CC BY
149
Д.В. Тимшина
заведующий кафедрой математики и информатики, к.э.н., Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации,
Новороссийский филиал D. V. Timshina Ph.D. of Economics the head of the department "Mathematics and informatics " Financial University under the Government of the Russian Federation,
Novorossiysk branch Ю.Ю. Работа
студентка, специальность 080105.65 «Финансы и кредит», Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации,
Новороссийский филиал Yu. Yu. Rabota
Student, speciality 080105.65 "Finance and credit" Financial University under the Government of the Russian Federation,
Novorossiysk branch, (as_jwork@mail.ru)
НЕЧЁТКАЯ ЛОГИКА И АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В СРЕДЕ MATLAB, FUZZY LOGIC TOOLBOX
Аннотация. В статье рассматриваются основные понятия теории нечётких множеств и их применение при решении экономических задач. Также рассматриваются этапы создания компьютерной модели экспертной системы c нечёткими выводами. На основе пакета расширения программы MatLab - Fuzzy Logic Toolbox была создана компьютерная модель, позволяющая провести оценку эффективности инвестиционного проекта.
Annotation. The article presents basic concepts of the fuzzy-set theory and their application at the solution of economic problems. Also stages of creation of computer model of fuzzy expert system are described. On the basis of an add-in of program MatLab - Fuzzy Logic Toolbox was created a computer model which allows executing analysis of an investment project's efficiency.
Ключевые слова: нечёткие множества, нечёткая логика, лингвистическая переменная, нечёткие правила, компьютерная модель, экспертная система, Fuzzy Logic Toolbox, инвестиционный проект.
Key words: fuzzy sets, fuzzy logic, linguistic variable, fuzzy rules, computer model, expert system, Fuzzy Logic Toolbox, investment project.
Многие современные области знаний ставят перед человеком сложные и многоплановые задачи, при решении которых невозможно использовать традиционные, точно определённые модели или алгоритмы расчётов, а зачастую их даже нельзя выразить в виде конкретного набора численных данных. В таком случае приходится прибегать к качественной и приблизительной оценке показателей, которая опирается на субъективность мышления человека. Именно благодаря такой уникальной способности человека анализировать нечёткую и неполную информацию и стало возможным решение такого рода задач. В настоящее время построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах представляет одну из важнейших проблем науки.
Первым значительным шагом в развитии нечёткой логики стало создание аппарата нечётких множеств американским профессором Л. Заде в середине 1960-х годов, направленного на расширение области задач, в принципе поддающихся решению, пусть даже и
нечётко определённому. Свою точку зрения Л. Заде формулировал следующим образом: «Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредотачиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определёнными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того, чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределёнными» [1, с.293].
В середине 1960-х годов возникла нечёткая логика (fuzzy logic) в качестве средства формализации качественных знаний и понятий, выраженных на естественном языке.
Теория нечётких множеств - это раздел прикладной математики, посвящённый методам анализа неопределённых данных, в которых описание неопределённостей реальных явлений и процессов проводится с помощью понятия о множествах, не имеющих чётких границ [2, с.41]. Сегодня теория нечётких множеств применяется во многих областях, связанных с интеллектуальной деятельностью человека: начиная с человеко-ориентированных социальных систем и заканчивая инженерными системами. Особый интерес представляет применение аппарата нечёткой логики в экспертных программных системах. Системы искусственного интеллекта, базирующиеся на нечёткой логике, обладают лучшей адаптируемостью к условиям реального мира и более доступны специалистам, которые при решении задач оперируют качественными понятиями. Другое достоинство таких систем - возможность работы с нечёткими критериями и неполными данными, часто встречающимися при решении задач в финансовой сфере [3, с.278].
В отличие от классического понятия множества, где каждый элемент может либо принадлежать множеству, либо не принадлежать, Заде ввёл характеристическую функцию принадлежности. В теории нечётких множеств нет однозначного ответа на вопрос, принадлежит ли элемент множеству. Ответ на этот вопрос характеризует степень принадлежности (степень проявления некоторого заданного свойства) и может принимать значения от 1 (максимум проявления свойства) до 0 (полное отсутствие свойства).
С математической точки зрения это описывается следующим образом. Вводится полное или универсальное множество X = {x1, x2,...,xm}, охватывающее все объекты некоторого класса. Нечёткое подмножество А множества Х определяется через функцию принадлежности мл (x), где x е X и мл (x) е [0, 1].
Задать функцию принадлежности можно несколькими способами, чаще всего встречаются структурный или функциональный способы задания.
При структурном способе задания функции нечёткое подмножество А определяется как совокупность пар: Л = {< ¡ил (x), x >}. Эти пары «степень принадлежности элемента / элемент» можно представить в виде таблицы или следующим способом:
Л = Мл (xi)/xi + Мл (x2)/x2 + ... + Мл (xn )/xn ,
где знак «+» означает совокупность, а не сложение, а знак «/» - степень принадлежности, а не деление.
При использовании функционального способа задания функции принадлежности применяют множество типовых форм кривых. Выбор конкретной формы опирается на субъективное мнение пользователя. Наибольшее распространение получили следующие функции:
1. Треугольная функция - определяется тройкой чисел (a, b, c) и её значение в точке х вычисляется согласно выражению:
Мл (х) = <
х - а
Ь - а с - х
а < х < Ь;
Ь < х < с;
с - Ь 0, х < а, х > с,
где Ь - задаёт координату вершины треугольника; а и с - определяют его основание. 2. Трапецеидальная функция задаётся по аналогии, но характеризуется четырьмя величинами (а, Ь, с, d):
Мл (х) = <
а < х < Ь;
х-а
Ь - а' 1, Ь < х < с;
d - х ,
-, с < х < d;
d - с
0, с < а, х > d.
3. Гауссова функция описывается двумя параметрами (о, с) и задаётся выражением:
Мл (х) = ехР
—
х-с
а
где с - среднее значение (обозначает центр нечёткого множества); о - среднее квадратичное отклонение (отвечает за крутизну функции).
Графическое представление данных функций приведено на рисунке 1.
а) ¡иА(х)
б) ¡иА(х)
й
X
2
Рис. 1. Графическое представление типовых форм кривых для задания функций принадлежности: а - треугольная; б - трапецеидальная; в - Гауссова
Над нечёткими множествами (как и над чёткими) можно выполнять определённые операции. В основе таких операций лежит функция принадлежности, а результатом будет
являться новое нечёткое множество. Для операций над нечёткими множествами используются классические логические операции (И, ИЛИ, НЕ), а также специфические операции, такие как концентрация и размывание. Основные операции с нечёткими множествами представлены в таблице 1 [4, с.47].
Таблица 1 - Операции с нечёткими множествами
Операция Формула для Цс(х) Лингвистический смысл График цс(х)
Пересечение С = А П В тт^А (х) МВ (х)} И 7 А
Объединение С = А и В тах{¡иА (х) МВ (х)} ИЛИ лтл
Дополнение С = А 1" и А (х) НЕ \ /
Концентрация [иА (х)]2 ОЧЕНЬ
Размывание Л1ма (х) НЕ ОЧЕНЬ
Переменные, которые описывают нечёткие множества, называются лингвистическими. Их значениями могут быть не только числа, но и слова естественного языка. Определим лингвистическую переменную следующим кортежем:
< N. X, X, G, Р >,
где N - наименование лингвистической переменной; X - базовое терм-множество, множество значений или термов, представляющее собой наименования нечётких переменных, областью определения каждой из которых является Х; Х - универсальное множество
объектов х; G - синтаксические правила вывода новых термов (X *), не входящих в базовое терм-множество; Р - набор семантических правил, с помощью которых происходит процедура отображения значений переменной X * в нечёткую переменную.
Введение лингвистической переменной позволило существенно продвинуться на пути использования слов естественного языка через систему нечёткой логики. Сам Л. Заде - создатель этого понятия - говорил о его введении следующее: «Поскольку слова в общем смысле менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной даёт возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах... высокая точность несовместима с высокой сложностью. Таким образом, быть может, именно по этой причине обычные методы анализа систем и моделирования на ЭВМ, основанные на точной обработке численных данных, по существу, не способны охватить огромную сложность процессов человеческого мышления и принятия решений» [2, с. 47].
На основе понятий нечётких множеств и нечёткой логики строят нечёткие модели. Целью такого моделирования является приближенное описание зависимости некоторой результатной (выходной) лингвистической переменной (У) от множества входных переменных (Х):
У = I (X).
Модель, описывающая систему при помощи естественного языка на основе лингвистических переменных и нечёткой логики и называемая системой нечёткого логического вывода, приведена на рисунке 2.
Рис. 2. Система нечёткого вывода
В эту систему входит ряд объектов: 1 - база правил - совокупность нечётких продукционных правил (данный блок включает также и порядок их применения); 2 - база нечётких переменных - набор лингвистических переменных и термов, а также параметры функций принадлежности нечётких переменных; 3 - база знаний - формируется из базы правил и базы нечётких переменных; 4 - блок фаззификации - блок, в котором входные переменные преобразуются в значения функций принадлежности элементов нечётких множеств; 5 - блок вывода; 6 - блок дефаззификации - нахождение обычного (чёткого) значения для каждой из выходных переменных.
Система нечёткого логического вывода основана на нечётких высказываниях и нечётких правилах вывода. Нечёткие высказывания могут быть следующих видов:
- высказывания констатирующего вида - «А есть В», где А - лингвистическая переменная, а В - её терм;
- высказывания модифицирующего вида - «А есть аВ», где а - модификатор терма лингвистической переменной (к примеру а может означать «очень»);
- высказывание составного вида - «А есть В И С есть D», в таком виде высказываний могут использоваться логические И, ИЛИ, НЕ.
Нечёткие правила чаще всего имеют вид:
«Если А есть В, то С есть D».
В правиле такого вида А и В представляют собой входную лингвистическую переменную и её терм, а С и D - выходную нечёткую переменную и её значение. Таким образом, левая часть правила, содержащая исходные данные - это предпосылка, а правая - это следствие. При задании системы нечётких правил должны соблюдаться следующие условия: для каждого лингвистического терма выходной переменной должно существовать хотя бы одно правило и для каждого лингвистического терма входной переменной должно существовать хотя бы одно правило, в котором этот терм выступает в качестве предпосылки.
С математической точки зрения операции нечёткого вывода можно реализовать по-разному. Тем не менее, если база знаний задана полностью, т.е. указаны все нечёткие правила логического вывода, а также определен весь набор функций принадлежности (степени принадлежности каждой переменной), то нечёткий вывод в общем случае выполняется в четыре этапа:
1. Процедура фаззификации (введение нечёткости) - после нахождения функций принадлежности входных переменных определяется степень истинности каждой предпосылки каждого правила. То есть каждое исходное значение нечёткой переменной получает степень принадлежности к тому или иному лингвистическому терму, а затем определяется
под какие заданные правила подходит введённое значение переменной. Следует учитывать, что исходное значение переменной может быть как чётким и задаваться пользователем в виде конкретного значения, так и нечётким и задаваться функцией принадлежности.
2. Логический вывод - применение нечётких правил. К вычисленным значениям истинности предпосылок применяются нечёткие правила; это означает что, в какой степени истинна предпосылка нечёткого правила, в той же степени истинно и его заключение (следствие из правила). В результате для каждого правила формируется по одному нечёткому подмножеству для каждой выходной переменной. Конкретное содержание подмножества зависит от выполняемой операции и соответствует той или иной схеме нечёткого логического вывода. Чаще всего используют операции минимума или логического умножения. В первом случае график функции принадлежности выходной переменной «отсекается» по высоте (в соответствии со степенью истинности предпосылки), а во втором -масштабируется (также при помощи степени истинности).
3. Композиция - процедура проекции общей степени истинности условий для каждого правила на функцию принадлежности вывода. На данном этапе все полученные нечёткие подмножества (в отдельности для каждой выходной переменной) объединяются вместе. В этом случае обычно применяют операции максимума (логическое «ИЛИ») или логической суммы.
4. Процедура дефаззификации (приведение к чёткости) - используется, если необходимо полученные нечёткие значения выходных переменных привести к виду обычного (чёткого) значения.
Одним из наиболее известных программных продуктов, реализующих аппарат нечётких множеств, является пакет расширения программы математического анализа MatLab - Fuzzy Logic Toolbox. Базой работы программного продукта является редактор нечёткой системы вывода - FIS Editor (Fuzzy Inference System Editor) или FIS-редактор. Он содержит редактор функций принадлежности (Membership Function Editor), редактор базы правил (Rule Editor), а также просмотрщик правил (Rule Viewer) и просмотрщик поверхности отклика (Surface Viewer).
В Fuzzy Logic Toolbox реализовано два алгоритма нечёткого вывода: алгоритмы Мамдани (Mamdani) и Сугэно (Sugeno). Отличие второго от первого состоит в том, что алгоритм Сугэно предполагает набор правил, правая часть которых представлена в виде линейных функций.
Создание компьютерной модели экспертной системы, которая позволит принять решение в условиях неопределённости с помощью нечёткой логики, осуществляется поэтапно:
Этап 1. Постановка задачи, решаемой при помощи аппарата нечётких множеств (в том числе перечисление входных и выходных лингвистических переменных).
Этап 2. Описание входных и выходных переменных через функции их принадлежности. В пакете Fuzzy Logic Toolbox чаще всего этот этап осуществляется путем выбора определённого графика функции и определения границ каждого терма.
Этап 3. Формирование базы правил нечёткого вывода. Этап предназначен для формализованного представления эмпирических знаний.
Этап 4. Разработка технологического процесса для построения экспертной системы формирования решений средствами выбранной программной среды. На этом этапе все исходные данные о переменных, функциях их принадлежности и правилах нечёткого вывода заносятся в программную среду. После ввода конкретных данных, интересующих пользователя, Fuzzy Logic Toolbox отображает результаты расчётов (как в виде нечёткого множества, так и в виде чёткого значения).
Этап 5. Анализ полученных результатов.
Так как экономическая конъюнктура и инвестиционный климат в России постоянно колеблются, следовательно, условия реализации инвестиционных проектов являются нечётко определёнными. Информация, необходимая для осуществления инвестиций (ставка процента, уровень инфляции, налоги, предполагаемые доходы), никогда не будет полной и чёткой, поэтому аппарат нечёткой логики весьма хорошо применим при анализе инвестиционных проектов.
С экономической точки зрения применение программных продуктов, основанных на нечёткой логике, позволяет более точно по сравнению с другими методами определить уровень риска проекта и существенно сократить время на соответствующие расчёты.
В основе оценки инвестиционных проектов лежит ряд важнейших показателей, таких как: чистая приведённая стоимость (NPV), внутренняя норма доходности (IRR), срок окупаемости (PB), учетная норма рентабельности или норма прибыли (ARR), индекс рентабельности инвестиций (PI). При этом не существует конкретных рекомендуемых значений этих показателей, есть только критерии принятия решений. Так, согласно общим правилам принятия инвестиционного проекта к реализации необходимо чтобы: показатель NPV (ден. ед.) был больше 0; показатель IRR (%) - больше принятой ставки дисконтирования (или минимально требуемой доходности); показатель PB (лет) - меньше предполагаемого срока жизни проекта; показатель ARR (%) - чем больше показатель, тем лучше; показатель PI (коэффициент) - больше 1.
При принятии решения относительно конкретного инвестиционного проекта значения данных показателей оцениваются субъективно. Для различных проектов приемлемыми будут разные значения данных показателей. Кроме того, зачастую традиционная оценка показателей эффективности инвестиционного проекта даёт неоднозначный ответ. Например, чистая приведенная стоимость проекта положительна (по данному критерию проект принимается), а срок окупаемости больше срока жизни проекта (согласно этому критерию проект следует отклонить). Для решения таких сложных задач, обладающих неоднозначными или нечёткими выводами, и следует применять пакеты, основанные на нечёткой логике.
При разработке инвестиционного проекта фотосалона традиционным способом, в результате реализации компьютерной модели были получены следующие результатные данные: NPV = 695 101 руб.; IRR = 120,9%; PB = 21 месяц при сроке реализации проекта 3 года; ARR = 65,03%; PI = 1,68.
Более подробно с проектом можно ознакомиться в работе «К вопросу создания инновационного проекта для малого бизнеса на примере г. Новороссийска» [5, с.62-65].
Указанные выше переменные являются входными лингвистическими переменными для модели, построенной в среде Fuzzy Logic Toolbox. В качестве выходного лингвистического показателя используем переменную «Эффективность», которая характеризует вероятность успешной реализации проекта. Таким образом, суть задачи сводится к определению эффективности инвестиционного проекта на основе нечётких исходных данных, характеризующих чистую приведённую стоимость, внутреннюю норму доходности, срок окупаемости, учётную норму прибыли и индекс рентабельности инвестиций. Схематично структура исследуемой системы представлена на рисунке 3.
NPV
IRR
PB Проект
(алгоритм Mamdani)
ARR
PI
Рис. 3. Структура исследуемой системы
Теперь для каждой переменной определим терм-множество.
Первая лингвистическая переменная «NPV» оценивается следующими термами: низкая чистая приведённая стоимость (от 0 до 500 тыс. руб.); средняя (от 250 до 750 тыс. руб.); высокая (от 500 до 2000 тыс. руб.). Вторая лингвистическая переменная «IRR» будет оцениваться следующими термами: низкая норма доходности (от 0 до 50%); средняя (от 25 до 75%); высокая (от 50 до 200%). Для третьей лингвистической переменной «PB» определим следующие термы: маленький срок окупаемости (от 0 до 15 мес.); средний (от 12 до 24 мес.); большой срок (от 21 до 36 мес.). Четвёртая лингвистическая переменная «4RR» оценивается термами, принимающими следующие значения: низкая норма (от 0 до 30 %); средняя (от 15 до 45%); высокая (от 30 до 100%). Лингвистическая переменная «PI» оценивается термами: низкий (от 0,7 до 1,1), средний (от 1 до 1,6) и высокий (от 1,5 до 3).
Выходная лингвистическая переменная «Эффективность» определяется в процентах от 0 до 100: низкая эффективность (от 0 до 30%); средняя (от 20 до 40%); высокая (от 50 до 100%), очень высокая (от 80 до 100%).
В представленной модели использовались треугольная и трапецеидальная формы функции принадлежности. Функция принадлежности выходной переменной представлена на рисунке 4.
output variable Эффективность"
Рис. 4. Функция принадлежности для выходной переменной
Функции принадлежности для входных переменных «NPV» и «PB», представлены на рисунке 5. Функции принадлежности остальных входных переменных описываются аналогично переменной «NPV».
input variable NPV"
input variable"PB"
Рис. 5. Функции принадлежности входных переменных «NPV» и «PB»
Следующим этапом построения компьютерной модели в Fuzzy Logic Toolbox является определение базы правил нечёткого вывода. Набор этих правил представлен в таблице 2.
Таблица 2 - Правила нечёткого вывода
Оператор NPV IRR PB ARR PI Результат
ЕСЛИ OR низкая низкая большой низкая низкий ТО низкий
ЕСЛИ AND средняя средняя средний средняя средний ТО средний
ЕСЛИ AND низкая средняя средний низкая средний ТО средний
ЕСЛИ AND высокая высокая средний высокая высокий ТО высокий
ЕСЛИ AND высокая высокая маленький высокая высокий ТО очень высокий
В результате реализации компьютерной модели для исходных данных, полученных ранее (NPV = 695,1 тыс. руб.; IRR = 120,9%; PB = 21 мес.; ARR = 65,03%; PI = 1,68), был получен следующий результат: эффективность проекта составляет 75% (см. рис. 6). Теперь, на основе модели, построенной при помощи аппарата нечётких множеств, можно провести анализ того в какой степени различные факторы влияют на повышение эффективности инвестиционного проекта.
File Edit View Options
NPV = 695
I
Ч:
/
/ W
Д.
РЕ = 21
I
й \
л \
. \
\ \
ARR = 65
ж
ж
1 00 0.7
Эффективность =75
Ж
ZV
1
In p ut: [695; 12th. 9;21 :65.03; 1.6SI
Plat pa intE: ■ 1 01
Move: Isn | right | dum | up |
Opened system conf, 5 rules
Help
J
Рис. 6. Визуализация итогов логического вывода
После увеличения чистой приведенной стоимости проекта (с 695 до 1000 тыс. руб.), результат не улучшился. Рост таких показателей как IRR, ARR и PI также не повышают общей эффективности проекта. Таким образом, повысить эффективность инвестиционного проекта в данном случае можно только путём сокращением срока его окупаемости (PB). Если срок окупаемости сократить на 7 месяцев, то эффективность проекта возрастёт до 77,3%, если на 9 месяцев (в таком случае срок окупаемости составит 1 год) - эффективность достигнет 91,9%. Подтверждением отмеченной зависимости выходной переменной от входных может служить вид поверхности отклика, который представлен на рисунке 7.
Рис. 7. Графический вид зависимости выходной переменной от входных (IRR и PB)
В заключении можно сказать, что применение аппарата нечётких множеств при решении экономических задач в целом и при анализе инвестиционных проектов в частности весьма перспективно. Модели, созданные при помощи пакета Fuzzy Logic Toolbox, позволяют решать задачи, неподвластные традиционным математическим моделям. Применение нечёткой логики позволяет провести комплексный и глубокий анализ явлений, основываясь на лингвистических переменных, выраженных через слова и фразы естественного языка.
Источники:
1. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001. - 480 с.
2. Ярушкина Н.Г., Афанасьева Т.В., Перфильева И.Г. Интеллектуальный анализ временных рядов: учебное пособие. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2012. - 160 с.
3. Информационные системы в экономике: учебник / Под ред. Г.А. Титоренко. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. - 463 с.
4. Егоренков Д.Л., Фрадков А.Л., Харламов В.Ю. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB. // Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета. URL: http://lib.mexmat.ru/books/128672 (дата обращения: 20.12.2013).
5. Работа Ю.Ю., Тимшина Д.В. К вопросу создания инновационного проекта для малого бизнеса на примере г. Новороссийска. // Проблемы и перспективы развития экономики России: сборник материалов VIII международной студенческой научно-практической конференции (20 января 2012 г.) / Филиал ВЗФЭИ в г. Челябинске. - Челябинск: Издательский центр «Уральская академия», 2012. - С. 62-65.
