CC BY
28
The article describes the application of a mathematical model of the process of rifts on the inner surface of the workpiece using corrugated punch method of reduction, as well as the process of removal of the workpiece from the punch profile using software package QForm 2D/3D.
Key words: mathematical modeling, the power, the formation of screw rifts, punches, dies, corrugation, reduction, removal, stress, strain.
Mitin Oleg Nikolaevich, candidate of technical sciences, deputy head of department, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, JSC «NPO «ALLOY»
УДК 621.922
НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ ОСАДКЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗАГОТОВОК ИЗ АБРАЗИВНО-ВУЛКАНИТОВЫХ КОМПОЗИЦИЙ
Н.В. Судаков, В.И. Трусковский, В.Г. Шеркунов
Приводится анализ напряженного и деформированного состояний процесса осадки сплошных цилиндрических заготовок из абразивно-вулканитовых композиций на основе разработанного алгоритма, предусматривающего минимизацию невязок при удовлетворении переопределенной системы уравнений, отвечающей за выполнение граничных условий.
Ключевые слова: напряжения, деформации, осадка, цилиндрическая заготовка, абразивно-вулканитовые композиции.
Существующая технология получения заготовок для высоких абразивных кругов предусматривает такие операции, как открытую осадку, так и осадку в пресс-форме, завершающуюся всесторонним сжатием заготовки. При этом обрабатываются как сплошные цилиндрические заготовки, так и кольцевые. При производстве кольцевых заготовок осадка в пресс-форме может осуществляться с оправкой для формирования полости и без оправки.
Материал заготовки представляет абразивную композицию на органической связке. Реологические свойства для данной композиции соответствуют нелинейно-вязкой среде.
В результате анализа возможных способов получения сплошных цилиндрических и кольцевых заготовок было установлено, что их деформация характеризуется прилипанием на контакте с инструментом. Данное явление было взято за основу при разработке математических моделей.
Переход на новые схемы деформации в условиях действующего производства представляет в целом достаточно сложную задачу. Более актуальным и экономически оправданным в настоящее время является совершенствование существующих процессов и операций на основе математического моделирования.
В основу анализа НДС различных вариантов деформации сплошных и полых цилиндрических заготовок положен разработанный алгоритм, предусматривающий минимизацию невязок при удовлетворении переопределенной системы уравнений, отвечающей за выполнение граничных условий [1].
Апробация алгоритма определения НДС осуществлялась на примере осадки сплошной цилиндрической заготовки в условиях прилипания на контакте с инструментом (рис.1) с учетом нелинейно-вязких свойств деформируемого материала.
Алгоритм предусматривает задавать поле напряжений функциональными рядами, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям, с точностью до неизвестных коэффициентов а^ .
Рис. 1. Схема осадки цилиндрической заготовки
Для выполнения указанной процедуры удобно использовать функ-
где V - коэффициент Пуассона, для несжимаемой среды равный 0,5,
цию напряжений (р(г, г, а^) [2], связанную с напряжениями следующими зависимостями:
О- =А [(1_п)У>-^], а =Э [1Д7>-^],
гг Эг Эг2 гг Эг Эг2
V2j =
f д 2j 1 dj д dr2 r dr dz2
У
Из физических уравнений определяются компоненты тензора скоростей деформаций Ху- Последние должны удовлетворять условиям совместности деформаций. В частности, для линейно-вязкой среды, а также в случае линеаризации функционала на основе метода гидродинамических приближений удовлетворение условия совместности сводится к удовлетворению известного бигармонического уравнения
w(r, z, ak ) =
дr r дr дz
2
2
дr r дr дz
У V
= 0. (2)
На этапе удовлетворения уравнения (2) может быть определена часть неизвестных коэффициентов, например, методом неопределенных коэффициентов. При этом следует отметить, что приближенно могут быть найдены все коэффициенты минимизацией функционала невязки при удовлетворении уравнения совместности
J(ak) = Jw(r,z,ak) dV®min.
V
Далее из геометрических соотношений находится поле скоростей с точностью до функций интегрирования, которые обычно удается определить из условий симметрии поля скоростей относительно осей координат. В более сложных случаях, по меньшей мере, одна из функций представляется функциональным рядом с дополнительными коэффициентами A\.
При этом некоторые граничные условия могут остаться не удовлетворенными, например, равенство нулю радиальной скорости течения на контакте с инструментом при условии прилипания, равенство вертикальной составляющей скорости материала на границе с инструментом, скорости инструмента и т. п.
Коэффициенты, оставшиеся неопределенными, могут быть найдены путем минимизации функционалов невязки при удовлетворении оговоренных выше кинематических граничных условий. Для примера ниже показан функционал невязки при удовлетворении условия прилипания на контакте с инструментом (z=h)
J (ak A ) = 1 (r,h,ak A )]2 ds®min.
S
Не исключена совместная минимизация нескольких функционалов, например, функционала невязки при удовлетворении условия прилипания и условия равенства вертикальной составляющей скорости течения материала на границе с инструментом скорости инструмента. Вместо совместной минимизации двух функционалов можно минимизировать один функ-
ционал, представляющий сумму двух первых.
Результат решения задачи в рассмотренном варианте алгоритма будет точно удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, физическим уравнениям и статическим граничным условиям. Условия совместности могут быть определены либо точно (метод неопределенных коэффициентов), либо приближенно на основе минимизации соответствующего функционала невязки. Частично кинематические граничные условия могут быть удовлетворены точно, а частично приближенно путем минимизации невязки при их удовлетворении.
При апробации предложенного алгоритма с функционалом невязки при удовлетворении граничных условий напряжения задавались с помощью функции напряжений j(r, z, a.), которая представляла полином 9-й
степени по аргументам г и z. Связь между коэффициентами полинома находилась методом неопределенных коэффициентов на основе удовлетворения бигармонического уравнения (2).
Аналитические выкладки, связанные с удовлетворением (2) и определением напряжений по (1), выполнялись с помощью операторов символьных преобразований Mathcad Pro. Ввиду громоздкости выражения для напряжений здесь не приводятся.
При заданных напряжениях из физических уравнений определяли компоненты тензора скоростей деформаций, после чего из геометрических уравнений находили скорости перемещения с точностью до неизвестных функций f (z) в выражении для Vr и f (r) в выражении для V. Из условий Vr = 0 при r = 0 и Vz = 0 при z = 0 получили f (r) = 0, f (z) = 0. В итоге было получено поле напряжений и поле скоростей, включающее семь неизвестных коэффициентов.
Таким образом, на этапе задания поля напряжений и поля скоростей были удовлетворены точно дифференциальные уравнения равновесия, условие совместности скоростей деформаций (1), физические и геометрические уравнения. Не были удовлетворены граничные условия для скоростей Vr = 0 при z = ±h и Vr = +V при z = ±h, а также условие на свободном
контуре для напряжений. Задача свелась к нахождению семи коэффициентов ai, при которых наилучшим образом удовлетворялись бы указанные выше граничные условия.
Минимизация функционала была заменена дискретно-локальной минимизацией невязок при удовлетворении переопределенной системы алгебраических уравнений.
При семи неизвестных были записаны 16 уравнений. При этом по 5 уравнений соответственно для удовлетворения условий v = 0 при z = ±h,
V = +V при z = ±h и 6 уравнений для удовлетворения равенства нулю
нормального напряжения на свободном контуре.
Анализ полученных результатов показал, что величина невязки незначительна и не превышает 1,5 %.
На рис. 2 - 7 представлена по возможности полная информация о напряженном и деформированном состоянии сплошных цилиндрических заготовок при открытой осадке в условиях прилипания на контакте с инструментом.
] -0.5 0 0.5
Относительная радиальная координата Рис. 2. Эпюры нормальных напряжений на контакте с инструментом
На рис.2 показаны эпюры нормальных напряжений на контакте с инструментом при различном отношении высоты к радиусу заготовки. Под параметром К0 принято отношение фактического напряжения к среднему нормальному напряжению, которое имело бы место при однородной деформации. Качественный характер зависимостей на рис. 1 не противоречит существующим.
На рис.3 показана эпюра девиаторной составляющей нормального напряжения на контактной поверхности, позволяющая на качественном уровне сравнить результаты расчета с известными экспериментальными данными по компонентам девиатора напряжений при осадке прямоугольной свинцовой заготовки в условиях прилипания на контакте с инструментом. Сравнение показывает, что в качественном отношении наблюдается соответствие между расчетной и экспериментальной эпюрами.
Рис.4 подтверждает известные положения о характере бочкообразо-вания при сжатии цилиндров в зависимости от отношения их высотных и радиальных размеров.
Рис.5 показывает, что скорость перемещения материальных частиц в вертикальном направлении незначительно снижается по мере удаления от оси симметрии к боковому контуру. Такая закономерность тем выше, чем больше отношение высоты заготовки к ее радиусу. Подобная зависи-
мость скорости У2 от радиальной координаты свидетельствует о возможности перехода материала заготовки с бокового контура на контактную поверхность с инструментом. Отмеченные положения подтверждаются опытом.
Рис. 3. Эпюра девиаторной составляющей нормального напряжения на контакте с инструментом (Н/Я = 0,3)
о
О
О
° Относительная высотная координата
Рис. 4. К анализу формоизменения при осадке сплошного цилиндра
94
—_ ЇІ Ъ=0.3
и ■ . ■ і Ъ=0.6
1 -0.5 0 0.5 1
Относительная радиальная координата
Рис. 5. Характер изменения вертикальной составляющей скорости течения материала в радиальном направлении (Н/Я = 1)
Кинематику течения материальных частиц при наличии прилипания
характеризует векторное поле, представленное на рис. 6.
Рис. 6. Векторное поле скоростей перемещения материальных частиц при осадке сплошного цилиндра в условиях прилипания на контакте
с инструментом (Н/Я = 0,5)
На практике, как правило, контролируется и регулируется не скорость движения инструмента, а усилие деформации. Рис. 7 показывает взаимосвязь этих параметров.
Полученные в результате расчета карты линий уровня основных показателей напряженного и деформированного состояний свидетельствуют, что независимо от отношения размеров цилиндра наибольшее значение интенсивности скоростей деформации сдвига имеет место на центральном участке бокового контура.
— 7000
ч/
~ 5250
2 3500
g 1750
О
>> о
О 2.5 5 7.5 10
■ Скорость движения инструмента, м/с
Рис. 7. Зависимость усилия деформации от скорости движения инструмента
Вместе с тем на указанном участке среднее нормальное напряжение s имеет (по модулю) невысокое значение по сравнению с другими участками заготовки. Это обстоятельство свидетельствует о повышенной вероятности разрушения материала заготовки на указанном выше участке. Опыт производства высоких абразивных кругов подтверждает этот вывод. Расслоение многослойной заготовки обычно происходит на центральном участке бокового контура.
Выводы
1. Получена полная информация об основных показателях НДС для различных вариантов деформации сплошных цилиндрических заготовок из абразивно-вулканитовых композиций.
2. Впервые дана численная оценка параметров НДС и интегральных характеристик процесса деформации абразивно-вулканитовых композиций.
3. Впервые информация о напряженном и деформированном состоянии цилиндрических заготовок получена на основе предложенных нетрадиционных алгоритмов.
Список литературы
1. Судаков В.Н., Шеркунов В.Г. Совершенствование алгоритмов определения напряженно-деформированного состояния в задачах обработки материалов давлением // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Вып. 51. 2007. С.92 - 94.
2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости/ пер. с англ.; под ред. Г.С. Шапиро. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 560 с.
Судаков Николай Владимирович, д-р техн. наук, проф., pmikasusu.ac.ru, Россия, Миасс, Миасский филиал Южно-Уральского государственного университета,
Трусковский Виктор Иванович, канд. техн. наук, доц., trvi@mail.ru, Россия, Миасс, Миасский филиал Южно-Уральского государственного университета,
Шеркунов Виктор Георгиевич, д-р техн. наук, проф., dvgastisti.ac.ru, Россия, Миасс, Миасский филиал Южно-Уральского государственного университета
STRESS AND STRAIN IN STATEDRAFT OF ABRASIVE CYLINDRICAL WORK-
VULCANITE COMPOSITION
The analysis of stress and strain states of the process of precipitation of solid cylindrical billet of abrasive vulcanite compositions based on the developed algorithm minimizes the discrepancies in satisfaction of an overdetermined system of equations which is responsible for the implementation of boundary conditions.
Key words: stress, deformation, draft, the cylindrical workpiece, abrasive vulcanite composition.
Sudakov Nikolay Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, pmik@, su-su.ac.ru, Russia, Miass, Miass branch of the South-Ural state University,
Trusovskiy Viktor Ivanovich, candidate of technical sciences, associate professor, trvi@mail.ru, Russia, Miass, Miass branch of the South Ural State-state University,
Sherkunov Victor Georgievich, doctor of technical sciences, professor, dvg@susu. ac. ru, Russia, Miass, Miass branch of the South Ural State University
