CC BY
96
9. Liu C. P., Xu N. Magnetic response of chiral carbon nanotori : The dependence of torus radius. Physica B : Condensed Matter, 2008, vol. 403, no. 17, pp. 2884-2887.
10. Wang X., Wang Z., Liu Yq., Wang C., Bai C., Zhu D. Ring formation and fracture of a carbon nanotube. Chemical Physics Letters, 2001, vol. 339, no. 1, pp. 3640.
11. Glukhova O. E., Terentev O. A. Theoretical study of the dependence of Young's modulus and the torsion of
thin single-wall carbon nanotubes zigzag and armchair on the geometrical parameters. Solid State Phys., 2006, vol. 48, no. 7, pp. 1329-1335 (in Russian).
12. Glukhova O. E. Dimerization of miniature C20 and C28 fullerenes in nanoautoclave. J. Molecular Modeling, 2011, vol. 17, no. 3, pp. 573-576.
13. Wang Y., Tomanek D., Bertsh G. F. Stiffness of a solid composed of C60 clusters. Phys. Rev. B, 1991, vol. 44, no. 12, pp. 6562-5665.
УДК 539.3
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЭЛАСТОМЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ АБРАЗИВНО-УСТАЛОСТНОМ ИЗНОСЕ
С. Н. Гребенюк1, А. А. Бова2, В. З. Юречко2
1 Кандидат технических наук, доцент кафедры математического анализа, Запорожский национальный университет, Украина, gsm1212@ukr.net
2Аспирант кафедры математического анализа, Запорожский национальный университет, Украина, bova-anna@mail.ru; iuriechko@i.ua
Предложена математическая модель процесса деформации эластомерных элементов конструкций с учетом абразивно-усталостного износа на основе метода конечных элементов. Ввиду специфических свойств материала построена матрица жесткости конечного элемента на основе моментной схемы конечного элемента для слабосжимаемых материалов. Для уточнения решений предусматривалось получение выражений для деформаций на базе дополнения исходного линейного аппроксимирующего полинома до полного кубического. Численная сходимость предложенной модели исследована на примере решения задачи Ляме для полого упругого цилиндра. Проведен расчет резиновой футеровки барабанно-шаровых рудоразмольных мельниц с учетом специфических свойств материала и условий деформирования.
Ключевые слова: эластомеры, резиновая футеровка, абразивно-усталостный износ, моментная схема конечного элемента.
ВВЕДЕНИЕ
Эластомеры получили широкое применение в качестве защитных футеровок в барабанно-шаровых рудоразмольных мельницах. Футеровка предназначена для предохранения внутренних поверхностей барабана мельницы от износа дробящей средой и размалываемым материалом. От морфометрических параметров футеровки зависит эффективность и производительность работы мельниц в целом.
Одним из важнейших вопросов является изучение деформирования резиновой футеровки с учетом абразивно-усталостного износа рабочих поверхностей.
Аналитические методы решения задач механики эластомеров [1-3] являются весьма громоздкими, поэтому их целесообразно применять лишь для конструкций относительно простой формы.
Применение численных методов позволяет получать решение задач для эластомерных элементов сложной геометрической формы. Универсальным численным методом является метод конечных элементов (МКЭ), который позволяет получать полную картину напряженно-деформированного состояния (НДС) рассматриваемой конструкции.
Исследованию методики применения МКЭ к расчету эластомерных конструкций посвящено большое количество работ. Так, в работах [4, 5] предлагается введение различных выражений упругой энергии деформации, которые учитывают слабую сжимаемость эластомера.
В работе [6] предложены вариационные формулировки, наиболее приемлемые для задач исследования слабосжимаемых эластомеров. Однако применение смешанных вариационных принципов связано с увеличением порядка разрешающей системы уравнений, с нарушением положительной определенности матрицы уравнений.
В работах [7,8] для учета слабой сжимаемости эластомеров предложен способ сокращенного интегрирования, состоящий в том, что поля перемещений и величины, ответственные за слабую сжимаемость, аппроксимируются различными функциями.
В работе [9] рассмотрено развитие МКЭ и его модификации, изучены вопросы упругого, вязко-упругого линейного и нелинейного деформирования. В работе [10] предложен метод, разрешающие уравнения которого не содержат особенностей, связанных с малой сжимаемостью материала и малой толщиной слоя.
Вопросу изучения абразивно-усталостного износа конструкций посвящены следующие работы. В работе [11] исследуется механизм износа резиновой футеровки барабанной мельницы и проводится расчет ее оптимальной толщины. Целью работы [12] является построение обобщенной теории абразивно-усталостного износа упруго-наследственных сред с помощью двухкритериального уравнения долговечности. В работе [13] рассматривается динамическая модель волнового абразивно-усталостного износа резиновой футеровки в барабанных мельницах.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для футеровки мельниц в большинстве случаев применяют резиновые полосы, привулканизиро-ванные к металлическим пластинам (рис. 1) и закрепляемые в барабане так, как показано на рис. 2.
Рис. 1. Резиновые полосы
Рис. 3. Расчетная схема резиновой полосы
2. ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ АБРАЗИВНО-УСТАЛОСТНОГО ИЗНОСА ЭЛАСТОМЕРОВ
Рис. 2. Закрепление в барабане мельницы
Решается статическая задача упругости в трехмерной постановке для резиновой полосы (РП), расчетная схема которой приведена на рис. 3: Ь — длина полосы, а — ширина, Н — толщина. Вектор нагрузки Q необходимо представить в виде трех взаимно перпендикулярных векторов: Qx — вектор нормальной нагрузки, Qy и Qz — векторы касательной нагрузки. Исходя из условий эксплуатации пропорциональные соотношения между этими величинами могут варьироваться. Снизу РП жестко закреплена, а боковые грани полосы свободны от нагрузок и защемления. Износ резиновой футеровки исследуется при эксплуатации мельницы диаметром 3.6 м.
Стандартный МКЭ не позволяет учитывать такого свойства эластомеров как слабая сжимаемость, когда материал имеет коэффициент Пуассона V —> 0.5. Тогда в процессе формирования матрицы жесткости (МЖ) возникает необходимость в вычислении коэффициента Е/( 1 — 2v), где Е — модуль упругости материала. При V —> 0.5 данная величина стремится к бесконечности, что приводит к потере точности получаемых результатов.
Для устранения этого недостатка можно использовать моментную схему конечного элемента (МСКЭ) [9], которая позволяет учитывать слабую сжимаемость материала, а также жесткие смещения КЭ и другое негативное свойство МЖ, связанное с появлением фиктивных сдвиговых деформаций — эффект «ложного» сдвига.
Разрушение эластомерной конструкции при абразивно-усталостном износе исследуется при помощи феноменологической модели [14]. Процесс поврежденности эластомера под действием внешних сил можно представить как образование и накопление в исходном материале некоторых областей, имеющих характер включений.
Предполагается, что материал в начальном состоянии однороден и изотропен, а материал включений обладает новыми существенно анизотропными свойствами. Модуль образующихся включений в п раз больше модуля основного материала (в работе [15] для резины на основе СКИ-3 получено п = 1.2), развивающиеся включения характеризуются матрицей модулей упругости основного материала, упругие модули материала включений не зависят от времени.
С учетом вышеуказанных предположений можно построить макроскопическую характеристику эластомера в виде эффективного модуля упругости материала с изменяющимися от поврежденности свойствами.
Используя вариационный подход, построим МЖ конечного элемента на основе МСКЭ для слабо-сжимаемого материала при абразивно-усталостном износе.
Рассмотрим шестигранный КЭ. Введем две системы координат — базисную Ох1 х2 х3 и местную криволинейную О1 ж1^2^3, связанную с КЭ (рис. 4).
Рассмотрим вариацию полной потенциальной энергии системы:
Ш = 61№- 5А.
(1)
Здесь 8W — вариация внутренней энергии упругого деформирования:
SW =
а3бе— ¿у,
(2)
8А — вариация работы распределенных объемных Рг и поверхностных Fг сил:
¿А =
Рис. 4. Криволинейный конечный элемент
Рг8пг<у + Fг6щ ¿в.
Компоненты тензора напряжений определяются на основе обобщенного закона Гука для изотропного тела с учетом абразивно-усталостного износа:
агз = Кд- в + 2£э ( дгкд3 ек1 - ^дгз в
1
3'
(3)
Здесь дг3 — компоненты метрического тензора (1,],к,1 = 1,3), К — модуль объемного сжатия, в — функция изменения объема, Сэ — эффективный модуль упругости, который учитывает развитие микроповреждений в материале [15]:
С = с ,„. +(1 - п)(1 - Р)(п + 3/2)'
(п + 3/2) + р(1 - п)
где С0 — модуль упругости исходного материала, р = 1 — е-т — функция, отображающая рост концентрации включений во времени, т — коэффициент снижения модуля упругости (т = 1.2 [14]). Получаемая матрица модулей упругости с учетом вышеуказанных предположений будет иметь вид
С =
/2£о 3 0 0 0 0 0
0 2Ео 3 0 0 0 0
0 0 2Ео 3 0 0 0 0
Со = 0 0 2Ео 3 0 0 ,
0 0 0 0 2Ео 3 0
0 0 0 0 0 2Ео . 3 /
/56£о (1-р) 3(17р+28) 0 0 0 0 0 \
0 2Ео 3 0 0 0 0
0 0 2Ео 3 0 0 0
0 0 0 2Ео (1-р) 2р+3 0 0
0 0 0 0 2Ео(1-р) 2р+3 0
V 0 0 0 0 0 2Ео 3 /
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 1 Подставим компоненты тензора напряжений (3) в вариацию энергии деформирования (2):
ш = Щ (кя1°69 + 2£э (Vя°18еы — 1 д* 69^ ёу. (4)
Тогда вариация полной потенциальной энергии системы (1) примет вид
8П = Л^ [кдг^ 69 + 2Сэ(дгкд>16ек1 - 1 дг> 69^ ёу - 6А.
Аппроксимацию перемещений для линейного параллелепипедного КЭ согласно МСКЭ представим в виде [9]:
1тп рдг
.110 /110 , , .101,101, , .011,011, , .111/111
«к/ = V <Рг фр(1г = <000 + <400 Ф100 + <010Ф010+<00^4
+<к'и ф^ + ^1 фШ1 + <Г Ф^ + Ф111, (5)
где <р?г — коэффициенты разложения перемещений, фрдг — набор степенных координатных функций вида
(X)Р (х2)9 (х3)г фРЧГ = (х ) (х ) (х )
р! г!
Однако в некоторых случаях применение МСКЭ для получения МЖ по заданным интерполяционным полиномам приводит к отбрасыванию значительного количества членов разложения деформаций, особенно для КЭ с высокой степенью аппроксимирующих полиномов. Данная проблема решается путем применения уточненной моментной схемы конечного элемента (УМСКЭ) [16,17], которая предполагает получение выражений для деформаций на базе дополнения исходных аппроксимирующих полиномов КЭ до полных с последующим исключением «лишних» коэффициентов при дополнительных слагаемых.
Для уточнения решений приведем выражение для ик/ (5) к полному кубическому полиному:
и к' = «к' + Ди к', (6)
где
Ди к' = 1 (<200Ф200 + < 020 Ф020 + < 00 2Ф002 + < 210Ф210 + < 201Ф201 + < 120 Ф120+ +< 102Ф102+< 021Ф021 + < 012 Ф012) +1 (<300Ф300 + < 030 Ф030 + < 003 Ф003 ).
Компоненты тензора деформаций разложим в ряд Тейлора в окрестности начала координат:
^ = Е 49 Ф3'9, (7)
зЬд
либо в матричной форме:
[^ } = К- }т [фгз }, (8)
К-} = [*# ][<к'}. (9)
Вывод соотношений матрицы жесткости для слабосжимаемого материала с использованием предложенной аппроксимации в полном объеме представлен в работе [18]. Запишем дополнительные коэффициенты, входящие в разложение для Дик':
<200 = <210 = <201 = <120 = <102 = <300 = <030 = <003 = <020 = 0 <1' — <1' — <1' — <1' — <1' — <1' — <1' — <1' — <2' — 0, <021 = <012 = <030 = <210 = <120 = <300 = <003 = <003 = <021 = 0 <2' — <2' — <2' — <2' — <2' — <2' — <2' — <3' — <3' — 0,
<002 = <300 = <030 = <201 = <102 = <012 = 0 <021 = <120 = <111 /3
<3' — <3' — <3' — <3' — <3' — <3' — 0, <1' — <3' — —<2' /3,
<020 = <110 <200 = <101 <012 = <102 = <111 /3 <002 = <101 <1' — —<2' , <3' — —<1' , <1' — <2' — —<3' /3, <1' — —<3' ,
,,200 _ 110 , 201 _ , .210 _ ,111 /о ,002 _ , 011 , 020 _ ,,011 (10)
'2' — —'1' , '2' — '3' — —'1' /о, ,2' — —,3' , '3' — —,2' • (10/
Вспомогательный закон распределения перемещений трехмерного КЭ получаем на основе формул (6) и (10):
111
' V 'V ' — о V'2' ' + '3' ' ) — д V'2'
«1' = ЕЕ Е^г Фр" -1 (^Ф020 +<401 Ф002) -1 (411 Ф021+<4П Ф012),
р=0 д=0 г=0
111 1 1
«2' = ЕЕ Фр" - 2 М'10Ф200 +Ф002) - 6 К" Ф201+Ф102) ,
р=0 д=0 г=0
1 1 1 1 ( ) 1 ( ) «3' = ЕЕ Е^рг фрдг - 2 Ф200 +Ф02^ - 6 (^1'11Ф210+^21'11Ф120)
р=0 д=0 г=0
или в матричной форме:
{«к'} = К' }т {ф}. (11)
Матрицы ] получаем на основе выражений (9) и известного теперь числа и вида коэффициентов ер39Г с учетом (10).
Функция изменения объема, ответственная за слабую сжимаемость, представляется разложением
т — 1 п — 1 1 — 1
в = ЕЕ Е^ав7 Фав7, (12)
а=0 в=0 7=0
где — коэффициенты разложения, определяемые соотношением
Я (а+в+7) p.gij *в7 — _g
(dx1 )а(дх2)в (dx3)
— 14 2ч в3\Y |x1 =x2=x3=0, (13)
либо в матричной форме:
{0} _ (С }T (Фв }, (14)
(CI _[Fk' ]К'}. (15)
Проанализируем выражения для компонент Сав1, воспользовавшись формулами (10), (12) и (13); опустим те слагаемые, которые содержат наряду с коэффициентами разложения для 0 коэффициенты разложения для деформаций, т.е. те, для которых не выполняется условие
= ear g11 + eOf7 g22 + eOf7 g33-
Легко заметить, что необходимо учитывать только коэффициент С000. Таким образом, получим приближенное значение функции изменения объема:
0 _ С000 _ e000 g11 + e000 22 + e000 g33 0 _ C _ e11 g + e22 g + e33 g -
С учетом (8) и (14) выражение (4) примет следующий вид:
SW _2G3 J JV (Seij }T (ф, }gik gj (eki }T (Фк1} dv + (K - 2<G/3) ^f (C }T (Фв ЖС}(Фв } dv _
_ (Set,}T[Hjkl](eki} + ¿(C}T[Hв](C}, (16)
[Hjkl] _//"/" 2Ggik^{ф,-}(фк1 }TVgdx1dx2dx3,
j-i j-i j-i
[H0] — J J J (K - 2£э/3) {^0}{^0}T/gdx1 dx2 dx3.
На основе (9) и (15) выражение (16) можем записать в следующем виде:
SW — ¿K' }T j [Hijk1 ][Ftk'l ]{<*'} + Sfa }T [F¿ ]T [H0 ][Ft' }. (17)
Принимая во внимание (11) и представление перемещений точек КЭ через функцию Лагранжа [^} и узловые значения перемещений [щ}:
[и к'} = К}Т [^ },
запишем связь между степенными и аппроксимирующими функциями Лагранжа:
[<к'} = [А] [и к'},
с учетом которой выражение (17) можем записать следующим образом:
6^ = 6[из' }Т [А]т [^ ]т [Н* кг][^; ][А][и''} + 6[из' }Т [А]т ]т [Н0 ][^' ][А][и''} =
= 6[«в' } [С3''' ] [«4' } + 6[«в' }Т ] },
[С3'] = [А]т [^ ]т [Я* к1][^ ][А], [С3'] = [А]т ]т [Н0][^' ][А]. МЖ КЭ окончательно вычисляется по формуле
[М3'] = [С3'4' ] + [£|'4' ].
Таким образом, получена матрица жесткости для слабосжимаемого материала с кубической аппроксимацией перемещений на основе МСКЭ с учетом абразивно-усталостного износа.
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННОЙ СХОДИМОСТИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ СХЕМ
Исследуем сходимость решений, полученных численно при использовании УМСКЭ, сравнивая их с аналитическим решением задачи Ляме [19]. Рассмотрим НДС полого цилиндра из эластомерного материала при абразивно-усталостном деформировании под внутренним давлением Q и жестком защемлении по внешнему контуру. Внутренний радиус равен а, внешний — Ь, г — полярный радиус. Аналитическая зависимость радиальных перемещений иг при абразивно-усталостном деформировании от эффективного модуля упругости эластомера имеет следующий вид:
иг = — 2К + 2Сэ а/3 + Ь2/а2) (Г — Ь2/г) .
Сравним перемещения точек внутренней поверхности цилиндра, получаемые численно с использованием традиционного МКЭ и УМСКЭ, с аналитическим решением. Исходные данные: внутренний радиус а = 0.025 м, внешний радиус Ь = 0.1 м, модуль объемного сжатия К = 69.533 х 106 Па, модуль упругости матрицы эластомера = 1.4 х 106 Па [10], коэффициент Пуассона V = 0.49, внутреннее давление Q = 1.0 х 106 Па.
Как видно из таблицы, УМСКЭ имеет устойчивую сходимость при сгущении сетки дискретизации и дает предпочтительные результаты по сравнению со стандартным МКЭ, значительно приближая их к аналитическим.
Численная сходимость решений
Сетка МКЭ МСКЭ УМСКЭ
дискретизации Пг, м £, % иг, м £, % иг, м £, %
5 х 5 х 3 0.0016135 18.1 0.0019336 1.8 0.0019992 1.5
7 х 7 х 5 0.0017804 9.6 0.0019395 1.5 0.0019890 1.0
9 х 9 х 5 0.0018583 5.6 0.0019434 1.3 0.0019859 0.9
11 х 11 х 5 0.0018994 3.5 0.0019473 1.1 0.0019846 0.8
13 х 13 х 5 0.0019233 2.3 0.0019493 1.0 0.0019839 0.8
Аналит. решение 0.001969
Таким образом, предложенная конечно-элементная модель на основе УМСКЭ позволяет получать приемлемые результаты при расчете конструкций из эластомеров при абразивно-усталостном деформировании.
4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Изложенная методика реализована в вычислительном комплексе «М1РЕЛА+» [20], в рамках которого были получены основные параметры НДС РП в условиях абразивно-усталостного деформирования.
Исходные данные: длина Ь = 1.5 м, ширина а = 0.6 м, толщина к = 0.1 м, нагрузка Q = 0.5 МПа. В случае действия только нормальной нагрузки Qx = 0.5 МПа, Qy = Qz = 0, нормальной и касательной — Qx = 408248 Па, Qy = 204124 Па, Qz = 204124 Па. Расчеты были проведены для ряда марок резины при различных сетках дискретизации. Результаты представлены при сетке дискретизации 7 х 11 х 13.
Распределение перемещений и по толщине к РП при коэффициенте Пуассона V = 0,49 для различных типов нагрузки представлено на рис. 5.
На рис. 6 показано распределение нормальных напряжений по толщине к РП при коэффициенте Пуассона V = 0.4999 для различных типов нагрузки.
0.35
2 0,04
н 3
Я = Я о 0.03
ъ 0.02
— у
- 0.01
ч. ч* ---- нормальнаян касательная нормальная
Ч
51-1562^ Ч •V N. \
51-1714- Ч ч V
ч ^ч
О 0,02 В,04 0,06 о,оа од
Толщина полосы Ь. м
Рис. 5. Распределение перемещений по толщине РП
Рис. 6. Распределение напряжений по толщине РП
Распределение перемещений и1 по толщине к РП для различных марок резины при коэффициенте Пуассона V = 0.4999 показано на рис. 7.
На рис. 8 представлено распределение перемещений и1 по поверхностному слою РП толщиной 0.01м при коэффициенте Пуассона V = 0.4999.
Рис. 7. Распределение перемещений по толщине РП
Рис. 8. Распределение перемещений по поверхностному слою РП
Анализ полученных результатов показывает, что совокупность нормальной и касательной нагрузок приводит к увеличению перемещений точек внешней поверхности футеровки на 50-53% по сравнению с нормальной нагрузкой (см. рис. 5). Учет абразивно-усталостного износа слабосжимаемого эластомера увеличивает нормальные сжимающие напряжения в месте интенсивного абразивно-усталостного износа на 33-89% (см. рис. 6), а также увеличивает перемещения точек внешней поверхности футеровки на 8-10% (см. рис. 8). Футеровка, выполненная из резины марки 51-1562, будет испытывать наибольшие деформации; использование резины марок 1378, 1224, 51-1711 позволяет снизить уровень деформации приблизительно на 40%, а резины марки 51-1714 — на 60% (см. рис. 7).
ВЫВОДЫ
Учет особенностей деформирования элементов конструкций из слабосжимаемых эластомеров с учетом абразивно-усталостного износа позволяет точнее определять полную картину напряженно-деформированного состояния в реальных условиях эксплуатации, что дает возможность повышать прочностной ресурс на стадии проектирования таких конструкций.
Библиографический список
1. Дымников С. И. Расчет резиновых элементов конструкций. Рига : Зинатне, 1991. 277 с.
2. Дырда В. И., Чижик Е. Ф., Кияшко В. И., Кара-чабан Н. Г. Резиновые детали в инженерной практике. Днепропетровск : Пол1граф1ст, 1998. 303 с.
3. Карнаухов В. Г., Гуменюк Б. П. Термомеханика предварительно деформированных вязкоупругих тел. Киев : Наук. думка, 1990. 304 с.
4. Penn R. W. Volume Changes Accompanylug Extension of Rubber // Trans. Soc. Rheol. 1970. Vol. 14, № 4. P. 507-517.
5. Дымников С. И., Мейерс И. Р., Эрдманис А. Г. Упругие потенциалы для слабосжимаемых эластомер-ных материалов // Вопр. динамики и прочности. 1983. Вып. 40. C. 98-108.
6. Пиан Т., Ли С. О методе конечных элементов для почти несжимаемых материалов // Ракетная техника и космонавтика. 1976. №. 6. C. 147-149.
7. Zienkiewicz O. C., Too J., Taylor R. L. Reduced integration technique in general analysis of plates and schells // Intern. J. Numerical Methods Eng. 1971. Vol. 3, № 3. P. 275-290.
8. Oden I. T., Kikuchi N. Finite element methods for constrained problems in elasticity // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1983. Vol. 18, № 5. P. 701-725.
9. Киричевский В. В. Метод конечных элементов в механике эластомеров. Киев : Наук. думка, 2002. 655 с.
10. Кабриц С. А., Мальков В. М., Мансурова С. Е. Нелинейные уравнения плоского слоя для трех моделей эластомерного материала // Изв. РАН. МТТ. 2001. №. 1. C. 38-47.
11. Стецюк М. В., Луценко С. Н. Проблемы эксплуатации резиновой футеровки вибропитателей при добыче урановых руд // Геотехническая механика. 2013. Вып. 108. C. 229-235.
12. Кобец А. С., Дырда В. И., Калганков Е. В., Ца-ниди И. Н. Энергетическая оценка износа антифрикционных материалов // Геотехническая механика. 2012. Вып. 106. С. 78-90.
13. Дырда В. И., Калашников В. А., Евенко С. Л., Мар-келов А. Е., Хмель И. В., Стойко А. Динамическая модель волнового абразивно-усталостного разрушения резиновой футеровки в барабанных мельницах // Геотехническая механика. 2012. Вып. 106. С. 15-24.
14. Чижик Е. Ф., Дырда В. И. Феноменологическая модель разрушения резины при абразивно-усталостном износе // Геотехническая механика. 1999. № 11. С. 226-256.
15. Дырда В. И. Прочность и разрушение эластомерных конструкций в экстремальных условиях. Киев. : Наук. думка, 1988. 232 с.
16. Сахаров А. С., Кислоокий В. Н., Киричевский В. В. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев : Вища шк., 1982. 480 с.
17. Гребенюк С. М., Юречко В. З., Бова А. А. Визна-чення напружено-деформованого стану гумового буфера на основi моментно'1 схеми скшченного елемента // Вюн. Одеського нацюнального ушверситету. Математика i мехашка. 2013. Т. 18, вып. 3(19). С. 49-58.
18. Гребенюк С. Н., Бова А. А. Повышение точности моментной схемы конечного элемента для слабосжима-емых материалов // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании. 2009. Т. 22. С. 55-64.
19. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности. М. : Высш. шк., 1982. 264 с.
20. Киричевский В. В., Дохняк Б. М., Козуб Ю. Г. Метод конечных элементов в вычислительном комплексе «М1РЕЛА+». Киев : Наук. думка, 2005. 416 с.
The Stress-strain State of Elastomeric Constructions under Conditions of Abrasive Fatigue Wear
S. N. Grebenjuk, A. A. Bova, V. Z. Jurechko
Zaporozhskij National University, 66, Zhukovskogo str., Zaporozh'e, 69600, Ukraine, gsm1212@ukr.net, bova-anna@mail.ru, iuriechko@i.ua
In this paper the mathematical model of the deformation process of elastomeric elements of constructions with regard abrasive fatigue failure has been proposed. Due to the specific properties of material the stiffness matrix of finite element based on the finite element moment scheme for weakly compressible materials. To increase the accuracy of solutions has been envisaged the receipt of expressions for deformations on the base of adding the initial linear approximating polynomial to complete cubic polynomial. The numerical convergence of proposed model has been studied on the example of solution of Lyame task for hollow elastic cylinder. The rubber lining of drum-balls ore shredding mills was calculated taking in the account the specific properties of material and the deformation conditions.
Key words: the elastomers, rubber lining, abrasive fatigue wear, finite element moment scheme.
References
1. Dymnikov S. I. Raschet rezinovyh elementov konstruk-cij [The calculation of rubber structural elements]. Riga, Zinatne, 1991, 277 p. (in Russian).
2. Dyrda V. I., Chizhik E. F., Kijashko V. I., Karacha-ban N. G. Rezinovye detali v inzhenernoj praktike [The rubber details in engineering practice]. Dnepropetrovsk, Poligrafist, 1998, 303 p. (in Russian).
3. Karnauhov V. G., Gumenjuk B. P. Termomehanika predvaritel'no deformirovannyh vjazkouprugih tel [Thermomechanics previously deformed viscoelastic bodies]. Kiev, Naukova dumka, 1990, 304 p. (in Russian).
4. Penn R. W. Volume Changes Accompanylug Extenslon of Rubber. Trans. Soc. Rheol., 1970, vol. 14, no. 4, pp. 507-517.
5. Dymnikov S. I., Mejers I. R., Jerdmanis A. G. Uprugie potencialy dlja slaboszhimaemyh jelastomernyh materialov [The resilient potentials for weakly compressible elastomeric materials]. Voprosy dinamiki i prochnosti, 1983, no. 40, pp. 98-108. (in Russian).
6. Pian T., Li S. O metode konechnyh jelementov dlja pochti neszhimaemyh materialov [On the finite element method for nearly incompressible materials]. Raketnaja tehnika i kosmonavtika, 1976, no. 6, pp. 147-149. (in Russian).
7. Zienkiewicz O. C., Too J., Taylor R. L. Reduced integration technique in general analysis of plates and schells. Intern. J. Numer. Meth. Eng., 1971, vol. 3, no. 3, pp. 275-290.
8. Oden I. T., Kikuchi N. Finite element methods for constrained problems in elasticity. Intern. J. Numer. Meth. Eng., 1983, vol. 18, no. 5, pp. 701-725.
9. Kirichevskij V. V. Metod konechnyh jelementov v mehanike jelastomerov [The finite element method in the mechanics of elastomers]. Kiev, Naukova dumka, 2002, 655 p. (in Russian).
10. Kabric S. A., Mal'kov V. M., Mansurova S. E. Nelinejnye uravnenija ploskogo sloja dlja treh modelej jelastomernogo materiala [Nonlinear equations of plane layer for three models of elastomeric material]. Izv. RAN. Mekh. Tverd. Tela, 2001, no. 1, pp. 38-47. (in Russian).
11. Stecjuk M. V., Lucenko S. N. Problemy jekspluatacii rezinovoj futerovki vibropitatelej pri dobyche uranovyh rud [Problems of operation rubber lining of vibro feeders in the extraction of uranium ore]. Geotehnicheskaja mehanika, 2013, no. 108, pp. 229-235. (in Russian).
12. Kobec A. S., Dyrda V. I., Kalgankov E. V., Canidi I. N. Jenergeticheskaja ocenka iznosa antifrikcionnyh materia-lov [Energy assessment of wear of antifriction materials].
Geotehnicheskaja mehanika, 2012, no. 106, pp. 78-90. (in Russian).
13. Dyrda V. I., Kalashnikov V. A., Evenko S. L., Markelov A. E., Hmel' I. V., Stojko A. Dinamicheskaja model' volnovogo abrazivno-ustalostnogo razrushenija rezinovoj futerovki v barabannyh mel'nicah [Dynamic model of wave abrasive fatigue failure of the rubber lining in rattlers]. Geotehnicheskaja mehanika, 2012, no. 106, pp. 15-24. (in Russian).
14. Chizhik E. F., Dyrda V. I. Fenomenologicheskaja model' razrushenija reziny pri abrazivno-ustalostnom iznose [The phenomenological model of destruction of rubber under conditions of abrasive fatigue wear]. Geotehnicheskaja mehanika, 1999, no. 11, pp. 226-256. (in Russian).
15. Dyrda V. I. Prochnost' i razrushenie jelastomernyh konstrukcij v jekstremal'nyh uslovijah [Strength and fracture of elastomeric constructions in extreme conditions]. Kiev, Naukova dumka, 1988, 232 p. (in Russian).
16. Saharov A. S., Kislookij V. N., Kirichevskij V. V. Metod konechnyh jelementov v mehanike tverdyh tel [The finite element method in the mechanics of solids]. Kiev, Vishcha shkola, 1982, 480 p. (in Ukrainian).
17. Grebenjuk S. M., Jurjechko V. Z., Bova A. A. Vyznachennja napruzheno-deformovanogo stanu gumo-vogo bufera na osnovi momentnoi' shemy skinchen-nogo elementa [Determination of stress-strain state of rubber buffer on the basis of finite element moment scheme]. Visnyk Odes'kogo nacional'nogo universytetu. Matematyka i mehanika, 2013, vol. 18, no. 3(19), pp. 4958 (in Ukrainian).
18. Grebenjuk S. N., Bova A. A. Povyshenie toch-nosti momentnoj shemy konechnogo jelementa dlja slaboszhimaemyh materialov [The increase of the precision of the finite element moment scheme for weakly compressible materials]. Sovremennye problemy i puti ih reshenija v nauke, transporte, proizvodstve i obrazovanii, 2009, vol. 22, pp. 55-64 (in Russian).
19. Samul' V. I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Basics of the theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Vysshaja shkola, 1982, 264 p. (in Russian).
20. Kirichevskij V. V., Dohnjak B. M., Kozub Ju. G. Metod konechnyh jelementov v vychislitel'nom komplekse «MIRELA+» [The finite element method in calculable complex «MIRELA +»]. Kiev, Naukova dumka, 2005, 416 p. (in Russian).
