CC BY
8
Негиббсовское распределение в модели Изинга
П. К. Ильин, Г. В. Коваль," A.M. Савченко6 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой статистики и теории поля. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2
Поступила в редакцию 17.06.2020, после доработки 24.07.2020, принята к публикации 27.07.2020.
Настоящая работа лежит в русле новых подходов, связанных с получением и исследованием негиббсовских равновесных распределений. На основе модели Изинга получено новое равновесное распределение для случая термостата соразмерного с системой. Также показано, что равновесное распределение сильно отклоняется от гиббсовского при термостате, меньшем или соразмерном с выделенной системой, и стремится к гиббсовскому в пределе большого термостата.
Ключевые слова: распределение Гиббса, модель Изинга, негиббсовское распределение. УДК: 531.19, 537.611.2. PACS: 05.20.-y, 64.60.De.
ВВЕДЕНИЕ
В абсолютном большинстве подходов, связанных с построением равновесной статистической механики, при получении равновесных распределений Гиббса, канонического и большого канонического, используется формализм, связанный с моделью термостата много большего системы, для которой изучается и выводится соответствующее распределение [1-3]. Именно в этом приближении и выводятся распределения Гиббса. В связи с этим представляется логичным рассмотреть модель с термостатом соразмерным с изучаемой системой, что для системы большого числа частиц, но лабораторных размеров, выглядит даже более реалистичным подходом.
Важно отметить, что сам Гиббс говорил о своем распределении, введенном им фактически без вывода, что оно «по-видимому, является наиболее простым мыслимым случаем, так как оно обладает тем свойством, что когда система состоит из частей с отдельными энергиями, закон распределения по фазам для отдельных частей обладает одинаковой природой — свойство, которое чрезвычайно упрощает исследование и которое является основанием для весьма важных отношений к термодинамике» [4]. Академик Н.Н. Боголюбов писал, что «среди всех этих (возможных) распределений полностью привилегированное значение имеет каноническое распределение.. . » [5]. Академик В. В. Козлов [6] также подчеркнул, что Гиббс «предположил», что соответствующее распределение имеет экспоненциальный вид.
За последние годы вышло большое количество публикаций, связанных с усовершенствованием и в каком-то смысле критикой распределения Гиббса. Данные новые подходы связаны с тем, что для сложных систем (к примеру, фрактальных, социальных, биологических) у распределения Гиббса не наблюдается согласия с экспериментальными данными, а именно, важным его недостатком является тот факт, что из распределения Гиббса ни при каких условиях, за исключением абсолютно экзотических и нефизичных [7], не следует степенное распределение [8].
Данные альтернативные подходы основаны на новых формах энтропий, среди которых самое широкое применение нашли энтропия Реньи [9] и энтропия Тсаллиса [10], и на соответствующих распределениях, получаемых из них. Любопытно отметить, что энтропия Тсаллиса, как правило, вводится независимо, но при этом является частным, предельным случаем энтропии Реньи.
Среди работ несколько другого направления выделим те, в которых сделаны всевозможные попытки обобщить распределение Гиббса для учета, к примеру, еще и распределения по температуре, которая в каноническом и большом каноническом распределении Гиббса строго фиксирована. Некоторые из полученных результатов уже получили громкие названия «суперстатистики» или «суперканонического» распределения [11-14]. Из последних публикаций выделим статью [15], в которой обсуждается распределение для системы осцилляторов, взаимодействующих с конечным малым термостатом, и способ получения этого распределения.
В представленном в настоящей работе исследовании негиббсовское распределение по энергии получено из микроканонического распределения Гиббса для модели Изинга в случае термостата, соразмерного рассматриваемой системе.
1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ ПОДСИСТЕМЫ В МОДЕЛИ ИЗИНГА
Рассмотрим одномерную цепочку из N изингов-ских спинов на окружности (периодические граничные условия) [16, 17]. Энергия такой системы имеет вид
N 3=1
где 7 — константа взаимодействия соседних спинов, а <т3- = ±1 — изинговские переменные, характеризующие состояния спинов. Возможные значения энергии такой системы нумеруются четным целым числом М, которое удовлетворяет очевидным условиям:
0 < М < N.
а E-mail: [email protected] б E-mail: [email protected]
Для заданной спиновой конфигурации М равно числу пар соседних спинов, имеющих разные значения
(oj = —<7j+i). Энергия спиновой конфигурации тогда
равна
E(M) = — J (N — 2M),
а число конфигураций с такой энергией есть
Г(М) = 2
N!
M !(N — M)!'
(1)
(2)
В дальнейшем будем считать, что система N спинов является изолированной, ее энергия определена точно и соответствует некоторому конкретному числу М. Согласно микроканоническому распределению Гиббса все состояния с заданной энергией равновероятны.
Выделим подсистему из Ь спинов, начиная с первого и заканчивая Ь-м. Далее будем называть эту подсистему «системой», а подсистему спинов с (Ь + 1)-го по Ж-й будем считать «термостатом», с которым взаимодействует система. Система и термостат обмениваются энергией, поскольку их граничные спины взаимодействуют — 1-й с N-м и Ь-й с (Ь + 1)-м. Значения энергии системы задаются целым числом К, которое для данной спиновой конфигурации системы сть ..., сть равно числу разнонаправленных соседних спинов. Соответствующая энергия системы есть
Es (K) = — J (L — 1 — 2K),
(3)
а число состояний системы с такой энергией равно
rs (K) = 2
(L — 1)!
K!(L — 1 — K)!'
(4)
Условия, которым удовлетворяют возможные значения К, следующие:
тах(0, М - N + Ь - 1) < К < тт(М, Ь - 1). (5)
Найдем теперь вероятность того, что система находится в состоянии, соответствующем определенному значению К. Так как для полной системы из N спинов предполагаем микроканоническое распределение при фиксированной энергии, то такая вероятность равна:
1
(N — L + 1)!
Г(М) (M — K)!(N — L + 1 — M + K)!'
(6)
Биномиальный коэффициент, стоящий в этой формуле справа, выражает число способов выбрать из N — Ь + 1 пар соседей, не входящих в систему, ровно М — К пар спинов, которые будут разнонаправлены, а деление на общее число состояний (2) естественно возникает из микроканонического распределения. Важным результатом является то, что в общем случае это выражение для вероятности явно не сводится к каноническому распределению Гиббса при некоторой температуре.
1.1. Средняя энергия системы
На основе полученного распределения (6), используя формулу для энергии системы (3) и тот факт, что число микросостояний системы с энергией (К)
определяется соотношением (4), запишем выражение для средней энергии системы:
min (M ,L-1)
(Es > = Е
K=max(0,M-N + L-1)
rs(K)Es(K).
Г(М)
(N — L + 1)!
2J
(M — K )!(N — L + 1 — M + K)!
min(M ,L-1)
E (L — 1 — 2K) x
K=max(0,M-N+L-1)
L — 1\ iN — L + 1 K I { M-K
r(M)
После рассмотрения различных случаев для границ переменной К и применения свертки Вандер-монда было получено точное общее выражение для средней энергии системы:
Е> = -ЛЬ - 1)( 1 - 2М0. (7)
2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ БОЛЬШОГО ТЕРМОСТАТА
Покажем, что в случае, когда «термостат» заметно больше системы, формула (6) действительно принимает вид распределения Гиббса. Пусть далее N ^ Ь. Будем также считать, что энергия системы N спинов такова, что
M ,
- = ГУ ^ 1
N
(8)
где параметр а лежит в интервале (0,1). Термодинамический предел E, N ^ то, E/N = const в силу формулы (1) эквивалентен пределу N, M ^ то, а = const. В этом случае условия (5) на возможные значения числа K сводятся к
0 < K < L — 1.
В силу (8) и (9) тогда имеем неравенства
(9)
Ь - 1 < N, К < М, Ь - 1 - К < N - М. (10) Используя приближенное равенство
N!
^ - п)! « —-,
^ > N -
которое выполняется при п ^ N, в силу (10) можем переписать вероятность (6) следующим образом:
1 M !(N — M)!
2
N!
(N — L + 1)!
(M — K )!(N — L + 1 — M + K)!
1 M!(N — M)! N! MK (N — M) 2"
\L-1-K
N!
откуда приходим к
1
NL-1 M! (N — M)!
M \K /N-Mx L 1
2NM
N
(11)
x
w =
n
X
n
w
n
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
37
Рисунок. Зависимость логарифма вероятности реализации микросостояния системы ln[wn(ES)] от энергии Es, соответствующей данному микросостоянию. Параметры системы фиксированы (L = 100 и J = 1), варьируются размеры термостата и полная энергия цепочки(«система + термостат»): а — (N — L) = 50, 6 — (N — L) = 100, в — (N — L) = 200
и г — (N — L) = 900 (в цвете online)
Отметим, что с учетом кратностей состояний (4) сумма этих вероятностей равна единице. Теперь выразим число К через энергию состояния системы Еп из формулы (3), К = (Еп/Л+Ь-1)/2 и подставим в формулу (11), получим для вероятностей:
M
1
2 V N — M
(J +L-1) 2 / N _ m 4 L-1
En J log( n-m ) 1
M
2NM
L — 1 2
N N - M
L-1
Согласно последней формуле вероятности гшп имеют вид канонического распределения Гиббса
1 Еп = в ,
в котором температура в равна M
в = -2 J log
NM
-2J log
1
а статистическая сумма имеет вид
Z = 2
L — 1
N-м^ ~
M
N
NM
=2
L1
1
а(1 — а)
L — 1 2
. (13)
Сделаем два замечания. Первое: статистическая сумма (13) зависит только от размера системы L и отношения M/N = а, то есть от температуры в, связанной с а по формуле (12). От размера термостата, таким образом, статистическая сумма не зависит, как и должно быть.
Второе: если термостат «перенасыщен» энергией, так что в случае J < 0 имеем а < 1/2, а при J > 0 имеем а > 1/2, то температура (12), которую он задает для системы, является отрицательной.
На рисунке представлены графики зависимости логарифма вероятности реализации микросостояния системы ln[wn(ES)] от энергии ES, соответствующей данному микросостоянию (расчеты проведены по формулам (3) и (6)). Размер системы L и константа J
w
n
e
а
везде одинаковые, а различные блоки графиков соответствуют различным размерам термостата. Внутри каждого из блоков графики отличаются фиксированным параметром М, который отвечает за общую энергию замкнутой цепочки — «система + термостат». Мы видим, что при увеличении относительных размеров термостата (соотношение L/N приближается к нулю) линии графиков стремятся к прямым, а следовательно, к виду, соответствующему каноническому распределению Гиббса. Также наблюдаются кривые, аппроксимируемые прямой с положительным угловым коэффициентом, что в предельном случае соответствует отмеченному выше появлению отрицательной температуры.
2.1. Средняя энергия системы, как функция температуры
Выразим из выражения для температуры (12) отношение М к N:
М _ 1 N _ ехр (^) + 1.
Подставив в (7), получаем Е> _ -7(Ь - 1) ( 1--) _
V ехИ ¥) + V
_ (Ь- 1)ш(
Полученный результат для средней энергии в предельном случае демонстрирует совпадение с результатом при усреденении энергии по распределению Гиббса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в работе показано, что в случае модели Изинга общепринятое каноническое распределение Гиббса является лишь частным предельным случаем, а при модели термостата соразмерного с изучаемой системой или даже меньшим ее наблюдается заметное отличие от распределения Гиббса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Квасников И. А. // Статистическая физика. Теория равновесных систем. T.2. М.: УРСС, 2002.
2. Фейнман Р. // Статистическая механика. М.: Мир, 1978.
3. Ландау Л. Д., Лившиц Е.М. // Статистическая физика. T.5. Ч. 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
4. Гиббс Джозайя Виллард // Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука, 1982.
5. Боголюбов Н.Н. // Избранные труды в трех томах. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1970. С. 297.
6. Козлов В. В. // Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. Москва-Ижевск, 2002. С. 38.
7. Montroll E. W., Shlesinger M. F. // J. Stat. Phys. 1983. 32. P. 209.
8. Bak P. // How Nature works. The Science of Self-Organized Criticality. Springer. Berlin. 1996.
9. Renyi A. // Probability theory. North-Holland, Amsterdam. 1970.
10. Tsallis C. // J. Stat. Phys. 52. 1988. P. 479.
11. Башкиров А. Г., Суханов А. Д. // ЖЭТФ. 2002. 122. Вып.3(9). С. 513.
12. Wilk G, Wlodarczyk Z. // Phys. Rev. Lett. 2000. 84. P. 2770.
13. Beck C, Cohen E. G. D. // Physica A. 2003. 322. P. 267.
14. Ramshaw John D. // Phys. Rev. E. 2018. 98, 020103(R).
15. Hasegawa H. // C Phys. Rev. E. 2011. 83, 021104.
16. Ising E. // Beitrag zur Theorie des Ferro-und Paramagnetismus. Ph.D. Thesis. University of Hamburg. 1924.
17. Ising E. // Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus. Zeitschrift fur Physik. 1925. Bd.31. P. 253.
A Non-Gibbs Distribution in the Ising Model P.K. Ilin, G.V. Kovala, A.M. Savchenkob
Department of Quantum Statistics and Field Theory, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia.
E-mail: [email protected], [email protected].
This work is in line with new approaches for obtaining and studying non-Gibbs equilibrium distributions. Based on the Ising model, a new equilibrium distribution is obtained for the case of a thermostat that is commensurate with the system. It is also shown that the equilibrium distribution significantly deviates from the Gibbs distribution when the thermostat is smaller or commensurate with a separated system and tends to the Gibbs distribution in the limit of a large thermostat.
Keywords: Gibbs distribution, Ising model, non-Gibbs distribution. PACS: 05.20.-y, 64.60.De. Received 17 June 2020.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2020. 75, No. 5. Pp. 415-419.
Сведения об авторах
1. Ильин Павел Константинович — студент; тел.: (495) 939-12-90, e-mail: [email protected].
2. Коваль Геннадий Васильевич — канд. физ.-мат. наук, доцент; тел.: (495) 939-12-90, e-mail: [email protected].
3. Савченко Александр Максимович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-12-90, e-mail: [email protected].
