CC BY
49
1) только при t = 0
2) только при t Ф 0
3) только при t = 1
4) при любых t
5) ни при каких t
Одним из ведущих направлений концепции модернизации образования является индивидуализация образования, при внедрении которой цели и задачи в первую очередь ориентированы на интеллектуальное развитие личности. Важной составляющей интеллекта является пространственное мышление, его сформированность служит непременным условием успешности любого вида предметной деятельности студента-выпускника естественнонаучного направления. Формирование у студентов научных представлений и понятий о пространстве - одна из важнейших задач обучения геометрии. В связи с этим возникает потребность в поиске и выборе эффективных средств обучения, направленных на развитие пространственного мышления. В качестве одного из средств можно рассматривать компьютер, с использованием которого в учебном процессе меняется характер обучающей среды. В частности, для нас важным является возникновение новых возможностей для реализации принципа наглядности, так, в менее детерминированных тестах студенты должны будут дополнить недостающие элементы в изображениях геометрических фигур.
Литература
1. Далингер В.А., Князева О.О. Когнитивно-визуальный подход к обучению математике: учеб. пособие / В.А. Да-лингер, О.О. Князева. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2004. 344 с.
2. Гнеденко Б. В. Математика и математическое образование в современном мире / Б.В. Гнеденко. - М.: Просвещение, 1985.
References
1. Dalinger V.A., Knyazeva O.O. Cognaively-visial approach to the mathematics teaching: textbook. - Omsk: OmskSPU Publishing House, 2004, 344 p.
2. Gnedenko B.V. Mathematics and mathematical edication in the modern world. - M: Education, 1985.
УДК 519.863
Д. Халтар, Б. Очирбат
Монголия, Улан-Батор, Монгольский государственный университет,
Монгольский государственный университет науки и техники А. С. Булдаев
Россия, Улан-Удэ, Бурятский государственный университет
Некоторые эколого-экономические модели по добыче невозобновляемых природных ресурсов1
На основе известных эколого-экономических моделей разрабатываются новые задачи по добыче невозобновляемых ресурсов с учетом охраны природной среды как задачи оптимального управления и дифференциальной игры.
D. Khaltar, B. Ochirbat
Mongolia, Ulaanbaatar, Mongolian State University,
Mongolian University of Science and Technology A.S. Buldaev Russia, Ulan-Ude, Buryat State University
Some ecological and economic models on mining of irreplaceable natural resources
On basis of well-known ecological and economic models we suggest new optimal control problems and differential game, which describe mining of irreplaceable natural resources taking into account protection of the environment.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 07-01-90101, 08-01-00945)
1. Оптимальные равновесия в эколого-экономической модели борьбы с загрязнением
Основным источником загрязнения среды является современное производство, поэтому изучение возможностей установления контроля над загрязнением окружающей среды осуществляется в рамках теории производственных функций. Здесь мы изложим одну из таких моделей, построенную и исследованную в [1].
В качестве критерия, подлежащего максимизации, принимается интеграл от функции полезности вдоль конкретной траектории c(t) и P(t) с учетом дисконтирования
T
со = Iu(c(t), P(t))e~rtdt.
0
При этом функция полезности общества и(c, P) зависит от двух параметров: с - объем потребления, P - переменная, характеризующая объем загрязнения. При этом
Эи „Эи „ Э 2и „ Э 2и .. Эи
— > 0,— < 0,—- < 0,—- < 0, lim— = ¥ .
Эс ЭР Эс ЭР с®0 Эс
В качестве производственной функции рассматривается известная [3] неклассическая однопродуктовая двухфакторная функция F(K, L) , аргументами которой служат, как обычно,
объем К основного капитала и объем L трудовых ресурсов.
С целью упрощения изложения будем считать, что предложение трудовых ресурсов не изменяется во времени. Предполагаем, что основной капитал амортизирует с постоянным темпом ¡1 > 0 .
Загрязнитель не используется в производстве как полезный продукт, а является его побочным продуктом. Считаем, что объем загрязнителя прямо пропорционален объему продукта
производства и составляет от него долю £, 0 < £ < 1. Примером подобного производства может служить, например, металлургическая отрасль, производство бумаги и т.д. Таким образом, загрязнение измеряется в тех же единицах, что и основная продукция.
Как известно, окружающая среда обладает определенной способностью ассимилировать отходы производства. Будем считать, что естественная убыль отходов в каждый момент времени составляет долю g от их общего количества. Общество? в свою очередь, может выделять часть производственного общественного продукта на борьбу с загрязнением. Предполагается, что эффективность (производительность) затрат на уменьшение загрязнения постоянна. При этом затрата одной единицы продукции уменьшает загрязнение на d единиц (будем считать d> 1).
Задача управления состоит в определении долей ^(t) и и2^) выпуска, предназначенных на потребление и борьбу с загрязнением соответственно. Здесь с = и1 (t) F (K, L) и имеем следующую задачу:
T
Iи(с^),P(t))e~rtdt ® max; (1)
0
K = (1 - и1 (t) - и 2 (t))F (K, L) - jjK, (2)
P = (e-Sß)F(K, L) -gP. (3)
Здесь 0 < ^(t) < 1, 0 < и2 (t) < 1, и1 (t) + и2 (t) < 1.
Полный анализ поведения оптимальных траекторий в данной модели довольно сложен, поскольку здесь имеются два управляющих параметра. Поэтому в [3] было доказано, что существуют две точки равновесия задачи (1) - (3) в зависимости от параметров модели. Для этого вместо первоначальных двойственных функций используются функции q1 (t) = e~rtyx (t), q2 (t) = e~rty2 (t) . Показано, что в равновесной точке
(1 - и - и2)F(K, L) = /UK(t)
(£ - ди2 )F (K, L) = ]P
принцип максимума равносилен максимизации функции
j(u1, u 2) = n(u1) + Ju2 в области u1 > 0, u2 > 0, u1 + u2 < 1, где
n(u1) = u(u1 F(K,L),P) - q1u1 F(K,L), J=-(q1 + q2d)F(K,L) .
Оказывается, что при J = 0 будет равновесие «золотого» века (u2 > 0), при J < 0 будет равновесие «темного» века (u2 = 0) .
2. Использование невозобновляемых ресурсов с учетом загрязнения
Теперь рассмотрим одну известную модель использования невозобновляемых природных ресурсов с учетем загрязнения, поставленную и исследованную в [2]. Пусть E (t) - количество ресурса, имеющегося в момент времени, u(t) > 0 - интенсивность добычи ресурса для экономического роста, p(t) -уровень загрязнения, A(t) - часть добычи ресурса, которая используется для борьбы против загрязнения. В этой модели считается, что добыча ресурса проводится государством, которое в состоянии установить верхний предел A величины A(t). В модели имеется два фазовых переменных E(t), p(t) и два управления u(t) > 0 и 0 < A(t) < A .
Общественный, т.е. государственный, интерес представляет функция полезности U(c(u), p) , где c(u) - потребление общества за счет добычи ресурса. Мы предполагаем, что выполняются следующие классические условия:
Uc > 0, Up < 0, Ucc < 0, cu > 0, cu < 0 .
Согласно [2], эту модель можно записать в следующем виде.
T
| U(c(u), p)dt ® max ,
E = -A - u
. (4>
p = au - pA-dp
p(0) = p0 > 0, E(0) = E0 > 0, p(T) > 0, E(T) > 0, u(t) > 0,0 < A(t) < A .
Здесь a - коэффициент загрязнения от добычи; p - коэффициент эффективности борьбы
против загрязнения; d - коэффициент самоочищения природы от загрязнения.
Гамильтониан и сопряженная система модели (4) имеют соответственно следующие виды: H = U (c(u), p) + y2(au - pA -dp) -y( A + u) (5)
. 9H n
=-------= 0 ^ у = const
№ r, d <6)
У 2 =-~p =~Up + dy 2
Полный анализ модели (4) с использованием выражений (5), (6) можно посмотреть в [2],
где A(t) способен принимать значения 0 или A в зависимости от выполнения неравенство
yi(t) - РУ2 > 0 и yi(t) - РУ2 < 0 соответственно.
3. Простая модель по добыче невозобновляемых ресурсов Здесь используется одна простая модель. Похожая модель была исследована в [2].
Пусть E0 - первоначальный запас ресурса, ET > 0 - минимальный запас ресурса, который должен остаться после добычи ресурса за период (0,T), E(t) - запас ресурса в момент времени t, u(t) > 0 - управление, т.е. интенсивность использования ресурса в момент време-
ни t. Тогда задача оптимального управления ставится как
T
I f (u(t))dt ® max, (7)
0
E = -u(t), (8)
E(0) = E0, E(t) - ET > 0, u(t) > 0 , (9)
в которой f (u) - функция полезности, удовлетворяющая следующим классическим условиям производственной функции [3]:
f (0) = 0, f '(0) =¥, lim f '(u) = 0, f '(u) > 0, f "(u) < 0, "u > 0.
U®¥
Гамильтониан и сопряженное уравнение принимают следующий вид:
H (E,y, u) = f (u)-yu. у = -~H = 0 ^У = const.
Условия максимума и трансверсальности выглядят как
aH = 0, y(T) = у> 0, (10)
au
Из (10) видно, что при у > 0 существует единственное решение задачи (7) - (9), которое находится из условия
aH = f(u)-у = 0. (11)
au
Поэтому имеем E(t) =-tu * +E0, где u * - решение уравнения (11), удовлетворяющее условию - Tu * + E0 = ET = E(T).
4. Эколого-экономическая модель по добыче полезных ископаемых
Предлагается следующая модель использования полезных ископаемых с учетом загрязнения окружающей среды:
IU (c(t), P(t))dt
Е = -п($)
<
ГЦ) = уы(*) -р- (1 - )) I (ы (V)) -Я- Р(*)
Е(0) = Е0, Р(0) = 0, Ркр > Р(Г) > 0, 0 < ы(Г) < ытах, 0 <-(0 < 1, Е(Т) > Ет > 0, где -(/), ы (V) - управления, /(ы) - доход, получаемый при добыче полезных ископаемых в количестве ы,
1 (0) = 0 1 '(ы) > 0,1 "(ы) < 0,1 '(0) = ¥ 1 '(¥) = 0,
е(1) - потребление:
Ф) = я(*) •1 (ы(*)),
Е (V) - запас полезных ископаемых в момент V, Р(V) - уровень загрязнения окружающей среды в момент V, (1 - -(V))I(ы (V)) - количество средств, направленных на очистку; у -коэффициент загрязнения; р - эффективность очистки; Я - коэффициент самовосстановления окружающей среды; ы (V) - интенсивность добычи; -(V) - доля средств, направляемых на потребление. и (с, Р) является функцией общественной полезности:
и (с, Р) = А • с + и,(Р) = А# (ы) + и, (Р), где А > 0,и,(0) = 0,и,'(0) = 0,и,'(Р) < 0,и1"(Р) < 0.
0
В частности, f (u) = ua ,UX (P) = -BPß, где 0 <a< 1,ß> 1.
5. Добыча полезных ископаемых иностранной компанией как задача дифференциальной игры
Когда полезные ископаемые добываются иностранной компанией, то её интересы не совпадают с государственными и они даже противоположны друг другу. В этом случае модель можно записать в форме дифференциальной игры.
1. Стратегия иностранной компании
T
I[(1 - v(t))s(t) f (u(t)) - cWt)P(t)]dt ® max ;
0
E(t) = -u(t)
<
_P(t) = V ■ u(t) - p(1 - S(t)) - gp(t)
E(0) = E\ P(0) = 0, Pp > P(t) > 0,0 < u(t) < umax , 0 < s(t) < 1, E(T) > ET > ^
где f (u) обладает такими же свойствами, как в предыдущей модели.
2. Стратегия государства
T
IV(t)s(t)f (u(t)) + w(t)p(t) - L(p(t))]dt ® max;
0
0 < Vmin < v(t) < Vmax < 1, 0 < wmin < w(t) < wmax < 1,
L( p) - функция убыток от загрязнения окружающей среды, удовлетворяющая следующим условиям: L(0) = 0, L(p) > 0, L"(0) > 0. В частности, L(p) = Bpß, ß > 1. v(t), w(t) - управления, имеющиеся в распоряжении государства: V(t )-доля от дохода, которую должно получить государство; w(t) - налог за загрязнение природы. Промежутки [Vmin, Vmax],[wmin, wmax] устанавливаются иностранной компанией и государством, которые должны придерживаться международных стандартов.
6. Заключение
Монголия является страной с богатыми невозобновляемыми природными ресурсами и благополучной экологической средой. Интенсивный рост экономики и подъем жизненного уровня населения являются в настоящее время первоочередной задачей монгольского государства. Реализация такой глобальной задачи обязательно будет сопряжена с ухудшением экологической ситуации на большой территории, где будут добываться такие невозобновляемые природные ресурсы, как уголь, золото, медь, железо и т.д. Поэтому экономические и экологические проблемы должны решаться комплексно и эффективно. Одним из инструментов решения проблем является системный анализ математических моделей рассматриваемых процессов. Постановка и анализ решений модельных оптимизационных задач могут служить основой для выработки оптимальных управленческих решений на практике.
Литература
1. Килер Э. Оптимальный контроль над загрязнением окружающей среды // Математическая экономика / Э. Килер, М. Спенс, П. Зекхаузер. - М.: Мир, 1974. C. 46-63.
2. Вгисе А. Forster. Optimal Energy Use in a Polluted Environment // Journal of Environmental Economics and Management / А. Forster. Вшсе. 1980. Р. 321-333.
3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов. - М.: Наука, 1984. 296 с.
References
1. Kiler E., Spens M., Zekkhauser P. Optimal control for pollution of the environment // Math. Economics / E. Kiler, M. Spens, P. Zekkhauser. - M.: Mir, 1974. P.46-63 (in Russian).
2. Вшсе А. Forster. Optimal Energy Use in a Polluted Environment / Forster Вшсе А. // Journal of Environmental Economics and Management. 1980. Р. 321-333.
3. Ashmanov S.A. Introduction in Mathematical Economy / S.A. Ashmanov. - M.: Nauka, 1984. 296 p. (in Russian).
