Некоторые асимптотические формулы в теории нестационарного переноса излучения Текст научной статьи по специальности «Физика»

2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 4

АСТРОНОМИЯ

УДК 52-64

НЕКОТОРЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ В ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ

А. К. Колесов1, Н. Ю. Кропачева,2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, a.kolesov@spbu.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, NK@NK11595.spb.edu

1. Введение. При решении задач астрофизики, геофизики и океанологии, требующих использования теории переноса излучения, в ряде случаев удобно использовать не точные аналитические или численные методы, а более простую асимптотическую теорию. В частности, таким способом можно исследовать световые поля на больших оптических расстояниях т от источников излучения и в случае малого истинного поглощения (см., например, [1-5]).

Чаще всего при этом применяется теория стационарного переноса. Однако в современной астрофизике важное место занимает изучение зависящих от времени процессов, протекающих в различных нестационарных небесных объектах. Для их интерпретации необходимо применение теории нестационарного переноса излучения, основы которой изложены в книгах [2, 4, 6], в статье [7] и в обзорных работах [8-9].

Методика вывода асимптотических выражений для величин, характеризующих нестационарное поле излучения в средах, освещенных мгновенными источниками, описана в монографии И.Н.Минина [4]. Она основана на том, что эффективным способом решения задач теории нестационарного переноса излучения является применение преобразования Лапласа по времени. В результате этого преобразования получается уравнение стационарного переноса, но при этом изменяются величины коэффициента поглощения а (а, следовательно, и оптических расстояний т) и альбедо однократного рассеяния А. Полученное из этого уравнения выражение для некоторой характеристики поля излучения раскладывается при условии, что 1-А< 1, в ряд по степеням малой величины \/1 — X. В этом разложении отбрасываются члены более высокого порядка малости, чем \/1— А. В полученном выражении, величина 1 — А заменяется на параметр в преобразования Лапласа. Тогда применение к полученной формуле обратного преобразования Лапласа приводит к асимптотическому выражению для исследуемой характеристики нестационарного поля излучения. В качестве примера использования такой методики И. Н. Минин [4] вывел асимптотическую формулу для средней интенсивности излучения в бесконечной среде, освещенной мгновенным плоским источником вдали от этого источника при условии, что 1 — А ^ 1.

В настоящей работе методом Кейза [6] исследуется асимптотический световой режим при указанных выше условиях в бесконечной однородной среде, освещенной

© А. К. Колесов, Н. Ю. Кропачева, 2013

либо стационарным, либо мгновенным плоским или же точечным источником излучения. Выводятся асимптотические выражения для средней интенсивности и потока нестационарного излучения.

2. Стационарный плоский источник. Рассмотрим сначала поле излучения в бесконечной однородной среде, освещенной стационарным плоским источником, который может быть представлен в виде множества изотропных точечных источников светимости Ь, равномерно распределенных на плоскости с поверхностной плотностью I. Положение точек среды будем характеризовать их оптическим расстоянием т от излучающей плоскости, отсчитываемым по нормали, а направление распространения излучения — косинусом п угла между этим направлением и указанной нормалью.

Полная интенсивность излучения /(г,гу), т.е. сумма интенсивности диффузного излучения и интенсивности прямого излучения, приходящего в данную точку среды непосредственно от источника, определяется уравнением переноса

^сЫ^т^т) + - ^^^ _ Л у р^^у^^/)^/= 0. (1)

Здесь р(п, С) — усредненная по азимуту индикатриса рассеяния, причем п и £ — косинусы углов, характеризующих направления распространения падающего и рассеянного излучения. Функцию р(п, С) представим, как обычно (см., например, [3]), в виде разложения по полиномам Лежандра Рп(п), то есть

N

р (п, С) = Е хпрп(п)Ри(С,). (2)

п=0

Структура решения уравнения (1) была исследована в случае изотропного рассеяния в работе Кейза [10], а в случае анизотропного рассеяния в работе Мика [11]. Кейз [10] предложил представить величину /(г, г/) в виде суперпозиции собственных функций /(т,п, V) уравнения (1), соответствующих различным положительным значениям V непрерывного спектра и значениям Vfc дискретного спектра, т. е. в виде

I1 1{т,Г!,у) А / (т, г/, Уи) /о Л/ +М(ук)

(3)

где N(V) и N^) —кейзовские нормировочные интегралы [6], обеспечивающие орто-нормированность собственных функций. Число К положительных собственных значений дискретного спектра при не очень сильно вытянутых индикатрисах рассеяния равно единице, а с ростом степени их вытянутости число К возрастает.

Собственные функции / (т, п, V) , соответствующие собственным значениям V как непрерывного, так и дискретного спектра, представляются в виде

н

/ (г, г], у) = Н(г], у)е * , (4)

причем функции Е(п, V) даются разложениями в ряды по полиномам Лежандра:

1 ^

2Е(2п+1)Д»(г/)Р»(??)- (5)

п=0

Коэффициенты Еп (у) этих разложений — это известные полиномы, часто используемые в теории переноса излучения [3]. Они определяются рекуррентными соотношениями

(п + 1) Дп+1 (V) + пЕп-1 (V) = (2п +1 - Ахп) Еп (V) V (6)

при условиях

Ео (V) = 1, Е1 М = (1 - А)^ (7)

Формула (3) дает представление интенсивности излучения в виде обобщенной функции в смысле Соболева—Шварца (см., например, [12]). Для численных расчетов эта формула непригодна. Однако угловые моменты интенсивности излучения, получаемые с помощью этой формулы, являются обычными функциями. В частности, из формулы (3) вытекают выражения для средней интенсивности

1

г-1

2

и потока излучения

Ат) = - Ц(8)

/-1 !■ 1

Н{т) = 2тг у / (г, г])г](1г], (9)

которые можно использовать для вычислений.

Найдем асимптотические выражения для .1(т) и Н(т) при |г| 1 и 1 — А <С 1. В выражения (4) для собственных функций /(т, п, V) входят быстро убывающие с ростом |т| экспоненциальные функции. Поэтому при |т| ^ 1 в формуле (3) можно пренебречь слагаемым, представляющим собой интеграл по собственным значениям непрерывного спектра, а в сумме по собственным значениям дискретного спектра можно не учитывать слагаемые, соответствующие собственным значениям ин < VI (если такие слагаемые существуют). При этом полную интенсивность излучения можно считать асимптотически равной интенсивности диффузного излучения. Таким образом, формулу (3) при |т| ^ 1 можно представить в виде

V) = § £ + (10)

п=0 \к)

где к = Отметим, что функция К (г), и нормировочный интеграл

(п)

связаны с используемыми в книге В.В.Соболева [3] функцией г (п) и постоянной величиной М соотношениями

(12)

= (13)

Зависимость между собственным значением к и альбедо однократного рассеяния А, как известно [3], представляется в виде непрерывной дроби

к2

1-А=-^-. (14)

3 — Аж1--г;-

9к

5 - х2 - --

7 — хз — ...

Подставляя выражение (10) в формулы (8) и (9), для функций .1(т) и Н(т) получим следующие выражения:

/г е-к\т1

7(г) = —(15)

tw ч 1L 1 - A e-k|T 1 , ч

Н(т =-------TJY. 16

k

Рассмотрим теперь случай |т| 1, 1 — Л <С 1. Пренебрегая в известных разложениях величин к и М (см. [3, 4]) по степеням а/1 — А членами более высокого порядка, чем а/1 — А, и используя формулу (13), получаем

к = V(3-xi)(l -Л), (17)

Подставляя эти приближенные выражения в формулы (15) и (16), находим следующие асимптотические формулы, справедливые при т ^ 1, 1 — Л ^ 1:

7(т) = ^ • \/т^ГехР (-Л/(3-Х!)(1-А) Г) , (19)

1 - A

IL ~2

Н(т) = - ■ ехр (-v^-XiKl-A) г) . (20)

3. Мгновенный плоский источник. Пусть рассматриваемая бесконечная среда освещается мгновенным изотропным плоским источником, находящимся в плоскости т = 0 и вспыхивающим в начальный момент времени (£ = 0). В этом случае нужно учитывать конечность скорости с распространения света и определенную длительность процесса переизлучения кванта после его поглощения. Среднее время пребывания кванта в поглощенном состоянии обозначим через ¿1, а среднее время, проводимое им в пути между двумя последовательными поглощениями через ¿2 = • Вместо физического времени £ удобно использовать безразмерное время и, а параметры ¿1 и ¿2 заменить безразмерными параметрами в и в, причем

и=* = /?2 = —~~— • (21)

Обозначая интенсивность излучения в среде, освещенной мгновенным плоским источником, через 1${т,г],и) запишем уравнение переноса в виде (см., например, [4])

д1й(т,г/,и) д1й(т,г/,и) — А ¡л ,ч,/ Гт / / /ч

г]-^--V Р2-^--\--^S{^',r],u)--J р(г],г] )с1г] у 1&{т,г],и)е Л — = 0.

-1 0 1 (22) Заменяя в формулах (19) и (20) величину 1 — Л на параметр в и производя обратное преобразование Лапласа, получаем асимптотические выражения

2

- IL а/3 - XI / (3-Ж1 )т . Ji(T'u) = • ехр--' (23)

2

и i \ lL V3 - X! / (3-Ж1 )т . Hg(T'u) = 4VW ■ ■|т| -ехр--' (24)

выполняющиеся при г > 1, 1 - А « 1, и > а/3 — Ж1/З2т. Последнее неравенство обусловлено конечностью скорости распространения света в среде.

Переходя в неравенствах т>1,и> л/3 — Ж1/З2т от безразмерных переменных г и и к геометрическому расстоянию г точек среды от излучающей поверхности и физическому времени £ при помощи соотношения т = аг и формулы (21), эти неравенства можно переписать в виде аг 1, Ь > л/3 —

В рассматриваемом приближении асимптотические формулы для средней интенсивности и потока нестационарного излучения не зависят от параметров в и в2 •

Отметим, что формула (23) при сферической индикатрисе рассеяния для Х1 =0 приведена И. Н. Мининым [4].

4. Стационарный точечный источник. Рассмотрим теперь поле излучения в такой же бесконечной среде, что и выше, но освещенной изотропным стационарным точечным источником светимости Ь.

Обозначим через т оптическое расстояние точки среды от источника, совмещенного с началом координат, а через ц — косинус угла между направлением распространения излучения в данной точке и радиус-вектором. Полная интенсивность излучения I(т, определяется в этом случае следующим уравнением переноса [3]:

+ + ¡[р^'Щг^М = 0. (25)

Решение этого уравнения, получающееся методом Кейза, было рассмотрено в работе [13]. Было получено разложение функции I(т, по собственным функциям д(т, V), соответствующим тем же самым собственным значениям V, что и в случае уравнения (3), т. е.

В этой формуле

д(т,И, у) , -Д д{т,ц,ук) N(V) + ^ N(Vk)

(26)

1 ОО

д (г, v) = —== ]Г (2п + 1)Д„ („) Кп+г (-) Рп (М), (27)

v n=0

где Kn+x —модифицированные функции Бесселя 3-го рода половинного индекса, выражающиеся через элементарные функции [14]. Подставляя их выражения в формулу (27), находим, что

i п { i \| Til — —

5 (Г, М, -) = ^ Е + № w М Е и V ■ 7oV- (28)

2tv ^^ ^^ m!(n —m)! (2т)m

n=0 m=0 v / V /

При т ^ 1 в формуле (26) следует сохранить только слагаемое, соответствующее дискретному собственному значению ь>\ = j. Тогда эта формула упрощается:

1(т .L^.si^^í) (29)

Средняя интенсивность J(т) и поток H(т) излучения приобретают вид

т . . La2 ke kT .

JV = ~6(30)

1

0

4ТГГ дг(1) у ' кт

Как и в случае среды, освещенной плоским источником, будем считать величину 1 — Л малой и пренебрегать малыми величинами более высокого порядка, чем \/1 — А. Тогда для функций J (т) и Н (т) получаются следующие асимптотические выражения:

(г) = (3 - X!) • ехр (~у/(3 - хл) (1 - Л) г) , (32)

Н (т) = + ^(3 " X!) (1 - Л) г] • ехр (-у/(3 - хл) (1 - Л) г) , (33)

выполняющиеся при т ^ 1, 1 — Л ^ 1.

5. Мгновенный точечный источник. Поле излучения в однородной бесконечной среде, освещенной мгновенным точечным источником светимости Ь, вспыхивающим в начальный момент времени и = 0, определяется уравнением переноса

д/й (т, и) 1 — д/й (т, и) д/й (т, и)

М-5--1---5--ЬР2-5--^ (т' -

дт т д^ ди

Л Г1 ,, Г "о / /«Мм / 1д(т,^,и)е 131 — = 0. (34) 2 7-1 7о Р1

Здесь /й (т, и) — полная интенсивность излучения, распространяющегося на оптическом расстоянии т от источника под углом ^ к радиус-вектору в момент безразмерного времени и.

Используя методику, изложенную во введении, преобразуем формулы (32) и (33) и в результате получим справедливые при т> 1, 1 — А< 1, и > ^(3 — х\)р2Т асимптотические формулы для средней интенсивности (т, и) и потока Нй (т, и) нестационарного излучения:

Ьа2 (3-Ж1)2 / (3 — жх) г2 \

^ (т'м)=32^ • ^—~;' (35)

Нб (Г>и) = . . Г . ехр (- ^^ . (36)

и2уи у 4и )

Отметим, что, как и в случае мгновенного плоского источника, в данном приближении асимптотический режим поля излучения не зависит от параметров в и в.

6. Соотношение между характеристиками полей излучения в средах, освещенных плоским и точечным источниками. В монографии Кейза и Цвай-феля [6] показана связь между решениями задач переноса в бесконечных средах, освещенных плоским и точечным источниками. Получены соотношения, связывающие выражения для первых двух коэффициентов разложения функции источников по полиномам Лежандра при плоском источнике и соответствующие выражения при точечном источнике. Эти коэффициенты разложений соответствуют средней интенсивности и потоку излучения. Поэтому можно написать такие же соотношения для функций 1${т,и) и 1${т,и) и для функций Н$(т,и) и Н$(т,и), а именно

Т ( \ ^ дЫТ,и)

H (т, u) = -

2п1т 2

8HS (т, ц) — г-—--Hs (г, и)

(38)

Эти соотношения можно использовать для проверки выведенных в данной работе асимптотических формул. Действительно, подставляя выражения (23) и (24) соответственно в формулы (37) и (38) и производя необходимые преобразования, получаем выражения (35) и (36).

7. Заключение. В настоящей работе исследуется поле излучения, создаваемое в среде мгновенными плоскими и точечными источниками. Однако при интерпретации наблюдений астрофизических объектов (например, сверхновых и вспыхивающих звезд) необходимо учитывать длительность uo их вспышки, а также зависимость их светимости L от времени u. Это легко выполнить. Для этого выведенные для случая мгновенного источника формулы для характеристик светового поля, например, для средней интенсивности и потока излучения, следует умножить на функцию L (u) и проинтегрировать по u от u = 0 до u = uo.

Литература

1. Амбарцумян В. А. Научные труды в 2-х томах. Т. 1. Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1960. 430 с.

2. Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М.: Гостехиздат, 1956. 391 с.

3. Соболев В. В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.: Наука, 1972. 336 с.

4. Минин И.Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет. М.: Наука, 1988. 264 с.

5. Смоктий О. И., Аниконов А. С. Рассеяние света в средах большой оптической толщины. СПб.: Наука, 2008. 440 с.

6. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. 384 с.

7. Иванов В. В., Гутшабаш С. Д. Распространение волны яркости в оптически толстой атмосфере // Изв. АН СССР. Сер. Физика атмосферы и океана. 1974. Т. 10, №8. С. 851-863.

8. Нагирнер Д. И. Теория нестационарного переноса излучения // Астрофизика. 1974. Т. 10, №3. С. 445-469.

9. Гринин В. П. Теория нестационарного переноса излучения // Труды Астр. обс. СПбГУ, 1994. Т. 44. С. 236-249.

10. Case K. M. Elementary solutions of the transport equation and their applications // Ann. Phys. 1960. Vol. 9, Nr. 1. P. 1-23.

11. Mika J.R. Neutron transport with anisotropic scattering // Nucl. Sci. Eng. 1961. Vol. 11, Nr. 4. P. 415-427.

12. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976. 318 с.

13. Колесов А. К. Функции Грина для уравнения переноса излучения в бесконечной однородной среде со сферически симметричным распределением источников // Астрофизика. 1984. Т. 20. Вып. 1. С. 133-147.

14. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.

а2