Научно-методические основы применения распознавания образов для многофакторного прогноза при решении прикладных задач Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Загоруйко Н. Г. Методы распознавания образов:состояние и перспективы.- М.:Сов. Радио, 1972.120 с.

2. Васильев В. М. Распознающие системы.- М.: Киев:Наукова думка,- 180 с.

3. Ковалевский В. А. Методы распознавания изображений. - М.: 1975.-380 с.

4. Батугин С. А., Ковалевская В. А. Комплекс программ прогноза и управления многофакторными процессами.- Кемерово. КузГТУ, 1980.- 116 с.

5. Андерсон Т. Введение в многофакторный статистический анализ. - М.: Наука, 1968.- 500 с.

6. Ковалевская В. А., Кубрак В. М., Андреев В. Е. Прогноз успешности обучения курсантов высшей математике по данным вступительных экзаменов и профессионально-технического отбора. / Сборник научно-методических статей вузов МО РФ по математическим и общим естественно-научным дисциплинам.- // Новочеркасск.- 1998.- 85 с.

7. Ковалевская В.А., Козлова И. Д., Шаламанов В. А. Оценка перспективности угольных предприятий Кузбассак на примере шахт ОАО "Компании "Кузбассуголь" по графу прогноза и принятия решений" // Вестн. КузГТУ, 2001. №5. С. 96-100.

□ Авторы статьи:

Ковалевская Валентина Алексеевна, проф. каф. математики и инженерной графики КФВУС

Кубрак

Валентина Михайловна - зав. каф. математики и инженерной графики КФВУС

УДК 519.6

В. А. Ковалевская, В. М. Кубрак, Л.Е.Мякишева

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ ДЛЯ МНОГОФАКТОРНОГО ПРОГНОЗА ПРИ РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

Методы распознавания образов позволяют эффективно решать задачи классификации, прогноза и управления многофакторными процессами и принятия в заданных условиях наиболее рационального решения в тех случаях, когда есть опыт прошлого (обучающая выборка). К таким задачам относятся: прогноз безопасности технологического процесса; состояния, надежности и долговечности приборов и систем; техникоэкономических показателей ра-

боты предприятия; прогноз качества продукции; распознавания звуковых образов и изображений; задачи социологии, военного дела, теории связи и др.[1, 2, 6, 7, 10, 11].

С непрерывным ростом сложности изучаемых процессов, при исследовании которых необходимо принимать во внимание значительное число взаимосвязанных факторов, методы теории распознавания позволяют автоматизировать процесс обработки информации и

использовать эти методы в исследовательской работе [8].

Этапы оптимизации решения многофакторных задач прикладной направленности. Принимая оптимальное

решение (лучшее в том или ином смысле, т. е. по некоторому критерию оптимальности [4, 9]) , полагают, что множество возможных решений каким -либо образом упорядочено, например, по надёжности результатов (критерию точности), минимуму суммарных затрат

Таблица 1

Расчёт безразмерных координат по фактору Х.

1 Интервалы фактора Х . 1(отХ0 доХ 1) 2(отХ1 доХ2 ) 3 г (отХг-1 до Хг) Е

2 Число объектов класса А в интервале па і ПА2 ПАг ыа

3 Число объектов класса В в интервале ПВ1 пВ2 ПВг Ыв

4 Значение безразмерной координаты Zii ¿Г £ П А2 / П1 ПАг / Пг

5 Обозначения 7ц 7 . г }

Р(М1еА/х,)

Ах =

хтах хт/п

(1)

Рис. 1 График эмпирической (ломанная линия) и теоретической (кривая) вероятности принадлежности объектов обучающей выборки к классу А по фактору Х) к классу А по отдельно взятому фактору X.

прогноза и принятия решений (критерию экономической эффективности), максимуму

безопасности (социальная эффективность) и др.

При решении прикладных задач, в том числе военноинженерных, методами распознавания образов выделяются следующие четыре основных этапа.

1. Обоснование критерия разделения на классы и формирование обучающей и контрольной выборок; введение безразмерных координат.

2. Выбор эффективной системы факторов для прогноза.

3. Разработка методов вероятностного прогноза и правила принятия оптимальных альтернативных решений о классе объекта.

4. Оценка надёжности прогноза и принятия решений, а также экономического и социального эффекта и возможности управления каждым объектом или группой объектов.

Частотный способ введения безразмерных координат. В многофакторной инженерной

задаче факторы могут иметь разную размерность, различный диапазон изменения; наряду с количественными могут быть и качественные факторы. Поэтому вводятся безразмерные величины (координаты), учитывающие опыт прошлого, зафиксированный в обучающей выборке распознаваемых классов. Эти безразмерные координаты являются вероятностно-

статистическими количественными показателями принадлежности объектов к одному из выделенных классов и их расчёт основан на анализе вариационных рядов значений факторов в размерных координатах в общей обучающей выборке и в выборке, соответствующей прогнозируемому классу [7, 9].

При традиционном расчёте частотных безразмерных координат определяют экстремальные хт/п и хтах значения каждого фактора и диапазон разбивают на Ь интервалов с длиной, определяеемой по формуле Стэрджесса

1 + 3,2^М где N - общее число объектов классов А и В (для качественных факторов число интервалов определяется числом градаций факторов).

В каждом интервале г определяется число объектов пАг класса А и пВг класса В, а также пг =пАг +пАг - общее

число объектов. Новой безразмерной координатой является 2. - условная частость принадлежности /-го объекта (М ) по .-му фактору (X) к классу А:

4 1 = Р(М/ еА/х.)>

рассчитываемая по формуле: пАг

(2)

Если число объектов в интервале меньше заданной величины Н & 5, то интервал объединяется с соседним.

Затем каждое значение данного фактора (1 ) на каждом объекте ( / ) х. обучающей выборки заменяется соответствующей безразмерной координатой 2. - частостью принадлежности объекта с данным значением фактора к классу А.

По составленным таблицам по каждому фактору строятся графики зависимости принадлежности объекта М/.

С помощью рассчитанных таблиц перехода от размерных координат объектов х/. к без

размерным 2/. или по построенным графикам составляются обучающие матрицы объектов образов А и В в безразмерных координатах для всей обучающей выборки (объём обучающей выборки N=NA+Nв )

Оценка степени информативности факторов и ранжирование факторов по степени информативности (под информативностью фактора понимается его влияние на принадлежность объекта к тому или иному классу). Степень информативности определяется по критериям Пирсона ^, Шен-

нона, Колмогорова-Смирнова, Кульбака, Стьюдента, Фишера, Уилкоксона [3, 7].

После определения информативности факторов по всем критериям производится ранжирование факторов в порядке уменьшения значений оценок их информативности по каждому эксперту (критерию). Вычисление коэффициентов компетентности экспертов первого приближения осуществляется по формулам [9]:

1 п

К1 =у! хч ■х,, <3)

Л1=1

где

п т * = І І хіі • хі і-1і —1

т

хі = І хі] • К0у К° - 1/т

і=1

- коэффициент компетентности .-го эксперта, п - количество факторов, т - число экспертов, 1 - номер эксперта, / - номер

фактора, К0 - начальное значение коэффициентов компетентности экспертов, х/. - число, представляющее собой оценку /-го фактора .-м экспертом.

Вычисление сумм центрированных рангов для /-го фактора производится по формуле т

г/ = Е К1 ■ щ , (4)

1=1

где г/1 - ранг, присвоенный 1м экспертом /-му фактору.

Далее факторы упорядочиваются по цепочке неравенств Г1<Г2<..<Г/<..Гп, /=1,2,..,п . Количественной мерой согласованности мнений экспертов является дисперсионный коэффициент конкордации

12Б (5)

2 3

т (п — п) — т І Ті І=1

где

Н

І

Ті - І (к{—Нк)

к-1

показатель связанных рангов в

1-й ранжировке, Н - число групп равных рангов в 1-й ранжировке, Ик - число равных рангов в К-й группе связных (одинаковых) рангов при ранжировке 1-м экспертом:

п т я = Е(Е/ -г), 1=11=1

где

1 п т

г = - Е Е щ. п/=1}=1

Коэффициент конкордации Ж изменяется в пределах 0<Ж<1 : Ж=1, если все ранжировки экспертов одинаковы, и Ж=0, если они различны.

Оценка значимости коэффициента конкордации Ж при п >7 производится по критерию Пирсона. В случае отсутствия одинаковых рангов

Xрасч = Жт(п — 1), (6)

при наличии одинаковых рангов

2 12Я

X =--------------------------

расч. 1 т

тп(п +1)------- Е Т1

п—11=1

(7)

Число степеней свободы равно у = п - 1 .

Практически реализация оценки информативности выполняется в два этапа .

I. Для каждого фактора X' по соответствующим экспериментальным данным оценивается информативность факторов по критерию Пирсона. Здесь

а) рассчитывается фактическое значение критерия:

г Т 2

Е (пкА — птА)

= к=1_______________(8)

Ж

расч.

Т

пкА

где

т

на

• Пк - теоре-

кА N

тическая частота объектов класса А в каждом интервале, вычисленная в предположении о равномерном распределении объектов класса А по интервалам, т. е. в предположении, что

значения данного фактора не влияют на разделение классов;

б) определяется табличное значение Ж - критерия, т. е. его предельное допустимое значение [3] , при котором фактор X можно считать не влияющим на процесс распознавания А и В;

в) определяется диагностическая величина:

,2

Ах* (Хі) =

= X2 (Х1)- X2 (Х1) (9)

расч. табл.

г) делается вывод об информативности или неинформа-тивности фактора для процесса распознавания: если

Ж2 (Хі)> х" (Хі)

расч. табл.

2

(т. е. Ах (Xі ) > 0 ), то гипотеза о равномерном распределении объектов класса А по интервалам значений фактора X' отвергается. Следовательно, это распределение неравномерно и фактор X влияет на распределение классов, т. е. является информативным.

II. Результаты расчётов информативности сводятся в таблицу и делается вывод не только об информативности каждого фактора, но и об относительной информативности, основанной на величине пре-2

вышения Ах і (табл. 2).

Определение степени взаимосвязи факторов. Устанавливается корреляционная связь между факторами в исходной обучающей выборке и из каждой пары зависимых факторов оставляют какой-либо один (решается на профессиональном уровне), так как в нем заключена информация об обоих факторах. Поскольку факторы могут быть измерены в различных шкалах (отношений, интервалов, наименований, порядка и дихотомии), то в зависимости от сочетания различных шкал измерения двух факторов вычисляются различные меры связи:

,2

Таблица 2

Ранги факторов, соответствующие степени информативности

Фактор Число интервалов г Число степеней свободы ( = г - 2 ж2 расч. 2 Ж (0,05) табл. * Ранг Я

Z і 3 1 13,2 3,8 +9,4 I

Z 2 4 2 6,6 6,0 +0,6 III

Z 3 5 3 10,8 7,8 +3,0 II

г 4 6 4 9,6 9,5 +0,1 IV

Z 5 7 5 9,8 11,1 (-1,3) V

а) - выборочный коэффициент линейной корреляции, б) выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена; в) точечный бисериальный выборочный коэффициент корреляции Пирсона; г) выборочный коэффициент корреляции Крамера; д) р - выборочный коэффициент сопряженности Пирсона [3, 4, 9].

При этом в качестве основного показателя степени взаимосвязей факторов берётся выборочный коэффициент линейной корреляции г/1 , который для факторов, заданных в шкале отношений или интервалов, вычисляется по формуле [3]

Я)к гв =■

(10)

где

8і к - І (хі і ті ) (хі к тк) і-1

1 п п

— - І (Хіі — Ті) •І (Хік — Тк)

Ч-1

і-1

п,

1 ' ]

Ті - І хі і ,

пі і-1

і пк тк - І хі і ,

пкі-1

і и 3'2к: - выборочные

дисперсии.

Построение матрицы и графа взаимосвязей. Ввод безразмерных частотных координат вместо размерных координат различных шкал измерения с методической точки зрения позволяет в качестве количественной характеристики си-

Ъ і (Я=І)-Оставлен

(К=ііі)22

Рис. 2 Граф взаимосвязей факторов с учетом их рангов по информативности

лы (степени) взаимосвязи факторов использовать широко распространённый в прикладных исследованиях выбороч-

ный коэффициент линейной корреляции, разработанный для количественных факторов, т. к. факторы, измеренные в безразмерных координатах, непре-

рывно изменяются на интервале [0; 1] ( 2 е [0; 1] ).

Здесь вычисляются парные коэффициенты и строится корреляционная матрица и граф взаимосвязей.

Можно рекомендовать построение упрощённой корреляционной матрицы, где в клетке на пересечении 1 - ой строки и I -го столбца ставится знак +, если Х; и X зависимы, то

есть если между ними сущест-

вует тесная связь (табл.3). Для наглядности проведённых расчётов целесообразно построить граф взаимосвязи в системе факторов. На графе взаимосвязей исследуемой системы факторов (рис.2) соединяют линией (ребром) вершины, если между ними есть тесная связь.

Минимизация призна-

кового пространства. После обнаружения факта наличия связи между признаками из каждой пары зависимых факторов оставить один (более информативный), так как в нём заключена информация не только о нём, но и о другом факторе. Если, например, между факторами, имеющими ранги, приведенные в последнем столбце табл.2, установлены значимые взаимо-

Таблица 3

Матрица взаимосвязей

При- знаки ¿1 ¿2 ¿3 ¿4 ¿5

1 + _ + +

¿2 1 +

гэ 1 +

¿4 1 _

¿5 1

связи, зафиксированные в матрице взаимосвязей (табл. 3), то в систему наиболее информативных и независимых факторов будут входить только факторы 1г и Х3 (рис.2).

Формирование оконча-

тельной обучающей и контрольной выборки. Окончательно обучающие и контрольные выборки классов А и В имеют вид:

а) факторы описаны безразмерными координатами,

б) по минимальной системе факторов,

в) порядок следования факторов соответствует их рангам: вначале тот фактор Х , который имеет ранг I , затем фактор с рангом II и т.д.

Следует заметить, что для большей точности решения задачи распознавания факторы необходимо исследовать на информативность и независимость по нескольким критериям.

Третий этап оптимизации решения прикладной задачи включает в себя разработку алгоритмов вероятностного прогноза выделенного класса объектов по минимальной и эффективной системе факторов и решающего правила альтернативной классификации. При этом для выбора алгоритмов распознавания, приемлемых для решения задачи, или разработки новых алгоритмов необходимо учитывать характеристики взаимного расположения объектов распознаваемых классов в п

- мерном признаковом пространстве информативных и независимых факторов.

Характеристики положения образов. На основе значений факторов в окончательной обучающей выборке, переведенных в безразмерные координаты, вычисляются следующие характеристики образа А и образа В (рис.3):

а) координаты центров тяжести образов Оа и Ов :

ОА =Ы>?А2~....?А1.....?АМ 1

ОВ = {^в 1, ^В2,..., Ув1,..., Увы1

(11)

где

ТАу =

На

І Тау

і-1 на ’

Нв І ТВі]

Тв] = ——

ВВ Нв

- безразмерные координаты і-го объекта по і-му фактору классов А и В соответственно.

б) расстояние от начала координат до центра тяжести образа А и образа В

РОА

т

ч І ТА]

Ь-1

(12)

в) расстояние между центрами тяжести образов

РАВ =

т

І (Таі -ТВ]>

і-1

2

г) угол

(13)

между радиус-

векторами центров тяжести об разов

М _ _

І ТА] ТА]

І-1

cos р -

(14)

РОА•РОВ

С учетом полученных характеристик положения образов в п - мерном пространстве про-

изводятся выбор одного из алгоритмов распознавания для вычисления обобщенных координат объектов по комплексу факторов. При этом все известные алгоритмы распознавания [1, 2, 5] модифицированы нами для вероятностного прогноза.

Алгоритм 1. Распознавание по разности расстояний от объектов до центров тяжести образов (классов).

Объект принадлежит к тому классу, к центру тяжести которого находится ближе.

Для всех объектов классов А и В вычисляются расстояния

РАг и рв/ от объектов Ы/(Уц, У/2,., У/],..., У/ы) до центров тяжести классов ОА и Ов,

/=1,2,..^ (рис.3)

РА/ = ЫОа\ = 1'1?А1 — У Рвг = Ы/ Ов | =

(15)

где т - число факторов.

Определяются обобщенные координаты

Р/ =Ра/ -Рв/ (16)

Алгоритм 2. Распознавание по разности углов между радиус-векторами объектов и центров тяжести образов.

Объект принадлежит к тому классу, где угол между радиус-векторами объекта и центров тяжести образов меньше.

и их характеристик

Для объектов М классов А и В вычисляются косинусы углов между радиус-векторами объектов ОМ/ и соответственно радиус-векторами центров тяжести образа А - ОА , образа

В - Ов (рис.3)

cos<pAi =

OA ■ OMi

OA ■ \OMi

M _

Z ZAj ■Zij j=1

(17)

Z Z2 IM

ZZAj V=i

z z2,

cosVB. =

OB ■ OMi

OB

OMi

M _

Z zb j ■ Zi j j=1

(18)

ll b2

По значениям cospAi =CAi , cosp Bi =CBi определяются

величины углов и обобщенные координаты объектов

Pi =VAi -Щг (19)

Алгоритм 3. Распознавание по расстоянию от объектов до гиперплоскости, проходящей

через середину отрезка, соединяющего центры тяжести образов, нормально к нему.

Объекты, расположенные

по разные стороны от такой гиперплоскости, принадлежат разным классам.

Гиперплоскость проходит через середину отрезка OAOB, т.е. через точку

2(Zai + Zbi),

D =

(ZA2 + Z B2 ),■■■,

1(ZAM + Zbm)

и перпендикулярно вектору

(ZB1 - ZA1), OaOb = -(ZB2 - ZA2),-,

(Zbm - zam)

Для каждого объекта определяется обобщенная координата

Рі =

( 2 2 А] + 2 В] Л

2іІ

2

- І (2ВІ — 2А])

І=1

(21)

Алгоритм 4. Распознавание по расстоянию от начала координат до каждого объекта.

Разделяющей образы поверхностью является гиперсфера с центром в начале координат и радиусом ¥0, определяемым порогом, установленным на профессиональном уровне.

Для всех объектов М( 2ц , 2і2 , 2І3 2іт) вычисляются

их расстояния рМІ от начала координат, которые и принимаются за обобщенные

Pi = PMi = .

m -

z z2

j=1

(22)

Алгоритм 5. Распознавание по условной вероятности совместного влияния всех факторов. Значения 2у (2) являются условными вероятностями принадлежности /-го объекта по 1-му фактору к классу А.

Для каждого объекта вычисляются вероятности принадлежности объекта к классу А по всем факторам, предполагая, что факторы независимые.

Величина обобщенной координаты равна

Pi

=m

m

П Zij ■ j=1

(23)

Построение вероятност-

ных прогнозных кривых на

основе рассчитанных обобщённых координат объектов по комплексу факторов.

После вычисления обобщенной координаты по каждому алгоритму составляется вариационный ряд этой координаты и строится график зависимости вероятности принадлежности к классу А для каждого интервала значений обобщённой координаты, т. е. вероятностная кривая прогноза. Для этого

1. рассчитаем шаг по обоб-

щённой координате f' (zi) —pi д0 , _ p max ~ p min 1 + 3,32lnN

и построим интервальный вариационный ряд для p;

2. рассчитаем координаты эмпирической прогнозной кривой по обобщенной координате p

ой _ ^

mk

(рк - эмпирические условные вероятности - относительные частоты объектов класса А в к -ом интервале вариационного ряда для р);

3. определим параметры

теоретической (нормальной)

кривой

а = Omax+р min

2

а = ,(р max р min) ; (24) 6

4. сгладим эмпирическую кривую теоретической

Р

теор.

= L + Ф ( Pk a ) , (25) 2 а

Ф ( / ) - интегральная функция Лапласа ([3], табл. 2 ),

Рк— а й

I к =------- - условный

а

параметр к -го интервала, т. е.

Ртеор- = 2+Ф(к);

к 2

5. по интервалам Ар и частостям Рк построим гистограмму зависимости условной частости принадлежности объекта к классу А от обобщенной координаты р/=/(2) , которая сглаживается теоретической вероятностной кривой (рис.4).

Построение решающего правила классификации. После оценки для каждого объекта вероятности отнесения его классу А - количественный прогноз, следует осуществить и итоговый альтернативный прогноз, т.е. принять решение - к какому из двух классов относится объект М/, если для него рассчитана Р (М/ е А).

Для этого используется

Рис.4 График теоретической вероятностной кривой прогноза класса объектов

простейшее решающее правило классификации:

Решение:

(классА, Р(ЩеЛ) )~Р0 \кяассВ, Р(М^еЛ) < Р0

( Ро = 0,5) (26)

В случае известных стоимостей ошибок I и II рода с1 и с2 априорных вероятностей классов ц1, ц2 - решающее правило уточняется с учетом этой информации. При этом достаточно знать только соотношение стоимостей ошибок (во сколько раз одна из них больше другой), а не реальные (экономические) показатели, т. е.

Ро =—!— <27>

1 + он-Ч2с2

Дополнительный учёт взаимосвязей факторов для

повышения надёжности прогноза и осуществления управления многофакторным процессом. Он возможен при учёте сочетаний значений факторов и реализуется в логических алгоритмах теории распознавания и многофакторного статистического анализа

Решающей функцией в логических алгоритмах является конъюнкция: сочетание значений факторов или интервалов значений факторов. Так, например, в медицине широко из-

вестны под понятием “синдром”, сочетания двух, трех и более факторов при диагностике какого-либо заболевания или при дифференциации одного заболевания от другого. Аналогичные сочетания можно рассчитать в распознаваемых классах объектов любой природы. При этом ищутся и используются только такие сочетания, которые встречаются максимальное число раз в своем классе и минимальное число раз - в “чужом" (пример диагностического сочетания в медицинской диагностике - “возраст” Х1 до 50 лет при нижней величине артериального давления Х2

менее 80).

Можно перейти к булевым переменным, задав порог равным, например, 45 лет, т. е. (если Х1<45, то Х1=0,а если Х1>45, то Х1=1), а по Х2-порог 60 (т.е. при Х2<60 Х2=0, а по Х2>60 Х2=1.) Тогда это же сочетание будет описано как "Х1=1 л

Х2=0 ".

При решении практических задач такой перебор возможных сочетаний значений факторов под силу только ЭВМ с высокой степенью быстродействия, поэтому для решения многих задач можно использовать более простые, наглядные и не менее эффективные логические алгоритмы распознавания, реа-

лизуемые в виде графа -"дерева" прогноза и принятия решений.

Алгоритм 6. Граф прогноза и принятия решений (логический алгоритм )

Для построения графа прогноза используются положения системного подхода к построению математических моделей: последовательность, иерархичность, наглядность и оперативность. Принципиальная схема разработки графа прогноза и принятия решений подробно описаны в комплексе программ прогноза и управления многофакторными процессами (Куз-ГТУ) [7] и в разработанном кафедрой математики КФВУС учебном пособии по применению статистических методов теории распознавания образов к решению задач прикладной направленности [11] .

На практике использование принципов системного подхода означает использование ранее полученных результатов.

1. Ранжирование факторов по степени информативности каждый из факторов прогноза определяет один из иерархических уровень в соответствии с его информационным рангом.

2. Рассчитанные при вычислении безразмерных координат граничные значения между областями А и В по каждому фактору определяют ветви графа по каждому уровню.

3. Сочетания возможных значений всех факторов определяют обобщённые ветви графа -реально встречающиеся сочетания значений факторов, характерные для решаемой задачи. При этом значения факторов могут как усиливать, так и ослаблять их совокупное влияние на итоговый показатель принадлежности объектов к выделенному классу.

4. Итоговые вероятности принадлежности объекта к классу А в данном методе рассчитываются как отношение числа пЛ объектов класса А к общему числу п объектов по выделенным ветвям:

Р (ХI е А) = пЛ / п.

Рис. 5. Граф прогноза класса успешности обучения высшей математике по комплексу факторов.

5. В заключительном столбце графа приведены результаты альтернативного решения о классе объекта, рассчитанный на основе решающего правила классификации.

В качестве примера приведём граф-метод прогноза и принятия решений о классе успешности обучения курсантов в третьем семестре по данным профессионально педагогического отбора и вступительных экзаменов (рис.5)

Первый уровень прогноза -на основе значений главного по информативности фактора Х і . Граничным значением Х10= 4 область его значений разбивается, например, на две ветви. Для каждой из них определяется отношение числа объектов класса А к общему числу объектов:

-ЛМ--------= рк (к =1,2)

пкА + пкВ

- вероятности принадлежности к классу А : Рі , Р2 (только по первому фактору)

Второй уровень - учитыва-

ется совместное влияние уже двух факторов. Получаем: Р11, Р12 , Р21 , Р23 - четыре ветви второго уровня графа.

Дальнейшая детализация по всем другим информативным факторам позволяет выделить обобщённые (итоговые) ветви графа с соответствующими им вероятностями принадлежности к классу А, т. е.

Р(Мг еЛ) = = Р(х11,х12,х13,х14)

Прогноз нового объекта и осуществляется следующим образом.

1) По значениям фактора прослеживается его путь на графе- определённая его обобщённая ветвь.

2) Вероятность принадлежности М 0 к классу А, т. е. Р (М 0 е А) равна итоговой вероятности обобщённой ветви.

3) Альтернативное реше-

ние о классе успешности нового объекта принимается на основе единого вероятностно-

альтернативного решающего

правила классификации (26-27), учитывающего динамику изменения стоимости ошибок I и II рода и априорные вероятности распознаваемых классов.

В схеме граф-метода этап принятия решений проводится на основе заключительного столбца (рис. 5)

Оценка надежности методов прогноза по контрольной выборке объектов - это заключительный этап оптимизации решения задачи. На нём проверяется адекватность разработанных на основе обучающих выборок моделей многофакторного прогноза. Для контрольной выборки берутся новые объекты, не вошедшие в исходную обучающую выборку.

Данные контрольной выборки переводятся в безразмерные координаты по таблицам перевода, составленным по

окончательной обучающей выборке. Вычисляются условные вероятности = Р(Хг е А) -принадлежности объекта к классу А. Значения сравни-

ваются с порогом принятия ре-

шения ро , установленным из соображений специфики решаемой задачи на профессиональном уровне. Если < ро ,

то объект относится к классу В, если Wi > ро , то к классу А ( В большинстве случаев р0= 0,5 ).

Затем производится сопоставление прогнозируемых значений с фактическими. Определяется количество ошибок прогноза по каждому классу. При этом различают ошибки I и II рода: ошибка I рода - если объект класса А прогнозируется как объект класса В, ошибка II рода

- если объект класса В прогнозируется как объект класса А.

По каждому у-му алгоритму вычисляются вероятности ошибки прогноза I рода П1 П2

р, - -. .. рола р2 = —.

вероятность суммарной ошибки

П1 + П 2

Гош -—----------— (28)

гош. + Н2

и надёжность прогноза

Н = (1 - Рош )100% , (29) где п, и п2 - число ошибок I и II рода, соответственно, при прогнозе по данному алгоритму, а N , Ы2 - общее число объектов в контрольных выборках классов А и В [2].

Выбор оптимального метода прогноза и принятия решений для решаемой прикладной задачи проводится на основе алгоритма, обеспечивающего не только наибольшую надёжность прогноза, но и минимум затрат на принятие решений. На практике имеет значение оперативность и наглядность проведения прогноза и принятия решений о классе новых объектов, а также возможность управления ими, т. е. такому изменению параметров процес-

са, которое при заданных начальных условиях и имеющихся экономических, технических и социальных условиях позволит перевести прогнозируемый объект в "желаемый" класс.

В наших исследованиях сравнительная оценка надёжности, экономической эффективности, а также социального эффекта при решении многофакторных задач, касающихся

учебно-воспитательного процесса и научно-исследова-

ельской работы студентов и учащихся школ, показала, что наиболее надёжным из рассмотренных в данной статье алгоритмов распознавания образов является граф-метод прогноза и принятия альтернативных решений, допускающий к тому же возможность управления прогнозируемом процессом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Загоруйко Н. Г. Методы распознавания образов: состояние и перспективы. - М.: Сов. радио, 1972. - 120 с.

2. Васильев В. М. Распознающие системы. - Киев: Наукова думка, - 180 с.

3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высш. шк., 1972.- 386 с.

4. Зельдович Я. Б., Мышкис Я. С. Элементы прикладной математики. - М.: Наука, 1967. - 646 с.

5. Ковалевский В. А. Методы распознавания изображений. - М.: 1975-380с.

6. Васильев С. К., Захаров В. Н. Прохоров Ю. Ф. Кибернетика в системах военного назначения. -М.: Воениздат. 1980

7. Комплекс программ прогноза и управления многофакторными процессами. - Кемерово. КузГТУ. 1980. - 116 с.

8. Ковалевская В. А., Славолюбова Н. Б., Севидова И. И. Методические указания по выполнению ВНР курсантами КФВУС.- Кемерово. - 2001 - 20 с.

9. Андерсон Т. Введение в многофакторный статистический анализ. - М.: Наука, 1968. - 500 с.

10. Батугин С. А. Вопросы классификации распознавания / Механика горных пород.- Кемерово, 1972. с.- 40-44.

11. Ковалевская В. А., Кубрак В. М. Применение статистических методов теории распознавания образов к решению задач прикладной направленности. Учебное пособие.- Кемерово, 2003.- 57 с.

□ Авторы статьи:

Ковалевская Валентина Алексеевна -проф. каф. математики

инженерной графики КВУС

Кубрак

Валентина Михайловна

- зав. каф. математики инженерной графики КФВУС

Мякишева Любовь Евтафьевна

- доц. каф. прикладной математики