Некоторые классы функций k-значной логики без запрета Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИИ Л-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ БЕЗ ЗАПРЕТА

В.Г. НИКОНОВ, проф. объединения ТВП, действительный член РАЕН, д-р техн. наук, Н.В. НИКОНОВ, научный сотрудник лаборатории ТВП

В статье продолжено исследование понятия запрета функции, связанное с анализом систем уравнений сдвигового типа, начатое в работах [1-3] для булевого случая и проводимое в статьях [4, 5] для к-значной области. В указанных работах основное внимание уделялось описанию классов к-значных функций с запретом, изучению строения запретных комбинаций и методики доказательства несовместности соответствующих систем уравнений, использующей метод разделяющих плоскостей [6-8]. В отличие от предыдущих, данная статья целиком посвящена исследованию классов к-значных функций без запрета и их конструктивному описанию [9].

Основные положения теории запретов булевых функций были изложены в статье [3] и легко распространяются на к-значный случай [4, 5], однако для логической полноты изложения представляется целесообразным напомнить читателю некоторые базовые понятия и утверждения.

Пусть /к (*) = /к (х^---, хп ) -к-значная функция от п переменных (п > 2), причем хп - ее существенные аргументы, а среди Х2,..., хп ^ могут быть и фиктивные. Аргументы

х1 , хп

функции / (х) назовем крайними, Х2,..., хп-1 - внутренними.

Определение 1

Под весом к-значной функции /к понимается вектор длины к

/к) =(wo, wl,., Нк-l), где - число наборов (х1,..., хп ) , на которых функция принимает значение а

= (x1,•••, хп )1 / (x1,•••, хп ) = а

Функция /к (х) называется равновероятной, если Но = = ... = Нк-1 = кп 1.

Определение 2

Будем говорить, что к-значная функция /к (х) линейна по существенному аргументу х^, если ее можно представить в виде

/ (х) = х] + /1(xl,х]-1, х]+1,хп )(тоё к),

где /1 - некоторая к-значная функция, не зависящая от аргумента х ■; в противном случае будем говорить, что функция /к (х) нелинейна по существенному аргументу х^.

Заметим, что функция

/1 (х1,..., ^-1, ^+1,..., хп )

может и не иметь представления в виде полинома.

{ х1}

Рис. 1

Рассмотрим узел усложнения (рис. 1), состоящий из регистра сдвига длины «п » и

к-значной функции /к, перерабатывающий произвольную входную последовательность {х:} в выходную последовательность {у:} .

Определение 3

Назовем функцию /к (х) сильноравновероятной, если для любого натурального N и любого набора значений (у1,)

система к-значных уравнений, порождаемая схемой, представленной на рис. 1,

/(хl,—, хп) = У1

Г (х

2>"'> лп +1

) = Г2

(1)

/ (хN , —, хп+N-1 ) = УN

7 П-1

имеет ровно к решений.

Очевидно, любая сильноравновероятная функция является равновероятной (достаточно в системе (1) положить N = 1). Обратное, как легко показать, неверно.

Определение 4

Комбинация знаков выходной последовательности ^1,-,YN называется запретом функции /к (х), если система вида (1) несовместна. Если система (1) для любого N и любой комбинации знаков ^1,-,YN совместна, то будем говорить, что /к (х) не имеет запрета.

Теорема 1

Функция /к (х) не имеет запрета тогда и только тогда, когда она сильноравновероятна.

Из теоремы вытекает очевидное следствие.

Следствие

Если функция /к (х) неравновероятна, то она имеет запрет.

Графы де Брейна дают удобную интерпретацию функций без запрета.

Определение 5

Графом де Брейна к-значной функции / (х1, —, хп ) называется ориентированный граф Зкп (/к ) , вершинами которого являют-

п

ся все к векторов

е1 = (е

(Л)

е( ])) п

,(Л)

{0, —,к - 1}, ] = 1,кп ,

А, (л) (Л) ч окрашенных цветом у (е{ , —, ), а

ориентированной дугой соединяется верши-

на е^ с вершиной е^^

если состояние е

преобразуется в состояние е^ вследствие

сдвига на один такт влево

(еи) ел

(&1 , — ,6 п

,(л)

,(л)

) ^ (е2",—,еп+1

Определение 6

Граф де Брейна ^ (/к) к-значной

функции /к (х1, —, хп ) называется полито-

мическим в прямую сторону, если в любую вершину графа входят дуги, исходящие из вершин, окрашенных во все разные к цветов.

Граф де Брейна Зкп (/к) к-значной

функции /к (х1, —, хп ) называется полито-

мическим в обратную сторону, если из любой вершины графа исходят дуги, входящие в вершины, окрашенные во все разные к цветов.

Теорема 2

Если у функции /к (х1, —, хп ) граф

де Брейна Зкп (/к) политомический в прямую (или в обратную) сторону, то функция /к (х1, —, хп) без запрета.

Пример 1

Рассмотрим функцию /3(х1, х2), заданную условием

/ (0, х2) = х2 / (1, х2) = 2 х2

3

/ (2, х2 ) = х:

2

Покажем, что граф де Брейна этой функции является политомическим в обратную сторону (рис. 2).

- данный цвет соответствует значению функции 0 на указанном наборе

- данный цвет соответствует значению функции 1 на указанном наборе

- данный цвет соответствует значению функции 2 на указанном наборе

Рис. 2

В соответствии с заданием функции

В самом деле, при любой фиксации первой переменной х1 = выбором второй переменной можно добиться появления произвольного заранее заданного значения функции /3 (^1, ^2 ) : для = 0,2 выбор х2 тривиален, для = 1 уравнение у = 2 х2(тоё3) также обратимо, х2 = 2^(тоё 3). Из установленной таким образом политомичности графа

де Брейна вытекает, что функция /3 (х1, х2 ) -

без запрета.

Докажем, что данная функция нелинейна по своим крайним перемененным.

3

Предположим сначала, что / (^ д^) линейна по переменной х2 , т.е. представляется в виде

/3 (х1, х2 ) = £3(х1) + ах2 (тоё 3) .

/ (0, х2) = £ (0) + ах2 = х2 (тоё 3), следовательно, а = 1, т.е.

/ 3( хъ х2) = £3( х1) + х2(тоё3). Подставляя х1 = 1, получаем

/3 (1, х2) = £3 (1) + х2 = 2 х2 (тоё 3), что заключает в себе противоречие, т.к.

£3 (1) - константа, не зависящая от х2 .

Остается допустить, что /3(х^ х2) линейна по переменной х1, т.е. представляется в виде

/3 (х1, х2 ) = Ьх1 + £3 (х2 )(тоё 3) . Из задания функции вытекает, что / 3(х1,0) = 0 независимо от значения х1,

3 3

поэтому / (х1,0) = Ьх1 + g (0) = 0(шоё 3) , т.е. Ь = 0, g (0) = 0. Следовательно,

у3(хl, х2) = g3(х2)(ш^3) и у3(хl, х2) не зависит от х1, что противоречит заданию функции, в частности

У 3(0,1) = 1; у 3(1,1) = 2; / 3(2,1) = 1.

Таким образом, доказано, что функции у3 (х1, х2) без запрета, но нелинейна по

своим крайним переменным.

Рассмотренный пример соответствовал случаю, когда значность логики - простое число, и любая к-значная функция имеет полиномиальное представление.

В то же время для составного «к» уже при к = 4 можно указать функцию без запрета, зависящую лишь от одной переменной, для которой не существует полиномиального представления.

Пример 2

Таблица

С ^ Л

х =

х 4 У ( х )

0 0

1 2

2 1

3 3

Пример такой функции задан в таблице. Функция у4(х) принимает все возможные при к = 4 значения: 0, 1, 2, 3, поэтому запрета не имеет. Вместе с тем, на

четных значениях х = 0,2 функция у4 (х) не сохраняет отношение четности, поэтому она не может быть задана с помощью полинома.

Условию, при котором к-значная

функция у = ук(х) одной переменной не имеет запрета, можно придать иную трактовку: в этом случае, отображение х ^ у является взаимно однозначным. Особый интерес это условие приобретает при

к = 2 , когда и переменная х, и значение функции у можно задать в векторном виде

У =

V хт У

V ут

а отображение х ^ у - системой функций У1 = У1( х1, — , хт ) У 2 = у2( х1,—, хт )

Ут = Ут (х1, —, хт ). (2)

Система функций у, >2,..., Ут, задающая взаимно-однозначное отображение, получила название регулярной. Изучению строения регулярных систем функций посвящено большое число публикаций. В ряде работ ([10, 11] исследовалась возможность задания функций регулярной системы с помощью лишь одной порождающей функции У0(х1, —, хп ) и совокупности простых преобразований <, действующих на переменные х1, —, хт, например, перестановок и инвертирований переменных

У (х1, —, хт ) = у0(< (х1, —, хт )).

При к = 2т полностью решен вопрос о представлении полиномом над кольцом

^т функции одной переменной, задающей взаимно однозначное отображение и поэтому не имеющей запрета: полином одного переменного

¥ (х) = ч0 + ч1 х + — + чгхг (шоё2т ) (3)

задает взаимно однозначное отображение тогда и только тогда, когда

г

X Чг = 1(шоё2),

г=1

X +1 = 0(шс^ 2),

г=1

(4)

Ч1 = 1(шоё2). Продолжим рассмотрение случая

к = 2т для функций без запрета, но уже зависящих от 2-х и более переменных.

Для функции 2-х переменных / ( х2 ) рассмотрим таблицу ее значений

у = /к (^1,^2) на рис. 3. Условие полито-

мичности графа де Брейна для этой функции в прямую и обратную сторону эквивалентно тому, что на рис. 3 каждая строка или соответственно каждый столбец задают перестановку знаков логики 0,1,., к - 1. Таким образом, если значения к-значной функции образуют подстановку по переменной х1 либо

х2 , то функция не будет иметь запрета.

Пример такой функции, значения которой образуют подстановку по переменной х1 , приведен на рис. 4, поэтому граф де

Брейна функции /к (х1, х2 ) - политомиче-

ский в обратную сторону и данная функция не обладает запретом.

х

к -1

х2Д

2 О

Рис. 3

-о

6

-о

х

Рис. 4

Частным случаем, при котором одновременно выполняются оба условия полито-мичности графа де Брейна функции в прямую и обратную сторону, является латин-

ский квадрат. Обозначим класс к-значных функций двух переменных, таблица значений каждой из которых образует латинский квадрат, как Н(к). Сформулируем утверждение, справедливое для любого к .

Теорема 3

Если /к (х1, х2) е Н (к), то функция /к (х1, х2) без запрета.

Для того чтобы при к = 2т задаваемая полиномом функция /к (х1, х2 ) образовывала латинский квадрат, необходимо, чтобы каждая ее подфункция, получающаяся из исходной фиксацией любой переменной, как функция одной переменной, удовлетворяла условиям (4). Легко видеть, что линейные функции вида

I(х1, х2 ) = ах1 + Ъх2 (тоё 2т ) , где а, Ъ - нечетные числа, принадлежат

классу Н (2т ).

Среди функций £ (х1, х2), принадлежащих классу Н (2т), имеются и нелинейные, причем некоторые из них могут быть заданы полиномами простого аналитического вида. Покажем это на примере.

Пример 3

Рассмотрим функцию 2т -значной логики, задаваемую полиномом

2т т

И (х1, х2 ) = х1 + х2 + 2 х1 х2(тоё2т ). (5)

Зафиксируем одну из переменных, пусть х1, любым значением ее {0, ..., к - 1} и рассмотрим равенство

у = е + х2 + 2ех2 (тоё 2т), которое можно представить в виде

у -е = х2(1 + 2е)(тоё2т). (6)

Элемент (1 + 2е) для любого е нечетный, поэтому всегда обратим в кольце 2/2", т.е. для него существует обратный элемент 5 е {0,..., к - 1}, такой, что

1

1

0

0

2

(6)

(1 + 2е)5 = 1(тоё 2т). Умножим на 5 обе части равенства

(у - е)5 — х2 (тоё 2т).

Последнее равенство позволяет для любого значения у найти соответствующее

ему значение х2 и устанавливает тем самым взаимно однозначное соответствие между переменной х2 и значениями функции у. Аналогичная связь, очевидно, может быть установлена между переменной х1 и значениями у, поэтому функция (5) задает латинский квадрат.

Приведенные в рассмотренном примере рассуждения позволяют сформулировать и доказать следующее утверждение.

Теорема 4

Функция 2т -значной логики п переменных вида

2т

/ (x1,••■, хп ) = х1 + £ (х2 , ., хп ) +

2т т

+2х1 £2 (х2,...,хп)(тоё2т), (7)

т

2т где £ (х2,..., хп ) - некоторая 2 -значная

функция п - 1 переменной, необязательно представимая полиномом, запрета не имеет.

Для доказательства зафиксируем (х2,..., хп) = (е2,...,еп) и рассмотрим уравнение

у = х1 + £ (е2 ,. • • ,еп ) +

+2х1 £ (е2,. • • ,еп )(тоё2т )

или

Г-£ (е2,.,еп ) = 2т

= х1(1 + 2 £ (е2,...,еп ))(тоё 2т). (8) Ввиду обратимости элемента

2т

(1 + 2£ (е2,..., еп )) в кольце 2/2т уравнение (8) позволяет для любого значения у найти соответствующее значение х1, что

свидетельствует о политомичности графа де Брейна и отсутствии запрета у функции (7).

На базе к-значной функции

2т

И (х1, х2 ) (5), задающей множеством своих значений латинский квадрат, можно строить сложные функции без запрета, зависящие от большего числа переменных.

Теорема 5

Пусть

2т т 2т

И О^ и2 ) е 2 (2т ) и £ , ., ^-1)

- произвольная функция 2т -значной логики, тогда суперпозиция этих функций

у (х^ х2 , ., хп ) = И (xl, £ (х2 , ., хп))

- функция без запрета.

Определим еще один класс к-значных функций, расширяющий класс функций без

запрета Н(2т ).

Определение 7

Будем говорить, что функция к-знач-

ной логики /к (х1,..., х5 ) принадлежит классу Н5 (к) , если любая ее подфункция

/

х1,...,х

V

х ■ — е ,. > >, х ■ — е

: : ' 'К 1 г5-1 у

'1 Ч 'в-1

полученная фиксацией любых 5 -1 переменных, принимает все значения 0,1,.,к -1.

Очевидно, что Н (к) — Н (к ). Иными словами, любая ее подфункция, зависящая от одной переменной х^,

реализует взаимно однозначное отображение значений х^ в значения функции. Если

геометрически представить задание такой функции в виде 5-мерного к-звенного куба

(к), то его разрез по любому направлению, параллельному оси х ■ (для любого ] ),

задает перестановку знаков 0,1,..., к - 1. Ввиду этого геометрическое задание такой функции можно было бы назвать латинским гиперкубом.

т

т

у

И л II

г

и / / Л ч 4 к ч

г у г л А У г у

г 1 А у I А

у 9 А у

/ ? К. 1 л А \

г 1 А У Г у г л

г у 9 А А г А 3ц

А у л А

1 л ос ь К. } 2J *

г г У

г V * /

-с V

Х2

О □

♦

- Г — о

- Г — 1

- Г — 2

- Г — 3

Рис. 5

Теорема 6

Если / (Х1,..., ) е И' (к), то для

'1 2 ... И

любой подстановки

функция

/ (\ , ХУ2,., V ) без запрета.

Теорема 6, справедливость которой

следует из определения класса И'(к), позволяет конструктивно строить функции без запрета, зависящие от сколь угодно большого числа переменных.

Теорема 7

Пусть

(и, п2 ), (VI, У2 ) е И (к), тогда рк (и, VI, V2) = (и, (VI, V2 ))

принадлежит классу И (к) .

Теорема 7 дает итеративную основу построения семейств функций без запрета. В частности, на базе теоремы 7 можно строить функции без запрета, зависящие от сколь

угодно большого числа переменных, задаваемые полиномом при к — 2 .

Пример 4

Применим теорему 7 для функции (5) и построим функцию уже от 3-х переменных

2т 2т 2т ( (Х1, Х2, Х3) = Ну (Х1, \ (Х2, Х3)) =

— Х1 + (Х2 + Х3 + 2 Х2 Х3 ) + 2 Х1 (Х2 + +Х3 + 2 Х2 Х3 ) — Х1 + Х2 + Х3 + 2 (Х1Х2 +

+Х1Х3 + Х2 Х3) + 4 Х1Х2 Х3(шоё2т).

Функция р (Х1, Х2, Х3 ) порождает латинский куб и не имеет запрета при любой перестановке переменных (рис. 5).

Очевидно, что рассмотренная в примере 5 суперпозиция функций может быть итеративно повторена, что приведет к построению семейства функций без запрета, порождающих своими значениями гиперкуб сколь угодно большой размерности. Например, 4-х мерный латинский куб может быть задан полиномом

2™ 2™ 2т ¥ x2, x3, x4) = q> (xj, x2, hj (x3, x4)) =

— xj + x2 + x3 + x4 + 2( xj x2 + xj x3 + xj x4 +

+x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) + 4 (xj x2 x3 + xj x2 x4 +

+xj x3 x4 + x2 x3 x4 ) + 8xj x2 x3 x4 (mod 2m ).

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (НШ-2358.2003.9)

Библиографический список

L Смирнов, В.Г. Системы булевых уравнений рекуррентного типа / В.Г. Смирнов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП. - Т. 2. - Вып. 3. - Ш5. - С. 477-482.

2. Колесников, О.В. Использование запретов двоичных функций при решении систем уравнений / О. В. Колесников // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП. - Т. 2. -Вып. 3. - Ш5. - С. 483-493.

3. Сумароков, С.Н. Запреты двоичных функций и обратимость для одного класса кодирующих устройств / С.Н. Сумароков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП. -Т. L - Вып. L - Ш4. - С. 33-55.

4. Никонов, В.Г. О проблемах локальной разрешимости и совместности систем ^-значных уравнений сдвигового типа / В.Г. Никонов, Н.В. Никонов // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2004. - № ! (32). - С. !37-!42.

5. Никонов, Н.В. Применение полиэдральных методов в анализе систем сдвигового типа / Н.В. Никонов // Вестник ИКСИ. Серия «К». - М., 2003. - С. 151-172.

6. Балакин, Г.В. Методы сведения булевых уравнений к системам пороговых соотношений / Г.В. Балакин, В.Г. Никонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП. - Т. 1. - Вып. 3. - 1994. - С. 389-401.

7. Никонов, В.Г. Пороговые представления булевых функций / В.Г. Никонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП. - Т. 1. - Вып. 3. - 1994. - С. 402-457.

8. Никонов, В.Г. Классификация минимальных базисных представлений всех булевых функций от четырех переменных / В.Г. Никонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП. - Т. 1. - Вып. 3. - 1994. - С. 458-545.

9. Никонов, В.Г. О строении некоторых классов к-значных функций без запретов / В.Г. Никонов, Н.В. Никонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ОПиПМ. - Т. 12. -Вып. 3. - 2005. - С. 757-758.

10. Саранцев, А.В. Построение регулярных систем однотипных двоичных функций с использованием регистра сдвига / А.В. Саранцев // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2004. - № 1 (32). -С. 164-169.

11. Саранцев, А.В. Регулярные системы однотипных функций: подходы к построению и классификации / А.В. Саранцев // Вестник ИКСИ. Серия «К». - М., 2003. - С. 172-179.