая для п Є N
В+(п) = ^(і,ь) Є В+ 1 =
и учитывая, что множества Т(В+(п)) и Т(В+ (т)) те пересекаются при п = т, а отображение Т на миожестве В+(п) диффеоморфно, получаем
3(в+)
dxdy (1 + xy)2
Е
п=1
dxdy (1 + xy)2
Е
п=1
dtdv
В+(п)
(1 + х^^^^У2
Т(В+(п))
х I(Т,п) =
dtdv
в+ (п)
где I(Т,п) — Якобиан преобразования Т, равный ^(„+^2 ■
Вычислим второй интеграл в соотношении (30), используя равенство
3(с+ ) = г о Т2(С+)
из (26). Повторим предыдущие рассуждения относительно системы множеств
|(^'
С+(п) = {(^) Є С+
'1
t
п
,
при этом учтем, что множества Г о Т2(С+(п)) и Г о %2(С+(ш)) не пересекаются при п = ш, а отображение Г о Т2 на множестве С+(п) диффеоморфно:
[ [ йхйу [ [ йхйу [ [ йхйу
3(с+)
(1 + ху)2
Е
п=1
Е
п=1
Р оТ2(С+(п))
dtdv
С+(п)
(1 + x(t,v)y(t,v))
(1 + xy)2
X I(Г)
Е
п=1
Р (С+(п))
/У dtdv
(1 + ху)2
С+
(1 +
где I(Г) — Якобиан преобразования Г, равный (1+_і)2.
В третьем интеграле в выражении (30) оператор 3 имеет вид То Г-1. Проводя аналогичные рассуждения, находим, что
dxdy
dtdv
7 7 (1 + xy)2 7 7 (1 + Х^^)у^^))2
3(В-) Т(В-)
ОО Л Л -1-І ОО Л Л
ЕІ I dxdy ч л I
І I (1 + Гу)2 Г I
х I(Г-1)
dxdy
Т(В-)
Г dxdy
dxdy (1 + ху)2
п_^ 7 (1+ хУ)2 3 (1+ хУ)2 77 (1 + хУ)2'
Т(В-(п)) В-(п) В-
где I(Г -1) ^ Якобиан преобразования Г 1, В-(п)= < ^^) Є В-
(
п
.
Таким же образом вычисляем четвертый интеграл в выражении (30), учитывая (26):
Г Г йхйу [ Г йхйу Г Г йхйу [ [ д^хйу
Е
11 (1 + ху)2 7 7 (1 + ху)2 7 7(1 + ху)2 7 (1 + ху)2
2(0-) РоТ2оР-1(С-) РоТ2(С-) РоТ2(С-(и))
ОС П п 7 7 СО
I I йхйу [ [ д.хйу ГГ йхйу
и=] 7 (1 + ху)2 и=] 7 (1 + ху)2 77 (1 + ху)2 ■
и=1 Р(С-(и)) С-(и) С-
Здесь В-(п) = < (Ь,ь) Е В-
—п
Итак, подставляя полученные равенства в (30), получаем
^п(А) = М3-1(А))-
Откуда следует, что оператор 2 сохраняет меру.
Осталось доказать условие эргодичности: для всякого инвариантного множества А из Вп цп(А) Е {0,1}- Иначе говоря, если А Е Вп и 2-(А) = А, то цп(А) Е {0,1}- Как и в предыдущем случае разобьем А и 2-(А) на непересека-ющиеся подмножества:
2-(А) = 2-(А+) и 2-(А-) = В+ и В- и С+ и О-
Определим множества А, В, С равенствами
А = Г-1 (А-), В = Г-1(В-), С = Г-1(С-)-
Из построения следует, что
А, В, С Е А-, Т-1А)> Т-1 (В), Т-1(С) Е Б-Поскольку 2-(А) = А, то А+ = В+ и С+ = Т(В+ и В) и А = В и С = %2(С+ и С)-Обозначив А' = Т(С+ и С), вычислим Т-1(А+ и А и А') = Т-1(А+) и Т-1(А) и Т-1(А') =
= Т-1(Т(В+ и в)) и Т-1(Т2(С+ и С)) и Т-1(Т(С+ и С)) =
= в+ и в и %(С+ и с) и с+ и с =
= А+ и А и АТо есть ц(А+ и А и А') Е {0,1}- Если мера множества равна нулю, то нетрудно
видеть, что ^п(А) = 0- Таким образом
Г Г dxdx ГГ в^хв^х ГГ в^хв^х ГГ dxdx
^2 = ................... 2 = ........... 2 + .......... 2 +
(1 + ху)2 7/ (1 + ху)2 7/ (1 + ху)2 7/ (1 + ху)2
Л+иАиЛ' Л+ А Л'
и А+ С А+, А С А-, А' Е Б- Поэтому А+ = У+, А- = Г (А) = Г (А-) = У-- Учитывая равенство цп(У) = 1, получаем справедливость условия эргодичности. Теорема доказана. □
Следствие 1. Для почти всех х из [0,1) последовательность
{Ьк {х),Уи (х) } к>1 распределена на У с функцией плотности р(Ь,у;П), равной
11
Ф(П) (1 + Ьу)2'
Доказательство. Поступим следующим образом. Обозначим через Е — множество чисел х из (0,1), для которых последовательность {(Ьк(х), ук(х))}к'^1 не распределена с функцией плотности р. Из соотношения (29) и определения (27) множества У (х) следует, что для каждой пары чисел (х, у) из множества Бореля {(х,у) Е УI х Е Е,у Е У(х)} последовательность {^п(х,у)}п^1 не рас-
р,
теореме. □
Пример 2. Построим эргодические системы для диагональных, эллиптических дробей и дробей, соответствующих функции в*, заданной в примере 1. Используя этот пример, вычислим
ад
« 0.54036
±( к^5 - аг^апЗ + П) « 0.572895
для диагональных дробей, для эллиптических дробей для П — дробей, соответствующих в*,
У
-0,5
о
0,5
Символами I, II, III обозначены границы областей соответственно для диагональных, эллиптических дробей и дробей, соответствующих функции в *
— в последующих примерах мы будем придерживаться этих обозначений.
В результате мы получили
У_
{(Ь,у) Е К2| Т Е [-1/2, 0]}, V Е [0,]} для диагональных дробей, {(Ь,у) Е К | T Е [-1/2, 0]}, V Е [0,1+^]} Для эллиптических дробей,
{(Ь,у) Е К2| T Е [-1/2, 0]}, V Е [0,1+2г]} для ДР°бей, соответствующих функции в*
?5. Распределение последовательности [Тк}к>1
Для последовательности {Тк(х)}к^, определенной формулой 6, рассмотрим функцию распределения
Рк(г; П) = — • #{т Е [1, к] | Тт(х) < г} при 0 ^ г ^ 1 к
равномерно распределенного числа х. Нас будет интересовать предельное поведение после- довательности Гк(г; П) в смысле сходимости в основном.
Используя зависимость величин Тк_1(х), Тк (х) от Ьк (х) и ук (х), отраженную в равенствах (19), определим операторы Ф+ : У+ м Ф+(У+), Ф_ : У_ м Ф_(У_) иФ: У м Ф(У) соотношениями
(^1,^2) = Ф+(М) (^1,^2) = Ф_(Ь, у)
(^1,^2) = Ф(Ь,у)
1 + Ьу 1 + Ьу у —Ь
1 + Ьу 1 + Ьу /
Ф+(Ь, у), если Ь ^ 0 Ф_(Ь, у), если Ь < 0.
(31)
(32)
Определим функции /1 (Ь), /2(Ь), /з(Ь) на отрезке [0,1] равенствами
Ь
/1(Ь) =
1 + Ьв (Ь)
/2(*) = , /з(ь) =(1 - в^+Ь). (зз)
1 + Ьв(Ь)'
1 + Ьв(Ь)
С помощью замечания 1 легко получить, что на отрезке [0,1] /1(Ь) — монотонно возрастающая функция, /2(Ь) — функция, выпуклая вверх, имеющая только одну точку экстремума, /3(Ь) — монотонно убывающая функция.
Из диффеоморфности отображений Ф+, Ф_ следует, что граница области Ф_(У_) — замкнутое объединение отрезков 11, 12, соединяющих соответственно точки (0,0), (0,1/2) и (0, 0), (1/2, 0) и лини и 13, заданной параметрически:
1з = ^(^1,^2) Е 1^
^1 = /з(Ь), ^2 = /1 (Ь), Ь Е [0,1]
,
(34)
у
а область Ф+(У+) ограничена отрезками 11, /2 и линиями /4,/5 :
/4 = |(^ь^2) € В2 тг = /г(г), т2 = /2^), Ь € [0,1] |, (35)
/5 = {(^1,^2)| (т2,тг) € /4}- (36)
Из ограничения на функцию в, указанном в замечании 1, следует неравенство Л(Ь) ^ 1/2 для всех Ь из [0,1], и вложение Ф_(У_) С Ф+(У+). А из неравенства Валена [11] 0га_г + 0П ^ 1 следует, что область Ф+(У+) лежит внутри треугольника с вершинами (0, 0), (0,1), (1, 0). Здесь 0га_ъ 0п — элементы последовательности, определенной в (3).
Поскольку последовательность {Ьк(х),ьк(ж)}к>г распределена на множестве У с функцией плотности р(Ь,у; П), определенной в следствии 1, то для последовательности {Тк_г(ж), Тк(х)}к>1, равной {Ф(Ьк(х),ьк(х))}к>г плотность, сосредоточенная в Ф(У), состоит из суммы двух величин
1+ ____________1___________ 1_ ХФ-(У-)(тг,т2)
Ф(П) (1 + 1(т1,т2)у(тг,т2))2, Ф(П) (1 + Ь(ть т2)ь(тг, т2))2 ’
где 1+,1_ — якобианы преобразований Ф+ и Ф_, равные
(1 + V! - 4тг^2)2 (1 - У1 + 4тг^2)2
п-
4т‘2т'2^/1 — 4т1 т2 4т"2 т%л] 1 + 4тгт2
Производя необходимые вычисления, получаем, что плотность распределения последовательности {Тк_г(х), Тк(х)}к>г равна
и т 1 (ХЪ+(У+)(т1 ,т2) ХЪ-(У-)(т1,т2)\ , ,
/(“”'“’'2;П) = ¥м1 уг—+ ./тттт; )- (37)
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 2. Для почти всех х последователь»ость {Тк_1(х), Тк(х)}к^1 имеет предельное распределение
Иш Т#{ш € [1, к]1 Тт_1(х) < Тт(х) < %2} = /(т1, ^2; П)^^2^т1
к^<х к
0 0
при г1,г2 € (0,1).
Следствие 2. Нетрудно видеть, что для точек (г1,г2) € Ф_(У_)
2122
JJ / (т1,т2;0)д1т2д1т1 =
о о
Ф(П) (/!°^1 + У1 + ^1+4^^ — У1 — 4^1^^ ,
Ф(П) V V1 ^1 + 4*1*2) )
а для точек (г1,г2) € Ф+(У+)
2122
/Г п п\л л 1 / ^1, если Х1 ^ 1/2,
// /(Щ-Ш2; = Ф(П) ' \ г2, если г, < 1/2-
00
Пример 3. На рисунках построены области Ф+(У+), Ф_(У_) для диагональных, эллиптических дробей и дробей, соответствующих функции в * -
Области Ф+(У+), Ф_ (У_) для диагональных дробей, эллиптических дробей,
в*
сти — Ф_(У_), области, заполненные точками — Ф+(У+) для соответствующих дробей. Используя формулы (33)-(36), получим, что области Ф_(У_) ограничены линиями /1 = {А(0, 0) + (1 — А)(0,1/2) | Л € [0,1]}, /2 = {(т1, т2)|(т2, т1) € /1},
'{(т, —1/2 + т + д/1 — 2т)| т € [0,1/2]} для диагональных дробей, {(т, _то+^1_3^2)| т € [0,1/2]} для эллиптических дробей,
{(т, 1/2 — т)| т € [0,1/2]} для дробей, соответствующих
в*,
I
3
и границы областей Ф+(У+) — объединение линий /1,/2,/4,/5, где
'{(т, 1/2)| т € [0,1/2]} для диагональных дробей,
/ = {(т, т+л/12_3т-)| т € [0,1/2]} для эллиптических дробей,
{(т, —1/2 + V—4т2 + 2т + 1)| т € [0,1/2]} для дробей, соответствую-
в* ,
/5 = {(т1,т2)Кт2,т1) € /4}-
Замечание 1. Свойства функции в (Ь), перечисленные в замечании 1, позволяют сказать, что
1. для в = в * при вс ех Ь из отрез ка, [0,1] выполняется тождество /1(Ь) + /з(Ь) = 1/2;
2. для, в Ф в * уравнен ие /1 (Ь) + /3(Ь) = г на отрез ке [0,1]
— не разрешимо при г € [0,1/2) и (г1,1],
— имеет два, решения при г € [1/2, г1) — меньшее из этих решений
обозначим, через через Ь_ = Ь_ (г),
— имеет только одно реш,ение при г = г1, где г1 = шах*€[о,1](/1(Ь) + /з^));
3. уравнение /1(Ь) + /2(Ь) = г на отрез ке [0,1]
— не имеет решения при г € [0,1/2),
— имеет только одно решение при г € [1/2,1] — обозначим, это решение
через Ь+ = Ь+(г).
Здесь используются функции /1(Ь),/2(Ь),/3(Ь), определенные в соотношениях (33).
Следствие 3. При данных обозначениях; определим величины т_ = т_(г) = /l(t_(г)), в+ = в+(г) = в(Ь+(г))-
Тогда для почти всех х последовательность {Тк_1(ж) + Тк(х)}^ распределена на [0,1] с функцией плотности р1(г;П), равной
д1(г;П), если г € [0,1/2],
д2(г;П) + д3(г;П), если г € (1/2, г1), д3(г;П), если с € [г1,1],
где функции д1(г; П),д2(г; П),д3(г; П) на отрезке [0,1] задаются равенствам,и
I г-л 1/^ 1 + г . г
д1 (г; П) = --------+ агевт —
1—г
1 . г — 2т_
Ф(П) V2 1 — г л/1 +
)
д2(г; П) ^ агсвт
Ф(П) у/1 + г2 ’
( П) 1 1 (1+ в+)(1 — Ь+)
д3( ; ) 2Ф(П) §(1 — в+)(1 + Ь+)
с величиной Ф(П), определенной в формулировке теорем,ы, 1. Доказательство. По определению
Р1 (г; П) = / /(т1,т2;П)[т + т = г]^^1,
где функция /(т1,т2; П) задается формулой (37). Здесь и далее запись [А] означает 1, если утверждение А истинно, и 0 в противном случае.
Первообразные для функций (1 — 4т1(г — т1))_1/2, (1 + 4т1(г — т1))_1/2 соответственно равны
1+ (ть г) = 2 ^(2и>1 — г + ^1 — 4т(г — т)) — 11og(1 — г2),
1_(т1, г) = - агевт ( . 1 ^ .
1 } 2 Vv/гтг2)
Воспользуемся замечанием 2 и рассмотрим три случая: г € [0,1/2], г € (1/2, г1), с € [гь 1].
В первом случае
( П) Мг,г) — /+(0,г) + 1_(г,г) — 1_(0,г) ( П)
Р1(г;П) =-----------------ф(П)------------------= д1(г;П)-
2
г
Таким образом, при г Е [0,1/2] утверждение леммы правильно. Во втором случае заметим, что области Ф+(У+) и Ф_(У_) симметричны относительно прямой {('ш,'ш)\ ,ш Е К} — следствие соотношений (23), (34)-(36). Поэтому
рх(г ;П)
1+(г — т+, г) — 1+(,ш+, г) + 1_(г — т_, г) — 1_(,ш_, г) = #2(г;^) + 9з(г;^),
где ■ю+ = w+(г) = /1(Ь+). И наконец, при г Е [г1, 1] получаем , 1+(г — ™+,г) — 1+(ш+,г) ( ™
Р1(г; ^ =-----------------фщ----------= дз(г; ^)-
Следствие доказано. □
Таким же образом доказывается
Следствие 4. Обозначим, через г2 (г2 ^ 1/2) значение параметра г, при котором, уравнение в(Ь) = 1+* имеет только одно решение относительно переменной Ь на, отрезке [0,1]. Тогда почти для всех х последовательность {\Тк_1(ж) — Тк(х)}^ распределена, на, [0, г2] с функцией плотности р2(г;П), равной
1п^ У4/1 ((-)/з((-)+1+М(-)+/з(*-) + ЯГГО;п М(+ )+/2((+) аГрП;п 2
1о§ 1+2 + агсвт ^1+^2 агсвт ,
гЕ [0,1/2],
Ф(ГС)
агс8!п /!(М++/2(М — агсв1п •
если г Е (1/2, г2],
где величины Ь_,Ь+ ,Ь1,Ь2 определяются из условий: Ь_,Ь+ — соответственно решения уравнений в(Ь) = 1+1_+2) и в (Ь) = (+2 на отрез ке [0,1] при фиксированном г Е [0,1/2], Ь1,Ь2 (Ь1 ^ Ь2) — решения уравнения, в(Ь) = -*+2. на отрезке [0,1] при фиксированном г из (1/2, г2].
Перейдем теперь к изложению доказательства основной теоремы о распределении последовательности {Тк(х)}к^1.
Теорема 3. Определим величину
в (Ь)
гтах (^) — ШаХ
*€[0,1] 1 + Ьв (Ь)
Тогда Тк Е [0, г^У] для каждого к ^ 1 и для почти всех х последовательность {Тк(х)}^ распределена, на, [0, гтах] с функцией плотности р3(г;П), равной
{
1, если г Е [0,1/2],
Ф(П) \ г • — в(^) , если г Е (1/2,гтах\,
где Ь1 = Ь1 (г),Ь2 = Ь2(г) — решения уравнения г = относительно пере-
менной Ь из отрез ка, [0,1] с услови ем Ь1 ^ Ь2 и
1
{г'
Е(г; О) = Пш Ек(г; О) =
к—>-оо
ф(«) 2 + Л.% (■
г Е [0,1/2];
' 1/2 \в(Мг'))
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выразим р3(г;О) через функцию плотности распределения последовательности {Тк_1 (х), Тк(х)}к>1 из (37):
1
Рз(г ;О) =
Ф(О)
— и получим выражение для р3(г; О), представленное в формулировке теоремы. Теперь вычислим предельное распределение последовательности {Тк(х)}к^1 :
Нш Ек (г; О) = р3(г' ;О)dг'
к
Теорема доказана. □
Пример 4. На рисунке изображен график функции Е(г; О) для диагональных, эллиптических дробей и дробей, соответствующих функции в * ■
г
Для вычисления предельного распределения последовательности {Тк(х)}к^1 согласно теореме 3 определим
1/2, для диегоннльных дробей;
гтах = < 1/\/3, для эллиптических дробей;
У5_1
2
для дробей, соответствующих функции в*,
рэ(г;П) =
1, z £ [0,1/2],
^1 3(2 для эллиптических дробей и
для дробей, соответствующих функции в*
и л-Е?:_______ ................,.....• z £ iiAm,].
Тогда F (z; П) = .если z £ [0,1/2] и в случ ае z £ [1/2, zmax]
F (z;fi) = 1
Ф(П)
' V1 — 3z2 + log 1+Ji_3z2 Для эллиптических дробей и
у/1 — z — z2 — 2 arcsin ‘2z+1+
+ 2 arcsin ^25+
+ log (1+^1_z_z5Z(zZz+i+^1_z_z2) ,Д’ЛЯ ДР°бей, соответствующих функции в *.
Из теоремы 3 сразу следует
х
max
л» п л тк <х)=. (1 + / .2( —4
к=1 1/2
Доказательство. Мы показали, что последовательность {Тк(х)}к^1 имеет предельное распределение Е(г; О). Поэтому предел последовательности
{П Е Тк<х)}
I П к=1 > П>1
существует и равен /0 гdЕ (г; О) — [12]. Замечание до казано. □
Для диагональных дробей эта величина равна 1/4 = 0.25, для эллиптических дробей — 6^о§ 3 ~ 0.275165, для дробей, соответствующих функции в * —
2( 16 — 8 — I агсзт ^75)/(log5 — аг^ап 3 + |) ~ 0.287626.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Н. Nakada Metrical theory for a Class of Continued Fractions Transformations and Their Natural Extensions Tokyo J. Math., 1981, V. 4, Стр. 399-426
[2] P. Levy Sur le loide probabilite dont dependent les quotients complets wet incompletes d‘une fraction continue Bull. Soc. Math, de France,1929, №57, Стр. 178-194
1
[3] W Doeblin Remarques sur la theorie metrique des fractions continues Comp. Math., 1940, №7, Стр. 353-371
[4] D.E. Knuth The distribution of continued fraction approximations J/ Number Theory, 1984, №19, Стр. 443-448
[5] W Bosma, H. Jager, F. Wiedijk Some metrical observations on the approximation by continued fractions Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math., 1983, V. 45 №3, Стр. 281-299
[6] К. Dajani, С. Kraaikamp Ergotic Theory of Numbers, 2002, Carus Mathematical Monographs, 29. Mathematical Association of America, Washington, DC
[7] CH. Hermite Sur L’introduction des variables continues dans la theorie des nombres Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1861, V. 41
[8] H. Minkowski Zur Theorie der Kettenbruche Annales de PEcole Normale Superieure, 1894, V.13. №3, Стр. 41-60
[9] О.А. Горкуша О конечных цепных дробях специального вида Чебышев-ский сборник, 2008, V. 9, №1(25), Стр. 80-108
[10] К. Petersen Ergotic Theory, 1983, Cambridge University Press. Cambridge
[11] K.Th. Vahlen [Zber die raschesten Kettenbruchentwicklungen reeller Zahlen Monatsh. Math. Phys., 1913, №24, Стр. 221-233
[12] P.D.T.A. Elliott Probabilistic Number Theory I, 1979, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin
Хабаровске отделение Института прикладной математики ДВО РАН
Получено 01.06.2012
