CC BY
80
Вестник ДВО РАН. 2013. № 3
УДК 550.34 + 681.3 (04)
Л.М. БОГОМОЛОВ, В.Н. СЫЧЁВ, Н.А. СЫЧЁВА
Сейсмологические приложения нестандартного статистического анализа
Показано, что применение статистики Тсаллиса для описания сейсмического процесса подтверждает предположение о том, что наблюдаемая геосистема является неаддитивной, неравновесной с наличием дальних корреляций. Использование методов нелинейной динамики для анализа сейсмической активности различных азиатских регионов (Дальний Восток, Тянь-Шань) позволяет выявить краткопериодные квазипериодичности и модальности распределений числа событий. В потоке наиболее слабых событий отмечены закономерные черты (устойчивые распределения по времени суток).
Ключевые слова: сейсмическая активность, аддитивность, распределение Тсаллиса, нелинейная динамика, рекуррентные диаграммы.
Seismological applications of nonstandard statistical analysis. L.M. BOGOMOLOV (Institute of Marine Geology and Geophysics, FEB RAS, Yuzhno-Sakhalinsk), V.N. SYCHEV, N.A. SYCHEVA (Research Station, RAS, Bishkek).
Using Tsallis statistics to describe seismic process one can prove that the observed geosystem is non-additive, non-equilibrium system with long correlations. Application of nonlinear dynamics methods for the analysis of seismic activity in several regions of Asia (the Far East, the Tien Shan) allows revealing short-term quasi-periodicity and modality of number of events distribution. The regular features have been noted in the flow of the weakest events (time of day stable distributions).
Kew words: seismic activity, additivity, Tsallis distribution, nonlinear dynamics, recurrence
Общепризнано, что поток сейсмических событий для конкретного изучаемого региона отражает процесс деструкции геосреды, сочетающей элементы непрерывной во времени пластической деформации и хрупкого разрушения, реализующегося дискретно. Этим предопределено наличие характеристик регулярных (детерминированных) и случайных процессов в последовательностях сейсмических событий, которые описываются региональными каталогами, включающими слабые землетрясения. Вопрос о проявлениях регулярности и случайности представляет интерес в связи с продолжающейся дискуссией о границах применимости для области очага землетрясения модели самоорганизованной критичности (индетермированного типа, исключающего возможность каких-либо прогнозов). Признаком детерминизма может быть, наряду с элементами памяти, повторяемость максимумов и минимумов сейсмической активности с определенными периодами, в частности суточная периодичность [1-4, 7].
Целью работы является анализ распределения по времени суток слабых сейсмических событий, регистрируемых на территории двух регионов Азии, различающихся по геодинамическим условиям (Тянь-Шань - внутриконтинентальный ороген, Дальний Восток, в частности о-в Сахалин, - зона выраженного взаимодействия тектонических плит). Эта информация имеет важное значение, поскольку при подготовке сильного землетрясения
* БОГОМОЛОВ Леонид Михайлович - кандидат физико-математических наук, заместитель директора (Институт морской геологии и геофизики ДВО РАН, Южно-Сахалинск), СЫЧЁВ Владимир Николаевич - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник; СЫЧЁВА Найля Абдулловна - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник (Научная станция РАН, Бишкек, Киргизия).
*Е-таП: [email protected]
Исследование проведено при частичной поддержке РФФИ по грантам 11-05-00155-а, 12-05-00234-а.
(с большой очаговой зоной) процесс деструкции геосреды с необходимостью перестает быть случайным.
Для настоящего исследования выбраны два компактных субрегиона Центральной Азии, для которых имеются сейсмические каталоги слабых (локальных) событий, а также территория южной части о-ва Сахалин. Каталог землетрясений южной части о-ва Сахалин составлен в Институте морской геологии и геофизики ДВО РАН с использованием данных Сахалинского филиала ГС РАН, включает более 5000 событий за 1995-2006 гг. Внутри-континентальный регион представлен двумя каталогами: каталогом КЛ2 для восточного Тянь-Шаня и прилегающей части территории Казахстана (более 15000 событий за 19962006 гг., составлен в Институте сейсмологии МОН РК, Алматы) и каталогом ККБТ для северной части центрального Тянь-Шаня, составлен по данным одноименной цифровой сейсмической сети (более 6500 событий за 1994-2009 гг.). Ключевой вопрос при использовании каталогов - представительность слабых событий. Стало традиционным считать, что в каталоге отсутствует пропуск слабых событий (обеспечена представительность в определенном диапазоне энергий), если распределение числа событий по энергиям соответствует известному закону Гуттенберга-Рихтера. В обобщенном виде и применительно к освобожденной энергии этот закон записывается в форме степенного распределения
Р(Е ~ Е*. (1)
Кумулятивное число землетрясений с магнитудой т > Ма для региона может быть описано выражением
Щт > Мл) ~ 10-ьм% (2)
где Ь - константа, которая незначительно меняется для различных регионов.
Это соотношение справедливо для землетрясений как регионального, так и глобального масштаба. Однако закон Гуттенберга-Рихтера является принципиально эмпирическим соотношением, которое не может быть выведено из соотношений классической (равновесной) термодинамики, использующей статистическое распределение Больцмана-Гиббса.
Опираясь на теоретически обоснованное распределение числа землетрясений по энергиям, можно попытаться выйти за рамки традиционного ограничения представительного диапазона со стороны низких энергий. Серьезным претендентом на место «теоретически выделенного» распределения может считаться распределение Тсаллиса, обобщающее распределение Больцмана [11].
Современные исследования показывают, что последовательности землетрясений обнаруживают признаки динамически сложных систем. Исследование закономерностей потоков сейсмических событий представляет известную трудность вследствие больших временных масштабов событий (десятки и сотни лет между большими или характерными землетрясениями), а также в связи со сложностью пространственно-временной регистрации сейсмических событий. Эти трудности задержали применение в сейсмологии усложненных статистических распределений.
Распределение Больцмана предполагает независимость индивидуальных элементов в статистической системе:
5 = -к 1п р,. р1 = (£), (3)
где I - номер микросостояния системы, р. - вероятность нахождения системы в этом микросостоянии, Ще) - полное число дискретных микросостояний, к - постоянная Больцма-на. Это соотношение хорошо описывает свойство экстенсивности: аддитивность отдельных элементов в интегральном процессе.
В ряде работ, например [11, 13], предложено использовать обобщение выражения (3) -так называемую статистику Тсаллиса. Это обобщение позволяет единообразно описать
и закон Гуттенберга-Рихтера, и статистику для системы невзваимодействующих элементов, подчиняющуюся распределению Больмана (наподобие идеального газа). И степенное распределение по энергиям (1), и экспоненциальное (по Больцману) могут считаться предельными частными случаями распределения Тсаллиса. Поясним это утверждение. Принципиальным является то, что при исследовании землетрясений мы имеем дело с динамически сложными системами, в которых имеется сильное взаимодействие между всеми частями системы. Это отражается в нарушении термодинамической аддитивности: энтропия суммарного объема нескольких подсистем не равна сумме энтропий каждой подсистемы.
Для таких систем по предложению Тсаллиса в выражении для энтропии (3) введена следующая функция с параметром неаддитивности д:
^ ^*^(1 Р), (4)
Ы./
где Р. - уы(£), N. - число элементов системы, приходящихся на 1-й элемент е-разбие-ния, Ще) - полное число элементов заданного е покрытия, к - размерная константа. Легко видеть, что правая часть (4) эквивалентна одному из замечательных математических пределов, и так называемая д-энтропия в (4) может считаться дискретным аналогом определения энтропии в (3). Главное следствие выражения (4): энтропия Тсаллиса является уже не экстенсивной (неаддитивной) функцией. В этом состоит ее отличие от других определений энтропии, позволяющее построить новую термодинамику и новую статистическую теорию, которые способны просто и корректно описывать системы с длинной памятью, а также системы, в которых каждый элемент взаимодействует не только с ближайшими соседями, но и со всей системой в целом или ее частями. Статистика Больцмана соответствует пределу 1. Случай д<1 соответствует наличию предела по событиям с высокой энергией (распределение обрезается). А д>1 указывает на наличие дальних корреляций в неравновесной системе, когда аддитивность нарушается.
Переходя от энергий к магнитудам, можно согласно [11] записать следующее выражение для числа событий с магнитудой больше заданной:
* (^ ШI *
1
2 - q
10*
V а23
(5)
1к
Выражение (5), являющееся разновидностью распределения Тсаллиса, переходит в закон Гуттенберга-Рихтера при д^-2. На рис. 1 представлены примеры распределений относительного количества землетрясений с магнитудой т > Мй.
Видно, что графики распределений, построенные по каталогам, хорошо описываются распределением (5) с соответствующими подобранными параметрами д и а. Это свидетельствует о закономерности потока наиболее слабых событий (отсутствие нерегулярных пропусков). Таким образом, для рассматриваемых каталогов представительный диапазон по энергиям (магнитудам) может быть расширен. Это имеет значение, в частности, для анализа распределений сейсмичности по времени суток.
Применение методов нелинейной динамики
Для построения суточных распределений сейсмичности необходимо использовать локальное время появления событий (часы, минуты, секунды). Для каждого каталога время регистрации сейсмических событий приведено к локальному времени для соответствующей территории. Сдвиг во времени относительно Гринвича задавался по летнему поясному времени (Тянь-Шань +5 ч, Сахалин +11 ч). Переход с «летнего» на
«зимнее» время не учитывали. При построении суточного хода по генеральной выборке проведена линия тренда с применением полиномиального сглаживания шестой степени (рис. 2). По графикам на рис. 2a, б прослеживаются следующие общие черты распределений сейсмичности по времени суток в Центральной Азии. Максимум плотности распределения приходится на ночное время, а минимум - на утренние часы (при переходе от темного времени к светлому примерно в 8 ч местного времени). После некоторого увеличения в дневное время плотности числа событий происходит вечерний спад, соответствующий переходу от светлого к темному времени суток (около 19 ч), и последующее возрастание к ночному максимуму. Суточное распределение сейсмичности, построенное по представительной части каталогов, незначительно отличается от результатов исследования генеральной выборки.
Для юга Сахалина (рис. 2в) также отмечается суточный ход сейсмичности, но его характер несколько отличается от такового для Тянь-Шаня. Возрастающее количество землетрясений наблюдается в темное время суток, максимум распределения приходится на 3 ч ночи. Затем сейсмичность резко падает до достижения минимума около 10-12 ч, а далее вновь нарастает. Как и для юга о-ва Сахалин, на фоне тренда можно отметить некоторое уменьшение количества событий в вечернее время (19 ч). При рассмотрении представительной части каталога в суточном ходе сейсмичности можно видеть некоторое возрастание днем и снижение вечером.
Таким образом, предварительное исследование распределений числа сейсмических событий по времени суток подтвердило наличие суточного хода и его определенное сходство в Центрально-Азиатском (ТяньШань) и Дальневосточном (о-в Сахалин) регионах. Аналогичные результаты по каталогам, заканчивающимся в 2007 г., изложены в работах [5, 6]. Дальнейшую обработку данных для анализа закономерностей суточной периодичности проводили с применением метода рекуррентных диаграмм, разработанного для нелинейных динамических систем [8-10, 12]. Метод основан на фундаментальном свойстве диссипативных динамических систем - рекуррентности (повторяемости) состояний [12]. Рекуррентные диаграммы (recurrence plot, в дальнейшем RP) позволяют изучать многомерные процессы через отображение рекур-рентностей траектории на двухмерную двоичную матрицу размером N х N, в которой 1 (черная точка) соответствует повторению состояния при некотором времени i в некоторое другое времяj, а обе оси координат являются осями времени:
Рис. 1. Распределение относительного количества землетрясений с магнитудой т > Ыш. Кружки - построения по каталогу, аппроксимирующая кривая -график распределения (5). Каталоги: а - южная часть о-ва Сахалин, б - КМЕТ, в - КЛ2
Я. . = 0(е.-1| х. -х.
', ] V , II , J
] = 1...М,
(6)
где 0(х) - функция Хэвисайда, при х < 0 0(х) = 0, при х > 0 0(х) = 1, N - длина ряда состояний; х., е. - размер окрестности; || || - норма. Точки, в которых функция 0(х) принимает нулевое значение, изображаются как белые. По определению Я. =. = 1 - главная диагональ ЯР, «линия идентичности», проходящая из точки с координатами (0, 0) в точку с координатами N N под углом п/4 к осям координат.
Внешний вид ЯР позволяет достаточно определенно судить о характере протекающих в системе процессов, наличии и влиянии шума, наличии ламинарных состояний, совершении экстремальных событий, дрейфе. Для интерпретации диаграмм ЯР важны тестовые примеры периодических сигналов и белого шума (принципиально исключающего периодичности). На рис. 3 приведено несколько таких примеров, которые показывают вид диаграмм ЯР в предельных случаях [8, 10, 12].
На рис. 3а показана рекуррентная диаграмма в случае «белого шума» - искусственно сгенерированного предельно неупорядоченного сигнала (кадр слева - вид волновой формы). В этом случае черной является только главная диагональ. Модулирование «белого шума» периодическим сигналом приводит к появлению размытых линейных и кольцевых структур на рекуррентных диаграммах (рис. 3б). Если же сигнал полностью детерминирован и может быть описан с помощью периодических функций, то результаты построений становятся контрастными (рис. 3в, г). Так как рассмотренные тестовые примеры согласуются с материалами работ по применению метода ЯР для динамических систем [5, 8, 10], то расчеты ЯР по данным каталогов представляют интерес для анализа квазипериодичности и модальности распределений числа событий.
Для более детального анализа проведен расчет суточных распределений и рекуррентных диаграмм для выборок землетрясений, различающихся значением нижней границы по энергиям. Это позволяет проанализировать роль слабых, но наиболее многочисленных событий в возникновении неравномерности распределения по времени суток. Построения выполнены для двух каталогов - КМЕТ и юг Сахалина (рис. 3д, е). Для области Тянь-Шаня, контролируемой сетью ККБТ (рис. 3е), диаграммы ЯР для выборок событий энергетических классов К > 7, К > 8 описывают шахматные структуры, свидетельствующие о присутствии периодичностей (и, как следствие, модальности распределений по времени суток). Для выборок событий с энергетическими классами К > 9 подобные структуры не проявляются. Обычные распределения числа событий, построенные для каждой выборки, также указывают на то, что преобладание
Рис. 2. Суточные распределения количества сейсмических событий (Щ для исследуемых субрегионов. Слева - построения по всему каталогу и полиномиальная регрессия эмпирических зависимостей, справа - суточное распределение N по представительной части каталогов: а - каталог КЛ2, б - каталог КМБТ, в - каталог южной части о-ва Сахалин
Рис. 3. Рекуррентные диаграммы для тестовых сигналов (а-г) и распределения числа событий по времени суток для территории северного Тянь-Шаня (д) и южной части о-ва Сахалин (е). Тестовые сигналы: а - «белый шум»; б - «белый шум», модулированный периодическим сигналом; в - сумма трех периодических сигналов; г - периодический сигнал
ночной сейсмичности над дневной определяется событиями низших классов. Для сахалинского каталога ситуация аналогична (рис. 3е), причем для выборок, включающих низшие классы, неоднородность распределений проявляется более контрастно по сравнению со случаем каталога КМЕТ.
Результат визуального анализа, свидетельствующего о более значительных проявлениях суточного хода слабой сейсмичности на о-ве Сахалин, чем во внутриконтинентальном регионе, может быть подтвержден количественно. Для этого провели расчет отношения числа событий, произошедших в светлое время суток (с 8 до 20 ч локального времени) и в темное время (с 20 до 8 ч следующих суток). Будем обозначать это отношение «день/ночь» как параметр Л Разбиение суток на интервалы равной длительности, которое простейшим образом моделирует смену дня и ночи, сделано для исключения ситуации, когда при равномерной плотности распределения числа событий отношение отлично от единицы просто из-за разной длительности дня и ночи. Расчет дал следующие значения: для северного Тянь-Шаня (ККБТ) ~ 0,9 для всего каталога и Кп ~ 0,99 для представительной выборки; для о-ва Сахалин Кп ~ 0,7 для генеральной выборки, Кп ~ 0,8 - для выборки по представительным классам. Полученный результат может быть отражением более упорядоченного характера геодеформационного процесса в коре о-ва Сахалин, что естественно связывать с близким расположением острова к зоне взаимодействия Тихоокеанской и Евроазиатской плит (зоне субдукции).
ЛИТЕРАТУРА
1. Беляков А. С., Журавлев В.И., Лукк А. А. Суточная периодичность слабых землетрясений и высокочастотного подземного шума на Камчатке // Физика Земли. 2011. № 3. C. 34-54.
2. Журавлев В.И., Сидорин А.Я. Общие свойства суточной периодичности землетрясений в некоторых регионах мира // Геофиз. исслед. 2005. № 2. С. 61-70.
3. Журавлев В.И., Лукк А.А., Мирзоев К.М., Сычева Н.А. Суточная периодичность слабых землетрясений Средней Азии // Физика Земли. 2006. № 11. C. 29-43.
4. Зотов О.Д. Эффект выходных дней в сейсмической активности // Физика Земли. 2007. № 12. С. 27-34.
5. Сычева Н.А., Богомолов Л.М., Сычев В.Н. Геоинформационные аспекты анализа потоков сейсмических и акустоэмиссионных событий как реализаций случайных процессов // Геоинформатика. 2012. Т 19, № 2. C. 29-39.
6. Сычева Н.А., Богомолов Л.М. О проявлениях квазипериодичности, синхронизации и реализаций случайного процесса в потоке сейсмических событий // Геодинамика и напряженное состояние недр Земли / ред. А.В. Леонтьев. Новосибирск: Изд-во ИГД СО РАН, 2010. C. 323-349.
7. Сычев В.Н., Богомолов Л.М., Сычева Н.А. О суточной квазипериодичности и случайной составляющей в потоке сейсмических событий // Тихоокеан. геология. 2012. Т. 31, № 6. С. 68-78.
8. Eckmann J.P., Kamphorst S.O., Ruelle D. Recurrence Plots of Dynamical Systems // Europhys. Let. 1987. Vol. 5. Р. 973-977.
9. Gao J., Cai H. On the structures of quantification of recurrence plots // Phys. Let. A. 2000. Vol. 270. P. 75-87.
10. Marwan N., Romano M.C., Thiel M., Kurths J. Recurrence plots for the analysis of complex systems // Phys. Rept. 2007. N 438. P. 237-329.
11. Silva R., Franca G.S., Vilar C.S., Alcanis J.S. Nonextensive models for earthquakes // Phys. Rev. Ser. E. 2006. N 73. P. 26-42.
12. Sprott J.C., Rowlands G. Chaos data analyzer; the professional version. N.Y.: AIP, 1995.
13. Telesca L. Tsallis-Based Nonextensive Analysis of the Southern California Seismicity // Entropy. 2011. Vol. 13. P. 127-128.
