CC BY
64
ЗАПРЕТЫ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА К-ГРАММ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОТ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
Н.В. НИКОНОВ, научный сотрудник лаборатории ТВП, Москва, Д.В. УСАНОВ, сотрудник лаборатории ТВП, Москва
Данная работа посвящена исследованию систем нелинейных булевых уравнений сдвигового типа [1, 2], порожденных узлом, построенным на базе регистра сдвига с булевой функцией т(х1, ..., хп) на выходе схемы, х. называется 7-й входной переменной, у -]-м выходным знаком (рис. 1). 7 (х^..., Хп ) = У1
У ( Х2 ,
п+1
) = У 2
(1)
У ( хх ,-••, Хп+N-1) = У N
х1 хп
{ * }
Рис. 1
Опубликовано значительное число статей, относящихся к этой проблематике. Одной из важных задач, возникающих при анализе систем (1), является задача определения совместности системы, которая тесно связана с теорией запретов булевых функций, основы которой были заложены С.Н. Сумароковым [3].
Известно, что если булева функция ^(хх, ..., хп)порождает некоторую несовместную систему (1), то есть имеет запрет, то для некоторого V распределение ее у-грамм у1, ..., в последовательности {у.} на выходе схемы на рис. 1 неравновероятно, что говорит о нарушении критерия Сумарокова отсутствия запрета.
В связи с этим представляет интерес проведение экспериментального исследования распределений у-грамм при различных V для всех
равновероятных функций от 3-х переменных с запретом и получение ответов на следующие вопросы.
1. Нахождение наименьшего V (обозначим его у0), при котором впервые нарушается условие равновероятности в распределении у0 - грамм.
Например, если функция^(х1, ..., хп) равновероятна и с запретом, то V > 2, так как распределение выходных знаков (взятых по одному) - равновероятно. Если же функция_Дх ..., хп) неравновероятна, то V = 1.
2. Существуют ли примеры функций, для которых v0 совпадает с длиной построенного запрета N минимальной длины?
3. Может ли значение v0 для равновероятной функции с запретом быть равным 2? Если это возможно, то как характеризуется класс таких функций?
4. Как описываются v-граммы для булевых функций, дающие максимальное отклонение от равновероятного распределения, являющиеся полузапретами функции с максимальным значением эффективности (будем использовать обозначении v1 для таких v-грамм)?
5. Значение V позволяет оценить длину запрета N, что следует из доказательства критерия Сумарокова. Какова эта связь?
6. Можно ли описать классы функций с запретом при конкретных V и представить некоторую классификацию функций в зависимости от распределения v-грамм на примере равновероятных функций от 3-х переменных?
1. Основные положения теории запретов булевых функций. Критерий С.Н. Сумарокова
_ Рассмотрим булеву функцию
У(х) = У(х1,..., хп) от п переменных (п > 2), при-
146
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2006
чем х хп - ее существенные аргументы, а среди х ..., х могут быть и фиктивные. Аргументы х хп функции /(х) назовем крайними, х ..., х - внутренними.
Определение 1 _
Под весом булевой функции /(х) понимается число наборов (х1, ..., хп), на которых функция принимает значение 1
w
= 1(хр .__, хи) /Д^, ..., хи)|.
Функция /(х) называется равновероятной, если w_f = 2й-1.
Определение 2 _
Будем говорить, что булева функция / (х) линейна по аргументу х, если ее можно представить в виде
/(х)_= х} + ¡1 (хр..., х}-1х}+1,..., хп )(mod 2), где / (х) - некоторая булева функция, не зависящая от аргумента х; в противном случае будем говорить, что функция / (х) нелинейна по аргументу х .
Определение 3 [3] Функция / (х) называется сильно равновероятной, если для любого натурального N и любого набора значений (у1, ..., ум) система булевых уравнений (1) имеет ровно 2п-1 решений.
Очевидно, любая сильно равновероятная функция является равновероятной (достаточно в системе (1) положить N = 1).
Определение 4 Комбинация знаков выходной последовательности (у1, ..., у^ называется запретом функции /(х), если система вида (1) несовместна.
Если система (1) для любого N и любой комбинации знаков (у1%,..., ул) совместна, то принято говорить, что /(х) не имеет запрета. При этом число N называется длиной запрета булевой функции /(х) .
Сформулируем критерий С.Н. Сумарокова и приведем его доказательство, использующее конструктивное построение комбинации, являющейся запретом функции исходя из нарушения критерия.
Теорема 1
Функция / (х) не имеет запрета тогда и только тогда, когда она сильно равновероятна.
Доказательство Если функция /(х) сильно равновероятна, она не имеет запрета - достаточность очевидна.
Если функция /(х) не имеет запрета, она сильно равновероятна - необходимость докажем от противного.
Пусть функция /(х) не имеет запрета. Предположим, что она не сильно равновероятна.
Тогда найдется натуральное т и такой набор дво-
/ * *
ичных переменных (у , у2 , ..., ут ), что система булевых уравнений
^ х..., х,+п-1) = у/, 5 = 1 ..., т
имеет:
a) 2п-1 - а решений, где 0 < а < 2п-1;
b) 2п-1 + а решений, где а > 0 (заметим, что данный случай не разбирался в работе [3], хотя, вообще говоря, требует пояснений)
Рассмотрим случай а). В этом случае число наборов булевых входных переменных (х1, х2, ..., хт+п1), преобразуемых кодирующим устройством с функцией / (х) в набор булевых (у1 , у2 , ..., ут ) выходных переменных (рис. 1), равно 2п-1 - а.
Рассмотрим теперь наборы выходных переменных длины (* + 1)т + *(п - 1) вида
/ * * * * * * (У1, У2, ..., У
т ' Ут+1, ..., Ут+п-1; У1 , У2 , ..., У'т '
У(2т+п- 1)+1, ..., У2т+2(п-1);
У,
гт+(г-1)(п-1)+1:
... , У
т+<я-1)'
; У1 *, У2* , ..., Ут*) * = 1 2, ..., (2)
здесь значения двоичных переменных, не помеченных звездочкой *, произвольны.
Общее число таких наборов для данного * равно (2п-1у. Входные наборы, преобразуемые кодирующим устройством с функцией /(х) в выходные наборы вида (2) , имеют длину (* + 1)(т + + п - 1), а их общее число равно (2п-1 - а)+1.
Обозначим через ц* отношение числа входных наборов схемы к числу его выходных наборов, характеризующее среднее число входных наборов, преобразуемых в один и тот же выходной набор вида (2)
Ц* =
(2п-1 -аЦ+1
V-)_ = 2п-1
/
(2"-1 )
1 --
а
N * + 1
2п-1 У
(3)
Ввиду неравенства 0 < а < 2п-1 имеем
0 < 1 -■
а
п -1
<1
поэтому
Нт ц. = 0.
* ^ да
Отсюда следует, что при достаточно большом * имеет место неравенство ц* < 1. Значит, некоторый выходной набор вида (2) не будет иметь прообраза, т.е. этот набор будет запретом функции /(х) . Получено противоречие с отсутствием у функции /(х) запрета.
Рассмотрим случай Ь).
В этом случае число наборов входных переменных (х1, х2, ..., хп+т1), преобразуемых кодирующим устройством с функцией У(х) в набор (у, * , у2* * , ..., ут.) выходных переменных (рис. 1), равно 2п-1 + а. Тогда утверждается, что существует некоторый набор (у1 , у2 , ..., ут ) со свойством а) при каком-то а', 0 < а' < 2п-1, то есть число входных наборов, его порождающих, меньше, чем 2п-1. От противного: пусть для любой комбинации (у^ * , у2* * , ..., ут* *) число порождающих его входных наборов равно 2п-1 и хотя бы для одного - 2п-1 + а, а > 0. Тогда число всех таких различных наборов будет равно
,n-1
n.n-1 , _n-1 ч
■2 + (2 + а) =
r.n-1 _m _n+m-1
= 2 • 2 +а = 2 +а .
Получаем противоречие с тем, что данное число больше 2n+m-1 - числа всевозможных двоичных входных наборов, порождающих га-граммы (y1, y , ..., yj. Таким образом, в этом случае найдется комбинация булевых знаков (y , y2 , ..., ym ) со свойством а) и случай b) сводится к рассмотрению случая а).
В обоих случаях теорема доказана. Следовательно, если функция f (x) не имеет запрета, то она сильно равновероятна.
Следствие
Если функция f (x ) неравновероятна, то она имеет запрет.
Данный критерий позволяет получить оценку длины запрета.
Теорема 2 [3] _
Если n > 3 и для функции f (x) найдется такой набор длины т двоичных переменных (y1 , y2 , ..., ym ), что система булевых уравнений fix, x+1, ..., xs+n_1) = y ', (s = 1, ..., m) имеет 2n-1 - а решений, где 0 < а < 2n1, то эта функция имеет запрет длины
q < т + 2n(2n-2 - 1)(т + n - 1) (4)
Доказательство
Повторив рассуждения доказательства критерия Сумарокова о выходных наборах вида (2) и lim = 0, рассмотрим поведение величины ^"Шдробнее. А именно покажем, что если t > (2n1 - 1)2 - 1, то для любого натурального а < 2n1 выполняется неравенство ^ < 1 и, значит, (теорема 1), функция f (x) имеет запрет вида (3) длины
q = (2п-1 - 1)2 т + ((2п-1 - 1)2 - 1)(п - 1) = т + 2п(2п-2 - 1)(т + п - 1). Найдем те значения г, при которых неравенство и < 1 выполняется. Рассмотрим нера-
венство
Положим
1 -■
а
\ t+1
2n-1 У
1
< ■
„n-1
1-
а
n -1
1+ß
где
ß =
а
(2n-1 -а)
>
n -1
-1
(2n-1 -1)
> 0.
а
Тогда
а
t +1
1 -■
V 2n-1 У
<
(1 + ß)f+1 1 + (t + 1)ß
Рассмотрим неравенство
11
-<-, 2n1 < 1 + (t + 1)ß,
1 + (t + 1)ß 2n-1
(2n-1 - 1) / ß < (t + 1), (t + 1) >
2n-1 -1
2n-1 -1
= (2n-1 - 1)2,
поэтому г > (2п 1 - 1)2 - 1. Минимальное г, при котором последнее неравенство выполняется, есть
г = (2п-1 - 1)2 - 1.
Теорема 3 [3]
Если функция У (х) линейна хотя бы по одному из крайних аргументов, то она не имеет запрета.
Определение 5 [4-6]
Полузапретом назовем выходную комбинацию знаков (у1, ..., у^, для которой в системе (1) однозначно определяется одно или несколько входных переменных
х7, i = 1, п + N - 1.
Для полузапрета представляется полезным ввести специальный параметр, характеризующий эффективность полузапретной комбинации.
Определение 6 [4]
Эффективностью полузапрета, содержащего N знаков у ..., уN и позволяющего однозначно определить V неизвестных, назовем отношение
е = V / N. (5)
В соответствии с этим определением эффективность полузапрета характеризует среднее
1
1
1
т-\
2
1
1
1
число знаков входной последовательности, определяемых благодаря знанию одного знака выходной последовательности. Характеристика (5) позволяет установить важную связь между понятиями запрета и полузапрета.
Теорема 4 [4]
Если у булевой функции / (х) имеется полузапрет с эффективностью е > 1, то у функции / ( х ) существует запрет.
Доказательство
Последовательность выходных знаков, образующих полузапрет, порождает систему уравнений (1) с N + п - 1 неизвестными. По условию теоремы е = (V / Щ > 1, поэтому среди N + п - 1 выходных знаков V определены однозначно и V > N. Следовательно, для общего числа Е решений системы (1) справедлива оценка Е, = 2(л?+п-1)-' < 2п-1, свидетельствующая о нарушении условий критерия Сумарокова и наличии у функции / (х ) запрета.
2. Вероятностные свойства у-грамм
Нахождение запрета функции является весьма сложной задачей, эффективных алгоритмов решения которой пока не найдено. О сложности этой задачи косвенно свидетельствует тот факт, что для некоторых классов функций запрет имеет очень большую длину и проверка несовместности соответствующей системы уравнений сама по себе оказывается исключительно трудной.
Один из подходов к решению задачи проверки несовместности системы вида (1) и получению оценки длины запретной комбинации сводится к нахождение не самой запретной комбинации, а некоторых v-грамм у1, ..., с распределениями, отличными от равновероятного, что указывает на существование запрета у функции (по критерию Сумарокова). При этом, с использованием теоремы 2, оценивается длина запретной комбинации, которая в ряде случаев может быть большой. Отметим, что для конкретных классов булевых функций данную оценку удастся снизить. Исследуя вероятностные распределения v-грамм у ..., у^^ выходной последовательности, уже при сравнительно небольшой их длине можно получать оценки длины запрета, не строя при этом саму запретную комбинацию, и устанавливать факт несовместности исследуемой системы. Также, зная распределения v-грамм небольшой длины, можно получить разбиение всех равновероятных булевых функций от 3-х переменных на классы и использовать полученную классифика-
цию для решения описанных выше задач для целых булевых классов.
Интерес представляет решение для функции Дх ..., хп) вопроса о нахождении минимального V при котором удается обнаружить отклонение от равновероятности частот появления v0-грамм у ..., уЛ и нахождения V при котором существует такая v1-грамма у1, ..., уу1, которая появляется только при одном входе х1, ..., х (задачи 1, 2, 3, 4). В этом случае данная комбинация является полузапретом функцииД(х1, ..., хп), при котором определяются все входные переменные х1, ..., хп+у1-1. В терминах эффективностей полузапрета комбинация у1, ..., у будет являться полузапретом с эффективностью е = (п + v1 - 1) / v1 (5). Так как е > 1, то теорема 4 при этом также гарантирует наличие запрета у функции.
Рассмотрим задачу 5 оценки длины запрета по знанию распределения v-граммы подробнее.
Пусть для булевой функции Д(х1, ..., хп) найдена некоторая v-грамма у1, ..., уу, которая порождается 2п-1 - а, входными наборами х1, ... , хп+Л1. Появление такой комбинации гарантируется теоремой 1 (см. доказательство критерия Сумарокова), т.е., соответствующая система (1) имеет ровно 2п-1 - а, 0 < а < 2п-1 решений, а вероятность появления комбинации у ..., у при равновероятном распределении входной последовательности {х } равна
-1
2 — а
2
n -1
а
2П + V —1 2П + V —1 2П + v —1
а
2v 2n+v—1 2v
1 — -
а
V
2n—1 У
0 < а < 2п-1. В доказательстве теоремы 1 строится некоторая комбинация выходных знаков (2) и доказывается, что если параметр
К = 2
n —1
1—
а
\ t+1
V
2n—1 У
меньше 1, то данная комбинация является запретом длины
q = (t + 1)v + t(n - 1) (6)
при том t, для которого выполняется неравенство
К < 1
В теореме 2 через оценку параметра t выводится оценка длины запрета (4), которая в ряде случаев может быть снижена при рассмотрении конкретных значений отклонений а.
1
1
Итак, для понижения оценки длины запрета необходимо найти точное наименьшее значение *, при котором будет выполняться неравенство
1-
а
\ *+1
2п-1 У
1
п -1
(7)
Рассмотрим все возможные значения отклонения а для булевых функций от 3-х переменных (п = 3) и те *, при которых условие (7) выполняется.
Если а = 1, то неравенство
/
1-
1
\ *+1
1
^ *+1
<
или
1
<
V 4 У 4 V 4 У 4 будет справедливо при * > 4. При этом, полагая в
(6) * = 4 (минимальное из допустимых), получаем
оценку
Р1 = 5v + 8, (8)
где V - минимальная длина v-граммы, при которой выявлено отклонение а = 1. Если а = 2, то неравенство
2
1 --
\ *+1
1
Г 1N *+1
1
< —
< — или V 4 У 4 V 2 У 4 будет справедливо при * > 2. Полагая в (6) * = 2,
получаем оценку
Р2 = 3v + 4, (9)
где V - минимальная длина v-граммы, при которой выявлено отклонение а = 2. Если а = 3, то неравенство
/
1-
3
\ *+1
1
Г 1 Л *+1
1
<
< — или V 4 У 4 V 4 У 4 будет справедливо при * > 1. Из (6) при * = 1 получаем оценку
Рэ = 2v + 2, (10)
где V - минимальная длина v-граммы, при которой выявлено отклонение а = 3.
Для представления относительного поведения полученных оценок (8), (9), (10) при различных небольших V и а е {1, 2, 3} приводиться таблица со значениями р1, р2, р3 (табл. 1).
Таблица 1
а, р V
1 2 3 4 5 6
а = 1, р, = 5v + 8 13 18 23 28 33 38
а = 2, р2 = 3v + 4 7 10 13 16 19 22
а = 3, р3 = 2v + 2 4 6 8 10 12 14
Таким образом, для каждой отдельной равновероятной функции исходя из полученных оценок (8), (9), (10), зная при этом значения V, при которых выявлены отклонения в v-грамме от
равновероятного распределения, можно выбрать оценку, дающую наименьшее значение согласно табл. 1.
3. Классификационные исследования распределения у-грамм всех равновероятных булевых функций от 3-х переменных с запретом
Отвечая на вопрос задачи 6, сформулированной вначале, для изучения распределений v-грамм всех равновероятных булевых функций с запретом от 3-х переменных, построения запретов и получения оценок длин запрета была написана программа подсчета числа входных наборов х1, ..., х^^, порождающих выходную последовательность у ..., у^^ для каждой возможной v-грам-мы при изменении V. Число таких наборов равно 2п-1 - а, 0 < а < 2п-1, как отмечалось выше, откуда легко получить значение отклонения.
Графы связности вершин всех рассматриваемых равновероятных булевых функции от 3-х переменных с запретом представлены на рис. 2.
а.
б.
Рис. 2
в.
Классификация всех булевых функций от 3-х переменных, описанная в работе [7], базировалась на классификации графов связности функций. В результате данных классификационных исследований была отмечена косвенная связь, отражающая зависимость строения графа связности функций и структуры запрета. Но данное положение не очевидно и требует дальнейшего рассмотрения.
Данная классификация функций производится с других позиций, то есть не по виду графа связности вершин, а по распределению неравновероятных v-грамм с максимальными отклонениями а, что позволяет также установить преемственные связи в распределении v-грамм функций, вида запретной комбинации и оценок длин запретов.
В представленной ниже таблице (табл. 3) приводятся сводные сведения, систематизирующие результаты экспериментальных исследований, полученные Д.В. Усановым. Рассмотрим подробнее структуру таблицы на примере одной функции (табл. 2)
<
Таблица 2
4
8
9
NN 1 Ж 23 0 0 0 0 1 1 1 0
01 2 10 2
010 3 101 3
0010 3
0100 3
0101 3 0110 3 1001 3
1010 3
1011 3 1101 3
01001 01101 10010 10110 запреты
34
Каждой равновероятной функции от 3-х переменных выделено 10 полей. В поле № 0 согласно табл. 2 приводится:
- порядковый номер NN (всего рассматриваемых функций 40);
- лексикографический номер NL;
- коэффициенты многочлена Жегалкина. Для рассматриваемой функции
(а0 а1 а2 а3 а12 а13 а23 а123) = (0 0 0 0 1 1 1 0), поэтому 7(х1, Х2, Х3) = Х1Х2 © Х1Х3 © Х2Х3.
В поле № 1 приводится графическое задание функции на 3-мерном единичном кубе.
Поля № 2-6 выделены для перечисления выходных у-грамм рассматриваемой функции при различных V, 2 < у < 6 (поле № 2 - для у = 2, поле № 3 - для V = 3 и т.д.), дающих максимальное из возможных при данном V отклонение а (1 < а < 3) от равновероятного распределения, которое также приводится. Например, при V = 2 две у-граммы 01, 10 дают отклонение а = 2. В поле № 5 отмечено, что при V = 5 четыре комбинации являются запретами функций: 01001, 01101, 10010, 10110. Поле № 6 осталось незаполненным в связи с тем, что запрет минимальной длины был указан в предыдущем поле.
Три поля с номерами № 7, 8, 9 содержат информацию о следующих параметрах:
- N длине запрета с минимальной длиной (в нашем случае N = 5);
- р, минимальной оценке длины запрета исходя из табл. 1. В разбираемом примере биграм-мы дают отклонение а = 2, триграммы и 4-граммы дают отклонение а = 3. Возможные оценки отмечены жирным шрифтом в табл. 1. Минимальная оценка р достигается при V = 3 и а = 3 и равна р = 8;
- q, оценке Сумарокова, согласно формуле (6) ^ = 34).
4. Анализ результатов экспериментальных исследований
Для равновероятных булевых функций от 3-х переменных с запретом исследования обнару-
жили статистические отличия в вероятностных свойствах последовательностей v-грамм у ..., у^^ при значениях V в пределах 2 < V < 6.
Все равновероятные функции от 3-х переменных с запретом распадаются на два больших класса. К первому классу относятся функции с v0 = 3, то есть распределение биграмм которых равновероятно (это функции с номерами NN 5,6,7,8). Все эти функции обладают графом, представленном на рис 2. а. Отклонение от равновероятного распределения наблюдается только в триграммах и равно а = 1. Построенные запреты для рассматриваемых функций имеют длину 5. Полученная для них оценка длины запрета самая большая из достигнутых, за счет равновероятности в появлении биграмм и небольших отклонений в триграммах.
Ко второму классу относятся функции, у которых наблюдается отклонение в распределении v-грамм от равновероятного распределения уже при v0 = 2. Причем разбиение функций по графам связности и в данном случае оказалось не случайным. У всех функций с графом связности, представленном на рис. 2. а., исследуемые биграммы дают отклонение а = 2 с соответствующей оценкой длины запрета р = 8, сопоставимой с длиной построенных запретов N = 5. У всех остальных функций с графами, изображенными на рис 2. б. и 2. в, отклонение а в биграммах равно 1.
При V = 3 класс функций с графом на рис. 2.б. распадается на подклассы со всевозможными отклонениями а е {1, 2, 3}. Причем функции с порядковыми номерами 17, 18 и 19, 20 (табл. 3) обладают запретными комбинациями длины 3: 0 1 0 и 1 0 1, соответственно.
Функции с графом связности на рис. 2. в. при V = 3 распадаются на два класса: с а = 3 (функции с номерами NN 21,22,23,24) и длиной запрета, равной 5 (р = 8), и с а = 2 (функции с номерами NN 37,38,39,40) и длиной запретной комбинации 6 (р = 13).
0
1
2
3
5
6
7
5
8
Таблица 3
Поряд. номер NN Леке. номер Ж Многочлен
До Д1 Д2 а3 д12 д13 д23 д123
Графическое задание функции
v-гpaммa параметр а
V = 2 V = 3 V = 4 V = 5 V = 6
0010 3
01 2 010 3 0100 3 0101 3 0110 3 01001 01101 10010 10110 запреты
10 2 101 3 1001 3 1010 3 1011 3 1101 3
0000 3
00 2 000 3 0001 3 0011 3 0111 3 00011 00111 11000 11100 запреты
11 2 111 3 1000 3 1100 3 1110 3 1111 3
01000
0000 1 10111
1000 1 запреты
0001 1
1010 1
000 1 0010 1
Равно- 010 1 1011 1
вер. 101 1 111 1 0100 1 1101 1 0101 1 1110 1 0111 1 1111 1 00010 11101 запреты
1010
запрет
01 1 010 2
10 1 101 2
0101
запрет
N
NN 1 Ж 23 0 0 0 0 1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 1 0
хзк
Л/1
Х2
\Ьг
3
NN 2 У с/1
Ж 232 ?, Х2
34
NN 3 Ж 77 0 1 0 1 1 1 1 0
NN 4 Ж 178 1 1 0 1 1 1 1 0
ГХ1
34
NN 5 Ж 43 0 1 1 0 1 1 1 0
NN 6 Ж 212 1 1 1 0 1 1 1 0
NN 7 Ж 113 0 0 1 1 1 1 1 0
NN 8 Ж 142 1 0 1 1 1 1 1 0
-4'3 ,
А
а
хэ1
23
23
43
43
NN 9 Ж 27 0 1 0 0 0 1 1 0
NN 11 Ж 39 0 0 1 0 0 1 1 0
Х3к
NN 10 У М
Ж 172 т. , 11 Х2
1 0 0 1 1 1 0 0 V
хэА
X;
13
13
34
34
9
5
8
5
8
5
5
4
4
Продолжение таблицы 3
Поряд. номер NN Леке. номер Ж Многочлен
До Д1 Д2 а3 д12 д13 д23 д123
Графическое задание функции
V = 2
у-грамма параметр а
V = 3
у = 4
у = 5
у = 6
N
NN 12 Ж 228 1 1 0 0 0 1 1 0
NN 13 Ж 216 1 0 1 0 0 1 1 0
NN 14 Ж 53 0 0 1 0 1 1 0 0
NN 15 Ж 83 0 0 0 1 1 1 0 0
NN 16 Ж 202 1 0 1 0 1 1 0 0
NN 17 Ж 46 0 1 1 0 1 0 1 0
NN 18 Ж 116 0 0 1 1 1 0 1 0
NN 19 Ж 139 1 0 1 1 1 0 1 0
NN 20 Ж 209 1 1 1 0 1 0 1 0
NN 21 Ж 147 1 1 1 1 0 1 0 0
NN 22 Ж 201 1 0 1 0 0 1 0 0
ХэА
я
ГХ\
01 1 10 1
010 2 101 2
010
запрет
101
запрет
010 3
0101
запрет
0010 3
0100 3
0101 3 1001 3 1010 3
01001 01010 10010
запреты
13
18
34
34
34
9
4
3
5
8
Продолжение таблицы 3
Поряд. номер NN Леке. номер Ж Многочлен
До Д1 Д2 а3 д12 д13 д23 д123
Графическое задание функции
V = 2
у-грамма параметр а
V = 3
у = 4
у = 5
у = 6
Д
NN 23 Ж 54 0 0 1 0 0 1 0 0
NN 24 Ж 108 0 1 1 1 0 1 0 0
хзА
»ВТ
Г Х\
&
01 1 10 1
101 3
0101 3 0110 3
1010 3
1011 3 1101 3
01101 10101 10110
запреты
34
NN 25 Ж 58 0 1 1 0 1 1 0 0
NN 26 Ж 92 0 1 0 1 1 1 0 0
NN 27 Ж 114 0 0 1 1 0 1 1 0
NN 28 Ж 78 0 1 0 1 0 1 1 0
NN 29 Ж 141 1 0 1 1 0 1 1 0
NN 30 Ж 177 1 1 0 1 0 1 1 0
NN 31 Ж 163 1 1 0 1 1 1 0 0
NN 32 Ж 197 1 1 1 0 1 1 0 0
NN 33 Ж 71 0 0 0 1 1 0 1 0
Л*-
и,
V
ГХХ
я»
71„
я»
»1
00 1 11 1
111 3
000 3
000 1 001 1 011 1 100 1 110 1 111 1
1111
запрет
0000 запрет
0011
запрет
18
34
34
9
5
8
4
8
4
Окончание таблицы 3
Поряд. номер NN Леке. номер NL Многочлен
ар а\ #2 ^3 а12 а13 а23 а123
Графическое задание функции
V = 2
у-грамма параметр а
V = 3
у = 4
у = 5
у = 6
N
NN 34 Ж 226 1 1 0 0 1 0 1 0
NN 35 Ж 184 1 0 0 1 1 0 1 0
NN 36 Ж 29 0 1 0 0 1 0 1 0
NN 37 Ж 57 0 1 1 0 0 1 0 0
NN 38 Ж 156 1 0 1 1 0 1 0 0
NN 39 Ж 99 0 0 1 1 0 1 0 0
NN 40 Ж 198 1 1 1 0 0 1 0 0
71»
Т »2
»Вт
00 1 11 1
000 1 001 1 011 1 100 1 110 1 111 1
000 2 111 2
0011
запрет
1100
запрет
00000 2 10000 2 000012 100012 000102 101112 000112 110002 001112 111002 010002 111012 011102 11110 2 011112 11111 2
001000 111000 111011
запреты
18
34
13
34
Ч
4
6
Отметим, что для ряда функций оценку длины запретной комбинации удалось снизить до 8, тогда как данная оценка у Сумарокова С.Н. достигала 34-х. У функций с порядковыми номерами 5, 6, 7, 8 V у которых равняется 3) оценка длины запрета по С.Н. Сумарокову q = 43, уточненная оценка р = 23 (максимальная из полученных), которая будет справедливой для всех булевых функции от 3-х переменных и также, как и оценка Сумарокова, является весьма завышенной. Отметим, что у всех функций длина запрета N е {3, 4, 5, 6}.
Отклонение от равновероятного распределения некоторых v-грамм последовательности гарантирует наличие запрета у функции. Обладающие максимальным отклонением а = 3 (при п = 3) v-граммы позволяют находить все входные переменные, формирующие данную комбинацию.
При изучении поставленных вопросов у отдельных функций при п > 3 экспериментально обнаруживается следующая тенденция: если у функции Дх1, ..., хп) простейший из найденных запретов имеет большую длину (число знаков в запретной комбинации у1, ..., у^, то и параметр v0 большой. Иными словами, на множестве равновероятных функций с запретом длина наименьшего запрета N растет вместе с ростом V. Данное наблюдение требует дальнейших исследований и обобщений.
5. Отдельный пример функции
В ряде работ [3, 7, 8] рассматривалась булева функция Дх1, х2, х3) = х2 © х1х3 (ЫЫ 23 (табл. 3)), графическое задание которой приводится на рис. 3.
*3
И^ТТ
Г
010
Х2
Х1
Рис. 3
В работе [3] данная функция была приведена в качестве примера того факта, что нелинейность по каждому внутреннему существенному аргументу не есть необходимое условие отсутствия запрета у функции - и у нее был найден запрет 10101.
В работе [8] для функции /(х1, ..., хп) = = х © хх были получены точные вероятности
т 1 п г
распределения некоторых у-грамм в случае, когда (т - 1, п - т) = 1. А именно, при случайном равновероятном поступлении входных переменных (входные переменные - независимые равновероятно распределенные случайные величины) выполняются равенства
Р {(У1,-.
Р {(1,... ,1)} =
п-1
1
у у)} =—, 1 < у < п - 2,
1У-1
2п 1 V 4)
2 1
п-1
/
■ +
(11)
(12)
То есть распределение любой у-граммы с длиной, не превосходящей п - 2, равновероятно, однако уже у (п - 1)-граммы, состоящей из (п - 1) единиц, наблюдается отклонение от равновероятного распределения, определяемое величиной (-1/4)п-1.
Приведенные значения вероятностей (11), (12) совпали с экспериментальными исследова-
ниями, проводимыми в работе [7], в которой рассматривалась функция
У(х1, ..., х6) = х3 © х1х6 (т = 3; п = 6).
В нашем случае (при т = 2; п = 3) для функции т(х1, х2, х3) = х2 © х1х3 величина п - 2 равна 1 и распределение выходных знаков последовательности будет равновероятным, в силу равновероятности функции (рис. 4 а), что согласуется с (11) (на рисунке представлены все возможные у-граммы (у е 1,5) при различных у со значениями, определяющими количество входных последовательностей, порождающих соответствующие выходные у-граммы). В распределении биграмм заметно отклонение от равновероятного распределения (рис. 4б).
8001 5
Я-.} 5.0 5
Й5.Й0 5
0101 1 0110 1
0111 я
• "НИ! Ер :.Э(зг 5
1010 1
1011 5
• ='10 5 : 181 1
1110 5
1111 9
88808 5
00001 к
00018 5 ооон 5 00108 В 00101 2 00118 2 00111 8 «.->.¡108 5 0Ю01 5 01018 1 01011 1 01108 К 01Ю1 а 01118 Л 01111 6 ¡0ВВ8 5 18001 5 10018 5 13011 18108 10101 о 10118 о 10111 2 11008 Ё. 11001 ;; 11018 1 11011 1 ¡1108 Ч 11105 2 11118 6 11111 12
В частности, комбинация 1 1 появляется при 5-ти возможных вариантах входной последовательности х х х3, х4, а именно
х2 © х1х3 = 1 ^х3 © х2 х4 = 1
.Х2 — 1, .Х1.Х3 — 0 ^ Х3 — 1, Х2 Х4 — 0 .Х2 — 0, Х1Х3 — 1 ^ Х3 — 1, Х2 Х4 — 0 I Х2 — 1, .Х1Х3 — 0
V Х3 - 0, Х2 Х4 - 1
I Х2 — 0, Х1Х3 — 1
V Х3 - 0, Х2 Х4 - 1
х2 = 1, х1 = 0
.Х3 — 1, Х4 — 0
х2 = 0, х1 = 1 [х3 = 1, х4 = 0 либо 1
{х2 = 1, х1 = 0 либо 1 х3 = 0, х4 = 1
противоречие с
(0,1,1,0) (1,0,1,0) (1,0,1,1) (0,1,0,1) (1,1,0,1)
решения.
х1 • 0 = 1
Получаем пять решений, что отражено на рис. 4б. Всего число возможных входов, порождающих биграммы, равно 24 = 16. Тогда
5 4 111 1 Р {1,1} — - — — + — — - + — —-+
/ 1Л3—
16 16 16 4 16 2
3-1
V 4;
что соответствует значению вероятности (12) при п = 3.
Аналогичные рассуждения можно провести и для комбинаций 1 1 1 (рис. 4 в), 1 1 1 1 (рис. 3 г) и 1 1 1 1 1 (рис. 4 д).
Выберем v0-грамму 0 1 с минимальным V, равным 2, дающим отклонение а = 1 от равновероятного распределения из табл. 3 (лист 3) для функции с номером NN 23. Рассмотрим систему вида (1) для комбинации 01
Х2 © х1Х3 = 0
.Х3 Х2 Х4 — 1
Х2 —
Х3 (1 © Х1 Х4 ) — 1
значит,
Х3 — 1, Х2 — Х1 Х1 Х4 — 0
Получаем три решения: (0010); (0011); (1110), что соответствует числу 2п-1 - а = 4 - 1 = 3, записанному в таблицу для функции с порядковым номером 23.
Аналогичные рассуждения можно провести и для v1-грaммы 1 0 1 с максимально возможным отклонением а = 3, при котором число решений системы вида (1) равно 1.
Сравнивая оценки длин запрета при а = 1 v-грaммы 01 и при а = 3 v-грaммы 101 согласно табл. 1 (эти значения в таблице подчеркнуты) получаем, что р1 = 18, р3 = 8. Таким образом, наименьшим из двух оценок будет р3 = 8, что и отражено в табл. 3 в соответствующей позиции для исследуемой функции с номером NN 23. Заметим, что оценка Сумарокова (4) при этом достигает, соответственно, значений
q = 2 + 23(23-2 - 1)(2 + 3 - 1) = 2 + 8 х 4 = 34
для v-грaммы 01 и
q = 3 + 23(23-2 - 1)(3 + 3 - 1) = 3 + 8 х 5 = 43
для v-грaммы 101.
Длина построенного при этом запрета равна 5.
Выводы
В результате проведенных исследований показано, что при анализе совместности систем
булевых уравнений сдвигового типа и поиске запретной комбинации эффективным промежуточным этапом является изучение вероятностей появления v-грaмм на выходе соответствующего узла с функцией Д(х1, ..., х). Вероятностное распределение позволяет не только обнаружить факт наличия запрета у функции, но и оценить длину запретной комбинации, учитывая при этом значения отклонений а от равновероятного распределения в выявленной неравновероятной v-грaмме. Кроме того, вероятностный подход представляет и самостоятельный интерес для решения целого ряда прикладных задач, таких, как нахождение разностей расстояний между существенными переменными функцииДх ..., Хп), выделение функции из некоторого класса допустимых вариантов Д(х1, ..., хп) е а также определение отдельных входных переменных на основании наблюдаемого отрезка знаков выхода.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (НШ-8564.2006.10)
Библиографический список
1. Алферов, А.П. Основы криптографии: учебное пособие / А.П. Алферов, А.Ю. Зубов, А.С. Кузьмин и др. - М.: Гелиос АРВ, 2001.
2. Смирнов, В.Г. Системы булевых уравнений рекуррентного типа / В.Г Смирнов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Т. 2. - Вып. 3. - М.: Научное издательство «ТВП», 1995.
3. Сумароков, С.Н. Запреты двоичных функций и обратимость для одного класса кодирующих устройств / С.Н. Сумароков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Т. 1. - Вып. 1. - М.: Научное издательство «ТВП», 1994.
4. Никонов, В.Г Запреты ¿-значных функций и их связь с проблемой разрешимости систем уравнений специального вида / В.Г. Никонов, Н.В. Никонов // Вестник РУДН, серия прикладная и компьютерная математика.
- Т. 2. - 2003. - № 1.
5. Никонов, Н.В. О связях и отличиях полузапретов I, 11-ого рода и запретов ¿-значных функций / Н.В. Никонов // Вестник Моск. гос. ун-та леса - Лесной вестник. - 2006.
- № 1 (43).
6. Никонов, Н.В. О классах к-значных функций без полузапретов / Н.В. Никонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Т. 12. - Вып. 1. - М.: ОпиПМ.
- 2005.
7. Никонов, Н.В. О классификации всех булевых функций от 3-х переменных с обобщенными запретами / Н.В. Никонов // Вестник Моск. гос. ун-та леса - Лесной вестник. - 2004. - № 5 (36).
8. Колесников, О.В. Использование запретов двоичных функций при решении систем уравнений / О.В. Колесников // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Т. 2. - Вып. 3. - М.: Научное издательство «ТВП», 1995.
