CC BY
0
НЕКОТОРЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА С НЕПОЛНЫМИ ЯДРАМИ
Н.А. Абдирайимова, канд. физ.-мат. наук, доцент Ошский государственный университет (Кыргызстан, г. Ош)
DOI:10.24412/2500-1000-2024-4-5-84-88
Аннотация. Все фигурирующие функции и их производные являются непрерывными и соотношения имеют место при t > , t >т> ; ИДУ - интегро-дифференциальное
уравнение; под устойчивостью линейного вольтеррова ИДУ третьего порядка понимается ограниченность при t > ^ всех его решений и их первых, вторых производных.
Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение третьего порядка, неполные ядра, устойчивость решений, интегральное неравенство, метод вспомогательных ядер, нестандартный метод сведения к системе, лемма Люстерника-Соболева, иллюстративный пример.
Решается следующая
Задача. Установить достаточные условия устойчивости линейного ИДУ третьего порядка типа Вольтерра с неполными ядрами вида:
хта)+а2 (/) х ^)+а ^) х ^)+а ^) х^) +
+1 [О,^,г)х(т) + ^,г)х(т)]йт = /а), t > t0 (1)
to
в случае, когда ядра ,т) (к = 0, 1) - немалые, т. е. удовлетворяют условиям:
X /
110 ^ ,г)| йтА = х (к = 0,1).
tn t(\
Отметим, что в ИДУ (1) отсутствует ядро О ,г) и при условиях ^к) исследование
устойчивости такого ИДУ осложняется. Насколько нам известно, поставленная нами задача об устойчивости для ИДУ (1) с условиями ранее не изучена. В настоящей работе сначала применяется метод вспомогательных ядер из [1], затем используются нестандартный метод сведения к системе [2], метод частичного срезывания [3], и устанавливаемые достаточные условия устойчивости ИДУ (1) будут новыми.
Ниже приведем методику решения поставленной задачи. В ИДУ, следуя [1], вводим некоторое вспомогательное ядро Н2 (/,г) с х"(г) :
О (^ т)х(г) + О ^, т)х '(т) = О (^ т)х(т) + О ^, т)х '(т) + Н (t, т)х "(т) - Н (t, т)х "(т)
и используя преобразование с интегрированием по частям:
t t -J H2 (t, г) x" (r)dr = - H2 (t, t) x"(t) +H2 (t, t0) x" (t0) + Jj (t, t) x' (r)dr,
заданное ИДУ (1) приведем к нагруженному ИДУ вида: х'" (г) + а2 (г) х" (г) + а(г) х' (г) + а0 (г) х(г) +
р (2) J[Qo(t,t)x(t) + Q(t,t)x"(t) + H2(t,t)x"(t)]dt = f (t) - H2(t,t0)x"(t0),
г0
где а(г) - а (г) - Н2 (г, г), Я(г, т) - Ц (г, т) + Н"т (г, т).
Далее в ИДУ (2) сделаем следующую нестандартную замену [2]: х " (г) + Я2 х(г) = Ж (г) у (г), (3)
где 0 < Л - некоторый вспомогательный параметр, причем 0 < Ж (г) - некоторая весовая функция, у (г) - новая неизвестная функция.
Тогда ИДУ третьего порядка сводится к эквивалентной системе из одного дифференциального уравнения второго порядка (3) и из одного ИДУ первого порядка для у (г), и полученная система исследуется аналогично методу из [2] с развитием метода частичного срезывания [3].
Таким образом, после нестандартной замены (3) рассматриваемое нами ИДУ третьего порядка (1) сводится к следующей эквивалентной системе, аналогичной из статьи [2].
x''(t) + л2 x(t) = W (t) y(t),
у" (t) + b (t) y(t) + b (t) x'(t) + bo (t) x(t) + (4)
t
+j[P (t, t)x(t) + P (t, t)x'(t) + K(t, t)у(г)]dt = F(t), t > t0,
где Ъ2(г) - а2(г) + Ж'(г)(Ж(г))~1, Ъ(г) - (Ж(г))~1 [а(г)-Л2],
Ъ (г) - (Ж(г))-1 [ао(г) - Л2а2(г)], р (г, т) - (Ж(г))-1 [Я,(г, т) - Л2Н2 (г, т)], Р(г,т) - (Ж(г))~1Я(г,т),
К (г ,т) - (Ж (г))-Н2(г,т)Ж (т), ^ (г) - (Ж (г))~1[/(г) - Н2(г, г0) х '(г,)]. Пусть [3]:
п
Н2(г,т) = £ К (г, т), (Н2)
1=1
Щ (г) (1 = 1п) - некоторые срезывающие функции, т (г) - К (г, г) (¥г (г))-2, Мг (г, т) - К (г, т) (щ (т))-1 (I = 1. п).
Как отмечено в [3], ядра Mi(г,т) (I = \..п) называются частично срезанными. Для произвольно фиксированного решения (х(г), у(г)) системы (4), ее первое уравнение умножаем на х' (г) [4, с. 194-217], второе-на у (г), затем сложим полученные соотношения,
t
0
проведем интегрирование в пределах от /о до t, в том числе по частям, при этом вводим условия (К), функции ц/(), T^), Mi(t,т) (/' = 1..п), используя лемму из [3]. Тогда получаем следующее тождество:
t s t
-2Ц М'* Щ (т, t0) y(т)dтds]-с* + 21W (s)y(s) х ' +
1010 10 (5)
г s 4 '
+21 уф{¥ (s) - Ь (s) х ' (s) - ¿0 ф x(s) -1 [р (s, т) х(т) +р (s, т) х '(т)]йт^,
*0 ¡0
t
где Y(t,to)-1к(Л)УШЧ ^ = 1.П), с* = (x'(to))2 +Л2(х(^))2 + (у(О)2.
to
Теорема. Пусть 1) Хф 0, W^) > 0, выполняется условие (К); 2) Ь2 (t) > 0;
3) Т^) > 0, существуют функции Т) е ,х) такие, что Т*(t) < Т**(t)Т(t) (/' = 1..п);
t t 1
4) W(t) + |¥()| + \Ьк(0| + ЦРк(/,т)|йт + 1 |М;М(Т(т))-2йте Х1^,х),Д+ \{0})
t0 to
(к = 0,1; i = 1..п).
Тогда для любого решения (х(/), y(t)) справедливы следующие утверждения:
х( к ^) = 0(1) (к = 0,1), (6)
У() = 0(1), (7)
где 0(1) -символ Э. Ландау, т.е. |0(1)| < q < х -символ ограниченности. Пусть, кроме того, 5) W(^ = 0(1). Тогда для ИДУ (1) х= 0(1), т.е. ограничены х(/), х'^), х "^), что эквивалентно устойчивости линейного вольтеррова ИДУ третьего порядка (1).
Схема доказательства этой теоремы такова. Введем обозначение:
t п
п(/) - (х'(t))2 +Л2(х(0)2 + (У(0)2 + 21 ¿2^)Ш)2+ Ш(t,to))2. (8)
г=1
t0
Тогда в силу условий 1)-3) теоремы вытекает, что п(/) > 0 и из тождества (5) переходим к интегральному неравенству
t 1
п ($) < с* + 21 {| F (*)|(ф))2 + [Ж (з) + \Ь(з)\ + Щ'1 М^ф) +
к
(п(*) )21 [| Р0(5,т)| IX"1 +| РМ + Мт М (п(т) )2]йт}.г (9)
+
К интегральному неравенству применяется лемма 1 [5] и в силу условий 4), 5) получается, что
п(/) = 0(1) . (10)
о
Из оценки (10), с учетом обозначения (8), имеем утверждения (6), (7) теоремы. Наконец, на основании условия 5) теоремы из нестандартной замены (3) вытекает, что х" (I) = 0(\), что завершает доказательство нашей теоремы. Пример. Для ИДУ третьего порядка:
x" (t) +
1 + evl \t + 2)
+
0
H 2(',t) -
e t cost
(t + t + 3)4
x" (t) +
x(t) +
1 + e4t sm21 - e--VF
H '2T (t,i) -
x" (t) + 13e- |sin5r|
' 19|cos t|
(t + 2)
./Isin t
+ evl l(t + 2)
x(t) +
выполняются
t)-I
все
et + t + 4 условия
x !)№ = —1"0, (*)
3t\ —, t
H2 (t, t) -[1 + (t - r)e~l4t ]2
et+3t sintsini, Ä = 1, W(t) - e , здесь t0 = 0, b2(t) - e<1 ^ (t + 2),
теоремы
, = I
при
a(t) -1 - e
t п г 19|cost\ Icost
b(t) --e^, bo(t) --79—, Po(t) -- 1
Q(t,t) - Qx(',T) + H" t(tT) 13|sin5i|
P(t,t) --
et +t + 4
(t + 2)2 ' ^ (t + t + 3)4'
1
, K(t, t) - [1 + (t - i)e-l4t ]2 e2t+2t sin t sin t, n = 1, щ (t) - e2t sin t,
1
T (t) -1, M (t, t) - [1 + (t - T)e~l4t ]2 e2t sin t, M"(t, t) - -
7esin t
— . Значит, для при-
[l + (t -r)e-14' ]2
веденного ИДУ (*) справедливы все утверждения нашей теоремы.
Заключение. В заключение отметим, что нам удалось найти класс ИДУ третьего порядка вида (1), для которого выше сформулированная нами задача решаема.
Библиографический список
1. Искандаров С., Абдирайимова Н.А Об асимптотической устойчивости решений линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с неполными ядрами // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. - 2020. -№ 2-1 (41). - С. 179-184.
2. Искандаров С. Об одном нестандартном методе сведения к системе для линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // Исслед. по инте-гро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2006. - Вып. 35. - С. 36-40.
3. Искандаров С., Шабданов Д. Н. Метод частичного срезывания и ограниченность решений неявного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения первого порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2004. - Вып. 33. - С. 67-71.
4. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование: Пер. с фр. - М.: Наука, 1976. - 288 с.
5. Ведь Ю.А. Пахыров З. Достаточные признаки ограниченности решений линейных интегро-дифференциальных уравнений // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям в Киргизии. - Фрунзе: Илим, 1973. - Вып. 9. - С. 68-103.
SOME SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE STABILITY OF A LINEAR VOLTAIRE INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF THE THIRD ORDER WITH INCOMPLETE KERNELS
N.A. Abdirayimova, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor Osh State University (Kyrgyzstan, Osh)
Аbstract. All the functions and their derivatives are continuous and the relations take place in the IDU - integro-differential equation; the stability of a linear Voltaire IDU of the third order is understood to be limited in all its solutions and their first and second derivatives.
Keywords: integro-differential equation of the third order, incomplete kernels, stability of solutions, integral inequality, method of auxiliary kernels, non-standard method of reduction to the system, Lyusternik-Sobolev lemma, illustrative example.
