Напряженное и деформированное состояние в упругом полупространстве при заданных на границе усилиях или перемещениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Теория упругости

НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ПРИ ЗАДАННЫХ НА ГРАНИЦЕ УСИЛИЯХ ИЛИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

С.Г. КУДРЯВЦЕВ, канд. техн. наук, доцент Ю.М. БУЛДАКОВА, аспирант

ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет» 424000, Республика Марий Эл, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, дом 3 KudryavcevSG@volgatech.net

Приводится методика определения напряженного и деформированного состояния в упругом изотропном полупространстве, при заданных на границе усилиях или перемещениях, основанная на интегрировании операторным методом дифференциальных уравнений в частных производных в сочетании с интегральным преобразованием Фурье. Показано ее приложение для варианта нагружения прямоугольной площадки, расположенной на ограничивающей полупространство плоскости, равномерно распределенными нормальными и касательными усилиями. Представлены результаты расчетов в виде графиков. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: перемещения, напряжения, полупространство.

Вопросы определения напряженно-деформированного состояния в упругом полупространстве, при заданных на границе усилиях или перемещениях, имеют практическое применение, например, в механике грунтов [1]. Список литературных источников по данной проблеме включает большое число наименований. Поэтому отметим работы [1,2], в которых содержится подробная библиография по истории данного вопроса. Задача Буссинеска рассматривалась также в [3-5].

Рассмотрим упругое изотропное полупространство. Плоскость ху совместим с плоскостью, ограничивающей полупространство, ось г направим внутрь полупространства. Положительные направления перемещений и напряжений совпадают с обозначениями [2]. Компоненты тензора малых деформаций с составляющими вектора перемещения связаны уравнениями Коши

д/ ди ди

е = _ у ху = — + —,

х дх' дх ду

ди дw + ди (1)

у ду' Ууг ду дг'

дw дw ди

^ г л , у хг л + л ,

дг дх дг

где и, и, w - перемещения в направлении осей координат х, у, г.

Связь компонентов тензора напряжений с деформациями имеет вид

ст х = 2|ме х +^9, т ху = МУ ху,

ст у = 2|ме у + 1В, т уг = |му уг, (2)

ст г = 2|ме г + А,9, тхг = МУ хг,

где X и ц - коэффициенты Ляме; 0- относительное изменение объема.

При отсутствии объемных сил перемещения являются бигармоническими функциями и удовлетворяют уравнениям

а 2

дх 2

а 2

дх 2

а 2

+ D 2 + D 2 + D 2

д 2 дх 2

а 2

дх 2 д2

+ D 2 ^ = 0, + D 2 = 0,

+ D2 и = 0.

(3)

дх 2 ){дх 2

Оператор Лапласа от двух переменных х и у обозначен через

D2 =д2 +д 2, д1 =А, д 2 .

дх ду

Проинтегрируем уравнения (3) операторным методом [2], учитывая, что функции перемещений на бесконечности стремятся к нулю. Тогда

и = е -гхП • А1 (х, у) + хе -гхП • А3 (х, у), и = е -гхП • В\ (х, у) + хе -гхП • В3 (х, у), и = е-гхП • С1 (х, у) + хе-гхП • С3 (х, у),

(4)

где Ak, Bk, Ck (£=1,3) произвольные функции интегрирования. Точки отделяют дифференциальные операторы от функций, к которым они применяются. Далее точки показывать не будем.

Функции напряжений через произвольные функции интегрирования найдем из уравнений (1),(2), (4).

Произвольные функции определим из следующих условий. Обозначим на поверхности полупространства интенсивности внешних усилий тг, т2, д, перемещения и0, ио, и0. Полагаем, что данные величины являются известными функциями координат точек границы. Нормальное усилие д считаем положительным, если оно растягивающее. Правило знаков для касательных усилий совпадает с правилом, установленным по отношению к касательным напряжениям. Усилие тг направлено по оси х, т2 - по оси у. Положительные направления перемещений и0, ио, и0 совпадают с положительным направлением соответствующей координатной оси.

Краевые условия позволяют составить шесть уравнений для определения произвольных функций интегрирования. После преобразований запишем через известные поверхностные усилия выражения перемещений

и =

1 п 1

_е-гхП_

2ц^ + ц) П2

1

-{[ц - (X + ц)гхП]д1д + 2(^ + ц)г'Пт1 -

X - (X + ц)х

и =

2ц(. + ц) е -гхп Цц - (X + ц)гхп]д2 д + 2(Х + ц>Пт2 -

X — (X + ц)г П 2 V ^

д1 (д1^1 +д 2 ) (5)

д 2 (д1^1 +д 2 х2 )

и =

2ц(Х + ц)

е-гх0~^ {(X + Ц)П - (X + ц)хП2 ]д - [ц + (X + ц^д^ + д2Т2 )},

П 2

и напряжений

1

е-{кЮ2 + |д2 - (к + ц^/гЮ^ + 2(к + ц^Юд^ к + м D2

1--1-

D 2

V у

Ю + (к + ц)гд2

(д1т1 +д 2 т2 Я,

сту = —- е -/гюА_ {[кЮ2 + цд2 - (к + ц)д2/гю]? + 2(к + ц)Юд2 т2 к + ц Ю2

' д

1 -

Ю 2

V у

/Ю + (к + ц)гд 2

ст.

= е-/гЮ [(1 + /гЮ)д - г(д1т1 + д2т2 )],

(д1т1 +д 2 т 2 ^, (6)

т ху = т1- е - /гЮ~^ {[м-(к + м)гЮ]д1д 2 Ч + (к + ц)Ю(д 2 Т1 + д1Т2 )-к + ц Ю2

- [кЮ -(к + ц)гЮ2 ]Ю2 (дт + д 2 т 2 )|,

тХ2=е-/гЮ и - гд!

Ч + ^ (д1Г1 +д 2Г2 )

Туг =е \Т2 - гд 2

Ч + ^/^Г (д1г1 +д2^2 )

Отметим, что напряжения на площадках, перпендикулярных оси г, не зависят от упругих постоянных [2].

При решении первой краевой задачи целесообразно записать перемещения и напряжения через известные на границе функции перемещений.

Полагая в (5) г = 0, найдем связь между поверхностными усилиями и перемещениями и0, ио, wo: 2ц

Ч =

т1 =

т 2 =

к + 3ц

ц

к + 3ц

ц

к + 3ц

[(к + 2ц)iDWo + ц(д1ио + д 2 ио )],

2цд1 Wo -2цд2 Wo -

д 2 "

(к + 3ц) + (к + ц) Ю2

д2

(к + 3ц)+(к + ц) ю2

Ю^ -(к + ц)-ЮЮТ д1д2 и

Юи o -(к + ц) Юу д1д 21

(7)

Подставляя (7) в (5), получим выражения перемещений через заданные на границе функции перемещений

_ _Ю_

Ю2

и = е -/гЮ iu0 -

и = е -/гЮ <; и0 -

к + 3ц г

к + 3ц

(к + ц^ -ц-/ю (дlUo + д2^ )

(к + М)wo -ц Ю2~ (д1Uo +д2 ^ )

(8)

w = е-/гЮ |wo + к+г3ц /Ю[(к + ц^ + (к + 3м)(дlUo + д2Uo )]|.

Формулы (6) и (7) позволяют составить функции напряжений через известные функции перемещений на границе, которые выписывать не будем.

+

ст х =

+

+

к

+

0

При смешанных граничных условиях, когда на плоскости 2=0 заданы перемещения «о, ио и усилие q, из уравнений (7) найдем Подставляя в (8) получим функции перемещений, записанные через «0, ио и q, на основании которых определим функции напряжении. Для второго варианта смешанных условий, если известны касательные усилия ти, т2 и перемещение ^о, решение проводится аналогично.

Рассмотрим использование полученных уравнений на примере следующей задачи. Прямоугольная область (-а < х < а, -Ь < у < Ь) на плоскости 2 = 0 нагружена равномерно распределенной касательной нагрузкой ти, действующей в отрицательном направлении оси х (рис. 1).

Рис. 1. Схема нагружения полупространства касательной нагрузкой

Нагрузка т1(х,у) симметрична по переменным х, у, поэтому представим ее двойным косинус-преобразованием Фурье

т i(х, y) = — j j т i (a, ß) cos ах cos ßydadß,

(9)

0 0

где трансформанта Фурье

2 ( ) 2ti sinaa sinßb Ti(a, ß) = — j j Ti (x, y)cos ax cos ßydxdy =----—, (10)

00

n a

a, ß - любые положительные вещественные числа.

Подставим (9) в уравнения (5). После преобразований и вычисления несобственных интегралов, используя [6] и [7], найдем функции перемещений

u* = 4ДПи = -2[yi(lnlxi + Ru\- lnlХ2 + R21I)-У2(ln|xi + Ri2 -lnlX2 + R221)]-T1

/ xi yi xi y 2 x2 yi x 2 y 2Л

arctg - arctg - arctg + arctg

zRn

zRi2

zR2i

zR22

к + 2

---Д [xi (ln|yi + Rn| - ln|y2 + Ri21)-x2 (ln|yi + R2i | - ln|y2 + R221)] +

к + д

\1

+ ^ z к +д

yi yi z y2 y2 z arctg---arctg—--arctg-—+ arctg —-

xi xiRii xi xiRi2

yi yi z y2 y2 z

■ arctg--+ arctg--+ arctg--arctg-

x2 x2 r2i x2 x 2 r22

4 дли к

Ti

к +д

(Rii - Ri2 - R2i + R22)+

(ii)

к + д

-z(ln|z + Rii - ln|z + Ri21 - ln|z + R2^ + ln|z + R22

*

и

li

+

* 4|ircw

w =-

ti

—1— [- yi(ln|z + Rii | - ln|z + R211)+ У2(ln|z + Ri^ - ln|z + R221)-к +1

X1R11

x1R12

У1 z У2 z I I yi z У2 z + xi I arctg--arctg-I - X21 arctg--arctg -

x2 R21

x2 R22

к + |

z (ln| yi + Rn| - ln| У2 + Ri2 - ln| yi + R2I + ln| У2 + R221),

где

xi = x - a, X2 = x + a, yi =y - b, =y + b,

CTr = ■

Rii = д/x2 + y2 + z2, Ri2 = ^x2 + y2 + z2,

R2i = ^ + y2 + z2, R22 = Vx2 + y2 + z2. Пользуясь (6) и (9), получим составляющие тензора напряжений

-2(ln| yi + Rn| - ln| y2 + Ri^ - ln| yi + R2i| + ln| y2 + R221)-

2toj x

ti

к +1

yi

i

i

Rii R2i

-y2

i

i

Ri2 R22

к + |

z i yi

_Rii (z + Rii) R2i (z + R2i)_

CTy ="

ti

I

к +1

yi

i

i

Rii R2i

+ z 2

y2

y2

i

i

_ Ri2 (z + Ri2 ) R22 (z + R22 )_

y___.V2_

x2 + z2 ^Rii Ri2

J___i_

Ri2 R22

yi

y2

x2 + z2 ^ R2i R22

-ln|yi + Rii + ln|y2 + Ri2 + 4yi + R2i\ -ln|y2 + R221] +

CTz = ■

к+ I

2toj z ti 2тст

z i yi

Rii (z + Rii) R2i (z + R2i)

y2

i

i

■ = - z2

yi y2

2 + z2 ^Rii Ri2 ) x2 + z2 ^R2i R22

Ri2 (z + Ri2 ) R22 (z + R22 ).

yi y2

(i2)

^ xy = "

xy

ti

-(ln| xi + Rii| - ln| xi + Ri21 - ln| x2 + R2i| + ln| x2 + R221)+

к +1

xi

i

i

Rii Ri2

к + |

zi xi

i

i

Rii (z + Rii) Ri2 (z + Ri2 )

+ z2 i xi i

x2

i

x2

i

i

i

R2i R22

_Rii (z + Rii) Ri2 (z + Ri2 )_

R2i (z + R2i) R22 (z + R22 ),

i

■x2

_ R2i (z + R2i) R22 (z + R22 )_

+

к

+

к

i

i

i

I

+

i

к

i

i

i

i

к

+

к

+

i

i

* 2лт Х2 Х1У1 Х1 у 2 , Х2 У1 . Х2У2

хх2 =-= аг^ —---аг^ —---аг^ —-—ъ аг^ —-—

Т1 2^11 zRl2 zR2l zR22

- 2

Х1 Г У1 У 2 Л

Х2

с л

У1 У2

х2 + 22 ^^2) х| + 22 ^Я21 R22

У2

= 2

1

1

1

1

R11 R12 R22

О*х0

а) б)

Рис. 2. Поле изменения безразмерного параметра напряжения а-

0,25

-0,25

0,25

а*у0

-0,25

а) б)

Рис. 3. Поле изменения безразмерного параметра напряжения а*

2 1

-1 -2

2 1

-1 -2

Рис. 4. Поле изменения безразмерного параметра напряжения а2 Результаты численного расчета изменения безразмерных параметров нормальных напряжений, когда равномерно распределенные касательные усилия т1 действуют на квадратной площадке с размерами Ь*Ь, показаны на рис. 2-4, касательных -

на рис. 5-7. Значение коэффициента Пуассона V = 0,25. На рисунках, обозначенных буквой а, значение г = Ь, буквой б - г = 2Ь.

Используя принцип суперпозиции и (11), (12), несложно получить уравнения для определения перемещений и напряжений в упругом полупространстве, когда внутри площадки имеются прямоугольные области, свободные от нагружения равномерно распределенными касательными усилиями. Для варианта, когда на прямоугольной площадке действуют в отрицательном направлении оси у равномерно распределенные касательные усилия т2, структура формул для определения перемещений и напряжений очевидна. Нагружение прямоугольной площадки равномерно распределенными нормальными усилиями q можно рассмотреть аналогично. Результаты решения данной задачи с использованием функций Б. Г. Галеркина приведены в работе [8].

1,5

-1,5

0,5

-0,5

_________- <

----

а) б)

Рис. 5. Поле изменения безразмерного параметра напряжения

а) б)

Рис. 6. Поле изменения безразмерного параметра напряжения т*,г

-5 . 5 _ 0 5 л-

1,5 1

0,5 £0 -0,5

5 д.

-—

а) б)

Рис. 7. Поле изменения безразмерного параметра напряжения х*хг

Другой вариант, основанный на использовании уравнений (5) и (6), предполагает определение трех гармонических функций. При отсутствии объемных сил первый инвариант напряженного состояния является гармонической функцией, которую обозначим ю. Согласно (6), получим

>x

3k + 2ц

—--<

k + ц

q + (5ixi + 5 2 )

3k + 2ц

k + ц

a. (13)

Гармоническую функцию га представим в виде суммы производных от трех гармонических функций rai, га2, газ:

где

5z 2

5z 2

1 .5 2, — = e-izDq, 5i-т^ = e

52raí „ 52rao „ 52газ ra =-т1 + 51-2 + 5 2 -

5z 2

5z 2

2 = e-izD-5ixi, 52

5z2 D2 1 Ь 2 5z2

(14)

-2 iD

3 = e-izD_82t2. (15) D 2 2 2

Проинтегрируем (15) по переменной z, а уравнения, в которые входят касательные усилия т и т2, дополнительно проинтегрируем по переменным x и y, соответственно. Учитывая поведение функций перемещений и напряжений на бесконечности, произвольные функции интегрирования полагаем равными нулю. Тогда

1 ■ n iD ■ п iD

— q, ra2 = -e-lzD-ti , ra3 = -e-lzD-t2. (16)

D ^ 2 D4 3 D4 2

Пользуясь (16) и уравнениями (5), (6), выразим через три гармонические функции перемещения

raí = -e-izD -

1

u =

2ц(к + ц)

5

ц

+ (k + ^z—

5z

5íraí + 2(k + ц)

5 2 ra

2

5z 2

k - (k + ц^ —

5z

5í (5í®2 +52 аз)[,

v =

2ц^ + ц)

ц

+ (k + ц)z—

5z

5 2raí + 2(k + ц)

5 2газ 5z 2

k - (k + ц)z —

1

w = -

2ц^ + ц) и напряжения 1

(k + 2ц)- (k + ^z—

5z

5TOI

5z

, - (k + ц)z —

5z

52(51®2 +52®зH, (17)

5- (51Ю2 +5 2Ю3 )¡-,

CT x =-

k + ц

k£2 "ц5° -(k+^z52 ^

ra! + 2(k + ц)51

5 2 ra2 5z 2

k(fr+52 )-(w)z52 f

(51Ш2 +5 2 ю3 H,

y =

k + ц

k-5z2 - ц52 - (k + 2 5;

ra1 + 2(k + ц)5 2

5 2 ra3 5z 2

k(f2+э 2 )-(k+^z5 2 f

(51Ш2 +5 2 ю3 H,

z

+

+

1

+

+

+

+

+

1

+

+

8 2 га

1 - z -8— (га1+8!га2 +8 2 газ ) =

a z =

8z 2

8z 3

X xy =

X + Ц

L + (X + Ц^-

8z

8 2 raí 8га

--z—

8z 2 8z

8 2

(18)

818 2 га1 + (х + ц)——(8 2га2 +81газ ) + 8z 2

+ 818 2

8

X - (X + ^)z —

83га2 „ 82 / . . \ 83га2 - z81^r (га1 + 81га2 +8 2 га3 ) =

8z 3

X yz = 8z 3

8 2 8z 2 8 2 8z 2

8z 3

83га3 „82 / . . \ 83га3 - z8 2-(га1 + 81га2 + 8 2 га3 ) =

8z3

8z

- z8^,

- z8 2 га.

(81га 2 +8 2га3 )l,

Анализ уравнений (17) и (18) показывает, что в выражения функций перемещений и напряжений не входят гармонические функции гаь га2, га3, а только их производные.

Из структуры формул 82га1

-1 = e-izD

8z 2

следует, что при z = 0 имеем 82га1

8z 2

q-

= q =

8 3га

2 = e-izD

z=0

8z 3

83га2 8z 3

Xb

8 3га

3 = e-izD

= Xb

z=0

8z 3

83га3 8z 3

(19)

= X2.

(20)

z=0

Следовательно, для определения гармонических функций

82 га1 8 3га2 8z2 ' 8z3

и

8 3га3

~8z3"

8 2 га

воспользуемся уравнениями

8z 2

1 -é JJ

2rcJJ R 3

а

-da,

8 3ю,

^= ^ „x^da

2л R 3 ' 8z3

8z 3

z

JJ "

R3

da, (21)

где R = Л/(х-У2 + (^-ц)2 + г2 , (22)

х, у, г - координаты точки наблюдения; ^, ц - координаты точки приложения нагрузки; а - область нагружения плоскости г=0.

Покажем порядок расчета при нагружении прямоугольной площадки (-а<х<а, -Ь<у<Ь) равномерно распределенной касательной нагрузкой т2, направленной в отрицательном направлении оси у. Определим, например, касательное напряжение

8 2 Ю3

X Xz =- z '818 2-

Учитывая, что найдем

83га3 8 ( 82га3

8z3 8z ^ 8z2 8 2га3

8_ 8z

8z 2

f

1 а b Л j J X2^ :

2л J , R

- a - b

(23)

1 a b X

= -¿ J JI2^ =

2^ J, R

- a - b

1

X xz =

Т2 ( I Ii | | | | |

_-—£qln yi + Ru\ - xi 1Пy2 + Ri2\ - X2ln yi + R2i + x2 ln У2 + R22I +

+ yi ln|xi + R111 - yi ln|X2 + R2I - У2 ln|xi + Ri2 + У2 ln|X2 + R221 - (24)

( xi yi X2 yi xi yo X2 y2 ^

- z arctg-iLL - arctg - arctg + arctg 272

У zRii zR2i zRi2 zR22

Обозначения в (24) аналогичны обозначениям в формулах (i i) и (i2). Продифференцируем (24) по переменным х, y и результат подставим в выражение касательного напряжения тxz . Тогда

_ 2лтxz _ z т xz _ _ z

т 2

М i i и

- + -

Rii Ri2 R2i R22

(25)

При нагружении прямоугольной площадки равномерно распределенными нормальными усилиями q или касательными т1 легко составить, учитывая (2i) и

(24), гармонические функции , 8 —2 , а далее, используя (i7) и (i8), получить

8z 8z2

выражения перемещений и напряжений.

Для варианта, когда на плоскости z=0 заданы перемещения, гармонические функции целесообразно представить через функции перемещений uo, ио, wo. Это несложно сделать, если подставить выражения (7) в (i3). Тогда

-x +аy + -z _ в(8iu0 +82V0 - iDw0 )_ —, (26)

Л + 3ц л + ц

где гармоническая функция

— _ 8i—i +82—2 + 8—3 , (27)

8z

также представлена в виде суммы производных от трех гармонических функций

8i—i _ е-izD8iu0, 82—2 _ е-izD82v0, 8—3 _ -е-izDiDw0. (28)

8z

Проинтегрируем уравнения (28) по переменным x, y, z, соответственно, и, учитывая поведение функций перемещений на бесконечности, получим

—i _ е-izDu0, —2 _ е-izDv0, —3 _ e-izDw0. (29)

Полагая в (29) z = 0, найдем

—i(z _ 0) _ u0, —2 (z _ 0)_и0, —3 (z _ 0) _ w0. (30)

Из (30) следует, что гармонические функции —i, —2, —3 определяются решением задачи Дирихле

—i _ i -RH^,

да да /£ \

—2 _¿i f^RT^, (3i)

5з. ¿п^dn,

—да —да

где R совпадает с обозначением (22), а функции uo, ио, wo - непрерывные функции координат n. Используя (8) и (29), легко записать функции перемещений через гармонические функции (»1, (»2, ®3, а далее составить выражения для определения функций напряжений.

Л и т е р а т у р а

1. Харр, М. Е. Основы теоретической механики грунтов / М. Е. Харр. - М.: Стройиз-дат, 1971. - 320 с.

2. Лурье, А. И. Пространственные задачи теории упругости / А. И. Лурье. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. - 492 с.

3. Ferretti, E. A higher order solution of the elastic problem for a homogeneous, linear-elastic and isotropic half-space subjected to a point-load perpendicular to the surface // CMES -Computer Modeling in Engineering and Sciences vol.86, no.5, 2012. - pp. 435-468.

4. Ferretti, E. The second order solution of boussinesq's problem. Research and Applications in Structural Engineering, Mechanics and Computation - Proc. of the 5th International Conference on Structural Engineering, Mechanics and Computation, SEMC 2013. - pp. 2473-2478.

5. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

6. Бейтмен, Г. Таблицы интегральных преобразований, т.1. / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. -М.: Наука, 1969. - 343 с.

7. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Град-штейн, И. М. Рыжик. - М.: Физматлит, 1971. - 1108 с.

8. Короткин, В. Г. Объемная задача для упруго-изотропного полупространства / В. Г. Короткин // ГОНТИ «Сборник Гидроэнергопроекта». - 1938. - №4.- С. 52-85.

R e f e r e n c e s

1. Harr, M.E. (1971). Foundations of Theoretical Soil Mechanics. M.: Stroyizdat, 320 p.

2. Lurie, A.I. (1955). The Space Problem of Elasticity Theory. Moscow: GITTL, 492 p.

3. Ferretti, E. (2012). A higher order solution of the elastic problem for a homogeneous, linear-elastic and isotropic half-space subjected to a point-load perpendicular to the surface. Computer Modeling in Engineering and Sciences, vol. 86, no. 5, pp. 435-468.

4. Ferretti, E. (2013). The second order solution of Boussinesq's problem. Research and Applications in Structural Engineering, Mechanics and Computation. Proceedings of the 5th International Conference on Structural Engineering, Mechanics and Computation, SEMC 2013, pp. 2473-2478.

5. Nowacki, W. (1975). Theory of Elasticity. Moscow: Izd-vo "Mir", 872 p.

6. Bateman, G., Erdeyn, A. (1969). Tables of Integral Transformations, Vol. 1, Moscow: "Nauka", 343 p.

7. Gradshtein, I.S., Ryzhik, I.M. (1971). Tables of Integrals, Series and Products. M.: Fizmatlit, 1108 p.

8. Korotkin, V.G. (1938). Volume problem for elastic-and-isotropic half-space. GONTI "Sbornik Hydroenergoproecta», №4, p. 52 -85.

STRESS AND STRAIN STATE IN THE ELASTIC HALF-SPACE AT A PREDETERMINED ON BORDER FORCES OR DISPLACEMENTS

KUDRYAVTSEV S.G., BULDAKOVA J.M.

FGBOU VPO "Povolzhskiy Gosudarstvenny Tehnologicheskiy Universitet", Yoshkar-Ola

The method of determination of the stress and strain state in the isotropic elastic half-space under given forces or displacements at the border based on the integration of differential equations by the operator method in combination with the Fourier integral transformation is presented. Its application for load case of rectangular area located on the limiting half-plane by uniformly distributed normal and tangential forces is shown. The results of calculations in the form of graphs are given.

KEYWORDS: displacements, stresses, half-space.