Наилучшие приближения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512

НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ1

Аннотация. Проанализированы некоторые проблемы современной экономики, решаемые методами классической математики. Авторами представлен новый взгляд на основные понятия линейной алгебры. В статье рассмотрены теоретические основы и математические особенности понятия «наилучшие приближения», найдены новые интересные свойства наилучших приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, показана применимость установленных свойств для матричных пространств. Приведены экономические иллюстрации использования введенных понятий.

Ключевые слова: наилучшие приближения, обратная матрица, решение системы линейных алгебраических уравнений, финансовая математика.

THE BEST APPROXIMATIONS

Annotation. Authors presented a new view on the basic concepts of linear algebra. In article theoretical basics and mathematical features of the concept "the best approximations" are described, new interesting properties of the best approximate decisions of system s of the linear algebraic equations are found, applicability of the established properties for matrix spaces is shown. Economic illustrations of use of the entered concepts are given.

Keywords: the best approximations, return matrix, decision of system of the linear algebraic equations, financial mathematics.

Теорией приближения занимаются многие. Немаловажно, что эта теория имеет практические выходы (полезна даже при навигации крылатых ракет, при обработке и сжатии информации). Во многих вузах есть соответствующие дисциплины или отдельные темы, связанные с теми или иными аспектами теории приближений. Каждое лето в одном из живописных мест Урала (часто выбирается Миасский заповедник) Уральское отделение РАН устраивает школу по теории приближений на 10-15 дней. В школе участвуют ученые уральских научных учреждений и ученые со всех уголков бывшего СССР. Приезжают и из-за границы: аспиранты, работающие над диссертацией за рубежом, специалисты, работающие за границей в командировках. В честь основателя школы и всего Уральского отделения РАН она называется школа Стечкина. В самом Уральском отделении РАН есть ученые (например, Бердышев В.И.), работающие в указанной области вполне профессионально (с уклоном даже в оборонную тематику). Данная статья представляет краткий очерк некоторых вопросов теории приближений, оставляя более подробное их исследование на дальнейшее.

Предложение 1. Для любой системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) существует вектор размерности числа переменных, являющийся наилучшим приближением решения этой системы. Говоря кратко и немного неточно (точную формулировку см. далее) данное предложение можно выразить так: предложение 1. Для любой СЛАУ существует наилучшее приближенное решение этой системы. Это - уже совсем другое. При таком взгляде получается, что любая СЛАУ является совместной.

Напомним, что система уравнений называется несовместной, если она не имеет решений. В обычном студенческом курсе высшей математики в вузах (см., например, [1]) изучение несовместных систем на констатации их несовместности обычно и заканчивается: чего же еще такие системы изучать, раз они не имеют решений? Однако в Большой математике существует стройная теория изучения таких систем. Конечно, изучаются не сами эти несовместные системы, а наилучшие приближенные решения таких систем. Точно также изучаются необратимые матрицы, т.е. матрицы, не

© Гатауллин Т.М., Малыхин В.И., Гончаров Л.Л., 2015

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 14-06-00209.

Т.М. Гатауллин В.И. Малыхин Л.Л. Гончаров

Timur Gataullin Vjacheslav Malykhin Leongard Goncharov

имеющие обратных. Для таких матриц ищутся матрицы, являющиеся наилучшими приближениями их (несуществующих) обратных матриц. И вообще, совершенно меняется взгляд на всю линейную алгебру, что немаловажно для будущих экономистов, управленцев и т.п. (Для тех, кто любит фантастику, описываемые исследования похожи на задачи о пятиугольных треугольниках, которые давали «Великому КРИ» его «рабы» - см. рассказ Стругацких «Великий КРИ»). Но нужно сразу же сказать, что, хотя специалисты, работающие в теории приближений, сделали в этой теории очень много, широким массам научных работников, тем более студентам, известны лишь самые азы этой интересной теории, а экономические приложения исследованы весьма плохо и поверхностно. Данной статьей мы хотим привлечь внимание к этой тематике, изложить лишь самые начальные понятия и привести яркие экономические иллюстрации.

Начало подобным исследованиям положил наш великий русский математик П.Л. Чебышев в 1853 г. в работе «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» в связи с сугубо прикладной задачей. Все необходимые сведения, например, о компактности можно найти в [5], о теории приближений в [3].

1. Математические основы. Пусть в метрическом пространстве (E, d) дан элемент B и подмножество M, тогда элемент т* 6 М называется наилучшим приближением B, если d(m*,B) = infт6М d(m, В). Такой элемент называется также ближайшим к B (элементом подмножества M). Мы выбираем термин «наилучшее приближение». Понятие использовалось разными авторами. (см., например, [3, с. 23] или [7, гл. 6]). Нам понадобится также понятие множества существования - это такое множество, в котором для любого элемента пространства существует элемент множества, являющийся его наилучшим приближением.

Следующее утверждение (см., например, [3]) является основным в части I и для дальнейшего. Основное Утверждение. Непустое ограниченно компактное подмножество метрического пространства является множеством существования. При этом множество M называется ограниченно компактным, если для любого Y 6 М и любого г > 0 множество [X 6 М: d(X, Y) < г} компактно.

Доказательство. Пусть B — какая-нибудь точка рассматриваемого пространства и T — какая-нибудь точка из M и г = d(T,B). Функция f(X) = d(X,B), очевидно, непрерывна по X. Рассмотрим подмножество б = [X:d(X,T) > 2г]. По аксиоме треугольника имеем d(X,B) + d(B,T) > d(X,T), так что d(X, В) > d(X, Т) — d(B, Т) > г для любого X 6 О, и потому f(X) > г. Поскольку Т 6 М и f(T) < г, то решение задачи находится в пересечении M и шара О = [Z: d(X, Т) < г], если оно есть. Но шар O есть замкнутое ограниченное множество и его пересечение с M есть замкнутое ограниченное подмножество M, следовательно, по условиям теоремы, компактно. И непрерывная функция достигает на нем минимума, т.е. искомая точка в M есть.

Подпространство (более подходящий термин - линейное многообразие, но такое обобщение мы здесь не рассматриваем) конечной размерности в любом нормированном пространстве является множеством существования. Потому что оно ограниченно компактно. Множество К Q X называется слабо компактным, если из любой последовательности из K можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу х 6 К.

Теорема 2. Слабо компактное множество является множеством существования. Эти понятия лежат несколько в стороне от главной линии заметки, призваны показать возможность дальнейшего развития понятия множества существования, но здесь развивать их не будем (см. [3, с. 24]). Доказательство теоремы 2 см. там же.

Обозначим минимальное отклонение через \\т* — ВЦ через VB.

2. Новый взгляд на основные понятия линейной алгебры.

2.1. Наилучшее приближение вектора другими векторами. Пусть A,X,Y 6 Rn. Положим

d(X, Y) = ai\xi ~ У( I, проверяется, что это - расстояние, так что для любого элемента В 6 Rn в любом замкнутом подпространстве Rn из существует ближайший элемент по расстоянию d.

2.2. Понятие Наилучшего Приближенного Решение СЛАУ (НПР). Пусть AX=B - система линейных алгебраических уравнений. Вектор ^*назовем НПР для данной системы в норме ||-|| (по метрике d) если AX является ближайшим вектором по этой норме (метрике) к вектору B. Конечно, если система совместна, то любое ее «настоящее» решение X' и есть НПР в любой норме (метрике), ибо АХ' есть сам вектор B. Однако НПР существует для любой СЛАУ и тогда появляются интересные новые нюансы. Будем считать, что рассматриваемая система содержит m уравнений и n неизвестных, тогда вектора X, В есть элементы Rn, Rm соответственно.

2.3. Существование и нахождение НПР. Следующая теорема вытекает из Следствия 1.

Теорема 2.3.1. НПР существует в любой норме.

Действительно, рассмотрим подпространство М = [АХ: X 6 Rn}. Оно, очевидно, непусто и конечномерно. Согласно Следствию 1 для вектора B в нем существует ближайший элемент, имеющий, стало быть, вид AX для некоторого X. Этот X и есть искомое НПР.

Замечание 1. VB = 0 если и только если рассматриваемая система совместна. Действительно, если система совместна, то, очевидно VB = 0. Если же система несовместна, то V не может быть равно 0, следовательно, VB > 0.

Существуют уточнения теоремы 2.2, но тут нужны дальнейшие исследования.

Теорема 2.3.1 - чистейшая теорема существования. Однако интерес представляют конструктивные алгоритмы нахождения НПР. Конкретизируем теорему 2.3.1.

Теорема 2.3.1. Для любой СЛАУ НПР существует в норме sup.

Напомним, что ||^||SUp = maXj|Xj|

Доказательство. Рассмотрим задачу 2

Как легко видеть, это и есть задача нахождения НПР в норме sup. Эта задача не является задачей ЛП, но теория ЛП поможет установить, что эта задача имеет решение и найти это решение. Пусть N — множество номеров компонент вектора B), S — произвольное подмножество N. Для каждого i 6 N положим fs = 1, если i 6 S, иначе положим = —1. Определим множество Ds следующим образом:

пробегает семейство подмножеств N. Каждая 5-задача является задачей ЛП, допустимое множество некоторых (по крайней мере, некоторых задач) непусто, на всех множествах целевая функция ограничена в направлении min -следовательно, каждая 5-задача с непустым множеством имеет решение. Ну, а поскольку 5 задач

v -> min

^ aijXj — bi <v,i = 1,... т i

Теперь наша задача эквивалентна множеству задач

v ^ min

всего конечное число (2'w'), то и исходная задача также имеет решение. Пример 1. Пусть А = (\ 1),В = (°1)

Для нахождения НПР в норме sup составим задачу

V ^ min l^i + х2\ < V

\х1 + х2 — 1\ <v

1 1 Легко видеть, что V = vm(n = - и этот минимум достигается если х1 + х2 = -. То есть в роли

/У1ч ! /0\

НПР может выступить любой вектор Уу2), в котором у^ + у2 = -, например, Y = I i I. Для этого вектора, как и для любого НПР в норме sup, \\AY — ß|| = V = -

Теорема 2.3.2. Для любой СЛАУ НПР существует в норме 11. Напомним, что = Доказательство. Рассмотрим задачу 3:

II

(

Xj bj

-> min

]

Как легко видеть, это и есть задача нахождения НПР в норме 11, Эта задача не является задачей ЛП, но теория ЛП поможет установить, что эта задача имеет решение и найти это решение. Пусть ^множество номеров компонент вектора В), S - произвольное подмножество N. Для каждого i £ N положим /¿ = 1, если I 6 Б, иначе положим /( = —1. Определим множество следующим образом:

= atjxj

Dz = {(Xi): fj \ У a,\ х,- — bj | > 0 для каждого i E N

Теперь наша задача эквивалентна множеству задач

v -> min

fi atj xj -bj^<v,i = l,...,m

xi E D

's

S пробегает семейство подмножеств N.

Каждая S-задача является задачей ЛП, допустимое множество Ds (по крайней мере, некоторых задач!) непусто, на всех множествах Ds целевая функция ограничена в направлении min - следовательно, каждая S-задача с непустым множеством Ds имеет решение. Ну, а поскольку S-задач всего конечное число (2'w'), то и исходная задача также имеет решение.

Пример 2. Пусть А = ^ i)'^ = (1). Для нахождения НПР в норме 11 составим задачу

lxi + х2 \ + \xt + х2 — 1| ^ min

Легко видеть, что \xt + х2 \ + \xt + х2 — 1| имеет минимум если и только если 0 < х1 + х2 <

/х1\

1 и этот минимум равен 1. То есть в роли НПР может выступить любой вектор X = уХ2), в котором

0 < х1 + х2 < 1, например, Y = Для этого вектора, как и для любого НПР в норме lt, \\AY — B\\=V = 1

Замечание 2. Видим, что для одной и той же системы НПР могут быть разные в разных нормах.

3. Другие наилучшие приближения в линейной алгебре. Итак, согласно Основной Теореме любое непустое подпространство конечной размерности в нормированном пространстве есть множество существования. Однако, как и подчеркнуто выше, эта теорема есть чистейшая теорема существования. Поэтому, интересуясь конструктивными алгоритмами нахождения наилучших приближений, будем обращаться к таким приближениям, которые можно найти конструктивно, например, с помощью теории ЛП или других конструктивных методов, например, с помощью МНК - см. конец п. 3.1. Приведем несколько видов таких наилучших приближений уже без их детального анализа.

3.1. Понятие Наилучшей Приближенной Обратной Матрицы (НПОМ). Пусть A — квадратная матрица. Матрицу X назовем правой (левой) НПОМ для данной матрицы в норме ||*||, если АХ(ХА) является ближайшей матрицей по этой норме к единичной матрице E того же размера, что и A. Конечно, если матрица обратима, то обратная к ней матрица Aи есть НПОМ (и правая и левая) в любой норме, ибо ААесть сама единичная матрица. Однако НПОМ (и правая и левая) существует для любой матрицы и тогда появляются интересные новые нюансы. Будем считать, что рассматриваемая матрица имеет размер тхт.

2. Существование и нахождение НПОМ. Следующая теорема есть следствие Основной Теоремы:

Теорема 3.2. НПОМ (правая, левая) существует в любой норме.

Действительно, рассмотрим подпространство М = [АХ: X есть матрица тхт]. Оно, очевидно, непусто. Согласно Основной Теореме для единичной матрицы E в нем существует ближайший элемент, имеющий, стало быть, вид AX для некоторой матрицы X. Эта матрица X и есть искомая правая НПОМ.

Это чистейшая теорема существования. Теоремы, аналогичные теоремам 2.3.1, 2.3.2 имеют место для правой НПОМ и для левой НПОМ, доказательства их аналогичны, все это мы опустим.

3.3. Наилучшее приближение линейными комбинациями. Пусть At, ...,Ат — векторы в каком-нибудь нормированном пространстве Rn. Так как всевозможные линейные комбинации этих векторов образуют непустое конечномерное подпространство, то справедлива

Теорема 3.3.1. В нормированном пространстве для любого элемента B и любой системы векторов Аг, ■■■,Ат существует линейная комбинация [хг, ...,хт] этих векторов, являющаяся наилучшим приближением B среди всех линейных комбинаций этих векторов.

Наилучшее в смысле естественной метрике-норме в Rn. Эта теорема есть в точности теорема

2.3.1

В нормах sup или lt можно эти наилучшие приближения найти, решив для каждой нормы задачу 3:

\\xxAx + —Ъ xr^r|| ^ min

Как и ранее, эта задача не является задачей ЛП, но теория ЛП поможет установить, что эта задача имеет решение и найти это решение. Впрочем, эту задачу можно решить с помощью МНК-метода наименьших квадратов (см., например, [4]):

Составим функцию F(x0, ...,х0т) = (х0 + х1А1 + ••• + хтАт — В)2 и с помощью частных производных найдем минимум этой функции:

dx1 dF _ 0

получим систему (т + 1) уравнений с (т + 1) неизвестных х0,хг, ...хт. При определенных условиях, которые мы здесь не будем уточнять, она имеет единственное решение. Это решение вполне можно назвать конструктивным. Такое же решение можно применить и для других подобных задач.

3.4. Наилучшее приближение матричным полиномом. Пусть А - квадратная матрица, т> 0 - натуральное число, тогда обозначим М подпространство, порожденное матрицами [Ак: к — 0, , ,тв пространстве всех квадратных матриц размерности т. Элементы подпространстваМназовем А-полиномами степени не более т. Справедлива теорема, являющаяся следствием Основной Теоремы.

Теорема 3.4.1. Для любой квадратной матрицы В размерности т существует А-полином степени не более т, являющийся наилучшим приближением среди всех А-полиномов степени не более т. Естественным обобщением теорем 2.3.1-2.3.2 является следующая конструкция: оператор А\Яп ^ Яп называется линейным, если — АА(Х) и А(Х + У) — А(Х) + А(У), ну как если бы он задавал-

ся матрицей. Тогда справедлив аналог теорем 2.2.1, 3.2.1.

Теорема. Для всякого Yсуществует наилучшее решение X* уравнения А(Х) — У.

Замечание. Существует и, пожалуй, более развит другой взгляд на основные объекты линейной алгебры (см. [2, гл. 4]): псевдорешения СЛАУ и псевдообратные матрицы и линейные отображения. Исследование этих понятий и выяснение их связей с нашими и использование этих понятий в экономике предполагается в дальнейшем.

4. Наилучшие приближения в экономике. Каким же образом проведенные исследования могут быть использованы в современной экономике? В экономике наилучшие приближения очень часто связаны с принятием решений в условиях неопределенности. Современная экономическая ситуация в мире довольно нестабильна, и каждая грань экономики любого государства имеет огромную степень неопределенности. Однако с помощью исследуемого понятия наилучших приближений можно решить широкий спектр экономических задач, решение которого методами классической линейной алгебры является довольно сложным процессом.

4.1. Экономические иллюстрации к понятию «Наилучшее приближенное решение СЛАУ». С помощью двух иллюстраций наглядно покажем, как вышеуказанный материал может быть применен для решения экономических задач.

1. Рассмотрим задачу производственного планирования. Производственное планирование -это в широком смысле умение предвидеть цели и результаты действий субъекта экономики (предприятия) и определять ресурсы, необходимые для достижения определенных целей. Для любого предприятия огромное значение имеет ритмичная работа, в процессе которой на каждом рабочем месте и участке производства, в каждом производственном подразделении будет выполняться в данную единицу времени строго определенное количество продукции. Такая работа, как правило, весьма эффективна, рациональна и обладает признаком высокой культуры производства. Однако, как свидетельствует производственный опыт, добиться строго определенного и заранее рассчитанного ритма производства порой очень сложно. Для этого нужно обеспечить полную согласованность действий

всех структурных подразделений во времени, обеспечить их производственную пропорциональность, постоянно отслеживать возможные сбои согласованного ритма производства и вводить поправки в его ход, если где-то на каком-то участке установленный ритм будет нарушен.

Отклонения ритма от запланированного могут приводить к огромным экономическим потерям на предприятии: к простоям цехов и участков, к дополнительным затратам на восстановление нормального хода производства. Чтобы этого не происходило, каждая служба предприятия должна согласовывать действия со всеми подразделениями предприятия. Достигается такая согласованность в процессе выполнения особой управленческой функции, которая и представляет собой производственное планирование.

Пусть А - матрица норм расхода, В - вектор запасов ресурсов, тогда НПР X* СЛАУ АХ=В по норме 11, например, можно трактовать как такой производственный план, который обеспечивает наименьший дисбаланс между имеющимися запасами ресурсов и ресурсами, требуемыми для выполнения производственного плана. Превышение необходимого количества ресурса над запасенным плохо - нужно добывать этот ресурс в необходимом количестве, но и превышение запасенного количества над требуемым также плохо - надо потом решать, куда девать остаток (который, возможно, уже оплачен и закуплен). Мы видим, что при правильно подобранных исходных данных задача производственного планирования заметно упрощается.

2. Обратимся к понятию межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс (метод «затра-ты-выпуск») - это экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах. Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостной состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли. В модели межотраслевого баланса выделяются четыре квадранта. В первом отражается промежуточное потребление и система производственных связей, во втором — структура конечного использования ВВП, в третьем — стоимостная структура ВВП, а в четвертом — перераспределение национального дохода.

Итак, пусть в модели межотраслевого баланса А матрица прямых затрат, Y - план для сектора потребления, тогда НПР X для системы X-AX=Y опять же по норме 11 дает вектор валового выпуска, наиболее близко обеспечивающий вектор количеств товаров, направляемых в сектор потребления, по сравнению с плановым. Здесь опять сумма модулей невязок имеет примерно такой же экономический смысл: если план больше чем обеспечивается валовым выпуском, это однозначно плохо, но еще хуже, если валовой выпуск не обеспечивает плановый объем. Особенно эта экономическая иллюстрация актуальна для России, где сейчас очень остро стоит вопрос межотраслевого баланса.

4.2. Задача линейного производственного планирования в условиях неопределенности. Рассмотрим в Яп задачу линейного производственного планирования

СХ ^ тах АХ < В Х>0

В условиях неопределенности С, А, В могут быть многовариантны, возникает задача

V ^ тах

С^Х > у.А^Х < В,] = 1, ...,т Х>0

Производственный план X, являющийся решением этой задачи называется планом максимально гарантированной прибыли в условиях неопределенности.

Так же, как и ранее, можно доказать, что задача 4 имеет решение. В экономике подобных задач много. Например, задача об оптимальном размере фирмы в условиях неопределенности, задача об определении ставки акцизного налога в условиях гарантированно минимального уклонения величины собираемого налога от его максимального значения и т.п. Для каждой из этих задач с помощью рассмотренных нами методов можно найти решение.

4.3. Проект строительства крупной больницы. На этапе проектирования возникает задача оценки проектов в конкурсе. Проектное задание - это вектор X, число компонент которого - число значимых компонент больницы (число отделений, число филиалов и т.п.). Различные группы проектантов предъявляют свои проекты - это векторы ^ Из них по процедуре п. 2.1 находится наилучший - при этом коэффициент щ - это стоимость 7-й невязки.

4.4. Прикладные задачи современной экономики и понятие наилучших приближений.

4.4.1. Задача о наследстве. Пусть мы имеем троих наследников, и с экономической точки зрения Второй должен получить в 2 раза больше Первого, Третий - в 3 раза больше. Множество М = [X = (х1,х2,х3) 6 Я3: х2 = 2х1, х3 = 3х1} есть трехмерное подпространство, значит, оно есть множество существования; поэтому любой вектор X 6 Я3 можно оценивать по его близости к его ближайшему элементу из М, т.е. насколько он близок к идеальному распределению наследства. Конечно, если наследство оценено денежной суммой, подлежащей распределению в отношении 1:2:3, то проблем нет - это элементарная задача на части. Если же ситуация иная, на помощь приходит понятие наилучших приближений.

4.4.2. Задача начисления дивидендов. Рассмотрим понятие дивиденда. Дивиденд, как известно, - это часть прибыли акционерного общества или иного хозяйствующего субъекта, распределяемая между акционерами, участниками в соответствии с количеством и видом акций, долей, находящихся в их владении. Величина и порядок выплаты дивидендов определяются собранием акционеров, участников и уставом акционерного или иного общества. Дивиденды могут выплачиваться несколько раз в год, а могут и не выплачиваться вообще. Выплата дивидендов уменьшает капитализацию и требует накоплений, не допущенных к реинвестированию или изъятых из него. Выплачиваемые до конца финансового года дивиденды называются промежуточными или предварительными дивидендами. По завершении финансового года выплачиваются финальные дивиденды. Обычно дивиденды выплачивают в денежном виде. Такие дивиденды называют денежными дивидендами. Помимо этого, дивиденды могут выплачиваться акциями или другим имуществом акционерного общества.

В упрощенной форме задача начисления дивидендов очень похожа на рассмотренную задачу о наследстве: дивиденды начисляются пропорционально количеству акций, имеющихся у акционера. Пусть акционеров всего трое и у Второго акций в 2 раза, а у Третьего - в 3 раза больше, чем у Первого. Множество М = [й = 6 Я3: й2 = = 3^} есть трехмерное подпространство, значит, оно есть множество существования; поэтому любой вектор X 6 Я3 можно оценивать по его близости к его ближайшему элементу из М, т.е. насколько он близок к идеальному распределению дивидендов.

4.4.3. Формула Тобина из финансовой математики. Джеймс Тобин - американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономики автор 16 книг и 400 статей. Он стал известен в обществе, благодаря своему предложению на введение налога на операции с иностранными валютами,

даже если бы он равнялся 0,1-0,25 %. Такой налог мог бы резко ограничить трансграничные валютные спекуляции, сделать большую часть из них невыгодными, и тем самым уменьшить их вред. По его мнению, этот налог приносил бы прибыль государству в размере 150 млрд долларов, но не все разделили его мнение, так как налог может отгородить страны от внешнего мира, обрекая себя на дальнейшее отставание. Модель «портфельных инвестиций», разработанная Тобиным, объединяет множество ценных бумаг и представляет гораздо более богатый арсенал средств для проведения экономической политики. Денежно-кредитная и бюджетная политика государства, воздействуя на выбор структуры активов, тем самым оказывает влияние и на реальные переменные экономической системы - инвестиции, сбережения, потребление. Взяв за основу модель равновесия активов и проведя одновременно тщательный анализ запасов ценных бумаг, он выдвинул новую концепцию «фактора q» — коэффициента, с помощью которого выражается отношение рыночной стоимости физических активов к затратам на их замещение.

Формула, предложенная Тобиным, описывает структуру рисковой части оптимального портфеля в присутствии на фондовом рынке безрисковой ценной бумаги [6, с. 313]:

Здесь V 1- матрица, обратная к матрице ковариаций рисковых видов ценных бумаг, остальные объекты - различные векторы, связанные с эффективностью ценных бумаг (см. указанный источник). Здесь как раз и можно заменить обратную матрицу У-1 на ее суррогат НПОМ (см. ранее п. 3 - «Наилучшая Приближенная Обратная Матрица (НПОМ) - левая или правая».

Библиографический список

1. Атурин В.В. Высшая математика: задачи с решениями для студентов экономических специальностей: учебное пособие для вузов / В.В. Атурин. - М.: Академия, 2010. - 300 с.

2. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры / Д.В. Беклемишев. - М.: Наука, 1983. -336 с.

3. Бердышев В.И. Аппроксимация функций. Сжатие численной информации. Приложения / В.И. Бердышев, Л.В. Петрак. - Екатеринбург: УрО РАН, 1999. - 296 с.

4. Гатауллин Т.М. Основы линейной алгебры / Т.М. Гатауллин. - М.: Академический центр «Единые транспортные системы», 2000. - 110 с.

5. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Физматлит, 2004. - 572 с.

6. Малыхин В.И. Математика в экономике / В.И. Малыхин. - М.: Инфра-М, 2000. - 356 с.

7. Нуртазина К.Б. Оптимизация портфеля ценных бумаг и управление в условиях неопределенности / К.Б. Нуртазина. - М.: ГУУ, 2011. - 197 с.