Некоторые элементарные формулы выпуклого анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2004, Том 6, Выпуск 4

УДК 519.6

НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА1

А. В. Арутюнов

Дорогому Владимиру Михайловичу Тихомирову с уважением и любовью

Рассматривается линейный непрерывный оператор А, действующий из одного банахова пространства в другое, образ которого не предполагается замкнутым. Построено описание образа сопряженного оператора А*. Приведено также описание конуса сопряженного к конусу К, состоящего из тех

х, для которых Ах принадлежит заданному замкнутому выпуклому конусу С.

Пусть заданы банаховы пространства X, У и линейный непрерывный оператор А : X ^ У. Исследуем, как устроено подпространство 1т А*. Здесь, как обычно, А* : X* ^ У * — сопряженный оператор, X *, У * — пространства топологически сопряженные к X и У соответственно, а 1т — образ оператора.

Как известно (см. [1, стр. 115]), если подпространство 1т А замкнуто, то подпространство 1т А* слабо* замкнуто в X* и, следовательно (см. [1, стр. 112, 109]),

1т А* = (кег А)х, (1)

где ^ означает аннулятор. Если же образ оператора А не замкнут, то формула (1) уже, вообще говоря, не верна. В то же время следующее утверждение справедливо и без предположения замкнутости 1т А.

Лемма 1. Пусть I £ X*. Тогда для того, чтобы I £ 1т А*, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось: (I, ж») ^ 0 для любой последовательности {ж»}, для которой Аж»^0, г ^ то.

< Необходимость очевидна. Докажем достаточность.

На подпространстве 1т А определим линейный функционал у * следующим образом. Для каждого у £ 1т А положим (у*, у) = (1,ж), где ж — произвольный вектор, для которого Аж = у. Постольку поскольку в силу предположения леммы (1,ж) =0, Уж : Аж = 0, то (I, ж1) = (1,ж2), Vж1,ж2 : Аж1 = Аж2 и, значит, функционал у* на 1тА определен корректно. Линейность его очевидна.

Докажем, что функционал у* непрерывен на 1т А. Действительно, пусть у» £ 1т А, у» ^ 0, г ^ то. Возьмем ж» : Аж» = у». Тогда (у*, у») = (1,ж»). Но Аж» = у» ^ 0, откуда в силу предположения леммы (1,ж») ^ 0 ^ (у*, у») ^ 0, г ^ то, что доказывает непрерывность у* на 1т А. А непрерывный на нормированном пространстве 1т А линейный функционал у* ограничен на нем и, следовательно, по теореме Хана — Банаха

© 2004 Арутюнов А. В.

1Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №02-01-00334 и гранта президента РФ по поддержке ведущих научных школ, № НШ-1889.2003.1.

4-8

А. В. Арутюнов

он продолжим до некоторого непрерывного функционала у * £ У *. При этом I = А*у*. Это вытекает из того, что для произвольного ж £ X имеет место (у*, Аж) = (I, ж) ^ (А*у*,ж) = (I, х). >

Замечание. Полнота пространств X и У при доказательстве леммы 1 не использовалась и, следовательно, она верна для произвольных нормированных пространств X, У.

Изучим, теперь, следующий вопрос. Пусть в пространстве У задан заостренный конус С (т. е. АС = С для каждого А > 0 и 0 £ С). Рассмотрим конус

К = {ж £ X : Ах £ С}.

Спрашивается, как вычислить конус К *, являющийся сопряженным к К, и который, как известно (см. [2]), определяется по формуле

К * = {ж* £ X * : (ж*, ж) ^ 0 V ж £ К}.

Описание сопряженного конуса К * при дополнительных предположениях на А и К дает теорема Фаркаша. А именно, пусть конус С выпуклый и замкнутый, а конус А*С* слабо* замкнут. Тогда имеет место (см. [2, стр. 65, 66])

К * = А*С *. (2)

При этом конус А*С* слабо* замкнут, если выполнено хотя бы одно из двух предположений:

а) найдется ж £ X такое, что Аж £ т! С.

б) пространства X, У конечномерны, а конус С — конечнопорожденный, т. е. является выпуклой оболочкой конечного числа лучей или, что то же самое, С есть пересечение конечного числа полупространств.

Если конус А* С * слабо* замкнутым не является (а это может быть, даже если пространства X, У конечномерны, но конус С — не является конечногранным), то формула (2) уже, вообще говоря, не верна. В этом случае известно лишь, что А*С* С К*, причем в силу теоремы 3.6 из [2] конус А*С* слабо* всюду плотен в К*.

Приведем описание сопряженного конуса К* в предположении, что подпространство 1т А замкнуто.

Лемма 2. Предположим, что подпространство 1т А замкнуто. Тогда

К * = А* (С П 1т А)*. (3)

Если же, кроме того, конус С является выпуклым и замкнутым, то

К * = А* с1(С * + кег А*), (4)

где с1 обозначает слабое* замыкание.

< Возьмем произвольный I £ К*. Тогда I £ (кег А)^, откуда, учитывая замкнутость подпространства 1т А, в силу (1) получаем существование такого у * £ У *, что

I = А*у*.

Покажем, что

у* £ (С П 1т А)*

(5)

Некоторые элементарные формулы выпуклого анализа

4-9

Действительно, пусть y G C П Im A. Тогда 3 x G X : Ax = y, Ax G C ^ (y*, y) = (y*, Ax) = (A*y*,x) = (1,x) ^ 0, так как x G K, l G K* и, значит, (y*, y) ^ 0. Включение (5) доказано. В силу произвольности l вместе с этим доказано и включение K* С A*(C П Im A)*. Обратное включение очевидно. Формула (3) доказана.

Далее, если конус C является выпуклым и замкнутым, то, как известно (см. [2, стр. 35]), (C П Im A)* = cl(C * + (Im A)*) = cl(C * + ker A*), что доказывает (4). При этом использовано, что (Im A)* = (Im A)^ = ker A* (см. [1, стр. 112]). >

Отметим, что если алгебраическая сумма конуса C* и подпространства ker A* слабо* замкнута (а так будет если, например, пространства X, Y конечномерны и конус C конечнопорожденный, или, если Im A = Y и, значит, ker A* = {0}), то (4), очевидно, принимает вид (2).

Следующее утверждение уже справедливо без априорного предположения замкнутости подпространства Im A.

Теорема. Пусть l G X*, а конус C является выпуклым и замкнутым. Предположим, что для любой последовательности {x«}, для которой Ax« ^ C, имеет место

lim (1,xi) ^ 0.

Тогда

I G A* cl(C* + ker A*). (6)

< Из предположения теоремы вытекает, что (l, x«) ^ 0 для любой последовательности {x«}, для которой Ax« ^ 0, i ^ то. Следовательно, в силу леммы 1 существует такое y* g Y*, что l = A*y*. Кроме того, в силу предположения теоремы l G K*. Поэтому, дословно повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве леммы 2, получаем (5), откуда с помощью формулы (C П Im A)* = cl(C * + ker A*) получаем (6). >

Отметим, что если предположения о полноте нормированных пространств X, Y и замкнутости конуса C опустить, то в предположении теоремы имеет место

l G A*(C П Im A)*.

Я искренне благодарен профессору А. А. Шананину за плодотворные обсуждения результатов работы.

Литература

1. Рудин У. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1975.—443 с.

2. Гирсанов И. В. Лекции по теории экстремальных задач.—М.: Изд-во МГУ, 1970.—117 с.

Статья поступила 9 ноября 2004 г-

Арутюнов Арам Владимирович, д. ф.-м. н. г. Москва, Российский университет дружбы народов E-mail: [email protected]