CC BY
17НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ Останов К.1, Инатов А.И.2, Химатов И.3, Рузиева М.4
'Останов Курбон- кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, механико-математический факультет;
2Инатов Аброр Исматович — ассистент;
3Химматов Ибадилло — ассистент, кафедра информационных технологий;
4Рузиева Махлиё - студент, факультет прикладной математики и информатики, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье рассмотрены некоторые аспекты изучения неопределенных уравнений в средней школе. Приведены примеры задач, приводящие к неопределенным уравнениям. Дано определение диофантовых уравнений: уравнения, в которых неизвестными являются целые числа. Эти уравнения названы в честь древнегреческого математика Диофанта, жившего в 3 веке до нашей эры. Он в своей книге «Арифметика» привел различные уравнения с неизвестными целыми и рациональными числами и дал различные способы нахождения ее решения. Дан способ решения неопределенных уравнений, основанный на алгоритме Евклида. Дано две правила решения таких уравнений и примеры решения конкретного уравнения с двумя неизвестными.
Ключевые слова: уравнение, алгоритм Евклид, денежных единиц, взаимно простые числа, коэффициенты, НОД, монета, отрицательные значения, последовательность таблиц, вычисления, целочисленные решения.
УДК 372.85'
При изучении методов решения неопределенных уравнений сначала можно рассмотреть следующую задачу, решаемый с применением алгоритма Евклида[1].
Задача 1. С помощью 3 и 5 денежных единиц можно ли платить 13 денежных единиц? Решение можно найти методом подбора: одна 3 денежных единиц и три 5 денежных единиц, так как 3 -1 + 5 • 2 = 13 . Что можно сделать, если в задаче требуется оплатить покупку только с 5 денежными единицами?
Задача 2. В одно время в обращении было только монеты с достоинством 12 и 19 денежных единиц. Солдат пришел к продавцу и хотел купить спичку, со стоимостью одну денежных единиц. Как должен поступить продавец в этой ситуации? Как решить эту задачу об оплате покупку за хлеб, если он стоит 4 денежных единиц и в обращении имеется только монеты с достоинством 12 и 18 денежных единиц.
Если через х обозначим количество монет с достоинством 3 денежных единиц и через у количество монет с достоинством 5 денежных единиц, то тогда по условию должно быть выполнено равенство 3х+5у=13.
Числа х=1 и у= 2 удовлетворяет этому условию, кроме этого, данное уравнение имеет также решения х=-4, у=5 или х=6, у=-1 и поэтому уравнению удовлетворяют числа, имеющий вид х=1+5п, у=2-3п, Уп е 2 .
Действительно, 3(1+5п)+5(2-3п)-3+15п+10-15п=13. Например, выше приведенные пары решения получается из этой общей формулы при п=-1 и п=1[2]. Возникает вопрос: как понимать отрицательные значения х и у? Оплата (-4) монет с достоинством 3 денежных единиц означает возвращение продавцом 4 монет с достоинством 3 денежных единиц. Действительно, если даём продавцу 5 монет с достоинством 5 денежных единиц, то он возвращает 4 монеты с достоинством 3 денежных единиц, то тогда будет всего оплачено 5 • 5 — 4 • 3 = 13 денежных единиц.
При решении второй задачи аналогичное уравнение будет иметь вид 19х + 12у = 1 . Очевидно, что при этом один из этих чисел должно быть положительным, а второй отрицательным, т.е. продавец должен солдату выдать некоторую определенную сдачу. Аналогично, второй вопрос этой задачи приводит к уравнению 18х + 12у = 4 .
Неопределенные уравнения, в которых неизвестными являются целые числа названо в честь древнегреческого математика Диофанта, диофантовыми уравнениями. Он привел различные
уравнения с неизвестными целыми и рациональными числами и дал способы нахождения их решения
[3].
Рассмотрим уравнение ОХ + Ьу = С , где a, Ь и c - целые числа, а > Ь > 0, х и у- неизвестные целые числа. Обозначим через d=(a,b) -НОД чисел a и Ь. Если Х0, у0 - целочисленное решение
этого уравнения, то тогда из равенства ах0 + Ьу0 = С (так как числа a и Ь делятся на d ) вытекает,
что c также должно делится на d . Значит,
Правило 1. Если число с не делится на НОД (^Х то уравнение не имеет целочисленных решений. Рассмотрим уравнение 18х+12у=4. Так как НОД(18,12)=6, так как число 4 не делится на 6, то данное уравнение не имеет целочисленных решений, т.е. солдат 4 денежных единиц не может оплатить монетами с достоинством 12 и 18 денежных единиц. Найдем НОД коэффициенты уравнения
19х+12у=1:19 = 12-1 + 7, 12 = 7-1 + 5, 7 = 5-1 + 2
5 = 2 - 2 +1, 2 = 1-2 + 0. Найдем (12, 19)=1. Выполняются условия первого правила. Но будет ли уравнение иметь целочисленных решений? Если дано любое уравнение вида, например уравнение 231х + 525у = 210 , то как же можно решить его?
Правило 2. Если число с делится на НОД коэффициентов уравнения, то сначала деля обе части на НОД (а,в) необходимо его упростить. Например, (231, 525)=21. Так как 504 = 21 - 24,
231 = 21-11, 210=2110, то уравнение приводится к виду 11х + 25у = 10. (11,25)=1. Это справедливо и в общем случае, так как коэффициенты уравнения делятся на НОД чисел a и Ь. Значит, это уравнение можно решить при делении на ^,^=1 или когда числа а и в будут взаимно простыми[4]
Предположим, что и и V два натуральных числа, и > V и для некоторых чисел Х, У\, Х2 У2
выполняются равенства ОХ1 + Ьу1 = и, ОХ2 + Ьу2 = V т.е. пары ,у1), (Х2,у2)
являются решениями уравнения при С = и, С = V . Делим обе части с остатком на и и V .
и = V - q + Г, 0 < Г < V. Из этих двух уравнений получаем а(Х1 — дх2 ) + Ь(у — ду2 ) = Г,
т.е. числа — qx2 и у — qy2 являются решениями уравнения ОХ + Ьу = Г .Значит, зная
решения уравнений ОХ + Ьу = V и ОХ + Ьу = Г можно найти решение данного уравнения тогда
вместо v стоит остаток от деления v на г. Продолжая этот процесс найдем решения уравнения, при этом в правой части будет стоят меньшие и все меньшие натуральные числа.
Правило 3. Когда а и Ь будут взаимно простыми для того,чтобы решить уравнение
ОХ + Ьу = С сначала надо найти (Х0, у0 ) решение уравнения ОХ + Ьу = 1, числа СХ0 и Су0
тоже будет решениями исходного уравнения. Вместе с числами x=-90, у=40 решениями уравнения
11Х + 25у = 10 будут пара чисел вида Х = —90 + 25п, у = 40 —11« , пeZ.
Эти соображения справедливы и в общем случае: если ( Х1, у1) одно из решений уравнения
ОХ + Ьу = С , то в произвольном п числа вида Х = Х1 + Ьп, у = у1 — ОП также будут
решениями уравнения. Таким способом найдем бесконечное количество решений уравнения
ОХ + Ьу = С . Поэтому остальные решения уравнения 11х + 25у = 10 будут следующие пары
чисел (-90;40), (-65;29), (-40;18), (-15;7), (10;-4), (35;-15), ... . Но существует ли решения, которые нельзя получить с помощью этих формул?
Правило 4. Если коэффициенты уравнения ОХ + Ьу = С a и Ь взаимно простые, то тогда все
решения уравнения получается с помощью формул Х = Х1 + Ьп, у = у1 — ОП .Для того чтобы объяснить необходимо важное свойство целых чисел, т.е. если a, Ь - взаимны простые натуральные числа, и с такое число, что произведение ^ делится на число а. Тогда число с делится на число а.
Действительно, по теореме найдутся такие целые числа Х , у , что верно равенство 1 = ОХ^ + Ьу0. Умножая это равенство на с найдем ОСХ0 + ЬСу0 = С, отсюда так как числа a и
bc делится на числа a , то число с тоже делится на а. Свойство доказано. Пусть (Xj,yj) и (X2;У2) решения уравнения ax + by = С , тогда axj + byj = С, 0X2 + by2 = С . a и b взаимно простые числа и вычитая почленно из второго первое равенство получаем a(X2 — X ) + b(y2 — y ) = 0 или a(X2 — Xj) = b(У2 — У1) . По доказанному свойству разность y1 — y2 делится на а, т.е. при некотором целом n y1 — y2 = an или y2 = y — an . Подставляя в правую часть an вместо
y2 — y и сокращая на а получаем X2 — X = bn или X2 = Л + bn . Значит, (X2, y2 ) любое решение уравнения ax + by = С может быт получен с помощью формул X = Xj + bn, y = yj — an доказано утверждение данного правила.
Список литературы
1. БашмаковаИ.Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972.
2. Гринько Е.П., Головач А.Г. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. Брест, 2013.
3. Останов К., Бектоев С., Усанов Р. Особенности изучения составных чисел в школьном курсе математики // Инновационная наука в современном мире (innovative science in the modern world). Материалы международной научно-практической конференции 14 июня 2018 года. (г. Минск, Беларусь). НИЦ «Мир науки», 2018. С. 173-177
4. Останов К., Джалилов А. Некоторые аспекты методики изучения признаков делимости. //Проблемы теории и практики современной науки (problems of theory and practice of modern science). Материалы международной научно-практической конференции 15 мая 2018 года. (г.Минск, Беларусь). НИЦ «Мир науки», 2018. С. 169-173.
ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК - НЕОТЪЕМЛЕМАЯ ЧАСТЬ В СИСТЕМЕ НЕПРЕРЫВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Перервина И.М.
Перервина Ирина Михайловна - старший преподаватель, кафедра иностранных языков, Алтайский государственный аграрный университет, г. Барнаул
Аннотация: данная статья посвящена актуальному на сегодняшней день вопросу - непрерывному образованию. Раскрыты цели, задачи и принципы непрерывного образования. Также рассмотрена важная роль преподавателя вуза при обучении студентов. Показана взаимосвязь непрерывного образования и конкурентоспособности специалиста. Особое внимание уделяется иностранному языку.
Ключевые слова: непрерывное образование, возобновляющееся образование, дистанционное образование, конкурентоспособность, принципы образования, иностранный язык.
Современное общество требует от человека постоянного обучения. Человек должен уметь меняться, получать новые знания, идти в ногу со временем.
Прежние знания постепенно устаревают. Чтобы не отстать и всегда быть квалифицированным специалистом, необходимо постоянно меняться и совершенствоваться. Это касается всего: знаний, умений, навыков. В помощь приходит непрерывное и возобновляющееся образование. Пословица «Век живи - век учись» как никогда актуальна в наше время. Благодаря непрерывному образованию человек любого возраста может постоянно (в течение всей своей жизни) развивать свои способности, дополнять имеющиеся у него знания, повышать свою квалификацию. Для этого существуют различные образовательные (государственные и частные) учреждения, где можно повысить свою квалификацию или переквалифицироваться. Выпускникам вузов стоит понимать, что диплом не гарантирует им хорошую работу. Это лишь допуск до неё. Нужно и дальше развиваться. Задача преподавателя - научить современного студента самостоятельно добывать новые знания. А цель хорошего образования - научить студента мыслить.
