Наномеханические особенности кантилеверных элементов атомно-силового микроскопа Текст научной статьи по специальности «Физика»

2. Автокомпенсация инструментальных погрешностей гиросистем [Текст] : моногр. / М. И. Малтинский, И. М. Окон, С. М. Зельдович, Я. Г. Остромухов. — Л. : Судостроение, 1976. — 255 с.

3. Теория инвариантности автоматически регулируемых и управляемых систем [Текст] / В. С. Кульбакин. — М. : Изд-во АН СССР, 1961. — Т. 1. — 459 с.

4. Одинцов А. А. Метод автокомпенсации влияния внешних помех, действующих на гироскопы и маятниковые акселерометры [Текст] / А. А. Одинцов // Автоматика и приборостроение — К. : Техніка, 1973. — С. 87—94.

5. Каргу Л. И. Гироскопическая система с реверсируемым кинетическим моментом [Текст] / Л. И. Каргу // Изв. Высших уч. зав. СССР. Приборостроение. — 1964. — Т. 7. — № 6. — С. 65—70.

6. Ильчанинов В. П. Влияние принудительного вращения карданова подвеса на движение астатического гироскопа [Текст] / В. П. Ильчанинов // Изв. Высших уч. зав. СССР. Приборостроение. — 1970. — Т. 13. — № 12. — С. 66—70.

7. Карачун В. В. Гироскоп направления с двух канальной схемой автокомпенсации влияния помех при нерегулярной качке основания [Текст] / В. В. Карачун // Влияние вибрации, линейных ускорений и вращений основания на поведение гироскопических устройств. — Томск : Изд-во ТПИ им. С. М. Кирова. — 1981. — С. 13—17.

---------------------□ □------------------------

У даній роботі розглянуті процеси деформації, що виникають в кантилевері атомносилового мікроскопа. Отримано математичні моделі, що описують деформації кантилевера в просторі залежно від величини і напрямку зовнішніх сил.

Ключові слова: атомно-силовий мікроскоп, кантилевер, біосенсор, деформація.

□------------------------------------------□

В данной работе рассмотрены процессы деформации, возникающие в кантилеверах атомно-силового микроскопа. Получены математические модели, описывающие деформации кантилевера в пространстве в зависимости от величины и направления внешних сил.

Ключевые слова: атомно-силовой микроскоп, кантилевер, биосенсор, деформация.

□------------------------------------------□

This study focuses on the processes of defor-motion, resulting in the cantilever of an atomic force microscope. The mathematical models describing the deformation of the cantilever in space depending on the magnitude and direction of external forces are developed.

Keywords: atomic force microscope, cantilever, biosensor, deformation.

---------------------□ □------------------------

УДК 531.384

наномеханические

особенности

КДНтИЛЕВЕрНЬїх

элементов

АТОМНО-СИЛОВОГО

МИКРОСКОПА

Н. Ю. Гетманенко

Аспирант

Кафедра биомедицинской электроники Харьковский национальный университет радиоэлектроники пр. Ленина, 14, г. Харьков, Украина 61000 Контактный тел.: 050-845-45-33 E-mail: getmanenko@gala.net

1. Введение

Начало 21 века ознаменовалось бурным развитием новой междисциплинарной области фундаментальной и прикладной науки и техники — нанотехнологии. Резкий скачок в этой области стал возможен благодаря появлению новых классов устройств, позволяющих манипулировать с объектами на наноуровне, таких как сканирующие зондовые микроскопы. Характерным представителем сканирующих зондовых микроскопов является атомно-силовой микроскоп (АСМ). Изобретенный в 1986 г. Гердом Биннигом и Кристофом Гербером [1], он получил широчайшее применение в различных областях науки как высокочувствительный профилеметр поверхности. Но уже в скором времени исследователям стало понятно, что область применения АСМ не ограничивается только измерением морфологии поверхности объекта [2]. Одной из перспективных альтернативных областей применения АСМ, является построение на базе

кантилеверных элементов АСМ высокочувствительных селективных биосенсоров, позволяющих не только детектировать биообъекты, но и измерять, возникающие между ними силовые взаимодействия [3].

Разработка биосенсоров на базе АСМ требует не только усовершенствования аппаратной части АСМ, но и разработки математических моделей с учетом специфики работы биосенсоров. Разработка математической модели, описывающей деформации кантилевера, являющегося первичным датчиком биосенсора, позволит с высокой достоверностью интерпретировать сигнал отклика сенсора на внешние воздействия на наноуровне. В связи с этим в данной работе рассматривается математическая модель, описывающая зависимость деформации кантиле-вера в пространстве от действия внешних сил и приведено соответствующее решение.

Кантилевер представляет собой твердотельную консоль, на свободном конце которой располагается игольчатый зонд (рис. 1). В процессе сканирования на кантилевер

д=с-^,

ГА х' ( С XX £ С Cxz ' (F ^ ІХ

А у = С у у С Cyz у І-Ц

у ^ Czx Сгу Czz у 1 Fz у

Рис. 1. Прямоугольный кантилевер с зондом

действуют силы: Fz — поперечная, Fy и Fx — латеральные. В своих рассуждениях мы будем считать, что деформация кантилевера является линейной, т. е. подчиняется закону Гука:

(1)

где А — вектор смещения свободного конца кантилевера (с компонентами Ах , Ау, Аг ); F — вектор силы, приложенной к кантилеверу (компоненты Fx , Fy , Fz ); С — коэффициент пропорциональности (тензор жесткости).

Коэффициент пропорциональности С является симметричным тензором второго ранга, связывающим два вектора перемещения и силы, называемые тензором жесткости. Перепишем уравнение (1) в матричном виде [4]:

(2)

Чтобы найти компоненты тензора С, необходимо решить задачи статических деформаций кантилевера под действием сил, направленных в трех плоскостях хО7, уО7, хОу.

2. дифференциальное уравнение кривой изгиба кантилеверов

Определим связь между смещением какой-либо точки кантилевера с действующей на него силой. Для этого рассмотрим консоль-балку, у которой один конец является свободным, другой глухо защемлен. Если консоль имеет прямоугольное поперечное сечение и на ее гранях нанесены две смежные параллельные линии тт и рр (рис. 2) то, как показывают многочисленные опытные данные, эти линии при изгибе остаются прямыми и поворачиваются так, что остаются нормальными к продольным волокнам консоли. Из этого следует, что при изгибе поперечные сечения тт и рр поворачиваются относительно друг друга около оси, перпендикулярной к плоскости изгиба. Линия пщ есть след пересечения боковой грани с поверхностью, по которой волокна не претерпевают изменений длины при изгибе. Следовательно, удлинение

Рис. 2. Участок консоли

какого либо волокна з'зі, находящегося на расстоянии у от нейтрального слоя, может быть найдено если провести линию п^і параллельно тт. Рассмотрим треугольники пОп1 и s1Os/. Данные треугольники являются подобными (по двум сторонам и углу между ними), таким образом, можем записать:

(3)

пп1 Я ’

где Я — радиус кривизны изогнутой оси балки;£ — относительное удлинение волокна консоли.

Усилие, действующее на элементарную площадку поперечного сечения консоли, может быть найдено как:

dF = odS, (4)

где dS — элементарная площадка поперечного сечения консоли; о — напряжение в поперечном сечении балки.

Исходя из того, что закон Гука может быть записан в виде:

о= еЕ,

и учитывая выражения (3—5), получим:

dF = -уЕгїЗ.

К

(5)

(6)

Так как при чистом изгибе внешние силы уравновешены, то равнодействующая всех сил должна быть равна 0:

(7)

Момент усилия, приходящегося на поперечное сечение, является суммой всех моментов усилия, приходящихся на элементарную площадку dS:

я

Е

м = к-Ь-

(8)

(9)

где ^ =|y2dS — момент инерции поперечного сечения

ГГ] , т ^3

относительно нейтральной оси [5] ( }х = — для пря-

моугольного перечного сечения).

Чтобы вывести выражение, устанавливающее зависимость между кривизной и формой кривой, мы рассмотрим две смежных точки а и а!, находящиеся на изогнутой оси на расстоянии ds одна от другой (рис. 3). Пусть касательная в точке а образует с осью х угол 01, а касательная в точке а! угол 02. Тогда углы Оа'а{

Е

Рис. 3. Кривая изгиба кантилевера

и а'а\ О соответственно равны 90°-01 и 90°-02. Из треугольника: а'Оа{ можем определить угол а:

а = 180° - (90° - 02 - 9О° + 01) = 02 - 01 = d0.

Точка О есть точка пересечения перпендикуляров к касательным и определяет центр кривизны и длину радиуса кривизны. Тогда:

ds = 1Ы0. (10)

Учитывая то, что положительному приращению соответствует отрицательное приращение d0, получим:

а©

ds

Угол 0 может быть определен как:

0 = агс^(БХ’

(11)

(12)

а2у

ах2

я

ах ds

1+(ах

2

ах2

ах2+ау2

а2у

ах2

{ , N 2\

1+(ах

1

а2у

ах2

1+(аУ

(13)

1+(ах

2

Подставив выражение (9) в (13) получаем дифферен циальное уравнение кривой изгиба кантилевера:

d2y ах2

I ах

3

2

Е1 = -М.

(14)

В случаи незначительных прогибов консоли, которые ^у Л 2

соответствуют значениям

dx

значительно меньшим

единицы, можем записать выражение (14) в упрощенном виде:

жИ~м-

(15)

3. Определение деформации кантилевера под действием поперечной силы Fz

Перейдем к непосредственному определению сил действующих в плоскостях хО7, уО7, хОу (рис. 4). В плоскости хО7 на кантилевер действует равномерно распределенная нагрузка q, вызванная собственной массой кантилевера, а также приложенная к концу канти-левера внешняя сосредоточенная сила Б (результирующая силового взаимодействия возникающая между зондом и образцом) (рис. 5). В закрепленном конце кан-тилевера возникает сила реакции опоры Я, равная по модулю алгебраической сумме сосредоточенной силы и результирующей распределенной нагрузки и направленная противоположно:

Я = Fz + ql. Известно, что[6]: dM = Qdx,

(16)

(17)

где Ц = — qdx.

Для определения момента инерции в произвольном поперечном сечении кантилевера, рассмотрим поперечное сечение тп, находящееся на расстоянии х от заделанного конца кантилевера. Теоремы статики нам позволяют систему параллельных сил заменить одной силой Ц, равной алгебраической сумме данных сил, и одной парой сил М. Получаем:

0 = Я - qx,

(18)

М = | Qdx = | (FZ + ql - qx)dx = Fzx + qlx - qX + с. (19)

Рис. 4. Отклонение кантилевера под действием вертикальной силы

Рис. 5. Распределение сил вдоль кантилевера

2

3

2

Постоянная интегрирования С может быть найдена из граничных условий М(1) = 0:

Fzl + ql2 -ql2 + С = 0, (20)

12 С = -Щ - q12, (21)

М = Fzx + qlx - qX- - Fzl - ql--. (22)

Учитывая то, что в кантилевере имеют место незна-

Я2у —2 12

^-г Е] = -Fzx - q1x + q-2 + Fz1 + q-2.

определены из начальных условии

dx

- = 0, у(0) = 0:

^=щ !(-р*х - ч1х+чт+щ+ч1Г)ах=

1 ( х^ х^ х3 12

= щ Ит - ч1Т++Щх+чТх

М0) dx

= с1 = о,

^ = -ЩIр*Т+ч1Т - - р*1х - ч12х1 -

1 г( х2 х2 х3 12 Л

у(х)=- ЁТТРгТ+- Ч!Г+р/1х+ч_2х]ах=

1 ( х3 х3 х4 х2 12 х2 і

= -ЁТТ ( Рг"б"+ч1Т - 4 24 - Рг1Т- Ч2"Т 1+°2’

у(0)=С2=0,

/\ 1 1^ X і X Л Т-.1Л 12х2

У(х) = -Ё] I Р*Т + - Ч24 - - *—

У(х) = -ё|

^ , X3 , X2 ^ Л X3 X4 12х2 ^

Р/1 ~6 - 1Т ) + 41 ~6 - 24 4 )

Перепишем выражения в виде:

ЙУ

ах'

ЕІ

х! - 1х!+а. Г 1х! - х3 - !!х

2 Г F7 і1 2 6 2 х

х3 - х2 ^ q (- х3 х4 12х2 ^

~6 -1_2" Г р I ~6 - 24 4)

Таким образом, получаем:

= — Е]

Ш

І3 _!ІІ 3 + Б, 12

I2 _Ч І3

2 + Н, 6

Отклонение кантилевера вдоль оси у может быть определено геометрически:

Ду = а1йр, (35)

тогда:

Р,1^1

Ау =

г7Чїр

ЕІ

I2 _! 11

2 + F7 6

(36)

чительные прогибы, с достаточной степенью точности можно использовать выражение (15):

Вдоль оси х отклонения не происходит т. е. Ах = 0. Сравнивая выражение (33),(36) с (1) можно сделать вывод, что:

(23)

Угол наклона касательной в произвольной точки кантилевера и смещение данной точки кантиливера могут быть найдены последовательным интегрированием выражения (23). Постоянные коэффициенты могут быть

dy(0)

С - — С“ Е.І

Г - ЙР

'-'У7 ---- т^т

ЕІ

13 + іЛ ^ 12

13 _ч І3

2 + F7 6

(37)

(38)

(39)

(24)

(25)

(26)

4. Определение деформации кантилевера под действием продольной силы Fy__________

В процессе перемещения кантилевера вдоль оси х между концом иглы кантилевера и поверхностью исследуемого образца возникает поперечная сила Fx , направленная противоположно направлению движения канти-левера (рис. 6). Данная сила создает момент М = Fyltip , вызывающий деформацию кантилевера.

Таким образом, выражение (15) может быть записано следующим образом:

d2y

ИХ2

(40)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

Последовательно интегрируя выражение, и, учитывая начальные условия = 0, У(0) = 0, получим:

ах = Е/у1йрХ’

(41)

Рис. 6. Отклонение кантилевера под действием продольной силы

Сх2 = 0.

Ь

7

н

I

у(х) = щ Ру^іїр 2 •

(42)

Таким образом, по аналогии с предыдущими рассуждениями можно записать:

дz = Л

AZ Е]

і - 12' 1йр 2

Лу = -

Еу12. 1

ЕІ ’

Ах = 0 ,

1

а = Ё^Ру^Ф1,

і - 12' 1йр 2

I2 1

с = ар

Суу = EJ ,

Сху = 0 .

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

р=

3Мх Gюt3 ’

где С — модуль сдвига; М = Fxltip — момент силы. Модуль сдвига определяется выражением:

G =

Е

2(1 + и)’

(51)

(52)

где Е — модуль Юнга; и — коэффициент Пуассона.

Таким образом, конечное выражение для угла поворта кантилевера при кручении имеет вид:

6FxltipX(1 + и) Р Еюі;3 •

Для свободного конца кантилевера:

6ВДф1(1 + и)

Р = -

Ею13

(53)

(53)

Смещение конца кантилевера вдоль оси z из геометрии изгиба может быть определено как:

Az = 1йр - ltip cos в = 21йр sin2 2.

(54)

5. Определение деформации кантилевера под действием продольной силы Fx

Под действием поперечной силы Fx возникает сложная деформация, которая является суперпозицией плоского изгиба и кручения. Деформация вызванная плоским изгибом может быть определена из выражением (42), для этого необходимо в выражении для полярного момента поменять местами ширину и высоту кантилевера:

1 х2

У(х) = Ё^уДйр-^.

(50)

Рис. 7. Отклонение кантилевера под действием продольной силы

Строгое решение задачи о кручении балки прямоугольного поперечного сечения является сложным [7], потому приведем конечные результаты. Зависимость угла поворота острия кантилевера в произвольной точки х вдоль кантилевера при кручении имеет вид:

Ввиду малости угла в, выражение (54) можно переписать в виде:

(55)

Смещение вдоль оси у вызвано действием чистого прогиба и может быть записано по аналогии с (44):

F 12 1

ду =

ДУ Е] .

(56)

Смещение вдоль оси х вызвано как чистым изгибом, так и кручением, может быть определенно как сумма смещений вызванных соответствующими деформациями:

Ах = Дхкруч + Ах,

хпрогиб .

(57)

Смещение свободного конца кантилевера в результате прогиба определяется выражением (50):

1 12

Ахкру4 = Рх1іїр ~2 •

(58)

Смещение свободного конца кантилевера в результате кручения определяется выражением:

Ахпрогиб _ ^ПР ' 1^р _ Р^Ір •

Полное смещение:

Л _ 1 с 1 I2 , ^йрК1 + и)1

ЛХ _ Е^х1Йр2 + Ею1з !йр _

(59)

_ Сх

1 1 12 , 61(1 +и)12ір

ЕІ1йр 2 + Еюі;3

(60)

3

Таким образом, можем записать первый столбец матрицы (2):

Cyx =

±h 12 EJ1tip 2

12 l

tip

61(1 +u)12

tip

Ernt3

EJ

г — p Czx - 2

ltip f 6ltipl(1 + u) I Ernt3

(61)

(62)

(63)

Полученное выражение описывает деформацию кан-тилевера в пространстве.

Ввиду того, что в стандартных АСМ фиксируется не величина смещения, а углы поворота нормали к поверхности, в качестве результатов работы стоит привести полученные зависимости углов отклонения нормали к поверхности кантилевера:

Fz

EJ

q l3

FT6

1

- —F L- l

Ej у t'P ’

P =

6Fxltipl(1+ Ernt3

u)

(65)

(66)

Выводы

В результате проведенных расчетов были определенны элементы матрицы (2):

1 l2 6l(1

EJ ltip 2 +

l2 l

tip

EJ

-U)lt2i

tip

Ernt3

( 6ltipl(1

ltip

-u)

Ernt3

l2l

tip

EJ

1

EJ

1- l-

ltip 2

tip

EJ

1

EJ

\

0

(F ^ L X

l2 ql3 Fy

СО tL| CN y

1 Fz J

Полученные математические выражения позволяют с достаточной степенью точности проводить математическое моделирование процессов деформации кантиле-веров под действием внешней силы, что существенно как для понимания процессов, происходящих в АСМ с данным типом кантилеверов, так и для целого ряда прикладных задач, связанных с разработкой биосенсоров на базе кантиле-(64) верных элементов АСМ.

qli

F 12

Cxx =

.

y

z

Литература

1. Binnig G. Atomic force microscopy [Текст] / G. Binnig, C. F. Quate, C. Gerber //Phys. Rev. Lett. — 1986. — Т. 56. — С. 930—933.

2. Fritz J. Cantilever biosensors [Текст] / J. Fritz // Analyst. — 2008. — T. 133. — C. 855—863.

3. Гетманенко Н. Ю. Использование принципа атомно-силовой микроскопии при разработке биосенсоров [Текст] / Н. Ю. Гетма-ненко // Системы обработки информации. — 2011. — T. 94, № 4. — С. 218—221.

4. Handbook of Micro/Nanotribology [Текст] / Ed. by Bhushan Bharat. — 2-d ed. — Boca Raton etc.: CRC press, 1999. — 859 c.

5. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Т. 1. Элементарная теория и задачи: учеб, пособие [Текст] / С. П. Тимошенко. — 2-е изд., перераб. — М. : Наука, 1965. — 364 с.

6. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов [Текст] : учеб. пособие / В. И. Феодосьев. — М. : Наука, 1967. — 327 с.

7. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Т. 2. Более сложные вопросы теории и задачи [Текст] : учеб. пособие / С. П. Тимошенко. — 2-е изд., перераб. — М. : Наука, 1965. — 480 с.