Некоторые краевые задачи, нелокальные по временной переменной, для уравнения четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

% если это блок операторов, то % анализируем вложенные операторы

% если это оператор присваивания, то % проверяем отсутствие исходящих дуг потоковой зависимости % заменяем на пустой оператор % удаляем все входящие дуги потоковой зависи-

unuseful_stat(bl(S)) :-run_proc_for_list(S).

unuseful_stat(R) :-R = let(_,_), not(arc_in_out(R,_)),!,

replace(R,null), repeat,

мости

not(retract(arc_in_out(_,R))). unuseful_stat(_).

Литература

Касьянов В.Н., Евстигнеев В.А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. СПб., 2003.

Крицкий С.П. // Компьютерное моделирование. Вычислительные технологии. Ростов н/Д, 2003. С. 67-90.

PereiraF., Warren D. // Artificial Intelligence. 1980. Vol. 13. P. 231-278. Стерлинг Л., Шапиро Э. Искусство программирования на языке Пролог. М., 1990. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М., 2005. The Arity/Prolog Language reference manual. Concord, 1988. Касьянов В.Н. Оптимизирующие преобразования программ. М., 1988.

Ростовский государственный университет

14 октября 2005 г.

УДК 519.673

НЕКОТОРЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПО ВРЕМЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

© 2006 г.

А.А. Керефов , Е.В. Плотникова

In the article by using differential and constructional behaviors of Riemann function for the forth-order equation one-valued solvability in non-local series by time variable in boundary problem are established.

Рассмотрим прямоугольник D = {(x, t): 0< x< I, 0< t< T}; D - замыкание области D; обозначим через Cm,n (D) множество функций u(x, t), определенных и непрерывных в D вместе со своими частными производ-

dku

ными вида-, где i = 0, 1, ... m; j = 0, 1, ... n; k = i + j.

dx'dtJ

Множество Cm,n (D) с нормой

m+n

и = У max max

11 "m-n k=0 \0i4m] (x,t)eD •¡0<j<n [i+j=k

дки

dX dtj

является банаховым пространством. Поскольку этот факт в дальнейшем не используем, то доказательство его опускаем.

Рассмотрим в области D уравнение четвертого порядка

Lu = Uxxtt - Autt + Vuxxt + YUxx = fx, t). (1)

Определение 1. Регулярным решением уравнения (1) в замкнутой области D называется функция u(x, t) е C2,2 (D), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в уравнение, и обращающая уравнение (1) в тождество.

Для уравнения (1) рассмотрим следующую характеристическую задачу: найти регулярное в области D решение, удовлетворяющее начальным и граничным условиям

u(X, 0) = 0, (x), Ut (x, 0) = 0 (x),

(2)

u(0, t) = go(0, Ux (0, t) = g(t),

причем

00(0) = g0(0), g(0) = 00(0), g0(0) = 0(0), g'(0) = 0(0), где!,ц,у-const; 0 (x), 0 (x) е C2 [0, £]; g0 (t), g(t) е C2 [0, T]; f (x, t) е C(D).

Задачу нахождения решения u(x, t) уравнения (1), удовлетворяющего условиям (2), следуя [1], будем называть задачей Гурса.

Теорема 1. Задача (1), (2) в классе C 2,2(D) всегда имеет единственное решение.

Доказательство. Доказательство существования и единственности решения задачи (1), (2) проведем с помощью метода функции Римана [1]. Предположим, что существует решение u(x, t) е C2,2 (D) задачи (1), (2). Сопряженным по Лагранжу для оператора Lu будет оператор

L*v = Vxxtt - Avtt + VVxxt + YVxx. В силу тождеств

VLu =dx [[ +MVuxt +Yvux ]-] [xVx +Mvxux ]-

-Yvxux + vxtuxt +Mvxtux -!vutt, д д uL*V = dx [xtt - ^uVxt + YuVx ] - dt \-uxVxt + !uvt ] +

+Mvxtux -Yuxvx +!utvt + uxtvxt, V(x t) е C2,2(D)

следует справедливость равенства

» д

уЬи - иЬ*у =—[ [ + /и* + ушх - + -ушх ] -дх

д (3)

[х + /хих -иХУХ(+ Лщ]•

Введем в рассмотрение функцию Римана у(х, т), которая однозначно определяется требованиями [1]

Ь*у = 0, (4)

на характеристиках £ = х, т = t, у(х, х, т) удовлетворяет условиям

у(х, t; х, т) = 0, у£(х, t; х, т) = ю1(т; х, t), у(х, t; £ t) = 0, ут(х, Г, £ t) = ю2(£ х, 0, (5)

где ю1(т; х, t), ю2(£ х, () являются решениями следующих задач Коши соответственно:

Ут (х, ?; х, т) - / (х, ?; х, т) + уу. (х, ?; х, т) = 0,

(6)

V* (х, ?; х, ^ = 0, у* (х, ?; х, г) = 1,0 < т < ?; у** (х, *; *) - Лут (х, t) = 0,

(7)

Ут(х,I;х,*) = 0, Ут(х,х,I) = 1, 0<*<х; (£ т) - произвольная фиксированная точка области Б. Задачи (6), (7) однозначно разрешимы в Сх (Б) [1].

Проинтегрировав (3) по области О = {(£ т): 0< х, 0< т< t} и используя формулу Грина, непосредственно находим

х

Ц(уЬи -и£у)й*йт = У*и*т + -и*у*т - Лиут +Литу) й* +

О 0 т=0

+ 0 (уи*тт + //уи*т +ууи* - иу*тт + -уиу*)* ёт-

х

-1 (у*и*т + /и* - и*У*т - ЛЫУт + ЛЫтУ)\ й* -0

-|(уи*тт+ /уи*т+ууи* -иу*тт+/иу*т-уиу*))*=0ёт.

Вычисляя криволинейные интегралы с учетом (2), (4)-(7), получим представление решения характеристической задачи Гурса (1), (2): и( х, t) = go(t )ух1 (х, ^0, t) +

+Ду( х, t; 0, т) g "(т) + /у( х, t; 0, т) g '(т) + уу( х, t; 0, т) g (т) -0

-g0 (т) {у*тт (х, t; 0, т) - /у*т (х, V; 0, т) + уу* (х, t; 0, т)}J йт-

-¡[ri (£)v# (X, t; £ 0) + (X, t; #,0)0 (£) -

0

(X, t; £ 0)0 (£) - (X, t; £0)^ (£) + (8)

+20 (£)v( x, t; £ 0)] d£ + J } v/ (£ т) d£T.

00

Из вывода выражения (8) можно утверждать, что определяемая им функция u(x, t) при известной функции /(х, t) e C(D) есть решение задачи (1), (2) в классе C2,2 (D).

Докажем теперь методом от противного единственность решения. Пусть существует еще одно решение w(x, t) задачи (1), (2), т.е.

Lw = Wxxtt - ЛWtt + И-Wxxt + YWxx = /х, t),

w(x, 0) = ф0(х), Wt(x, 0) = ф1(х), w(0, t) = gc(t), Wx(0, X) = g(t). Рассмотрим разность z(x, t) = u(x, t) - w(x, t), которая, в свою очередь, будет удовлетворять однородному уравнению

Lz = Lu - Lw = Zxxtt - Л-Ztt + ^Zxxt + = 0 и однородным условиям

z(x, 0) = 0, z(x, 0) = 0, z(0, t) = 0, zX(0, х) = 0,

а следовательно, в силу представления (8), имеет тривиальное решение z(x, t) = 0, из которого вытекает, что u(x, t) = w(x, t). Таким образом, теорема 1 доказана.

Перейдем к рассмотрению краевых задач, нелокальных по временной переменной.

Задача 1. Найти регулярное в области D решение u(x, t) уравнения (1) из класса C2,2 (D), удовлетворяющее условиям

u(х,0) = а(x)u(х, T), ut (х,0) = q\ (х), 0 < х < u(0,t) = g0 (t), ux (0, t) = g(t), 0 < t < T,

причем {g0(0) = a(0)u(0,T), g(0) = [((x)u(x,T))) 0 ,

U(0) = rii(0), g(0) = 0(0),

где 2, д x- const; g0(t), g(t) e C2[0, T]; a(x) e C2[0, l]; щ(х) e C2[0, l]; /(x, t) e C(D).

Теорема 2. Если функция a(x) такова, что a(x) {/uvX(x, T; х, 0) -- vXt(x, T; x, 0)} Ф 1, то задача (1), (9) в классе C2,2 (D) имеет единственное решение. Отметим, что указанное условие будет выполнено, если, например, функция а(х) достаточно мала по модулю.

Доказательство. Для доказательства достаточно свести задачу (1), (9) к задаче (1), (2). Для этого покажем, что для искомой функции и(х, /) нелокальными начально-краевыми условиями (9) однозначно определяются начально-краевые условия (2).

Для этого представление (8) удовлетворим условию и(х, 0) = а(х) и(х, Т) и (х, Т) = go(T )УХ( (х, Т ;0, Т) -

Т

-1 [у(х, Т; 0,т)g"(г) + цу(х, Т; 0, т)g' (т) +уу(х, Т;0,т)g(т) -

о

-go (т) [у#тт (х, Т;0,т) - цу#т (х, Т;0,т) + уу# (х, Т;0,т)}] & -

хг (10)

-) (#)у# (х, Т; #,0) + цу# (х, Т; #,0)и# (#,0) -

0

-у #т (х, Т ;#, 0)и# (#.0) - Ът (х, Т ;#, 0)и (#,0) +

+ ^ (#)у( х, Т; #,0)] - )) у/ (#, т)#т.

0 0

Умножив обе части последнего равенства на а(х) и преобразовав интеграл в (12), получаем интегральное уравнение относительно и(х, 0):

и (х,0) [1 - а(х) [цух (х, Т; х,0) - ух1 (х, Т; х,0)}] + а(х)) и (#, 0) [цу## (х, Т; #, 0) -

0

у#т# (х, Т; #,0) - (х, Т; #,0)] й# = а(х)go (Т^ (х, Т; 0, Т) +

Т

+а(х)) [у(х, Т ;0,т^" (т) + цу(х,Т ;0,т)g '(т) +уу(х,Т ;0,т)g (т)]т -

0

- go(т) [у#тт(хТ ;0, т) -цу#т(хТ ;0, т)+гу#(хТ ;0,т)}] --а( х) go (0) [ (х, Т ;0,0) - у^ (х, Т; 0,0)]-

-а( х) х [у# (х, Т; #, 0)д' (#) + 2у( х, Т; #,0)^ (#)] + а( х) х Т у/ (#, .

0 0 0 Поскольку выполняется условие а(х) {иух(х, Т; х, 0) - ух<(х, Т; х, 0)} ^ 1, полученное уравнение относительно и(х, 0) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода, которое однозначно разрешимо в классе С (В).

Следовательно, сведение задачи (1), (9) к задаче (1), (2) завершено. Теорема 2 доказана.

Задача 2. Найти регулярное в области В решение и(х, /) уравнения (1)

из класса С2,2 (В), удовлетворяющее условиям

п

и(х,0) =^ак(х)и(х,tk), Щ(х,0) = ^(х), 0 < х < I, 0 < 4 < Т, (11) к=1

и(0, Г) = go(t), их(0, 0 = g(t), 0 < t < Т, (12)

причем

go(0) = ха(0)«(0,tk), g(0) =

k=1

Z a( x)u( x tk)

k=1

x=0

(13)

[g0(0) =0(0), g(0) = 0'(O), где X, ц, у - const; go(0; g(t) e C2[0, T]; ak(x) e C2[0, l]; ^(x) e C2[0, l]; /(x, t) e C(D).

n

Теорема 3. Если выполнено условие Z ak (x) (x, tk; x,0) -

k=1

-vxt(x,tk;x,0)}^ 1, задача (1), (12), (13) в классе C2,2(D) имеет единственное решение. Отметим, что это условие выполнено, например, если функции ak(x) достаточно малы по модулю.

Доказательство. Для доказательства достаточно свести задачу (1), (11), (12) к задаче (1), (2). Для этого покажем, что для искомой функции u(x, t) нелокальными начально-краевыми условиями (11), (12) однозначно определяются начально-краевые условия (2).

В представлении (8), дающем решение задачи Гурса, последовательно предположим t = tb t = t2, ..., t = tn и умножим почленно полученные при этом выражения последовательно на a1(x), a2(x), ..., an(x). Применяя все вышесказанное, получим соотношение

n n

Z ak(x)u( x tk) = Z ak(x)g0 (tk )vxt(x tk ;0, tn)+

k=1 k=1

+ Z ak (x)} [g"(T)v(x, tk;0, т) +ц(x,tk;0,т)g' (т) + yv(x,tk ;0, т)g(т) -

k=1 0

- g0^) {{ (x, tk ;0, т) - (x, tk ;0,т) + y (x, tk ;0, т)} (1т-

-Z ak(x)Jk(x,tk;4,0)0'(T) + щ(x,tk; 4,0U(T;0)-

k=1 0

- v^ (x, tk; 4, 0)UT (4,0) - Xvr (x, tk; 4, 0)u (4, 0) +

n xtk

+ Xv(x, tk; 4,0)0 (4)] dT + Zak (x)J J v/d^.

k=1 0 0

С учетом нелокального по временной переменной условия из (11) окончательно получаем интегральное уравнение относительно u(x, 0):

u( x,0)

ГI

1 - Z a(x) {x(x tk;x,0) - vxt(x tk; x0)}

k=1

+ Zak (x) J u(#, 0) [,uv## (x, tk; #,0) - v## (x, tk; #,0) -

k=1

- AvT (x, tk; #,0)] d#=Z a (x)go (tk )v# (x, tk ;0, tk) +

k=1

+ X ак (х))[g" (т)у(х, гк ;0,т) +цу(х,гк ;0,т)g'(т) +

к=1 0

+М х гк; 0т) g(т) - go(т) [у#тт(x, гк ;0, т) -- цу (х,гк ;0, т) + уу#(х,гк ;0, т)}] йт-

-X «к (x)go (0)\цу# (х, гк ;0,0) - у#т (х, гк; 0,0)] -

к=1

-X ак(х))[у# (х,гк;#,0)((#) + 2у(х,¿к;#,0)( (#)]й# + XX ак(х)^^^^^^^

к=1 0 к=10 0

п

Поскольку выполняется условие X ак (х) [ цух (х, гк; х,0) - ух( (х, гк; х,0)} ф 1,

к=1

полученное уравнение относительно и(х, 0) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода, которое однозначно разрешимо в классе С(В). Следовательно, сведение задачи (1), (11), (12) к задаче (1), (2) завершено. Теорема 3 доказана.

Литература

1. Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. Ташкент, 2000.

Кабардино-Балкарский государственный университет, Сочинский государственный университет

туризма и курортного дела 10 ноября 2005 г.

УДК 519.711.7

ПРИНЦИПЫ ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СЕТЕВЫХ СИСТЕМ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

© 2006 г. В. Ч. Кудаев, Э.Л. Тамбиева

The new principles of extremum and an effective method of the analysis of non-linear network systems founded on them with the concentrated parameters are submitted in this work.

1. Основная задача анализа сетевых систем

Функционирование сетевых систем по переносу вещества или энергии подчинено сетевым уравнениям Г. Кирхгофа - уравнениям неразрывности и потенциальности потока. Вследствие этого анализ и синтез сетевых систем следует проводить на единой математической основе, учитывая спе-