Некоторые аналитические решения задачи Неймана на диске для уравнения Гельмгольца Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.3

М. Ю. Медведик, И. А. Родионова

НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА НА ДИСКЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Аннотация. Рассмотрена задача Неймана для уравнения Гельмгольца. Поставленная задача сведена к интегральному уравнению и описана теория разрешимости данного уравнения. Получены некоторые аналитические решения рассматриваемой задачи на диске.

Ключевые слова: аналитическое решение, интегральное уравнение, краевая задача.

Abstract. The article considers Neumann problem for Helmholtz equation. The problem is reduced to integral equation. The authors describe a theory of the equation solvability. The article presents several numerical results of the integral equation solution on a disk.

Key words: analytical solution, integral equation, boundary value problem.

1. Постановка задачи

Пусть S = {x = (Xi,X2,0)6 R3J - ограниченная, плоская незамкнутая по-

3

верхность в R с границей у .

Введем пространства Соболева:

Hs (Q) = {„(Q : u 6 Hs (R2 )J,

Hs (П) = {u 6 Hs (R2): suppu с nJ.

Скалярное произведение и норма в Hs (R2) определяются обычным образом:

(u,v)s = { (^)2s«(£)v(£)d£, ||u||2 = (u,u)s; (£) = (l + |^|2)^,

R2

где u(^) обозначает преобразование Фурье функции u; Hs (П) является замкнутым подпространством Hs (R2) с индуцированным скалярным произведением и нормой. Пространства H s (П) и Hs (п) антидвойственны друг к другу при всех s 6 R ; Hs (П) можно получить замыканием С0° (П) в пространстве Hs (R2) [4].

- V i / \

Пусть h 6 H /2 (S). Будем искать функцию u 6 Hioc (Пs ), что означает ограниченность энергии в любом конечном объеме пространства, удовлетво-

ряющую на 0,$ = Я3 \ ^ следующей краевой задаче для уравнения Гельмгольца:

|д + к21и = 0 на Ц, 1тк > 0,

(1)

с краевыми условиями на нормальную производную (задача Неймана)

здесь п = {0,0,1}.

Для обеспечения единственности решения задачи необходимо, чтобы функция и удовлетворяла условию на бесконечности (условию Зоммер-фельда):

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1 [2]. Если решение краевой задачи Неймана (1) и (2), существует, то оно единственно.

Основное преимущество применения метода граничных интегральных уравнений к исследованию задач дифракции для уравнения Гельмгольца заключается в том, что подобный подход позволяет свести задачу, поставленную в неограниченной области, к задаче в ограниченной области меньшей размерности, т.е. для границы рассеивателя. Последнее обстоятельство и является решающим для перехода к интегральным уравнениям.

Задача Неймана сводится к интегральному уравнению [2]

области ^.

Уравнение (4) возникает при представлении решения задачи Неймана (1)—(3) в виде потенциала двойного слоя

Заметим, что представление (4) справедливо для всех х £ ^ (х EQs). Выражение (4) удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца. Такое представление решения задачи Неймана приводит к автоматическому выпол-

(2)

ди

--------іки = о

дг

для к Ф 0,

(3)

или

и = О

2. Сведение задачи к интегральному уравнению

где [•] есть изменение значения функции при прохождении через границу

(5)

нению условий Зоммерфельда (3) [3]. Требуя выполнения краевых условий для задачи Неймана, опустим точку х на экран ^ и сразу получим интегральное уравнение (4).

Интегральный оператор 0$ может рассматриваться как в классической теории, так и в теории псевдодифференциальных операторов. Разрешимость уравнения (4) основывается на сильной эллиптичности оператора 0$, которой он обладает в соответствующих пространствах Соболева.

Интегральное уравнение (4) эквивалентно краевой задаче Неймана (1)-(3).

Утверждение 2 [2]. Пусть и е й/ос (й$) является решением краевой задачи Неймана (1)-(3), тогда скачок [и]|$ принадлежит пространству

Й12 ($) и является решением гиперсингулярного интегрального уравнения

(4). Обратно, если скачок [и]|$ е Й12 ($) является решением уравнения (4),

то функция и принадлежит пространству й}ос ) и является решением

краевой задачи Неймана (1)-(3).

3. Теоретическое исследование краевой задачи и интегрального уравнения

Для удобства исследования в уравнении (4) введем новое обозначение

г = —— [и]| для задачи Неймана. Тогда уравнение примет вид

4л 1Л

д

е

( ^ ік\х - у| ^

Ъпу \х - у|

г(у)ёу = И(х), х є Б. (6)

Будем рассматривать оператор 0$ как псевдодифференциальный оператор (ПДО)

= I ав (П)и( П

Я2

с символом ао, где и (^) - преобразование Фурье функции и . Главную часть символа ао (^) составляет , так как

На основании асимптотических свойств символа ао оператора 0$ можно сформулировать утверждения об их эллиптичности в соответствующих пространствах Соболева.

Утверждение 3 [2]. Оператор 0$ : Н12 ($ Н 12 ($) непрерывен, и

существует константа У2 > 0 и компактный оператор

С2 :Н12($)^Н 12($) такой, что для любой функции V из Й12($) выполняется условие

( + С2 ) И ) (Б) — У21ИI2 1/ . (7)

V /ь (Б) " 'НА (Б)

Из эллиптичности оператора Об и утверждения 3 следует утверждение

о существовании и единственности решений уравнения (6) в соответствующих пространствах Соболева.

Утверждение 4 [2]. Пусть 1тк — 0, тогда для любой функции

И е Й 12 (Б) существует единственное решение и е Й^ (Б) уравнения (6).

4. Аналитические решения задачи Неймана

В случае, когда к = 0, а Б = |х = (х1,Х2,0),^х2 + х| < 1| - диск, задача

Неймана для уравнения Гельмгольца может быть решена аналитически. В этом случае уравнение (1) становится уравнением Лапласа

Ди = 0,

а соответствующая краевая задача Неймана - интегральным уравнением следующего вида:

1 Э г Э 1

2л Эпх S Эпу |х - у|

i / | 1 | [u](У)dy = -2h(х) . (8)

J Эп х — у

Обозначим через /к (р) коэффициенты ряда Фурье функции /

/к (р, Ф) = £ /к (р)е—кф. (9)

к=—»

Для коэффициентов ряда Фурье справедлива формула

2л

fk (р) = -1 i f (р cos Ф, Р sin Ф)е lk(?dФ- (10)

2л J

0

Преобразование Ханкеля имеет вид

7

S\k\f (Р) = j rJ|k| (pr) f (r )dr, (11)

0

где Jщ - функция Бесселя первого рода.

Операторы Эрдели - Кобера определяются в [5]:

2Р—2Л—1 Р и2Л+1

V (Р) = 2^~ i ■ f(u)du; (12)

А 0,/р2 —и2

2Р2л 7 и —2л

Р f f (u)du. (13)

K^f (Р) = 2Р j-

^ и

Р v u2 — Р2

Для решения краевой задачи Неймана введем частичное конечное преобразование Фурье Ff : Zx[0,т) ^ C функции f , определенной в R2 :

1 2л

(Ff )(k,p) = — I f (pcosф,psinф)elkфdф. (14)

0

Для оператора DS справедливо следующее представление

(те C0°(0,1)):

(Ds ro)(p cos ф, p sin ф) = (F—1mlFro)(p cos ф^ sin ф) =

Т

2 (S|k|mlS|k|Fm)(k,p)etk(? (0<p<T,0<ф< 2л),

(15)

где мультипликативный оператор та для аеК определяется следующим образом:

{та/)х) = |хГ/(х) (хе К). (16)

Кроме этого, формальное обращение выражения Б^т^Б^! имеет пред-

ставление

(s|k|mlski) = mlKk — lmlIk.

(17)

Для получения обратного оператора Об 1 необходимо просуммировать ряд Фурье (15) с использованием (17). Для этой цели введем операторы:

( \

m

(k,p)e ik<p (0<p<T,0<ф<2л); (1S)

(K+f )(p, ф)= 2

k = —Т

m1 Kk.—1Ff . 2 2 4 .

(k, p)e lk(p (0 < p < т, 0 <ф< 2 л). (19)

Справедливы следующие утверждения.

Утверждение 5 [5]. Пусть — 1 < 5 < 2. Операторы I_ и К+ могут

быть непрерывно продолжены до обратимых операторов

K+ : Hs (S)^ Hs+12 (S);

I _ : Hs (S)^ Hs+12 (S).

(20)

(21)

Для заданной функции / е С0° (Б) К+ представим в виде

(+/)у)=-4 |

(2- ^2 ) 2 ) () *

/ (х )■

3/ і I |2

|х|>у| Iх - у|

и для функции ? є С“ (Б) оператор 1 - имеет представление

(22)

(1-?)(у)=4; I

|2 і |2 \/2

, ч «х (х)7~^.

(23)

^ |х|<|у| Iх - УІ

Утверждение 6 [5]. Обратный оператор для 0$ : Н12 (Б)^ Н 12 (Б)

есть

о$1 = К+1 - .

¥./. Аналитическое решение задачи Неймана для правой части И (р,ф) = 1

Коэффициенты ряда Фурье для функции И (р, ф) имеют вид

И0 (р) = 1 Ик (р) = 0, к = ±1, ± 2...

Воспользовавшись формулой [5]

(24)

«к = р1/2кк _ ц Х(°Л)

2 4,2

и учитывая, что к = 0, получим

-1-І к\± р1к1+3/2 1

1к1+11

2 4’2 )

-1

2ки

wl

0 =р1/2к-11 х(0,1)

4^2

-1 « 3/2 т

р 1 т~р 111

«р --

4 2 )

2.

(

Положим С (р) =

V

-1 « 3/2т

р 1р 11 1 а р

4 2 )

2,тогда

р-10-р31111С (р) = 2, где 1ц С (р) := I

-3/2 р 3/2 и

42

4 2

С (и )«и;

, ^-3/2 р „3/2

р-1 — р3/2----I . -С(и)«и = 2 .

Произведем замену переменных |р^ = и, р& = йи\ и обозначим |с(и) = С\[й = -^р^, С(^) = |, тогда после несложных преобразований по-

лучаем

С « 2г г

" Чх

рл/п

= 1.

_ 2 2

Отсюда С = —,= и С(р) = ;

>/П УІК

щк =р1/2к-11 х(0,1)С (р) =

4,2

4р1/2р -1/2 1 и1/2

4р Р IV_______■ и1п-аи =

Л'Л р,/ и2 - р2

-1

п->

и

р V и2 - р2

.

п

¥.2. Аналитическое решение задачи Неймана для правой части И (р,ф) = р—1

Коэффициенты ряда Фурье для функции И (р, ф) имеют вид

И (р) = р—1, Ик (р) = 0, к = ±1, ± 2,...

Воспользовавшись формулой [5]

N 1

«к = р1/2Кщ—1, х(0,1)

2 4,2

и учитывая, что к = 0, получим

р

-1-\к\± р1к1+3/21к.

р ТІ+1 1

а р

2 4 2

2НЬ

(

= р1/2К 1 1 х(0,1)

42

-1 « 3/2т

р 1 ~г р 11 1

а р -42 )

1

2р 1.

1

Положим С (р) =

-1 а 3/2т

р 1р3/2 11 1

а р -4 2 )

2р , тогда

(

\

9 1 -^р3'21, ,

«р ?5)

С (р) = 2р-1 или «.р3/2111С (р) = 2.

р 4,2

После несложных преобразований получаем

2

л/л

3/2

с (р)

ёи = 2р.

С

Будем искать С(р) в виде С(р) = Подставим это выражение

р

в последнее интегральное равенство и получим

р

и

C J , =du = yf—p .

J 12 2

Wp -u

Вычисляем интеграл и получаем значение константы С = у/л . Таким образом,

с (р)=р|.

Продолжаем вычисление коэффициента «0 и получаем:

ЛЛ

Wo =p1/2^- м х(0,1)

4’2

-1/2

У'2,

1/2 2р UjL ft 2 2\ 1/2 1/2 / 0 f V- d

wo =р j- J (u - р ) u x(0,1) du.

1/2

или

1

w0 ='

P

2J-1—irzdu , и, окончательно, wo = 2ln| J1 -р2 + 1|-2ln(p).

J(u2 - p2 )1/2 v '

Аналогичные решения для задачи Дирихле при различных значениях

правых частей были полученны в [7].

Список литературы

1. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния : пер. с англ. / Д. Колтон, Р. Кресс. - М. : Мир, 1987. - 312 с.

2. Stephan, E. P. Boundary Integral Equations For Screen Problem In R3 / E. P. Stephan // Integral Equations and Operator Theory. - 1987. - V. 10.

3. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М. : Наука, 1966. - 798 с.

4. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : ИПРЖР, 1996. - 176 с.

5. Penzel, F. Sobolev Space Methods For The Laplace Equation In The Exterior Of The Disk / F. Penzel // Integral Equations and Operator Theory. - 1993. - V. 17.

6. Kress, R. Linear integral equations / R. Kress // Applied mathematical sciences. -1989. - V. 82. - 238 с.

7. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009. - № 4. - С. 49-55.

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Родионова Ирина Анатольевна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

УДК 517,3 Медведик, М. Ю.

Некоторые аналитические решения задачи Неймана на диске для уравнения Гельмгольца / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 1 (17). - С. 31-39.

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,

Penza State University

Rodionova Irina Anatolyevna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,

Penza State University