Нечёткое управление уровнем жидкости в коническом танке Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.3

М. В. Бураков, А. П. Кирпичников

НЕЧЁТКОЕ УПРАВЛЕНИЕ УРОВНЕМ ЖИДКОСТИ В КОНИЧЕСКОМ ТАНКЕ

Ключевые слова: нелинейная система, конический танк, нечеткий логический регулятор.

Статья посвящена разработке интеллектуального регулятора для конического танка. Управление уровнем жидкости в коническом танке представляет собой сложную задачу из-за нелинейного изменения площади поперечного сечения. ПИ-регулятор может не обеспечивать удовлетворительное качество управления для различных рабочих точек. Предлагаемая стратегия управления предполагает аппроксимацию нелинейной системы множеством локальных линейных моделей, и использование нечеткого регулятора Такаги-Сугено. Результаты моделирования показывают, что нечеткое управление обеспечивает быстрое время установления и малое перерегулирование.

Keywords: nonlinear system, conical tank, fuzzy logic controller.

The objective of this paper is to implement an intelligent controller for conical tank process. Control of liquid level in a conical tank is a challenging issue due to the nonlinear variation in the area of cross section. The conventional PI controllers are used which will not provide a satisfactory control for various operating points. The proposed control strategy includes approximate the process by linear local models and using Takagi-Sugeno fuzzy controller. From the results it is observed that fuzzy controller shows faster settling time and minimum overshoot.

Введение

Конические танки для хранения жидкостей широко используются в химической и пищевой промышленности, а также в металлургии. Этот объект управления описывается нелинейной математической моделью, поэтому задача управления уровнем жидкости в коническом танке может требовать применения методов интеллектуального управления. Например, в [1] рассматривается генетическая оптимизация параметров ПИ-регулятора, в [2] - адаптивный ПИ-регулятор, в [3, 4] - использование ней-росетей. Перспективным также может быть использование нечетких логических регуляторов (НЛР). Существуют различные варианты построения нечетких регуляторов, в том числе - НЛР ПИД-типа и нейронечеткие системы (например, [5, 6]). В данной работе исследуется вариант организации системы управления, основанный на использовании НЛР типа Takagi - Sugeno [7].

Нечеткие регуляторы Takagi - Sugeno часто называют модельными нечеткими регуляторами [8]. В отличие от НЛР Mamdani, где заключения нечетких правил являются нечеткими множествами [9], здесь множество правил соответствует множеству линейных моделей, каждая из которых описывает локальную область фазового пространства объекта. Для каждой модели можно синтезировать линейный регулятор, а затем рассмотреть нелинейный закон управления, в котором выходные сигналы локальных регуляторов «смешиваются» по правилам нечеткой логики. В качестве локальных здесь могут быть использованы ПИ-регуляторы, параметры которых синтезируются аналитически для известной линейной модели.

Математическая модель конического танка

Рассмотрим задачу управления уровнем жидкости в коническом танке (рис. 1, где приняты обозначения: Fm и Fout - входной и выходной поток жидкости (м3/с); H и R - высота и максимальный радиус танка (м); h - высота уровня жидкости (м)).

Fin

Рис. 1 - Модель конического танка

Уравнение баланса жидкости:

йк

S ~ = ^п ~ . М

Уравнение Бернулли для выходного потока

F

out

= s-yj 2 gh = сл[к.

где 5 - площадь выходного отверстия, g - ускорение свободного падения, с - коэффициент расхода (коэффициент капана).

Площадь конического танка на высоте к

,2

с 2 S = ж = ж

f

V

Rh H

Подставляем в уравнение баланса:

2

' Rh \ dh

ж

H

dt

= Fn - с Jh.

Откуда следует

й" аР1п , -3/2

— = —2--са" .

Ж "

(1)

где

а = ■

п V Я.

В нелинейном уравнении (1) входной переменной является е [0, ^и,тах] •

Рассмотрим линеаризацию (1) в рабочей точке

("р,

Правая часть уравнения (1) содержит сумму двух нелинейных функций. Для 1-го слагаемого разложение в ряд Тейлора дает:

гт 1п,р

2 Р

1П, р

(" - "р )+ "-2 (Рп - Р1п,р )

Аналогично для 2-го слагаемого

В установившемся режиме

Р1п,р = с"р •

Введем обозначения для переменных отклонения:

у = " - "

V'

и = Р1п Р1п,р •

Тогда

Р Р

= ^рг - 2Р1п,р "р 3 у + "р2и = " "р

= с"р 15 - 2с"р 2 5у + "р 2и;

3/, У2.5

15 = ("р)4 5 ("р )

у.

Таким образом, из (1) получается линеаризованное уравнение:

й" -2 са -2 5 — = акр и--кр ' у,

йг р 2 р

(2)

После ввода обозначений:

2 0 5 2 2 5

К = - кр ; Т = — "2 .

с са

Линейная модель приобретает вид

йу

Т— = Ки-у. й

Этому дифференциальному уравнению соответствует апериодическое звено 1-го порядка с передаточной функцией (ПФ):

Ш (5) =

У ( 5) К

и (5) ТА' + 1

(3)

При моделировании системы управления необходимо также учесть динамику впускного клапана, которая также может быть описана инерциальным звеном, включенным между регулятором и объектом.

Нечеткое управление уровнем жидкости

Коэффициенты линейной модели (2) зависят от значения рабочей точки "р, поэтому один линейный ПИ-регулятор может не обеспечить хорошее качество управления во всем диапазоне уровней. В такой ситуации выгодным может быть использование НЛР Takagi - Sugeno, в которых заключение является некоторой аналитической зависимостью от входных переменных:

Если у(0 = С, то и = $Х), где у - выход объекта, С - нечеткое множество, /функция, обычно линейная, X -вектор входа регулятора.

Построение НЛР предполагает разбиение входного пространства системы на N областей, так что в каждой }-й области используется нечеткое продукционное правило вида:

Я1 : Если (у(0 = С), то и ■ = kpе(г) + ^ | е(г)йг,

где для заданного "* ошибка управления: е(0 = "* - "(0.

Выход нечеткой системы из N правил в каждый момент времени рассчитывается по формуле:

N

2Ц1(А(/))и

и^) = - = + ™2и2 + ... + WNUN , (4)

2 Д 1(А(/))

i=1 1

где ^("(0) - степень принадлежности входного значения к ^й нечеткой области; w1 - весовой коэффициент ^го нечеткого регулятора.

Как показывает (4), выход НЛР здесь является взвешенной суммой выходов линейных регуляторов. Структура НЛР представлена на рис. 2.

Вычисление степени принадлежности

ПИ1

ПИ2

И(г)

w1

и1

w2

ПИп X

ик

Е

Объект управления

Рис. 2 - Структура нечеткого логического регулятора

Каждый локальный регулятор отвечает за свою область, в которой поведение объекта может счи-

2

2

"

"

3

"

р

и

X

таться линейным. Этой области соответствует некоторая ПФ вида (3).

Располагая ПФ объекта Щ5), можно выполнить прямой синтез регулятора Щс(я).

Пусть Q(s) - ПФ замкнутой системы:

<2(5) = ■

Щс(5)Щ ( 5) .

1 + Щс(5)Щ (Я)'

Тогда

Щс(5) =-

Щ ( 5)

( 2(5) ^ 1 - 2(5)

У

Если желаемая ПФ замкнутой системы описывается апериодическим звеном:

1

2* = ■

га +1

то синтез регулятора можно выполнить по формуле:

( -1 ^

1

Щс(5) =-

Щ (5)

га +1 1

1--

V 75 + 1 У

1

гаЩ

Для динамического объекта (3) эта формула преобразуется к виду:

Т5 + 1 1

Щс(5) = —= кр +- к.

К ' ■ (5)

га5к 5

Таким образом, алгоритм проектирования НЛР для управления уровнем жидкости в коническом танке сводится к последовательности шагов:

1. Определяется N рабочих точек по высоте танка, каждая из них является центром нечеткого множества.

2. В каждой рабочей точке рассчитывается передаточная функция (3) и определяется локальный регулятор (5).

3. Работа НЛР организуется в соответствии с (4) и структурой рис. 2.

Пример моделирования

Рассмотрим конический танк с параметрами: Н = 1 м; R = 0,5 м; 5 = 0,003 м2.

Выберем 3 рабочие точки: к1 = 0,25; к2 = 0,5; к3 = 0,75. С каждой рабочей точкой связывается нечеткое множество, описываемое гауссовой функцией принадлежности:

Сi = ехр

С Л

0,5(к - к )2 0,04

В соответствии с (2) и (3) для этих точек могут быть получены передаточные функции:

75,2 106 130

вд = ——; вд =-; ад =-.

3,75 +1 215 +1 585 +1

Пусть желаемая ПФ замкнутой системы имеет вид:

1

Используя (5), получаем локальные ПИ-регуляторы:

3,7 5 +1 0,027

Щс1(5) = = 0.1 ;

375 5

215 +1 0,02

Щс2( 5) =-= 0.4 + ;

535 5

585 +1 0,015 Щс3(5) =-= 0.9 + --.

655 5

Моделирование системы управления выполнялось в Ыа&аЬ Smulink. На рис. 3 показано изменение уровня жидкости в коническом танке при подаче ступенчатого входного воздействия (к* - задающее воздействие).

0,8

0,7

0,6

0,5

т

0,4

0,2 +0,1

/

к*(г) / / /

_ Ч / /

/ к(0 / 1

кр(Г) 1

/ \ \ ^ Ч. ^---

|г 1

1

10

15

Рис. 3 - Переходные процессы в коническом танке: - под управлением НЛР; йр^) - под управлением ПИ-регулятора для уровня 0,75 м

На рис. 4 показано взаимодействие локальных линейных регуляторов при изменении уровня жидкости в танке от 0,1 до 0,75 м.

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

0

»2(0

/»3(0

/V

0

5

10

15

Г, с

Рис. 4 - Изменение весовых коэффициентов регуляторов во время переходного процесса

0,55 + 1

1

5

г, с

Как показывает рис. 3, использование НЛР позволяет обеспечить хорошее качество управления и избежать перерегулирования.

Выводы

В статье рассмотрено нелинейное математическое описание конического танка, описан процесс линеаризации и аналитического синтеза ПИ-регулятора для линейной модели, а также предложен алгоритм управления на базе НЛР.

Проведенное моделирование задачи управления уровнем жидкости в коническом танке позволяет сделать следующие выводы:

- Для малых Pm,max оптимальным является использование релейного закона управления, поскольку перерегулирование здесь исключено.

- При значительных значениях Pm,max проявляются нелинейные эффекты, не позволяющие достичь с помощью одного ПИ-регулятора одновременно и высокого быстродействия, и малого перерегулирования.

- Использование НЛР Takagi - Sugeno позволяет улучшить качество управления, поскольку здесь можно использовать согласованное множество законов управления для разных рабочих точек, количество которых может быть при необходимости увеличено.

Предложенная схема нечеткого управления уровнем жидкости в коническом танке отличается простотой, и может быть легко реализована средствами микропроцессорной техники.

Литература

1. Aravind P., Giriraj Kumar S.M. Performance Optimization of PI Controller in Non Linear Process using Genetic Algo-

rithm // International Journal of Current Engineering and Technology, 2013, Vol. 3, No.5, pp. 1968-1972.

2. Anand S., Aswin V., Kumar S. R. Simple Tuned Adaptive PI Controller for Conical Tank // International Conference on Recent Advancements in Electrical, Electronics and Control Engineering, 2011. pp. 263-267,

3. Ramachandran S., Aravind P., Rathna Prabha S. Model Identification and Validation for a Nonlinear Process using Recurrent Neural Networks // International Journal of Research in Electronics and Computer Engineering. 2014, Vol. 2, No.4, pp. 13-18.

4. Bobin T., Lina R. Intelligent Controllers for Conical Tank Process // International Journal of Engineering Research & Technology. 2014, Vol. 3 Issue 2, pp. 1025-1028.

5. Бураков М.В., Кирпичников А.П. Нечеткий регулятор ПИД-типа для нелинейного объекта // Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №4, С. 242-244.

6. Емалетдинова Л.Ю., Катасёв А.С., Кирпичников А.П. Нейронечеткая модель аппроксимации сложных объектов с дискретным выходом // Вестник Казанского технологического университета. 2014. Т.17, №1. С. 295 - 299.

7. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control // IEEE Trans. Systems Man Cybernet. 1985. Vol.15, No. 116. pp. 116-132.

8. Бураков М.В., Брунов М.С. Структурная идентификация нечеткой модели // Труды СПИИРАН. 2014. Вып. 3(34). С. 232-246.

9. Бураков, М. В. Нечеткие регуляторы / М. В. Бураков; ГУАП. СПб., 2010. 237с.

© М. В. Бураков - канд. техн. наук, доцент каф. управления в технических системах СПбГУАП, [email protected]; А. П. Кирпичников - д. ф.-м. н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected].

© M. V. Burakov - PhD, Associate Professor of the chair of control in technical systems SUAI, [email protected]; A. P. Kirpichnikov -Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, [email protected].