CC BY
2
Владикавказский математический журнал 2024, Том 26, Выпуск 3, С. 33-46
УДК 517.929.4
DOI 10.46698/ v9056-4395-2233-f
НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕМЕННОГО КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ*
А. О. Ватульян1, С. А. Нестеров2
1 Южный федеральный университет, Россия, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; 2 Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 E-mail: aovatulyan@sfedu.ru, 1079@list.ru
Аннотация. Представлены новые постановки и решения задач оптимизации переменного коэффициента теплопроводности для неоднородной трубы и плоской стенки со смешанными граничными условиями. В качестве функционалов качества выступают либо средняя температура, либо максимальная температура, а в качестве ограничения — либо условие постоянства интегрального коэффициента теплопроводности, либо априорная информация об изменении коэффициента теплопроводности в известном диапазоне. Для решения задач для трубы применяются два метода оптимизации: 1) вариационный подход, основанный на введении сопряженных функций и построении расширенного функционала Лагранжа; 2) принцип максимума Понтрягина. Для решения задачи оптимизации для плоской стенки в предположении о слабой неоднородности материала применяется метод разложения по малому физическому параметру. В качестве четвертой задачи рассмотрена оптимизация переменного коэффициента теплопроводности неоднородной плоской стенки с граничными условиями первого рода. Решение сингулярной задачи оптимизации находится среди ломанных экстремалей. На конкретных примерах проведено сравнение значений минимизируемых функционалов для тел с постоянным коэффициентом теплопроводности и оптимальным переменным коэффициентом. Оценен выигрыш от оптимизации.
Ключевые слова: оптимизация, коэффициент теплопроводности, функционально-градиентный материал, плоская стенка, труба, вариационный метод Лагранжа, принцип макимума Понтрягина, метод разложения по малому параметру, сингулярная задача. AMS Subject Classification: 80M30, 80M50.
Образец цитирования: Ватульян А. О., Нестеров С. А. Некоторые аналитические решения в задачах оптимизации переменного коэффициента теплопроводности // Владикавк. мат. журн.—2024.— Т. 26, вып. 3.—С. 33-46. DOI: 10.46698/v9056-4395-2233-f.
1. Введение
Долгое время для повышения термопрочности изделий, находящихся в областях с высокотемпературным окружением, применялись однородные и слоистые теплозащитные покрытия, недостатком которых является высокая концентрация напряжений в области сопряжения покрытия и подложки [1]. В настоящее время для преодоления этого
# Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-1100265, https://rscf.ru/project/22-11-00265/ в Южном федеральном университете.
© 2024 Ватульян А. О., Нестеров С. А.
недостатка широко используются функционально-градиентные материалы (ФГМ) — ме-таллокерамические композиты различной структуры с контролируемым профилем распределения по объему металлической и керамической фаз [2].
Задача создания желаемых распределений температуры (обычно минимальных) в твердом теле посредством граничных тепловых потоков, либо распределения внутри тела источников тепла или теплофизических характеристик — очень важная задача в технике, особенно в металлургии и системах охлаждения [3-6]. Структуры ФГМ с заданными переменными теплофизическими свойствами можно достичь различными методами, например, физическим и химическим осаждением слоев, методами порошковой металлургией, аддитивными технологиями [7-10]. Так, в случае использования порошковой металлургии технологический процесс состоит из ряда этапов, таких, как спекание, плавление, послойное прессование, напыление.
В настоящий момент проведено достаточно большое число исследований, касающихся проектирования тепловых процессов посредством оптимизации формы [11-16]. Среди фундаментальных работ, посвященных оптимальному проектированию конструкций, можно выделить в первую очередь, монографию Баничука Н. В. [17], где систематически освещены методы исследования задач оптимизации формы различных конструкций. В настоящее время основными аналитическими методами исследования задач оптимизации выступают: метод построения сопряженных уравнений и вариационный принцип Лагранжа [17, 18], метод разложения по малому физическому параметру [19-21], принцип максимума Понтрягина [22-24]. Нужно отметить также, что коэффициентные обратные задачи математической физики часто сводятся к оптимизационным задачам [25]. Аналитические решения задач оптимизации переменного коэффициента теплопроводности вариационным методом Лагранжа получены только для стержневых структур [26-
В настоящей работе исследуются задачи оптимизации переменного коэффициента теплопроводности плоской стенки и цилиндрической трубы. Для получения аналитических решений применяются различные методы оптимизации: вариационный принцип Лагранжа, принцип максимума Понтрягина, метод разложения по малому параметру. На конкретных примерах оценен выигрыш от оптимизации.
2. Решение задачи оптимизации переменного коэффициента трубы вариационным методом Лагранжа
Одним из основных методов оптимизации является метод множителей Лагранжа [29]. Рассмотрим его применение к задаче оптимизации переменного коэффициента теплопроводности к(г) неоднородной трубы, на внутренней поверхности г = Т\ которой задана нулевая температура, а на внешней г = Т2 — тепловой поток до. В качестве минимизируемого функционала выступает максимальная температура трубы, а в качестве ограничения — изопериметрическое условие для коэффициента теплопроводности.
Постановка вариационной задачи имеет вид:
28]
(1)
г(п) = 0, к(г2) — (г2) =90,
йг
(2)
J = max(T(r)) ^ min .
(4)
Из граничных условий (2) следует, что максимальная температура будет на внешней поверхности трубы Г = Г2.
Выполним обезразмеривание задачи по формулам [30]: С = Со = к (£) =
_ крТ о _ _s_ t _
qoT2 ' 0 fco ' Г2 '
Постановка обезразмеренной задачи (1)—(4) имеет вид:
(5)
(6)
i
y^e^e = so, ¿(e) ^ 0,
?0
(7)
J = w(1) ^ min .
k
(8)
Сначала получим слабую постановку задачи (5), (6), умножив (5) на сопряженную функцию V (£), удовлетворяющую главному граничному условию V (£о) = 0, и проинтегрировав по области в цилиндрической системе координат с учетом интегрирования по частям:
1 1
21/I И»!) "«к*=2™(1) -2* / «1<«>| !««• <9>
?0 ?0
Составим расширенный функционал, присоединив к функционалу (9), минимизируемый функционал (8) и изопериметрическое равенство (7) посредством множителя Лагранжа Л:
L = 2п
1 / 1
/— dw dv
?0 \ ?0
\
fc(C)Cdr - so
/
(10)
Получим необходимые условия оптимальности и постановку сопряженной задачи из условия стационарности функционала (10). Для этого найдем первую вариацию функционала и приравняем ее к нулю:
(
SL = 2п
м 1) - Mi) +1z^^sktdZ + Jfk
i i
dw döv _ „ f - döw dv - „
+ SX
?0
( 1 /
V?0
?0
\ 1
de de
- so
\
/
+ x SÄ(e)ede /0 У
?0
0.
de de
1
(12)
Интегрируя по частям в (11) четвертое и пятое слагаемые, получим 1 1
?0 ?0 1 1
?0 ?0
Далее с учетом (12), сгруппировав слагаемые в (11) по независимым вариациям 5к, 5w, 5ь, получим: а) постановку прямой задачи (5), (6); б) постановку сопряженной задачи
|(«*ю|)=о, (13)
— Ни
о) = 0, к{ 1)-(!) = -!; (14)
в) условие оптимальности
Из (5), (6) и (13), (14) следует, что V (£) = —w (£). Поэтому условие оптимальности (15) примет вид:
= х с«,
Таким образом, выразив производную Щ из (16) и подставив ее в (5), (6), получим задачу Коши для нахождения к (£):
^(1) = -^, (17)
решением которой является функция к (£) = -^щ.
Подставив выражение для к (£) в изопериметрическое условие (7), получим
«0
Выражения для оптимального распределения коэффициента теплопроводности и температуры примут вид:
коРь (О = /п, шорЬ (О = у (1 - (Уё - • (18)
Проведено сравнение значений функционала (8) в случае однородной трубы
кьот = -§0) гУ1ют (1) = ^"^р ^ и трубы с оптимальным законом коэффициента теплопроводности (18) при £0 = 0.6, в0 = 1. Выяснено, что Аот = 0.51, = 0.21. Выигрыш от использования переменного оптимального коэффициента теплопроводности составил 58%.
3. Решение задачи оптимизации переменного коэффициента трубы на основе принципа максимума Понтрягина
Рассмотрим применение принцип максимума Понтрягина [22] к задаче оптимизации распределения переменного коэффициента теплопроводности k(r) неоднородной трубы, на внутренней поверхности r = ri которой задана нулевая температура, а на внешней r = Г2 — тепловой поток qo. В качестве минимизируемого функционала выступает средняя интегральная температура трубы, а в качестве ограничения — изопериметрическое условие для коэффициента теплопроводности.
Постановка обезразмеренной вариационной задачи имеет вид (5)—(7), а вместо функционала (8) используется функционал
1
J = / W ^ min. (19)
?0
Будем рассматривать поставленную вариационную задачу как задачу оптимального управления. Приняв функцию к (£) в качестве управляющей функции, выпишем уравнения (5), (6) в удобном для применения принципа максимума виде. Перейдем от дифференциального уравнения второго порядка (5) с помощью обозначений w1 = w, w2 = kw' к канонической систему ОДУ 1-го порядка:
w'i = /ъ /1 = ^, (20)
w'2 = /2, /2 = (21)
?
wi (Co) = о, W2 (1) = 1. (22)
Здесь знак «штрих» обозначает производную по координате
Согласно принципу максимума [22-24], присоединив к системе (20), (21) изопериметрическое условие (7) и минимизируемый функционал (19), выпишем функцию Гамильтона (гамильтониан) расширенной системы:
w2 w2
Н = -wi + ipifi + ^2/2 - Хк = -wi + ipi— - ф2— ~ А к, (23)
где Ф1, Ф2 — сопряженные функции.
Согласно [22] сопряженная система дифференциальных уравнений имеет вид:
Граничные условия для сопряженных переменных определим из условий трансверсальности Y12=1 (Фг(1)^wj(1) — фг(£,0)^г(C0)) = 0 с учетом öw1 ({0) = 0, öw2 (1) = 0. Откуда следует, что ф1 (1) = 0, ф2 ({0) = 0.
Необходимое условие стационарности гамильтониана (23) имеет вид:
дН Ф^w2 . ,
v - Л = 0. (26)
д!к /г2
Из (26) находится выражение для коэффициента теплопроводности:
Непосредственным интегрированием (21), (24) и удовлетворением граничных условий и)2 (1) = 1, (1) = 0 находим, что фх = £ — 1, и)2 = а множитель Л определяется из изопериметрического равенства (7).
После несложных преобразований получим выражение для оптимального коэффициента теплопроводности:
коРь(0 =--450-\h-A- (28)
1-4^о(1-ео)-2агс8т(2е0-1) V С
Найдя вторую производную функции (23) по й, получим:
0, •шз > 0, < 0. (29)
Из (29) следует, что функция имеет максимум, поэтому согласно принципу максимума Понтрягина, найденная функция (28) является оптимальным решением. Формула для оптимального коэффициента теплопроводности (28) совпадает с формулой, полученной путем применения к задаче (5)—(7), (19) вариационного метода Лагранжа.
Проведено сравнение значений функционала (19) в случае однородной трубы и неоднородной с оптимальным законом коэффициента теплопроводности (28) при = 0.6, = 1. Выяснено, что Аот = 0.11, = 0.066. Выигрыш от оптимизации составил 40%.
4. Решение задачи оптимизации коэффициента теплопроводности плоской стенки методом малого параметра
Если известна дополнительная информация о слабой неоднородности материала, то для решения задач оптимизации удобно применять метод разложения по малому параметру [19, 20]. Рассмотрим его применение к задаче оптимизации распределения коэффициента теплопроводности неоднородной плоской стенки толщиной Н с тепловыми источниками, на нижней поверхности х = 0, на которой задана нулевая температура, а на верхней х = Н — тепловой поток, если известна априорная информация о границах изменения коэффициента теплопроводности. В качестве минимизируемого функционала выступает температура на верхней поверхности Т(Н).
Обезразмеренная постановка вариационной задачи имеет вид:
й (т. \ „
(30)
(Ш
ИЧ0) = 0, к {!) —{!) = !, (31)
йтт ^ ^ йтах) (32)
. = W(1) ^ шт, (33)
к
Решим задачу (30)—(33) методом малого параметра, полагая как в [21]
Цг) = /о (1 + Sf(z)) , W(z) = W0 + SW1, /о = \ (¿min + ¿max) ,
j - jfe • 2 (34)
г kmax kmin _ r _
О = у-=-, (J < О < 1.
jmax + jmln
Подставив (34) в (30), (31), и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях 5, получим следующие краевые задачи для нулевого и первого приближений. При 50 :
Wq = -0-, 0 < 2 < 1, (35)
f0
Wo(0) = 0, 1) = ^. (36)
f0
Решением задачи (35), (36) является функция При 51 :
W' = - (/(z)W0)', 0 < z < 1, (38)
Wi(0) = 0, W'i (1) = -/(1)W'0(1). (39)
Решением задачи (38), (39) является функция
z
Wl(z) = -jJ' f(z)(l + Q(l-z))dz. (40)
00
Для функции /(z) согласно [19] установим следующие ограничения:
1 1 2 Jf(z)dz = 0, |/(*)|<1, /(£) d*<Cg. (41)
00
Исходя из (33), (40) и (41), составим расширенный функционал Лагранжа:
1 1 1 2 12
J f(z) (1 + Q (1 - z)) dz + XxJ f(z) dz + X2 f (J^j dz. (42)
L = — /о
0 0 0
Из условия стационарности функционала (42) следует постановка краевой задачи для нахождения /(г):
/'(0) = 0, / '(1) = 0. (44)
Согласно [19, 20] множитель Лагранжа А1, определяемый из выражения /о + (1 — г) — А1) <1г = 0, равен -^(1 + Множитель Аг, определяемый из неравенства |/(-г)| ^ 1, равен -щ^- Отсюда следует, что
f (*) = *2 (2* - 3), (45)
а значение СО в (41) равно 1.25.
В случае Q = 1 относительный выигрыш в соответствии с функционалом качества (33), введенный по формуле • 100%, составляет 43%5.
В работах по оптимизации переменного коэффициента теплопроводности, например, в [18, 28] в качестве минимизируемого функционала также широко используется функционал вида
1
. = у '2(г ^ ш1п . (46)
о
Решим задачу оптимизации переменного коэффициента теплопроводности плоской стенки (30)—(32) с функционалом качества (46) методом разложения по малому параметру.
Выполняя действия, аналогичные решению оптимизационной задачи теплопроводности (ЗО)-(ЗЗ), получено выражение для нахождения функции-поправки /(г) = — — 8* + 10). В случае Q = 1 относительный выигрыш от оптимизации составляет 29%$.
5. Сингулярная задача оптимизации коэффициента теплопроводности плоской стенки
В рассмотренных выше задачах оптимизации коэффициента теплопроводности градиент температуры Ш' является непрерывной функцией координаты. Однако не для всех граничных условий Ш' обладает этим свойством. Пусть в задаче оптимизации коэффициента теплопроводности плоской стенки (30)—(33) вместо (33) требуется минимизировать функционал
1
. = У Ш(*)йг ^ плп (47)
о
при изопериметрическом ограничении вместо (32)
1
У ф)йг = 8о, £(*) ^ 0. (48)
о
Если вместо смешанных граничных условий (31) используются граничные условия первого рода
Ш (0) = 01, Ш (1) = 02, (49)
то оптимального решения, для которого функция Ш' была бы непрерывна на 0 ^ * ^ 1, не существует.
Используя метод множителей Лагранжа для поставленной задачи оптимизации, получено условие оптимальности, которое имеет вид:
(Ш')2 = А. (50)
Условие оптимальности (50) совместно с граничными условиями (49) приводит к неразрешимой краевой задаче, если считать функцию Ш' непрерывной.
Будем искать решение задачи оптимизации при граничных условиях (49) в классе непрерывных функций с разрывной производной. Применим ранее разработанную в [17] схему для исследования сингулярной задачи оптимизации коэффициента теплопроводности.
В точке разрыва градиента температуры согласно условиям Вейерштрасса — Эрдмана имеем:
+
(ЛШ') + = (ЛШ') =0, к (Ш')2 =0. (51)
Следовательно, при наличии разрывов по Ш', требуется положить тепловой поток в сингулярной точке ¿о равным нулю, а т. к. Ш' (¿о) = 0, то имеем следующее условие для коэффициента теплопроводности:
к- (¿о) = к+ (¿о) = 0. (52)
Из условия оптимальности (50) следует, что
И'-'М = (53)
[ л/Л, ¿0 ^ -г ^ 1.
С учетом граничных условий (49) и условия непрерывности температуры имеем:
ЛХГ, ч /-\/Лг + 01, О^г^го, ^Л + 01-02
\¥(г) = < г- г0 =-1=-• (54)
Подставив производную Ш'(¿) из (53) в уравнение теплопроводности (30), получим выражение для производной коэффициента теплопроводности:
0 < я < ¿о,
(55)
¿о ^ £ ^ 1.
Проинтегрировав (55) с учетом граничных условий (52), имеем
Г (г - го), 0 < г < го, к{г) = 1^ (56)
В выражение (56) входит множитель \/А, который определяется из изопериметриче-ского равенства (48) и равен л/\ = —
Выражения для оптимального распределения коэффициента теплопроводности и температуры в случае 01 = $2 = имеют вид кусочно-линейных функций (¿о = 0.5)
к , ч [ -4«о (я - ¿о), 0 ^ я ^ ¿о,
^^ = \ л ( \ л
-4во (¿о - , ¿о ^ ^ ^ 1,
(57)
Проведено сравнение значений функционала (47) в случае однородной стенки и неоднородной с оптимальным законом коэффициента теплопроводности при $о = 1, ^о = 1, Q = 1. Выяснено, что Аот = 0.083, Jopt = 0.062. Выигрыш от оптимизации составил 35%.
6. Заключение
Рассмотрены постановки ряда задач об оптимизации распределения переменного коэффициента теплопроводности неоднородных тел. Построены аналитические решения задач об оптимальном распределении коэффициента теплопроводности неоднородной трубы и плоской стенки при различных граничных условиях. Для решения поставленных задач использовались различные методы оптимизации: вариационный метод множителей Лагранжа, принцип максимума Понтрягина, метод разложения по малому параметру. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что в случае расчетов по оптимальным законам распределения коэффициента теплопроводности уменьшение значений минимизируемых функционалов составляло от 20 до 60% по сравнению с однородными телами. Используя рассмотренные методы оптимизации, можно аналитически получить условия оптимальности и постановки сопряженных задач для двумерных объектов, например, прямоугольника. Однако для нахождения оптимальных двумерных законов распределения коэффициента теплопроводности необходимо использовать итерационную процедуру, а прямую задачу решать численно, например, методом конечных элементов.
Литература
1. Lee W. Y., Stinton D. P., Bernardt C. C., Erdogan F, Lee Y. D., Mutasin Z. Concept of functionally graded materials for advanced thermal barrier coatings applications // Journal of American Ceramic Society.-1996.-Vol. 19.—P. 3003-3012. DOI: 10.1111/j.1151-2916.1996.tb08070.x.
2. Wetherhold R. C., Seelman S., Wang J. The use of functionally graded materials to eliminated or control thermal deformation // Composites Science and Technology.—1996.—№ 56.—P. 1099-1104. DOI: 10.1016/0266-3538(96)00075-9.
3. Mathew J., Krishnan S. A review on transient thermal management of electronic devices // J. Electron. Packag.—2022.—Vol. 144(1).—P. 3003-3012. DOI: 10.1115/1.4050002.
4. Bejan A. Constructal-theory network of conducting paths for cooling a heat generating volume // Int. J. Heat Mass Transf.—1997.—Vol. 40, № 4.—P. 799-816. DOI: 10.1016/0017-9310(96)00175-5.
5. Hua Y.-C., Zhao T., Guo Z.-Y. Transient thermal conduction optimization for solid sensible heat thermal energy storage modules by the Monte Carlo method // Energy.—2017.—Vol. 133.—P. 338-347. DOI: 10.1016/j.energy. 2017.05.073.
6. Chen K., Wang S., Song M. Optimization of heat source distribution for two-dimensional heat conduction using bionic method // Int. J. Heat Mass Transfer.—2016.—Vol. 93.—P. 108-117.
7. Birman V., Byrd L. W. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures // Applied Mechanics Reviews.—2007.—Vol. 60, № 5.—P. 195-216. DOI: 10.1115/1.2777164.
8. Suresh S., Mortensen A. Fundamentals of Functionally Graded Materials.—London: Cambridge Publication, 1998.—165 p. DOI: 10.1016/S1369-7021(98)80023.
9. Быков Ю. В., Егоров С. В., Еремеев А. Г. и др. Создание маталлокерамических функционально-градиентных материалов спеканием при микроволновом нагреве // Физика и химия обработки материалов.—2011.—№ 4.—С. 52-61.
10. Gururaja U., Shrikantha R. S., Gangadharan K. V. Functionally graded composite materials: An overview // Procedia Matherials Science.—2014.—Vol. 5.—P. 1291-1299. DOI: 10.1016/j.mspro.2014.07.442.
11. Dirker J., Meyer J. P. Topology optimization for an internal heat-conduction cooling scheme in a square domain for high heat flux applications // J. Heat Transfer.—2013.—Vol. 135 (11). DOI: 10.1115/1.4024615.
12. Cheng C. H., Chen Y. F. Topology optimization of heat conduction paths by a non-constrained volume-of-solid function method // Int. J. Therm. Sci.—2014.—Vol. 78.—P. 16-25. DOI: 10.1016/j.ijthermalsci.2013.11.011.
13. Dede E. M., Joshi S. N., Zhou F. Topology optimization, additive layer manufacturing, and experimental testing of an air-cooled heat sink // J. Mech. Des.—2015.—Vol. 137(11). DOI: 10.1115/1.4030989.
14. Gersborg-Hansen A., Bendsoe M. P., Sigmund O. Topology optimization of heat conduction problems using the finite volume method // Struct. Multid. Optim.—2006.—Vol. 31 (4).—P. 251-259. DOI: 10.1007/s00158-005-0584-3.
15. Dbouk T. A review about the engineering design of optimal heat transfer systems using topology optimization // Appl. Therm. Eng.—2017.—Vol. 112.—P. 841-854. DOI: 10.1016/j.applthermaleng. 2016.10.134.
16. Yongcun Z., Shutian L., Heting Q. Design of the heat conduction structure based on the topology optimization // Developments in Heat Transfer, Dr. Marco Aurelio Dos Santos Bernardes (Ed.).— 2011.—P. 523-536. DOI: 10.5772/20060.
17. Баничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкций.—М: Наука, 1986.—304 с.
18. Tong Z.-X., Li M.-J., Yan J.-J., Tao W.-Q. Optimizing thermal conductivity distribution for heat conduction problems with different optimization objectives // Int. J. Heat Mass Transfer.—2018.— Vol. 119.—P. 343-354. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2017.11.108.
19. Братусь А. С, Картвелишвили В. М. Приближенные аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний упругих тонкостенных конструкций // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.—1981.—№ 6.—C. 119-139.
20. Sarkisyan V. S., Gukasyan G. M., Grigoryan A. A. Optimal design of a circular plate with rectilinear anisotropy // J. Math. Sci.—2001.—Vol. 104, № 5.—P. 1569-1574. DOI: 10.1023/A:1011300122949.
21. Саркисян B. C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела.— Ереван: изд-во ЕрГУ, 1976.—536 с.
22. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.—М: Физматгиз, 1961.—394 с.
23. Warner W. H. Optimal design problems for elastic bodies by use of the maximum principle // Journal of Elasticity.—2000.—Vol. 59.—P. 357-367. DOI: 10.1023/A:1011055305523.
24. Алехин В. В. Проектирование поперечно-слоистой консоли минимальной массы при ограничении на максимальный прогиб // Прикладная механика и техническая физика.—2007.—Т. 48, № 4.— С. 104-110.
25. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Коэффициентные обратные задачи термомеханики. 2-е изд., ис-прав. и доп.—Ростов н/Д-Таганрог: Изд-во Южного федерального ун-та, 2022.—178 с.
26. Мерик Р. А. Оптимизация коэффициентов теплопроводности изотропных и ортотропных тел // Теплопередача.—1985.—№ 3.—С. 1-6.
27. Meric R. A. Material and load optimization by the adjoint variable method // Trans. ASME. J. Heat Transfer.—1987.—Vol. 109, № 3.—P. 782-784.
28. Tian Z., Xuan W., Zeng-Yuan G. Optimal thermal conductivity design for the volume-to-point heat conduction problem based on adjoint analysis // Case Studies in Thermal Engineering.—2022.— Vol. 40.—P. 1-16. DOI: 10.1016/j.csite.2022.102471.
29. Ito K., Kunisch K. Lagrange Multiplier Approach To Variational Problems and Applications.—SIAM: 2008.—341 p. DOI: 10.2307/40590422
30. Nedin R., Nesterov S., Vatulyan A. On reconstruction of thermalphysic characteristics of functionally graded hollow cylinder// Applied Mathematical Modelling.—2016.—Vol. 40, № 4.—P. 2711-2719. DOI: 10.1016/j.apm.2015.09.078.
Статья поступила 19 апреля 2024 г-
Ватульян Александр Ованесович
Южный федеральный университет,
заведующий кафедрой теории упругости
РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а
E-mail: aovatulyan@sfedu.ru
https://orcid.org/0000-0003-0444-4496
Нестеров Сергей Анатольевич
Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, старший научный сотрудник отдела дифференц. уравнений РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 E-mail: 1079@list.ru https://orcid.org/0000-0003-3780-5104
44
BaTy.nbHH A. O., HecTepoB C. A.
Vladikavkaz Mathematical Journal 2024, Volume 26, Issue 3, P. 33-46
SOME ANALYTICAL SOLUTIONS IN PROBLEMS OF OPTIMIZATION OF VARIABLE THERMAL CONDUCTIVITY COEFFICIENT
A. O. Vatulyan1 and S. A. Nesterov2
1 Southern Federal University, 8 a Milchakova St., Rostov-on-Don 344090, Russia; 2 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 53 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia E-mail: aovatulyan@sfedu.ru, 1079@list.ru
Abstract. New formulations and solutions to problems of optimization of a variable thermal conductivity coefficient for an inhomogeneous pipe and a flat wall with mixed boundary conditions are presented. The quality functionals are either the average temperature or the maximum temperature, and as a limitation - either the condition of constancy of the integral thermal conductivity coefficient, or a priori information about the change in the thermal conductivity coefficient in a known range. To solve problems for a pipe, two optimization methods are used: 1) a variational approach based on the introduction of conjugate functions and the construction of an extended Lagrange functional; 2) Pontryagin's maximum principle. To solve the optimization problem for a flat wall under the assumption of weak material inhomogeneity, the expansion method in terms of a small physical parameter is used. As the fourth problem, optimization of the variable thermal conductivity coefficient of a non-uniform flat wall with boundary conditions of the first kind is considered. The solution to a singular optimization problem is found among broken extremals. Using specific examples, a comparison was made of the values of minimized functionals for bodies with a constant thermal conductivity coefficient and an optimal variable coefficient. The gain from optimization is estimated.
Keywords: optimization, thermal conductivity coefficient, functionally graded material, flat wall, pipe, Lagrange variational method, Pontryagin's maximum principle, small parameter expansion method, singular problem.
AMS Subject Classification: 80M30, 80M50.
For citation: Vatulyan A. O. and Nesterov S. А. Some Analytical Solutions in Problems of Optimization of Variable Thermal Conductivity Coefficient, Vladikavkaz Math. J., 2024, vol. 26, no. 3, pp. 33-46 (in Russian). DOI: 10.46698/v9056-4395-2233-f.
References
1. Lee, W. Y., Stinton, D. P., Bernardt, C. C., Erdogan, F, Lee, Y. D. and Mutasin, Z. Concept of Functionally Graded Materials for Advanced Thermal Barrier Coatings Applications, Journal of American Ceramic Society, 1996, vol. 19, pp. 3003-3012. DOI: 10.1111/j.1151-2916.1996.tb08070.x.
2. Wetherhold, R. C., Seelman, S. and Wang, J. The Use of Functionally Graded Materials to Eliminated or Control Thermal Deformation, Composites Science and Technology, 1996, no. 56, pp. 1099-1104. DOI: 10.1016/0266-3538(96)00075-9.
3. Mathew, J. and Krishnan, S. A Review on Transient Thermal Management of Electronic Devices, Journal of Electronic Packaging, 2022, vol. 144(1), DOI: 10.1115/1.4050002.
4. Bejan, A. Constructal-Theory Network of Conducting Paths for Cooling a Heat Generating Volume, International Journal of Heat and Mass Transfer, 1997, vol. 40, no. 4, pp. 799-816. DOI: 10.1016/0017-9310(96)00175-5.
5. Hua, Y.-C., Zhao, T. and Guo, Z.-Y. Transient Thermal Conduction Optimization for Solid Sensible Heat Thermal Energy Storage Modules by the Monte Carlo Method, Energy, 2017, vol. 133, pp. 338-347. DOI: 10.1016/j.energy. 2017.05.073.
6. Chen, K., Wang, S. and Song, M. Optimization of Heat Source Distribution for Two-Dimensional Heat Conduction Using Bionic Method, International Journal of Heat and Mass Transfer, 2016, vol. 93, pp. 108-117.
7. Birman, V. and Byrd, L. W. Modeling and Analysis of Functionally Graded Materials and Structures, Applied Mechanics Reviews, 2007, vol. 60, no. 5, pp. 195-216. DOI: 10.1115/1.2777164.
8. Suresh, S. and Mortensen, A. Fundamentals of Functionally Graded Materials, London, Cambridge Publication, 1998, 165 p. DOI: 10.1016/S1369-7021(98)80023.
9. Bykov Yu. V., Egorov S. V., Eremeev A. G. and at all. Fabrication of Metal-Ceramic Functionally Graded Materials by Microwave Sintering, Fizika i khimiya obrabotki materialov [Physics and Chemistry of Materials Treatment], 2011, no. 4, pp. 52-61 (in Russian).
10. Gururaja, U., Shrikantha, R. S. and Gangadharan, K. V. Functionally Graded Composite Materials: An Overview, Procedia Matherials Science, 2014, vol. 5, pp. 1291-1299. DOI: 10.1016/j.mspro.2014.07.442.
11. Dirker, J. and Meyer, J. P. Topology Optimization for an Internal Heat-Conduction Cooling Scheme in a Square Domain for High Heat Flux Applications, Journal of Heat Transfer, 2013, vol. 135 (11). DOI: 10.1115/1.4024615.
12. Cheng, C. H. and Chen, Y. F. Topology Optimization of Heat Conduction Paths by a Non-Constrained Volume-of-Solid Function Method, International Journal of Thermal Sciences, 2014, vol. 78, pp. 16-25. DOI: 10.1016/j.ijthermalsci.2013.11.011.
13. Dede, E. M., Joshi, S. N. and Zhou, F. Topology Optimization, Additive Layer Manufacturing, and Experimental Testing of an Air-Cooled Heat Sink, Journal of Mechanical Design, 2015, vol. 137(11). DOI: 10.1115/1.4030989.
14. Gersborg-Hansen, A., Bendsoe, M. P. and Sigmund, O. Topology Optimization of Heat Conduction Problems Using the Finite Volume Method, Structural and Multidisciplinary Optimization, 2006, vol. 31 (4), pp. 251-259. DOI: 10.1007/s00158-005-0584-3.
15. Dbouk, T. A Review About the Engineering Design of Optimal Heat Transfer Systems Using Topology Optimization, Applied Thermal Engineering, 2017, vol. 112, pp. 841-854. DOI: 10.1016/j.applthermaleng.2016.10.134.
16. Yongcun, Z., Shutian, L. and Heting, Q. Design of the Heat Conduction Structure Based on the Topology Optimization, Developments in Heat Transfer, Dr. Marco Aurelio Dos Santos Bernardes (Ed.), 2011, pp. 523-536. DOI: 10.5772/20060.
17. Banichuk, N. V. Vvedeniye v optimizatsiyu konstruktsiy [Introduction to Optimization of Structures], Moscow, Nauka, 1986, 304 p. (in Russian).
18. Tong, Z.-X., Li, M.-J., Yan, J.-J. and Tao, W.-Q. Optimizing Thermal Conductivity Distribution for Heat Conduction Problems with Different Optimization Objectives, International Journal of Heat and Mass Transfer, 2018, vol. 119, pp. 343-354. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2017.11.108.
19. Bmtus, А. С. and Kartvelishvili, V. М. Approximate Analitycal Solutions in Problems of Optimizing Stability and Vibration Frequencies of Elastic Thin-Walled Structure, Izvestiya AN S'S'S'R. Mekhanika tverdogo tela, 1981, no. 6, p. 119-139 (in Russian).
20. Sarkisyan, V. S., Gukasyan, G. M. and Grigoryan, A. A. Optimal Design of a Circular Plate with Rectilinear Anisotropy, Journal of Mathematical Sciences, 2001, vol. 104, p. 1569-1574. DOI: 10.1023/A:1011300122949.
21. Sarkisyan, V. S. Nekotoryye zadachi matematicheskoy teorii uprugosti anizotropnogo tela [Some Problems of the Mathematical Theory of Elasticity of an Anisotropic Body], Yerevan, YerSU Publishing House, 1976, 536 p. (in Russian).
22. Pontryagin, L. S., Boltyanskii, V. G., Gamkrelidze, R. V. and Mishchenko E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes, New York, Interscience Publishers, 1962, 376 p.
23. Warner, W. H. Optimal Design Problems for Elastic Bodies by Use of the Maximum Principle, Journal of Elasticity, 2000, vol. 59, pp. 357-367. DOI: 10.1023/A:1011055305523.
24. Alekhin, V. V. Design of a Cross-Laminated Cantilever of Minimum Mass with a Limitation on Maximum Deflection, Applied Mechanics and Technical Physics, 2007, vol. 48, no. 4, p. 104-110 (in Russian).
25. Vatulyan, A. O. and Nesterov, S. A. Koeffitsiyentnyye obratnyye zadachi termomekhaniki [Coefficient Inverse Problems of Thermomechanics. 2nd ed.], Rostov-on-Don, Taganrog, Southern Federal University Press, 2022, 178 p. (in Russian).
26. Meric, R. A. Optimization of thermal Conductivity Coefficients of Isotropic and Orthotropic Bodies, Heat Transfer, 1985, no. 3, pp. 1-6 (in Russian).
27. Meric, R. A. Material and Load Optimization by the Adjoint Variable Method, Trans. ASME. Journal of Heat Transfer, 1987, vol. 109, no. 3, pp. 782-784.
28. Tian, Z., Xuan, W. and Zeng-Yuan G. Optimal Thermal Conductivity Design for the Volume-to-Point Heat Conduction Problem Based on Adjoint Analysis, Case Studies in Thermal Engineering, 2022, vol. 40, pp. 1-16. DOI: 10.1016/j.csite.2022.102471.
46
BaTyxbHH A. O., HecTepoB C. A.
29. Ito, K. and Kunisch, K. Lagrange Multiplier Approach To Variational Problems and Applications, SIAM, 2008, 341 p. DOI: 10.2307/40590422.
30. Nedin, R., Nesterov S. and Vatulyan, A. On Reconstruction of Thermalphysic Characteristics of Functionally Graded Hollow Cylinder, Applied Mathematical Modelling, 2016, vol. 40, no. 4, pp. 27112719. DOI: 10.1016/j.apm.2015.09.078.
Received April 19, 2024
Alexander O. Vatulyan Southern Federal University,
8a Milchakova St., Rostov-on-Don 344090, Russia, Head of the Department of Theory of Elasticity E-mail: aovatulyan@sfedu.ru https://orcid.org/0000-0003-0444-4496
Sergey A. Nesterov
Southern Mathematical Institute VSC RAS,
53 Vatutina St., Vladikavkaz, 362025, Russia,
Senior Researcher of the Department of Differential Equations
E-mail: 1079@list.ru
https://orcid.org/0000-0003-3780-5104
