Анализ применимости диффузионного приближения для расчета радиационных характеристик газовых разрядов высокого давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА

УДК 537.52

В.Ф. Лапшин, А.В. Пелли

АНАЛИЗ ПРИМЕНИМОСТИ ДИФФУЗИОННОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА РАДИАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ГАЗОВЫХ РАЗРЯДОВ ВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ

V.F. Lapshin', A.V. Pelli2

'Petersburg State Transport University, 9 Moskovsky Ave. St. Petersburg, 190031, Russia. 2St. Petersburg State Polytechnical University, 29 Politekhnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russia.

APPLICABILITY ANALYSIS OF DIFFUSION APPROACH FOR CALCULATION OF RADIATIVE CHARACTERISTICS OF THE HIGH PRESSURE GAS DISCHARGE

В работе выполнен анализ применимости диффузионного приближения для расчетов переноса энергии излучением в газовых разрядах высокого давления. Показано, что диффузионный подход дает асимптотически правильные результаты в случаях оптически прозрачной и оптически плотной плазмы. В случае промежуточных значений оптических толщин различие точного и диффузионного подходов не превышает 20 %.

ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯ, ГАЗОВЫЙ РАЗРЯД, ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ, СПЕКТР ИЗЛУЧЕНИЯ ПЛАЗМЫ, ПЛАЗМЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ.

An analysis of the diffusion approach applicability for the radiation transfer calculations in the high pressure gas discharge has been carried out. It was shown that the diffusion approximation led to asymptotically correct results for the cases of optically thin and optically thick plasma columns. In the case of intermediate values of optical thickness the distinction between exact and diffusion approaches did not exceed 20 %.

RADIATION TRANSFER, GAS DISCHARGE, DIFFUSION APPROACH, MODELING, PLASMA RADIATION SPECTRUM, RADIATIVE PLASMA SOURCES.

Расчет радиационных характеристик представляет собой трудоемкую часть задачи моделирования излучающих разрядов [1]. Один из способов существенного упрощения расчетов опирается на использование диффузионного приближения [2]. Применимость такого подхода не может быть обоснована в общем виде и требует

тщательного анализа в каждом отдельном случае.

В настоящей работе анализируется возможность использования диффузионного подхода для расчетов переноса энергии излучением в условиях аксиально-симметричной плазмы газовых разрядов высокого давления. В таких разрядах, бла-

годаря большой скорости столкновитель-ных процессов, электронная компонента находится в состоянии локального термодинамического равновесия (ЛТР), т. е. имеют место распределение Максвелла и соотношения Саха — Больцмана, выполняющиеся при температуре электронов Те [3 — 5]. Это приводит к существенному упрощению уравнения переноса излучения в плазме [2]. Анализ применимости диффузионного подхода проводится на примере столба плазмы, возникающего в условиях, характерных для импульсно-периодического разряда высокого давления в цезии [6, 7]. Такой разряд реализуется в сапфировой трубке с внутренним радиусом Я « 2 — 3 мм. При этом в трубке с помощью дежурного разряда с током около 0,5 А поддерживается слабоио-низованное состояние плазмы, через которую периодически, с частотой V « 1000 Гц, пропускается импульс тока заданной формы амплитудой /тах « 10 — 100 А [8, 9].

Основные соотношения

Для аксиально-симметричной плазмы, находящейся в условиях ЛТР, уравнение переноса излучения вдоль заданного направления О при отсутствии рассеяния света имеет вид [2]:

д

I' = kx (I'P - I'),

ds

(1)

где I, = I, (г, О) — спектральная интенсивность излучения с длиной волны Х;

1хр = 2Лс2Х—5[ехр(Лс/ ХкБГ) - 1] -1

— равновесная (планковская) спектральная интенсивность; г — радиальная координата; я — координата вдоль светового луча; Те = Т(г) — температура электронов; к[(г) — коэффициент поглощения плазмы.

Подробное описание расчета к'х в цезие-вой плазме приведено в работе [10]. Решение (1) может быть записано в интегральной форме:

W

Ix (r, V, 0) = f K Ixp х

X exp í-f k' (l')

dl' cos V

dl

(2)

где углы у и 0 задают направление луча интегрирования Q;

lW = r cos0 + (R2 - r 2sin20)1/2;

R — радиус столба плазмы.

Используя решение (2), можно найти радиальную плотность потока лучистой энергии Fx и объемную плотность энергии электромагнитного излучения Ux по формулам

{ (Q -er)Ixdn; Ux = - f I', (3)

(4п) C (4п)

где ег — вектор единичной длины, задающий направление нормали к поверхности.

Объемная мощность радиационных потерь энергии Жх задается соотношением

1 д- (Р) = ск'(и,р - Их), (4) г дг

где ихр = 4п1хр/с — равновесная (планков-ская) плотность энергии излучения.

Для получения диффузионного приближения разложим спектральную интенсивность излучения 1Х в ряд по сферическим гармоникам и ограничимся двумя первыми членами разложения [2]:

1,(г, О)=/000))+О.ее/10(г). (5)

Физический смысл коэффициентов разложения можно увидеть после подстановки выражения (5) в формулы (3):

/00(г) = с^(г)/4п; /ю(г) = 3Рх (г)/4п.

Подстановка разложения (5) в уравнение (1) и усреднение по всему телесному углу с весом О приводит к соотношению

F (r) = -

c д

——U 3k' dr К

(6)

Теперь, с учетом соотношения (4), получаем диффузионное уравнение для плотности энергии и:

с 1 _д_ 3 r dr

(

\

r д

— — U' v k'^r \

V ' У

= ck'(U'P - U'). (7)

cos v

Граничные условия к уравнению (7) имеют вид [2]:

= =2(R). (8)

дU' 1 д^

дr r=0 ' 3k' дr

4

Физическая электроника

Основное преимущество диффузионной модели состоит в том, что уравнения (6) — (8) существенно проще соответствующих точных выражений (2), (3). Использование этой модели позволяет относительно легко (с малым временем загрузки CPU) выполнять расчеты радиационных величин U, W, F даже в случае нестационарной плазмоди-намики и сложного спектра излучения.

Анализ применимости диффузионного приближения

Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести величину радиальной оптической толщины tr столба излучающей плазмы:

] kl (r )dr.

В случае оптически прозрачной плазмы, когда тЯ << 1, уравнения диффузионной модели и точное уравнение (4) дают одинаковую асимптотику для величины спектральных потерь энергии на излучение:

(г) = ск;икр (г). (9)

Величина спектрального потока энергии Ек может быть в этом случае найдена из интегрального соотношения:

р (г) = 1Г г(г')йг'. (10)

г

' о

В случае оптически плотной плазмы, когда тЯ >> 1, из уравнения (7) следует, что и,к ~ и,р. После подстановки в соотношения (6) и (4) величины ихр вместо и х получаем приближение лучистой теплопроводности:

г. / ч дТ 1 д . дТ

Р (г) = -Л^; —,(11)

дг г дг дг

где

fi =

4nhc

I,

1

3квТ "Ар 1 - ехр(-Лс / ХквТе)

Такую же асимптотику дают и точные выражения (2), (3) после выполнения двойного интегрирования по частям в выражении (2).

Отметим здесь, что соотношения лучистой теплопроводности (11) справедливы во всем объеме плазмы, кроме узкого слоя толщиной порядка (к, (Я))-1 << Я вблизи границы плазмы. В этом слое вместо со-

отношения (11) необходимо использовать асимптотические выражения, которые получаются из выражений (2), (3). В частности, при г = Я интегрирование по частям в выражении (2) и усреднение по внешней полусфере в формуле (3) приводит к выражениям

Fx (R) = FKP (R)

i - 2 в 3

1

R дТе

T W дг r=R

+ O (в2)

Wx (R) = = (R)Uip (R):

1 +1 в 2

R дТ

Т 1 W дг r=R

+ 0(в2)

;(i2)

(13)

где

в = (hc / XkTW) / k[(R)R << 1; Tw = Te(R).

Таким образом, в случаях оптически прозрачной и оптически плотной плазмы диффузионное приближение (6), (7), с учетом (12), (13), позволяет найти правильные значения Fx и W без интегрирования уравнения переноса излучения.

Точность диффузионной модели в случае промежуточных значений оптической плотности столба плазмы (tr « 1) может быть оценена только численным путем. С этой целью в работе проведены расчеты Fx(r) и W(r) во всем излучаемом диапазоне длин волн. Параметры плазмы соответствуют режиму, характерному для импульсно-периодического разряда в цезии [8, 10]. Радиальный профиль температуры плазмы (рис. 1), возникающей после пропускания импульса тока, аппроксимировался выражением

ВД = Тю - (Тю - Tw)x3 +

+ TJ1 - (1 - exp(-ax2))/(1 - exp(-a)) + + x2(1 - x12)/10a]

при значениях T10 = 2700 K, T20 = 3300 K, Tw = 1500 K и a = 0,2 (здесь x = r/R - безразмерная радиальная переменная).

На рис. 1 приведены (в относительных единицах) результаты расчетов I(r)//max, F/Fmax и WJ Wmax для значения длины волны 1 = 501 нм, при которой радиальная оптическая толщина столба цезиевой плазмы

а)

б)

1,25-

1 1,00-

£

** 0,75-

в 0,50-

ь,

0,25-

1*.

0,00-

-0,25-

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 г/Д

Рис. 1. Радиальные распределения четырех величин (а, б) в столбе плазмы: 1 — спектральной интенсивности излучения 1Х / 1тах в радиальном направлении; 2 — температуры Т / Т0; 3 — спектральной потери энергии на излучение 1 / 4 — спектрального потока энергии Рх / Ртах.

Величины 1, 3, 4 получены двумя способами: точным расчетом (сплошные линии) и в диффузионном приближении (пунктиры)

тЯ = 0,75. Вычисления выполнены методом прямого интегрирования (МПИ) соотношений (2) — (4) и в диффузионном приближении (5) — (7). Максимальные значения величин равны:

4ах = 15,9 кВт/(м2-нм-ср);

Ртах = 36,9 кВт/(м2-нм);

1т1х = 54,3 МВт/(м3-нм).

Как видно из рисунков, приближенный подход дает качественно правильные результаты. При этом результаты, полученные в рамках МПИ и в диффузионном прибли-

100

100

\

к"

400

600

800

X, нм

Рис. 2. Распределение по длинам волн двух величин в столбе плазмы: 1 — потока энергии излучения из плазмы Рх(Я),

2 — радиальной оптической толщины тЯ (Х). Величина 1 получена двумя способами: точным расчетом (сплошная линия) и в диффузионном приближении (пунктир)

жении, различаются не более чем на 20 %.

На рис. 2 приведены результаты расчетов спектрального потока энергии излучения Рх (Я), выходящего из столба газоразрядной плазмы. Видно, что результаты расчетов различаются также не более, чем на 20 %. Наибольшее различие достигается в тех областях спектра, где радиальная оптическая толщина плазмы тЯ « 1.

Отметим, что различие между интегральными по спектру величинами Р и 1, рассчитанными в рамках МПИ и с помощью диффузионного приближения, не превышает соответствующих значений для спектральных величин.

В настоящей работе выполнен анализ применимости диффузионного приближения для расчетов радиальных распределений спектральных потоков энергии Рх и спектральных потерь энергии из плазмы 1 на излучение в газовых разрядах высокого давления. Показано, что диффузионный подход дает асимптотически правильные результаты в случаях оптически прозрачной (тЯ << 1) и оптически плотной (тЯ >> 1) плазмы. В промежуточном случае оптических толщин различие подходов максимально при значениях тЯ « 1 и не превышает 20 %. Результаты работы могут быть использованы для расчетов радиационного теплообмена и спектров излучения газовых разрядов высокого давления.

4

Физическая электроника^

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лосев С.А., Пилюгин Н.Н., Суржиков С.Т.

Моделирование радиационных процессов в механике сплошной среды. М.: МГУ, 1990. 184 с.

2. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений: М.: Наука, 1966. 688 с.

3. Griem H.R. Validity of local thermal equilibrium in plasma // Spectroscopy Phys. Rev. 1963. Vol. 131. P. 1170-1176.

4. Биберман Л.М., Воробьев В.С., Якубов И.Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. М.: Наука, 1982. 376 с.

5. Бакшт Ф.Г., Лапшин В.Ф. Плазма импульсно-периодического разряда в цезии как эффективный источник света // ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 7. С. 100-105.

6. Pichler G., Zivcec V., Beuc R., Mrzljak Z., Ban T., Skenderovic H., Günther K., Liu J. UV, visible and IR spectrum of the Cs high pressure lamp // Phys. Scr. 2003. Vol. T105. P. 98 - 100.

7. Бакшт Ф.Г., Лапшин В.Ф., Шиман А.С. Моделирование световых характеристик импульсно-периодического разряда высокого давления в цезии // Светотехника. 2005. № 3. С. 20-22.

8. Бакшт Ф.Г., Каплан В.Б., Лапшин В.Ф., Марциновский А.М. Особенности формирования непрерывного спектра излучения в видимой области в условиях импульсно-периодического разряда в цезии // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35. Вып. 23. С. 17 - 22.

9. Бакшт Ф.Г., Гавриш С.В., Каплан В.Б., Лапшин В.Ф., Марциновский А.М. Исследование оптических свойств импульсно-периодического разряда высокого давления в цезии// Прикладная физика. 2009. № 6. С. 83-87.

10. Baksht F.G., Lapshin V.F. Two-temperature modeling of pulsed high pressure caesium radiative discharge with recombination mechanism of light emission // J. Phys. D: Appl. Phys. 2008. Vol. 41. No. 20. P. 205201 (9 p).

REFERENCES

1. Losev S.A., Piliugin N.N., Surzhikov S.T.

Modelirovanie radiatsionnykh protsessov v mekhanike sploshnoi sredy. Moscow, MGU, 1990. 184 p. (rus)

2. Zel'dovich Ya.B., Raizer Yu.P. Fizika udarnykh voln i vysokotemperaturnykh gidrodinamicheskikh iavlenii. Moscow, Nauka, 1966. 688 p. (rus)

3. Griem H.R. Validity of local thermal equilibrium in plasma. Spectroscopy Phys. Rev., 1963, Vol. 131, pp. 1170-1176.

4. Biberman L.M., Vorob'ev V.S., Jakubov I.T. Kinetika neravnovesnoi nizkotemperaturnoi plazmy. Moscow, Наука, 1982, 376 p. (rus)

5. Baksht F.G., Lapshin V.F. Pulsed-periodic discharge in cesium as an effective source of light. Technical Physics, 2002, Vol. 72, No. 7, pp. 100-105. (rus)

6. Pichler G., Zivcec V., Beuc R., Mrzljak Z., Ban T., Skenderovic H., Gbnther K., Liu J. UV, visible and IR spectrum of the Cs high pressure lamp. Phys. Scr, 2003, Vol. T105, pp. 98-100.

7. Baksht F.G., Lapshin V.F., Shiman A.S.

Modelirovanie svetovykh kharakteristik impul'sno-periodicheskogo razriada vysokogo davleniia v tsezii. Light and Engineering, 2005, No. 3, pp. 20—22. (rus)

8. Baksht F.G., Kaplan V.B., Lapshin V.F., Marcinovskij A.M. Osobennosti formirovaniia nepreryvnogo spektra izlucheniia v vidimoi oblasti v usloviiakh impul'sno-periodicheskogo razriada v tsezii. Technical Physics Letters, 2009, Vol. 35, No. 23, pp. 17-22. (rus)

9. Baksht F.G., Gavrish S.V., Kaplan V.B., Lapshin V.F., Martsinovskii A.M. Issledovanie opticheskikh svoistv impul'sno-periodicheskogo razriada vysokogo davleniia v tsezii. Applied Physics, 2009, No. 6, pp. 83-87. (rus)

10. Baksht F.G., Lapshin V.F. Two-temperature modeling of pulsed high pressure caesium radiative discharge with recombination mechanism of light emission. J. Phys. D: Appl. Phys., 2008, Vol. 41, No. 20, p. 205201 (9 p).

ЛАПШИН Владимир Фёдорович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН, доцент Петербургского государственного университета путей сообщения.

190031, г. Санкт-Петербург, Московский пр., 9. lapshinvf@mail.ru

ПЕЛЛИ Александр Витальевич — аспирант кафедры физической электроники Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.

195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул, 29 pelli.alexandr@gmail.com

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013