CC BY
113
УДК 004:16
Г. Н. ЗВЕРЕВ
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТИВНЫЕ ЛОГИКИ С ИНФОРМАЦИОННОЙ СЕМАНТИКОЙ
Информационный подход к логическим категориям и процессам позволяет более полно описать их семантику и включить в строгие формализмы логики общезначимые модели неопределенностей. Логика; информатика; информационные системы и технологии
Зверев
Геннадий Никифорович
проф. каф. проектирования средств информатики. Дипл. инж.-геофизик (Грозненск. нефтян. ин-т, 1958). Д-р техн. наук по геофизике (защ. в МИНХиГП, 1982). Иссл. в обл. информатики и искусственного интеллекта.
Объективация языка науки предполагает экспликацию научных понятий, однозначно согласованную с источниками и преобразователями информации при условии, что последние являются подконтрольными и удовлетворяют критериям точности и достоверности получаемых новых знаний. Данная статья является развитием работ [1-3] и содержит уточнения семантики логических формализмов.
МАТЕМАТИЗАЦИЯ И ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ЛОГИКИ
Математические модели классической логики могут иметь многообразные формы: арифметические, алгебраические, геометрические, аксиоматические представления. Для арифмети-зации логики и ее алгебраизации необходимо ввести константы и переменные логических систем. Константы и их множества различных типов есть однозначно определенные элементы — «индивиды» и их возможное разнообразие, а переменные есть произвольные представители из этих множеств, различающиеся своим типом и значением.
Арифметизация двоичных логических переменных состоит в переводе их качественных, нечисловых значений в количественную числовую шкалу, содержащую всего два числа, соответствующих значениям «да», «истина» и «нет», «ложь», впрочем, соответствия между дуальной, логической и номинативной шкалами могут быть любыми. Наиболее простая, семантически и исторически обоснованная арифметизация логики получается в битовой шкале = {0,1}, семантика которой легко переносится на объективные неклассические логики. Определенная тем или иным способом битовая арифметика порождает соответствующую ей алгебру введением битовых переменных — логических признаков a, b,x,z, .. .6 Bit [1]. В битовой алгебре, исходя из унарного минуса и бинарных операций (+, —, •, /), легко выводятся их алгебраические свойства: , , деление есть отрицание вычитания и т. п.
Еще один путь объективации и математизации классической логики был предложен в XVIII веке Л. Эйлером, способ, формально эквивалентный арифметико-алгебраическому подходу и позволяющий наглядно и убедительно представить свойства логических операций и связок, очевидные ограничения, логические зависимости между свойствами объектов предметики
и свойствами связей между объектами и информационными ситуациями. Геометризация логики по Эйлеру состоит в представлении множества объектов или информационных ситуаций решаемой проблемы дискретным геометрическим универсумом, в котором свойства и связи классов объектов изображаются кругами Эйлера.
Алгебраизация и геометризация классической логики послужили твердой основой создания объективной математической логики, моделирующей реальные свойства и связи внешнего мира мыслящего субъекта, если заданные множества объектов и отношения между ними адекватно описывают действительность. Математики XX века пошли в формализации дальше и создали различные аксиоматизации математической логики, отказавшись от некоторых законов логики, от определений и ясной семантики логических операций и связок, заменив их неявными определениями системой аксиом и правил вывода в надежде описать свойства произвольных бесконечных совокупностей математических объектов. Путь аксиоматизации логики прояснил некоторые зависимости между логическими свойствами, аксиомами, но поскольку всякая аксиоматизация неограниченно расширяет область интерпретации формализма и вносит в общем случае неконтролируемые семантические неопределенности и свободные абстракции, в аксиоматических логиках существенную роль стал играть субъективный элемент математического мышления и интуиции авторов аксиоматических систем, а в целом путь повальной аксиоматизации надолго задержал развитие объективных неклассических логик.
Объективная логика с информационной семантикой начинается с формализации источников фактических и априорных знаний, построения моделей наблюдений и средств обработки информации, преобразования знаний в двоичную шкалу различимости {да, нет} или {истина, ложь}, при этом субъективная сторона человеческого мышления и его слабо изученных механизмов исключается и заменяется внешним воспроизведением действий с реальными объектами и их знаковыми представлениями — символами логико-математического языка. Конструктивная модель суждения (высказывания, предиката) представляется в общем случае двумя про-
А В
цессорами объективированного субъекта оЬБиЬ]: сенсором А и рефором В: у —> х, это
ориентированная цепочка источников и преобразователей знаний, фактов и логических заключений .
Логические понятия обычно считаются более фундаментальными, чем понятия предметных областей математики, естественных и технических наук. Отсюда делается как бы очевидный вывод, что определение логического понятийного базиса, конструирование и исчерпывающее объяснение составляющих его понятий невозможно выполнить, используя понятия более конкретных предметик, не попав при этом в порочный логический круг. Этот традиционный взгляд с развитием теоретической информатики подвергся глубокому критическому анализу и принципиальному уточнению. Прежде, чем подступиться к этой проблеме, необходимо выяснить, что конкретно не устраивает предметников и, прежде всего, специалистов по автоматизации человеческой деятельности и информационным технологиям в формальном аппарате и смысловых конструкциях классической логики. Здесь мы выделим четыре основные позиции, по которым чаще всего возникают критические выпады в адрес современной логики и многочисленные попытки ее усовершенствования, обозначаемые общим термином: неклассические логики.
Первое критическое положение можно выразить так: неполная формализация семантики классической логики, в частности, базисного понятия истинности и его разновидностей — аристотелевой (экспериментальной, фактической) и формальной (теоретической, логической) истинности или ложности знаковых конструкций. Специалисты предметных областей обычно выделяют разные виды истинности и лжи, различные типы ошибок, им «тесно» в двоичной шкале истинности, а переходы в математических теориях к многозначным логикам и частично упорядоченным логическим шкалам происходят вообще с потерей первичного смысла истинности [4].
Второе основание быть неудовлетворенным современными логическими исчислениями и их семантикой состоит в предельной идеализации информационного процесса получения и преобразования данных и моделей, гипотетически или постулативно — свободного в математической логике от каких-либо искажений. Между тем информационная практика естественных, технических и гуманитарных наук имеет дело с реальными знаковыми ситуациями, весьма далекими от логико-математического идеала. Неадекватность формализации действительных информационно-логических процессов весьма затрудняет и ограничивает применение в автоматизированных системах логических методов, ведет к замене их эмпирическими, эвристическими
приемами, которые хоть как-то учитывают искажения, неполноту, противоречивость и размытия знаний, данных и моделей.
Третий повод для критики классической логики, вытекающий из второго, состоит в том, что в отличие от многих других формализаций, логика не допускает приближенных решений и логических аппроксимаций, которые естественно напрашиваются в процессах с неполными, искаженными и противоречивыми данными. В самом деле, ложь отрицает истину, «да» отрицает «нет» и антипод не может быть приближением, аппроксимирующим точное решение. С этими соображениями увязывается и наш последний критический тезис. Основной проблемой дедукции в рамках формализма классической логики считается комбинаторная сложность алгоритмов, экспоненциальный рост времени и памяти логических процессов при необходимом увеличении размерности задачи и числа альтернатив переборов, а именно в таких ситуациях решающую роль начинают играть приближенные решения и контроль их точности при допустимых искажениях данных и моделей.
В известных работах по неклассическим логикам предложено много способов и путей возможного расширения и усовершенствования классического формализма математической логики, получившие такие названия, как модальная, многозначная, индуктивная, вероятностная, правдоподобная, нечеткая и др. логики. К сожалению, эти попытки не достигли той универсальности, семантической ясности, объективности и определенности, которые присущи классической логике, а самое главное, в них отсутствует аппарат оценки и доказательства истинности, достоверности результатов, не определены условия и границы применимости предлагаемых формальных конструкций.
Выделим четыре существенных свойства информационной реальности, которые должны учитывать объективные неклассические логики, претендующие на общезначимость и строгие обобщения формализмов и семантики классической логики, в которых учитываются основные виды неопределенностей логических ситуаций: 1) ограниченная различимость материально-
информационных объектов реальности информационными средствами; 2) неуниверсальность, частичность всех функций, реляций и других средств логики, информатики, живых субъектов, иными словами, необходимо учесть существование в действительности объектов и ситуаций, для которых они не применимы; 3) искаженность, отягощенность ошибками, погрешностями всех результатов наблюдений, теоретических моделей, субъектных представлений, фактических и априорных знаний; 4) наличие пограничных переходных состояний реальности, размытых границ, которые нельзя точно описать в двоичной однозначно определенной или многозначной шкале свойств объектов и их модальностей.
Модели этих четырех свойств информационной реальности позволяют учесть в неклассических логиках различные виды неопределенностей знаковых объектов и процессов. Первое свойство ведет к замене множеств сомножествами в дентовой и контовой логической семантике [2], второе свойство — к разделению внутренней и внешней неопределенности, третье свойство — к построению логических аппроксимаций, невозможных в классической логике, т. к. истина не может приближенно представлять ложь и наоборот. Четвертое свойство ведет к необходимости введения непрерывных числовых шкал оценок истинности с учетом разрешающей способности информационных процессоров и точности исходной информации.
ЧАСТОСТЬ, ЧАСТОТНАЯ ЛОГИКА, ЧАСТОТНЫЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗИ
Смысл понятия частости состоит в количественной (числовой) характеристике доли объектов со свойством в общем объеме универсума объектов . Этот объем принимаем за
единицу измерения частости или за 100 процентов, тогда класс объектов с данным свойством составляет часть этого объема, характеризуемого величиной частости дх = Мх/М, где Ых — число объектов универсума со свойством из общего числа . Другие названия частости — частота, относительная численность, обобщенная (детерминированная или случайная) вероятность, шанс, правдоподобие, удельный объем и т. п. Чтобы «нейтрализовать» ложные исторически сложившиеся семантические связи со случайностью, с динамикой знакового процесса и его возможной детерминированной либо случайной неопределенностью принят в качестве основного нейтральный термин «частость» и его оппозиция — «редкость».В отличие от субъективной вероятности частость есть объективная характеристика реальности, если объективны источники информации. В отличие от геометрической вероятности частость есть нормированная мера дис-
кретных систем объектов. В теории вероятностей Мизеса встречается также термин «частота», имеющий по преимуществу физическую семантику динамического характера.
Определим все виды логических и частотных связей между двумя переменными свойствами объектов и . Строгая логическая связь между двумя функциями и возникает
в случаях, когда хотя бы одно из четырех значений распределения равно нулю: ,
ху = О, ху = О, ху = 0. Таким образом, во всех возможных четырех логических универсумах между свойствами и могут возникнуть четыре вида эквиальных логических связей в виде равенства или уравнения и равносильные им четыре пары — восемь импликативных (акцепту-альных) связей типа неравенств . К рассмотренным видам логических связей необходимо добавить всевозможные их сочетания, в которых одновременно выполняются два или три из четырех логических уравнений.
Логические зависимости между и разрушаются, если появляется хотя бы один объект, который приводит к отклонению от нуля соответствующих численностей и частостей
= , 0 ^ г, ] ^ 1, и тогда возникает логическая (функциональная) независимость, но оста-
ется сильная или слабая, положительная либо отрицательная частотная зависимость между х и у. Понятие частотной (статистической) связи как естественного обобщения логической зависимости и ее количественные меры в разных предметиках имеют много форм, представлений и названий: размытая, неопределенная, нефункциональная, многозначная, нечеткая связь, ковариационная, корреляционная, случайная статистическая зависимость.
Итак, логическая связь есть предельный случай положительной и отрицательной частотной связи, соответствующий корреляции , при которой появляется возможность точно-
го предсказания одного признака по известному другому признаку, а известная частотная связь открывает возможности уменьшения неопределенности и погрешности предсказания [1]. Если же , то признаки независимы и не несут никакой взаимной информации,
х д(у). Логические связки и операции алгебры классической логики точно воспроизводятся формулами частотной логики [1,2], если истинности логических признаков не отличаются от
0 и 1. Может случиться так, что в универсуме ситуаций вообще отсутствуют логические связи между известными и искомыми признаками, а частотные связи обеспечат оценки неизвестных с весьма высокой частотной точностью.
Итак, в частотной логике помимо двоичной шкалы {0,1} логических признаков, высказываний, предикатов вводится шкала частотной истинности в замкнутом числовом интервале [0,1], это меташкала, выражающая метазнания — знания о знаниях, суждениях, утверждениях. Частотная истинность х логического признака х €Е Bit в числовой шкале одновременно несет информацию и о степени неопределенности, изменчивости значения истинности: если х равно 0 или 1, то это полная определенность, при других значениях х мера неопределенности может быть вычислена в среднеквадратической шкале умножением частости х на редкость 1 ^ х,сгх = = х(1 — х) — это дисперсия истинности, или среднеквадратическое отклонение ах, а также в шкале энтропии Нх либо альтернанта Lx. Предельная неопределенность тахстж ~ тахНх ~ таxLx наступает при х = | и равна crm = | = 50 на 50%, Нх = 1 — один бит информации при двоичном основании логарифма формулы энтропии, это объем информации, которая вдвое уменьшает неопределенность, равную числу альтернатив в шкале классической логики {0, 1} и достигается полная определенность, — один альт информации, одна «лишняя»
альтернатива 0 либо 1 истинности, которую отбрасывают при принятии определенного, однозначного решения: да или нет, истина или ложь. Меру неопределенности истинного значения х можно определить и непосредственно в шкале частости-редкости в виде кусочно-линейной функции
которая интерпретируется так: если истинность суждения квалифицируется как «скорее ложь, чем истина», х ^ |, то мера неопределенности равна частости х, при оценке суждения «скорее истина, чем ложь» х > неопределенность равна аффинной редкости 1 — х. Удобно ввести
МЕРЫ ДВОИЧНОИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
при х ^ при х >
при х >
также нормированные относительные меры неопределенности ov = = 2стх, ql„ = -41— = 2ql,
Urn 4im
(гго = qlm = |, которые принимают значения из интервала от 0 до 1 или до 100-процентной неопределенности и соответствуют интервалу вариаций энтропии Нх и альтернанта Lx. Сопоставление мер неопределенностей представлено на рисунке. ql^ ^ Lx ^ Нх ^ av, равенства мер неопределенности наступают при полной определенности значений истинности суждений, х = 1 и 0, и при полной неопределенности, х = 1/2.
В информационной практике использования аппарата частотной логики следует различать: 1) универсум из реальных информационных ситуаций, в которых все наличные знания, факты и модели могут быть неполными, искаженными, 2) универсум информационных ситуаций с точно заданными моментами распределений данных, искомых, искажающих факторов, ошибок и помех, 3) универсуме и® ситуаций, в которых и фактическая и априорная информация известны точно. Идеальный мир частотной логики составляют универсумы и и®, в которых частотная логика имеет одни и те же формулы оценки истинности и они предельно адекватно описывают логические и частотные связи, меры истинности и неопределенности результатов информационно-логических процессов. В реальном мире информационных ситуаций универсума результаты частотной логики подвержены искажениям вследствие неполноты знаний, влиянию помех и погрешностей фактов и априорики, которые ведут к отклонениям реальных данных д(ж, ж, у, А) от идеальных моделей ц(х,х, у, А) универсума £/’+. Ошибки в оценках частотных истинностей и их связей составляют следующий уровень неопределенностей.
Универсумы информационных ситуаций и®,и^,и8 могут описывать свойства и связи всех объектов предметики или решаемой проблемы либо выделенного условием с(ж) класса объектов в составе универсума , для которого строятся условные распределения и меры частотной истинности. Особые случаи составляют условные универсумы, содержащие единственный выделенный из Щ объект — индивид. Приписать частость или вероятность индивиду означает обратное наследование свойства класса — сомножества каждому его представителю. Из факта принадлежности элемента сомножеству следует априорный перенос свойств сомножества на его элементы с определенной погрешностью, к которой добавляются погрешности знаний об индивиде и классе в целом. В универсуме ситуаций условная частотная логика превращается в классическую, а в универсуме условные распределения точно описывают размытия знания об индивиде, обусловленные неидеальностью источников фактической информации и априорной неопределенностью неизвестных свойств объекта.
При построении строгой теории частотной логики в основу положены идеальные схемы замкнутого мира — универсального множества объектов , идеального наблюдателя, который в состоянии безошибочно исследовать весь универсум объектов и получить точные оценки частости истинности всех свойств и их сочетаний , и т. д. В идеальном мире мы полагаем,
что оЬзи^ точно знает эти частости. Реальный субъект отличается от идеального, он работает в открытой системе, в состоянии исследовать лишь ограниченную часть универсума и при этом допускает ошибки, неполноту знаний. Переход от замкнутого к открытому миру выводит результаты исследований за рамки абсолютной строгости и приводит к изменению на противо-
УНИВЕРСУМЫ СИТУАЦИИ ЧАСТОТНОЙ ЛОГИКИ
положные роли частотной и классической логик. В самом деле, в замкнутой системе абсолютно истинные а = 1 и абсолютно ложные 6 = 0 высказывания допустимы и даже являются основной целью логико-математического процесса. В открытой системе любой шаг процесса может быть подвержен внешним искажениям и приобретает частотную оценку истинности, которую лишь условно принимают за абсолютную истину а = 1, в предположении, что в процессе получения этой оценки не произошло внешнего искажения принятых законов преобразований знаков.
В частотной логике происходит расщепление дентовой и контовой семантики понятий,
= /, разотождествление дента — объема понятия, представленного функцией множеств /(ж) в алгебре Кантора посредством теоретико-множественных операций (и, Г), /) и (+, •, —), и конта — составного свойства, выраженного помимо двоичного значения частотной истинностью /(ж) высказывания или предиката о составном классе объектов /(ж). В классической логике эти функции отождествляются абстрагированием, при котором алгебра Кантора и алгебра Буля совпадают: , , , что предопределяется двоичной шкалой ис-
тинности, так как если / = 1 или 0, то / = / в двоичном булевом базисе. В частотной логике точно выполняются все законы классической логики, включая закон исключенного третьего и двойного отрицания.
Частотная истинность ж элементарного или составного высказывания ж несет информацию
о средней, ожидаемой истинности ж в заданном классе ситуаций, а также полностью определяет меру неопределенности и ожидаемой изменчивости частотной оценки ж, что упрощает анализ достоверности и процесс принятия решений. В шкале частотной истинности выражаются не только недоопределенности в знании истины, но и одновременно выражаются переопреде-ленности или противоречия, так как Ыа примеров, образцов говорят о том, что а=1, но N — Жа эталонов утверждают, что .
Частотная шкала, в которой меры истинности или ошибок измеряются в долях единичного объема класса объектов предметики либо в процентах, имеет ясную естественнонаучную семантику, более адекватную реальным процессам, чем гипотезы или постулаты двоичной истинности (ложности) знаний в классической логике. Кроме того, частотную меру истинности легче преобразовать в ценностные критерии. Числовая частотная шкала истинности, точности или погрешности моделей открывает путь к дискретно-логическим приближениям и оптимальным аппроксимациям. Нельзя достичь абсолютной истины, но можно повысить достоверность относительных истин и установить границы, за которыми относительные истины практически не отличаются от абсолютных. Частотно-логическая истинность обладает теми же абстрактными свойствами, что и геометрическая (метрическая и комбинаторная) истинность.
Частотная логика моделирует многие неклассические логики и оценивает границы их достоверности, вводит в дискретно-логические методы идеи и алгоритмы логической аппроксимации при ^-сложности задачи, неполноте и искажениях фактических и априорных данных. Так, если высшие моменты логических признаков неизвестны, то возникают одномоментные и двух-моментные лапласовы приближения корреляционной логики. Частотная логика есть строгое обобщение вероятностной логики, которое строится на основе более полной формализации понятия внутренней неопределенности — индефиниции, отличной от математической вероятности и случайности реальных явлений. Частотный порядок и метрика, порожденные априорикой информационной ситуации, вместе с идеей логической аппроксимации позволяют во многих задачах преодолеть комбинаторный взрыв и №-сложность логических задач.
Частотная логика заведомо сложнее классической — это машинно-ориентированный инструмент информационных технологий, обладающий объективными средствами контроля знаковых преобразований. Он плохо приспособлен для человеческих рассуждений на естественном языке, но, в отличие от классической частотная логика, точнее описывает реальные, заведомо более сложные информационные связи, а в асимптотике, когда истинности приближаются к предельным значениям 0 или 1, частотная логика точно воспроизводит классическую подобно тому как неевклидовы геометрии (Лобачевского, Римана, Финслера) воспроизводят в пределе простейшую геометрию Евклида. Арифметизация логики, введение, наряду с логическими, частотных связей между двоичными признаками превращает логику из комбинаторной в аналитическую математику с ее мощным вычислительным аппаратом. Переход от численности к частости, к относительным нормированным мерам есть эффективная абстракция от численности классов и категории бесконечности.
Ближайшими широко известными аналогами частотной логики являются вероятностная, непрерывная, правдоподобная, бесконечнозначная логики. Смысловое, семантическое различие частотной и вероятностной логики состоит в выделении абстрактной неопределенности, отличающейся по смыслу от случайности, случайных событий, стохастических процессов, составляющих семантику теории вероятностей. Следует отметить также отличие идей частотной логики от подхода развитого в теории субъективных вероятностей, так как здесь мы рассматриваем объективные частости, которые совпадут с абстрактными вероятностями, если отвлечься от способа выбора объектов — детерминированного или случайного. И, наконец, частотная логика позволяет представить конструктивные формализации модальных и индуктивных логик [1].
ТРИЛОГИКА И ТЕТРАЛОГИКА
Проблема расширения двоичной шкалы классической логики {0,1} введением других допустимых значений логических признаков, высказываний и предикатов состоит в том, чтобы придумать однозначную семантику новых значений, создать арифметику и алгебру в расширенной шкале, которые обладают общезначимостью и позволяют объективно описывать свойства природных и информационных явлений, любых предметик, используя данные наблюдений и обработки информации без ссылок на интуитивную очевидность логических форм и их связей.
В логико-математическом языке, в классической логике понятие неопределенности фигурирует в неявной форме в качестве содержательного признака, разделяющего в мышлении при постановке математической проблемы ее компоненты на данные и искомые, известные и неизвестные математические объекты и если операции, функции, отношения содержат неопределенные аргументы, то они не могут непосредственно быть использованы в процессе решения задачи, они либо отбрасываются, либо преобразуются в формы с известными аргументами. Другие возможности открываются при явном введении в логические и математические формализмы информационных нулей и правил совместного оперирования определенными и неопределенными значениями информационных объектов. Особенно это важно при расширении формализации интеллектуальной деятельности, скажем, при выборе наилучшей постановки проблемы, при поиске и принятии решений в условиях неопределенности.
Логики с информационной семантикой служат простейшими образцами подобных построений. Более точно их можно назвать логиками с информационными нулями, впрочем, неопределенность, как и погрешность (ошибка, ложь), есть негативная форма информации, точности, истинности, адекватности, это родственные взаимозависимые научные категории информационного мира знаков. Данным обстоятельством объясняются настойчивые попытки в течение тысячелетий создания и причины появления «иных» логик, которые стараются описать свойства источников фактических и априорных неопределенностей, формализуемых в виде соответствующих информационных нулей и соответствующих им предельно простых моделей неопределенностей, описанных в предыдущей главе, это биноль — базисный информационный ноль внутренней неопределенности в двоичной шкале классической логики ВЦ = {0,1} и киноль — критический информационный ноль внешеней неопределенности вне двоичной шкалы истины-лжи, иначе называемые круглый и квадратный информационные нули. Биноль и киноль являются общезначимыми межпредметными категориями, они определяют основные неопределенности информационных процессов. Включение их в логическую шкалу ведет к естественным обобщениям классической алгебры логики.
Исходная, базисная неопределенность состояния знания субъекта двоичного свойства х проблемного субъекта характеризуется выражением «я знаю, что не знаю значение двоичного признака ». К этой форме сводятся разные виды неопределенностей, порождаемых различными причинами: нет ни одного источника информации, поэтому значение неизвестно значение признака известно, но неизвестны источники или свойства источников информации, нет оценки истинности значения да или нет есть несколько не вполне надежных источников информации, одни присваивают признаку значение «да», другие — «нет», т. е. знание субъекта в итоге остается неопределенным.
Обозначим внешнюю неопределенность, выводящую из двоичной шкалы допустимых логических значений, через знак «фатальный» «квадратный» ноль □ и наделим его смыслом синтаксической или семантической ошибки в логическом процессе. Появление в логическом процессе квадратного нуля означает абсурд, бессмыслицу, катастрофическую, фатальную ошибку формализации либо реализации логического процесса. В четвертичной логической шкале
№ аЬ а а + Ь а ■ Ь а — Ь а Ъ а о Ъ а и Ь а\Ь а 4- Ь
1 00 1 0 0 0 1 1 0 1 1
2 0- 1 - 0 0 1 - - 1 -
3 01 1 1 0 0 1 0 1 1 0
4 ПГ -0 - - 0 - - - - 1 -
э 6 -1 — 1 — 0 1 — — 0
7 10 0 1 0 1 0 0 1 1 0
8 1- 0 1 - - - - - - 0
9 11 0 1 1 0 1 1 0 0 0
можно выделить четыре троичных шкалы (подмножества значений) и соответствующие им четыре троичные логики, из них основной интерес представляет трилогика — объективированное обобщение классической логики со шкалой и тремя допу-
стимыми значениями входных и выходных признаков логических операций — единица, ноль, биноль, интерпретируемых в шкалах да-нет, истина-ложь, не знаю. Следующим объективированным обобщением классической логики и трилогики является тетралогика с информационной шкалой Ьс^4 = {Ьс^з, □} с дополнительным значением киноль, знак абсурда. Следует заметить, что в изложенной семантике трилогики мы лишь временно нарушаем принцип «третьего не дано».
Таблица 1 Перенос операций классической
логики в шкалы трилогики и тетралогики осуществляется по принципам поглощения биноля и воспроизведения киноля: если возможные вариации
аргументов не изменяют результат, то неопределенность поглощается, если на входе появляется знак абсурда, то ки-ноль воспроизводится на выходе [3]. В соответствии с принципом поглощения операции трилогики сведены в табл. 1, где биноль обозначен прочерком, полагая и независимыми (пятая
строка).
Операции эквиваленции а ^ Ь = (а —> Ь) ■ (Ь —> а) и дифференции а ф Ь = (а — Ь) + имеют более богатую реляционную, чем операционную семантику и интерпретируются как логические «равно» или «не равно» . В трилогике мы пользуемся двоичными
отношениями , , , и переносим их на третье — неопределенное значение:
. Соотношение более строго записывается в
виде — равенство неопределенностей есть неопределенность
Операция эквиваленции служит элементарным представлением адекватора в трилогике. Мера адекватности V = Б(х,х) = х ^ х в троичной реализации истинного высказывания и субъектного высказывания также принимает троичные значения,
. Изобразим троичный адекватор в виде матрицы и сравним ее с двоичной матрицей классической логики.
Здесь так же как в математической логике сохраняется отождествление двух видов истины и лжи. Случай, когда истина неизвестна, — средняя колонка, по традиции обычно отбрасывают и
анализируют две оставшиеся ситуации неопределенности состояния наблюдателя, когда да или истина, х = 1 и нет или ложь, х = 0 принимаются за неопределенность х = в — средняя строка. В предикатной семантике эти случаи и в самом деле часто можно отождествить, если следствием неопределенного значения результата исследования является решение о продолжении изучения неизвестного явления до установления истины или лжи
х = 0, в иных ситуациях подобное отождествление не всегда правомочно, во ф в\.
Остается рассмотреть случай — второй столбец матрицы, реально соответствующий
неопределенному значению цели исследования, скажем, из-за природной изменчивости свойств объекта, попеременно принимающего значения и . В этом случае, строго говоря, ошибочными (ложными) будут решения и , характерные для художественных текстов,
идеологических, религиозных и т. п. высказываний, но адекватор их отмечает значениями = в, а утверждение х = в, совпадающее по форме с истинным высказыванием х = в, имеет меру адекватности V = в, так как неопределенность нельзя приравнять неопределенности вх, а можно записать лишь вх вх = в. Последнее положение определяется как постулат неопределенности трилогики: совпадение неопределенностей значений идеального и реального информационных объектов порождает не истину, а всего лишь неопределенность.
Таким образом, при конкретизации формальной семантики трилогики мы имеем два вида истины — И, И, два вида лжи — Л, Л и пять вариантов неопределенности Н, из которых
X X 0 - 1
0 1 - 0
- - - -
1 0 - 1
ситуации (ж = в, х = 0) и(ж = 0, ж = 1) можно отнести к ослабленным вариантам лжи и назвать их полуложью ПЛ, когда действительную неопределенность называют, во-первых, истиной, а, во-вторых, ложью. Тогда семантическая матрица адекватора из троичной превращается в девя-тиричную, порождая многозначные логики от троичной до девятиричной, 9-значной, в которой все значения истинности различимы и можно построить невообразимое число бинарных операций.
Если целью исследования считается поиск и достижение истинных объектов (ж), то элементы (ж, ж) матрицы имеют следующую интерпретацию: Их = (1,1) — цель достигнута, Ио = (0,0) — ложная цель отвергнута, Ло = (0,1) — пропуск цели, Лх = (1,0) — ложная тревога, — ложная надежда, — обоснованный оптимизм, — необоснованный оптимизм, —
необоснованный пессимизм, — действительная неопреде-
ленность, которая в отличие от постулата неопределенности трилогики может иметь дополнительный смысл истинного, точно определенного знания того, что свойство изменчиво, невоспроизводимо, неопределимо, поэтому вх = вх — истинная неопределенность.
Теперь рассмотрим информационные ситуации с логическими зависимостями неопределенных аргументов бинарных операций трилогики и, применяя принцип поглощения бинолей, получим таблицу, которая определяет результаты логических операций при зависимых аргументах а = ва, Ь = вь (табл. 2).
При импликативной связи логических признаков неопределенности поглощаются для двух операций (одна есть отрицание другой) из восьми, представленных в таблице, исключение составляет связь (вторая стро-
ка), в которой все восемь операций имеют неопределенный результат, что объясняется отсутствием в таблице асимметричных операций Ь ^ а и Ь —> а, в которых при связи биноли по-
глощаются, см. первую строку. Импликация (обратная теорема) дает неопределенность при истинности связи (прямой
теоремы), это свойство так называемой абдукции — неверный логический вывод в двоичной классической логике «по аналогии», ложный при а ф Ь. Для эквиальных связей признаков и Ь биноли поглощаются четырьмя и шестью (последняя строчка) операциями трилогики в полном соответствии с определением базисного отрицания и законами противоречия и исключенного третьего.
Табл. 1 и 2 можно принять за исходные формальные определения операций трилогики, согласованные с информационной семантикой логических преобразований и отношений, как это принято в классической логике. Из этих определений однозначно следуют все законы классической логики, правила символьных преобразований булевой алгебры, их справедливость в три-логике — в шкале с зависимыми и независимыми неопределенностями: ассоциативность и коммутативность сложения, умножения, эквиваленции, дифференции, законы дистрибутивности, де Моргана, поглощения констант и переменных, эти законы без всяких изменений переносятся в трилогику.
ЧАСТОТНАЯ ЛОГИКА, ТРИЛОГИКА, ТРОИЧНАЯ ЛОГИКА ЛУКАСЕВИЧА
Оценим, в какой степени дискретная частотная логика с тремя значениями истинности {0,1/2,1} моделирует трилогику {0,1, в) при задании соответствия между информационным нулем в и частостью истинности 1/2. Для этого в множестве исходных высказываний выделим истинные а = 1 и ложные 6 = 0 высказывания, а остальным высказываниям в интервале истинности 0 < с < 1 припишем значение с = 1/2. Аналогичный результат получается и для двух источников информации с согласованными (1,1) и (0,0) и противоречивыми (1,0) или (0,1) выходными данными. Ограничимся операциями из базиса Буля (+, •, -■), из которых получаются все остальные операции арности .
Таблица 2
Логич. связь а + Ь а ■ Ь а — Ь а Ъ а о Ъ а и Ь а\Ь а 4- Ь
а Ъ - - 0 1 - - - -
Ь а
а Ъ - 0 - - - - 1 -
Ь —¥ а 1 0
а = Ь - - 0 1 1 0 - -
а = Ь 1 0 - - 0 1 0 1
X X 0 - 1
0 Ио ПЛо Л!
- Но Н0 Н!
1 Ло ПЛ1 И!
Очевидно, унарная операция отрицания с = а имеет одинаковое выражение истинности в трилогике {0,1,0} и частотной логике, если приравнять 0=1/2, т. к. с = 1 — а, отсюда 0 = 1,
1 = 0,0 = 0, 1/2 = 1 - 1/2. Бинарная операция умножения с = а ■ Ь в частотной логике является внелогической и величина истинности произведения аЬ должна быть задана априори внелогическими средствами, а в данном случае троичной частотной логики оно принимает одно из трех значений: 0, 1/2, 1. В трилогике произведение вычисляется по значениям а и Ь: 0 - в = 0,
1 • 0 = 0, 0 - в = 0, если биноли логически независимы. В частотной логике этим соотношениям соответствуют априорные ограничения: 0 ^ аЬ ^ а, 6^1, а + Ь ^ 1 + аЬ; а + Ь^1 + аЬ. В дискретной шкале значений а, Ь €Е {0.1} эти неравенства превращаются в равенства, по ним однозначно восстанавливается значение дЬ в 8 случаев из 9, исключение составляет лишь произведение .
В самом деле, если а или Ь = 0, то по первому неравенству аЬ = 0, что соответствует в вещественной арифметике умножению на ноль и в результате будет ноль. При а = Ь = 1 величина аЪ из первого неравенства ^1, а из второго ^1, значит, аЬ = 1, а если одно из этих значений равно 1/2, то получаем из первого неравенства аЪ ^1*2, из второго аЬ^ 1*2, следовательно, аЪ, что полностью соответствует случаю 1-0 = 0. Остается случай а = Ь = 1/2, соответствующий умножению независимых неопределенностей 0 - в = 0. Из неравенств и диаграммы Эйлера следует неопределенность частости произведения: 0 ^ дЬ ^1/2 и, следовательно, в троичной частотной логике произведения может принимать только два значения аЬ = 0 или Нулевому значению соответствует полная определенность составного высказывания — несовместность максимально неопределенных высказываний и и строгая импликативная связь между ними: а —> Ь и Ь —> а. Второе значение аЬ = 1/2, напротив, выражает максимальную неопределенность его истинности ста = |, когда ответы «да» и «нет», имеют одинаковую меру истинности, как и ответ «ни да, ни нет», поэтому семантически более обоснованным значением истинности неопределенного произведения из двух возможных будет решение дискретных неравенств значением в виде об = |. Это значит, что в троичной частотной арифметике | | | — единственный случай из 9, отличающий троичное перемножение 0, | и 1 от произведения в вещественной арифметике, т. к. в последней полученное значение | | | не принадлежит троичной
шкале и заменяется семантически оправданным значением |, которое соответствует ситуации логической независимости бинолей.
Таблица, определяющая умножение будет такой:
Она совпадает с таблицей трилогики, если переобозначить | на
0, и в ней 0 - в = 0. Таким образом, при независимости неопределенностей в троичной частотной логике достаточно знать независимые истинности а и Ь, чтобы вычислить все остальные истинности логических операций в полном соответствии с формулами трилогики.
Скажем, истинность суммы а + Ь теперь может быть вычислена по формуле частотной логики а + Ь = а + Ь^аЬ. Легко убедиться, что все 9 возможных соотношений трилогики {0,1,0}: 0 + 0 = 0, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1 и т.д. соответствуют сложению в троичной частотной логике, представленного таблицей:
Для примера вычислим истинность суммы при а = Ь = |, тогда аЬ = 1/2, а + Ь = а + аЬ=
Точно также доказывается справедливость остальных бинарных и п-арных операций, например, сумма трех признаков с = а\ + +
+ 0,3, И имеет ИСТИННОСТЬ с = а1+ 0-2 + Яз — Я12 — ^13 — а-23 + —123’ где е {0.1/2.1}. По заданным а,: вычисляем и затем а^к, а далее истинность с; так, при = а2 = а3 = 1/2, (щ = 1/2, = 1/2,
с = 3 • 1/2 — 3 • 1/2 + 1/2 = 1/2. Аналогично проверяется полное соответствие импликации а^Ь = а + Ьи других функций этих логик.
Таким образом, частотная логика полностью воспроизводит не только двоичную классическую, но и трилогику, если информационному нулю и произведению соотнести частость истинности, равную К соответствию этих логик можно подойти и с практической точки зрения: трилогика — троичная информационная логика является простейшей аппроксимацией частотной логики и расширяет возможности классической логики, учитывая не только истину и ложь, но и предельную неопределенность логического вывода, а программно-аппаратная реа-
и+Ь 0 1 9 1
0 0 1 9 1
1 1 1 1
9 9 9
1 1 1 1
иЬ 0 1 9 1
0 0 0 0
1 о 1 1
9 9 9
1 0 1 9 1
лизация троичной арифметики гораздо проще и дешевле арифметики вещественной. Дополнительные погрешности в оценках частотной истинности, которые возникают при замене частостей, отличных от 0 и 1, значением | можно оценить по формулам частотной логики.
Трилогика является предельным упрощением частотной логики и простейшим обобщением классической логики, которое учитывает внутреннюю неопределенность состояний информационно-логического процесса. Троичная шкала {0, 1} появилась в исторически первой мно-
гозначной логике, созданной Я. Лукасевичем [5]. Он связывал построение трехзначной логики с «борьбой за освобождение человеческого духа», а его доказательство недостаточности классической логики для описания модальностей и необходимости построения неклассических систем некоторые ученые сравнили с открытием неевклидовой геометрии.
Промежуточное значение | в этой шкале имеет неформализованную семантику, Лукасевич использовал термины «нейтральное» или «возможное» значение (чего?, если значение меры истинности и неопределенности, то мы приходим к частотной интерпретации числовых значений троичной шкалы: 0, | и 1). Логическая система Лукасевича строится в базисе Фреге (_1, —>), нега-ция определяется числовым вычитанием: , импликация выражается числовой функцией , остальные логические операции определяются в этом базисе
по формулам классической логики, однако в троичной логике Лукасевича, в отличие от трило-гики, результат переноса операций зависит от исходных формул. Так, если дизъюнкцию а + Ь определить выражением или равным ему , аналогично конъюнкцию выразить
формулой , то законы противоречия и исключенного третьего будут спра-
ведливыми в этом варианте логики Лукасевича, если же взять за исходные формулы = (а -> Ь) —ьЬ = (Ь—}а) -» а, а ■ Ь =_> ((а -» Ь) -» Ь) =-> ((& -» а) -» а), которые используются в аксиоматизациях логики Лукасевича и других логик в работах А. Тарского, М. Вайсберга, Я. Слупецкого и др., то законы классической логики не выполняются. Причина этого факта состоит в том, что импликация Лукасевича отличается от импликации трилогики в одном значении из девяти: ^ ^ = 1 — в интерпретации Лукасевича: «Если из возможного логически сле-
дует возможное, то эта формула истинна», в нарушении информационного принципа поглощения неопределенностей, в согласии с которым «если из биноля следует логически независимый биноль, то эта формула имеет неопределенное значение биноль». Истина в этом случае будет только при наличии логических связей аргументов: или — первая и предпоследняя
строки табл. 2.
Следует отметить также связь импликации Лукасевича с приведенным выше обоснованием троичной аппроксимации частотной логики при выборе значения произведения | | = 0 или Там было выбрано значение но если конъюнкцию Лукасевича определить по правилу а • Ъ = =_|(а —> Ь), то произведение | | = 0, а логическая сумма 5 + 5 = 1, поэтому законы классической логики выполняются в этом неординарном варианте логики Лукасевича. При выборе формулы а- Ь = J ((о, имеем 5-5 = 5. 5 + 5 = 5~ законы противоречия и исключенного тре-
тьего нарушаются, а сам выбор формул и аксиом логических систем не имеет в данной ситуации объективных оснований. По сходным причинам известные троичные логики Брауэра-Гейтинга, Черча, Гудстейна, Шестакова, Бочвара, Клини, Рейхенбахане удовлетворяют информационным принципам объективных логик, не учитывают частотные и логические связи неопределенных логических признаков. Многочисленные существующие аксиоматизации этих и других логик привносят дополнительные семантические неопределенности и неадекватности информационной семантике логических процессов.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Развитие информационных систем и технологий, формализация информационной семантики и неопределенностей знаковых процессов позволили прояснить некоторые проблемы классической и неклассических логик. Логический подход к созданию новых информационных технологий является в настоящее время, пожалуй, наиболее распространенным при разработке интеллектуальных и экспертных систем в различных предметных областях. В этих исследованиях двоичная классическая логика обычно заменяется какой-либо неклассической логикой, по-видимому, более соответствующей информационной ситуации и поставленной проблеме. Число и разнообразие неклассических логик — модальных, интуиционистских, конструктивистских, монотонных, многозначных, индуктивных, вероятностных, размытых, правдоподоб-
ных, нечетких, диффузных, квантовых и т. д — экспоненциально растет со временем, вместе с тем эти логики пока не оказывают заметного влияния на теории и информационный инструментарий предметик.
Накопленный опыт с очевидностью показывает, что с позиций стоящих актуальных задач автоматизации человеческой деятельности основные трудности создания многозначных и других неклассических логик не формального синтаксического, математического или алгоритмического характера, а принципиально семантического свойства, они имеют весьма ограниченный смысл, обусловленный отсутствием строгих конструктивных определений истинности и неопределенности, общезначимых однозначно формализованных семантик неклассических логик, согласованных с традициями предметик и проверенными способами оценок достоверности, изменчивости объектов, погрешности измерений, вычислений, рассуждений и последствий принимаемых решений. В самом деле, реальные мыслительные информационные процессы и знания о материально-информационной реальности не укладываются в жесткую схему двузначности оценок всякого знания, но могут быть сведены (с некоторыми потерями информации и допустимыми приближениями) к наборам взаимосвязанных двузначных шкал, семантика которых может сильно отличаться от оценок истины или ее отрицания — лжи.
В аппарат трилогики и тетралогики явно вводятся общезначимые информационные нули — внутренний и внешний, относительно двоичной шкалы классической логики, биноль и киноль. В формализованной информационной семантике логического процесса биноль появляется в ситуациях: 1) логической признак не задан, х = в, следовательно, истинное значение неизвестно, х = в, 2) признак ж задан, но его истинность неизвестна V = в или неизвестен источник информации, породивший значение , либо неизвестны свойства источника, следовательно, , 3) источники информации дают противоречивые сведения о значении ж, по одним данным х = = 0, по другим ж = 1, следовательно, ж = в, 4) процесс получения оценки значения признака привел к абсурду, , следовательно, .
В информационно-логическом процессе в формализме тетралогики киноль возникает в следующих ситуациях: 1) при нарушении предусловий на входе и постусловий на выходе логической функции или отношения, операционной продукции, процедур контроля дедуктивной системы, 2) при анализе противоречий между фактическими данными, а также между фактами и априорикой решаемой проблемы, 3) при реализации операций тетралогики. Между информационными нулями и различных логических переменных возникают частотные и логические связи. Механизмы образования зависимостей между неопределенными классами объектов универсума различаемых в шкалах трилогики и тетралогики по сути те же, что и в любых других шкалах определенных значений, числовых и нечисловых, например, логическая связь бинолей ва ивъ может быть обусловлена недоступностью измерения свойств а иЬ определенных классов объектов универсума предметики. Строя распределения численности или частости троичных и четверичных логических переменных по фактическим данным и теоретическим моделям получают естественные обобщения частотной логики и формальный аппарат частотной трилогики и частотной тетралогики. Следует подчеркнуть, что теоретическая истинность, неопределенность, противоречивость и другие модальности знания неотделимы от универсума информационных ситуаций, в котором оцениваются свойства знаний.
В трилогике и тетралогике, в отличие от частотной логики не происходит расщепления логической функции и выделения ее функции истинности и неопределенности, вычисления ведутся в соответствии с правилами, подобными алгебре классической логики. В трилогике выполняются все законы, эквивалентные и неэквивалентные (импликативные) преобразования классической логики, а функции многих логически независимых вариаций переменных выражаются через бинарные операции, справедлив также линейный нестрочный порядок ,
если в двоичные шкалы ввести строгий порядок: нет < да, ложь < истины, 0 < 1, а при отсутствии информационных нулей трилогика и тетралогика воспроизводят преобразования классической логики, при этом в шкале тетралогики выразимы обратные логические функции. Появление в логическом процессе абсурда и знака киноль ведет к нарушению законов логики и информатики, это важное отличие тетралогики от трилогики, в которой все законы выполняются.
Аппарат трилогики и тетралогики сложнее аппарата формализмов классической логики, но значительно проще частотной логики, что позволяет надеяться на применения информационных нулей в рассуждениях естественного интеллекта в среде естественного языка при описании типовых мыслительных ситуаций и решений. Другие применения неклассических логик с ин-
формационной семантикой относятся к созданию систем искусственного интеллекта и интеллектуальных интерфейсов. Частотная логика малопригодна для человеческих рассуждений — это инструмент машинного интеллекта, но в эргатических системах, в процессах общения автомата и человека, в процедурах объяснения машинных решений весьма полезными оказываются трилогика, тетралогика, аппроксимационные вербальные логики [3].
Язык любой логики ограничен и не универсален. Логики с информационной семантикой есть постепенный переход от двоичной классической логики к более сложным математическим и информационным моделям систем и технологий. Из всех мыслимых и фактически созданных логик особое место занимают логики, объективно описывающие состояния информационноматериальной реальности и содержащие собственный инструмент строгой оценки истинности и неопределенности логического вывода в рамках однозначно определенного формализма — прежде всего это классическая логика, отвергающая все недоопределенные и переопределенные значения переменных, оставляя их обработку неформализованной части естественного интеллекта, затем ее обобщения на неопределенные ситуации — трилогика, тетралогика, частотная логика и их комбинации, позволяющие учесть ошибки формализации, нарушения гипотезы двоичности Хризиппа, частичность и многозначность сенсоров и рефоров информационных систем и технологий.
Если частотная логика предполагает при реализации сложные машинные вычисления, то трилогика и тетралогика могут найти применение не только в упрощенных алгоритмах и аппаратных средствах автоматизированных систем, но и в процессах естественного мышления и языка. Дана Скотт сетовал: «Да, да, я слышу возражения, выкрикиваемые со всех сторон. Если мы собираемся использовать неопределенные термы, то почему нельзя использовать и неопределенные истинностные значения? Разве это не более естественно? Может быть и так, но сначала покажите мне пригодную для работы трехзначную логику. Я знаю, что такая логика может быть построена и, по меньшей мере, четыре раза в год кто-нибудь приносит новую идею, но до сих пор она не разработана до такой степени, чтобы с ней было приятно работать. Может быть, такой день настанет, но меня еще нужно убедить. Поэтому мой совет такой: продолжать работать с двузначной логикой, потому что ее легко понимать и использовать в приложениях...» [6]. Ну а совет, который следует из предшествующего изложения — работать с подходящей объективной логикой и ее формализованной информационной семантикой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зверев, Г. Н. Логическая семантика и дискретные аппроксимации / Г. Н. Зверев // Основания теоретической информатики. Разд. 5. Уфа: УГАТУ, 1997.92 с.
2. Зверев, Г. Н. Частотная логика — альтернатива классической логике в новых информационных технологиях / Г. Н. Зверев // Информационные технологии. 1998. № 11. С. 2-10.
3. Зверев, Г. Н. Объективные многозначные логики в интеллектуальных системах моделирования и обработки информации / Г. Н. Зверев //Вестник УГАТУ. 2003. Т. 4, № 1. С. 20-34.
4. Bolc, L. Many-Valued Logics: Theoretical Foundations. / L. Bolc, P. Borowic. Berlin, 1992. Vol. 1
5. Lukasiewicz, J. Logica trojwartosciowa / J. Lukasiewicz // Ruch Filozficzny. Lwow, 1920. R. V, nr. 9.
6. Семантика модальных и интенсиональных логик. М.: Прогресс, 1981. 424 с.
