CC BY
18
УДК 625.113
В. В. РИБК1Н, М. П. СИСИН (ДПТ)
ЗНАХОДЖЕННЯ ВЕРТИКАЛЬНО? НЕР1ВНОСТ1 ЗАЛ1ЗНИЧНО1 КОЛ11 ЗА ДАНИМИ ВАГОНА-КОЛ1СВИМ1РНИКА
У статп пропонуються два способи знаходження вертикально! HepiBHOCTi коли в залежносп вiд вимipiв вагона-колieвимipника -на основi тригонометричних pядiв i чисельний спосiб. Для оцiнки точност вимipювань було визначено вepтикальнi нepiвностi по обох рейкових нитках i перекос, який було поpiвняно з вимipяним перекосом.
В статье предлагаются два способа нахождения вертикальной неровности пути в зависимости от измерений вагона-путеизмерителя -на основе тригонометрических рядов и численный способ. Для оценки точности измерений были определены вертикальные неровности по обеим рельсовым нитям и перекос, который был сравнен с измеренным перекосом.
Two methods are proposed for the vertical roughness determination of railway track depending on data of the measuring carriage - trigonometric series method and numerical method. The vertical roughness and a warp were calculated on each rail. The warp was compared with the measured warp to estimate the precision of the measurement.
Загальш положення
1з ушх способiв оцшки стану залiзничноi коли геометрична ощнка за даними вагона-колieвимiрника е найважлившою, оскшьки до-зволяе оперативно отримувати дат та знаходи-ти кшьюсну характеристику стану коли - ба-льну оцшку [2]. Однак, як i при будь-яких ви-мiрюваннях, у процесi оцшки стану коли юну-ють недолши, спричиненi такими факторами:
• даш, зафiксованi на стрiчцi вагона-колiевимiрника в дiйсностi вiдображають не тшьки вертикальну нерiвнiсть, а й прогин рейки, що виникае внаслiдок ди вагона;
• при розшифровцi стрiчок вагона-колiе-вимiрника методика, яка в даний час вико-ристовуеться, е не достатньо точною i не до-зволяе реально оцiнити стан коли на рiзних дiлянках;
• конструктивно у вагонi-колiевимiрнику для зняття осiдань використовуеться база дов-жиною 2,7 м. Це означае, що нерiвностi пе-рiодичного характеру з довжиною 2,7 м або в цшу кiлькiсть раз меншi фшсуватися на стрiчцi не будуть;
• при дiаметрi колеса вагона ) 0,95 м мшь мальна довжина нерiвностi перiодичного характеру, як показано на рис. 1, пов'язуються залежностями кривини колеса i рейки в точщ х = Т /2:
1 d 2 y
R dx2
(1)
нepiвностi.
d2 y _ d2 dx2 dx2
при x _ T /2
d2 y dx2
a cos
(2п ^ T
4n 2a (2n
T2
cos
x
V T
v
4n 2 a 4n2 a
■^2- Cos(n) =-JT~
Тодi piвняння (1) спроститься: T _ InjaR.
(2)
Для нepiвностi ампл^удою (a) 20 мм (0,02 м) мшмальний пepiод нepiвностi, який можна зафiксувати при пpоходжeннi ii колесом дiамeтpом 1м, становить, м,
T _ 2%4aR _ 2k^J0,02 • 0,45 « 0,6.
T / 4
т / T
3T/ 2
де R - pадiус колеса; y (x) _ cos (x) - piвняння
Рис. 1. Схема взаемоди колеса i рейки в синусовдальнш нер1вност1
• запис здшснюеться на стpiчку, товщина л> ни запису становить 0,5... 0,3 мм, тому точ-нiсть запису не може бути бшьшою 0,2 мм,
Y
0
x
що при врахуванш поздовжнього масштабу 1:2000 становить 0,4 м;
• вагон-колieвимiрник являе собою механiчну iнерцiйну систему, тому ^м усiх попере-дшх факторiв додаеться ще похибка системи вимiрювання. У загальному похибка при вимiрюваннi осiдання становить ± 4 мм на можливому дiапазонi вимiрiв ± (0...50) мм, що в середньому вщповщае вiдноснiй по-хибцi 16 %. Загальна похибка вимiру рiвня становить ±6 мм на можливому дiапазонi вимiрiв ±(0...150)мм, що в середньому вщповщае вiдноснiй похибцi 8 %;
• кошчнють колiс та горизонтальнi виляння екiпажу.
Найбiльшу похибку iз ушх розглянутих фак-торiв вносить процес розшифрування стрiчки. Для того щоб виконати об'ективну оцiнку стану коли, потрiбно розглядати динамiчну взае-модiю коли i рухомого складу. Для можливост проведення динамiчних розрахунюв потрiбно знати вид вертикально! нерiвностi коли. У ми-нулому цш метi уже було присвячено ряд на-укових праць авторiв О. П. Сршова, М. Г. Зак, М. Ф. Мтна та ш. [1], проте знайдена у них вертикальна нерiвнiсть не достатньо точно в> дображала нерiвнiсть коли в профш, оскiльки для И знаходження iз оцiнки осiдань бралось тшьки два параметри - амплiтуда та довжина вертикально! нерiвностi, сама нерiвнiсть при-ймалась синусо!дальною, а ус промiжнi точки вiдкидались.
Метою даного дослщження е знаходження повного виду вертикально! нерiвностi за результатами запису вагона-колiевимiрника. Роз-рахунок проводиться у два етапи:
1) розробка алгоршмв для розпiзнавання графiкiв осщань i перекосiв та перетворення !х у цифровий вигляд у виглядi вектора;
2) знаходження виду вертикально! нерiвнос-тi за допомогою тригонометричних рядiв Фур'е, а також перевiрка розв'язку окремо роз-робленим чисельним алгоритмом знаходження вертикально! нерiвностi.
Для перевiрки правильностi розрахунку вертикалью нерiвностi знаходяться по кожнш рей-ковiй нитцi й порiвнюються iз записами пере-косiв на стрiчцi.
1з врахуванням попередньо зазначених фак-торiв приймаються такi припущення:
• нерiвностi довжиною менше 2,7 м до уваги не беруться;
• осщання вимiрюеться вiдносно горизонта-
льного piBM, а не вiдносно кузова, як це на-явне в дшсносп;
• прогин, що виникае внаслщок руху вагона, не враховуеться (колiя вважаеться рiвно-пружною);
• для розгляду буреться пряма д^нка коли, горизонтальш нерiвностi не враховуються;
• зовшшш дiлянки, якi не потрапили в штер-вал стрiчки, що дослщжуеться, вважаються симетричними до ощнки осiдання для розрахунку з допомогою тригонометричних ря-дiв, а для розрахунку з допомогою чисель-ного способу - нульовою лшею.
Прийнятi такi визначення:
• ощнка осiдань - вiдображення осiдання на стрiчцi вагона-колiевимiрника;
• вертикальна нерiвнiсть - вiдхилення поло-ження рейково! нитки вiд прямо! лiнii;
• розклад у тригонометричнi ряди та зворотне !х сумування за допомогою швидкого перетворення Фур'е - пряме швидке перетворення Фур'е и обернене швидке перетворення Фур'е;
• частоти, яю вщповщають нерiвностям з довжиною менше 2,7 м, називаються вищими частотами, бшьшою довжиною - нижчими.
Програмною основою для проведення мате-матичних розрахунюв вибираеться математич-на система матричного моделювання Matlab
[3].
Перетворення воображения осiдання
на стрiчцi вагона-колieвимiрника у цифровий вигляд у виглядi вектора
При виконанш перетворення у цифровий вигляд здшснюеться сканування стрiчки при роздшьнш здатностi 301 dpi. Такий вибiр розд> льно! здатностi пояснюеться забезпеченням не-обхiдноi точностi перетворення у цифровий вигляд (середня товщина лiнii становить 4... 5 пiкселiв), а також вкладенням у довжину бази 2,7 м цшо! кiлькостi пiкселiв (15,998 «16 тксе-лiв) для спрощення розрахункiв.
Знаходження вертикальноТ нерiвностi
В основi розрахунку лежить забезпечення виконання рiвняння
у (x) - у (x - L) -
[УХ+L) -y(x) +y((x-L)+Lв)-y(x^) ]|=/ (x),(3) де y(x) - функцiя вертикально! нерiвностi залiз-
нично! коли; L - довжина бази Bi3Ka вагона-колieвимiрника, L = 2,7 м; L в - довжина бази ваroна-колieвимiрника, L в = 24 м; f(x) - функ-цiя, що вщображае осiдання на стрiчцi вагона-колieвимiрника.
Як видно з формули (3), третя складова е порiвняно невеликою (до 10 %), тому для спрощення розрахунку враховуються тiльки двi перших складовi:
У (x) - y (x - L) = f (x). (4)
Пояснення рiвняння (4) показано на рис. 2.
1
N
X ( k ) = Х x ( n)
- i 2n ( k-1) I — I ■e 1 N j ; 1 < k < N ; (5)
- для оберненого швидкого перетворення Фур'е
N
:(n) = £ X ( k ) • e
i2n(k-1)I
; 1 < n < N, (6)
n=1
1 N
x(n) =—Va(k)cos
Nk=1
( n-1
2n-(k -1)
N
\
I n-1 >
+b(k)sin 2n-(k-1)
, N
1< n < N, (7)
Рис. 2. Розрахункова схема
Вертикальна нерiвнiсть знаходиться двома способами: за допомогою тригонометричних рядiв Фур'е та чисельним способом розрахунку.
Знаходження вертикально!" HepÏBHOCTÏ за допомогою тригонометричних рядiв Фур'е
В основi швидкого перетворення Фур'е лежать залежиосп:
- для прямого швидкого перетворення Фур'е
де a (к) = Re(X (k)), b (k) = -Im(X (k)) .
Номер елемента к у векторi X (к) пропор-цiйний частотi. Спочатку здшснюеться пряме швидке перетворення Фур'е отримано! оцiнки осiдання у числовому вигляд^ Далi, маючи оцi-нку осщання у виглядi суми синусо!д, знаходиться розв'язок рiвняння (4) для окремого члена тригонометричного ряду. Умова (4) для n-го члена ряду мае вигляд
a 1 cos (bx) + a 2 sin (bx) - a 1 cos (b (x - L)) --a 2sin (b (x - L) ) = A cos (bx) + B sin (bx), (8)
де А i В вщповщають членам тригонометрично-го ряду, отриманого прямим швидким перетво-ренням Фур'е iз функци осщань /(x); a 1 i a 2 -члени тригонометричного ряду вертикально! нерiвностi y(x).
Для знаходження a 1 i a 2 використовуеться метод невизначених коефiцiентiв, тобто запи-суеться умова (3) при x = 0 i x = п/2:
- при x = 0
a 1 - a 1 cos (bL) - a 2 sin (bL) = A ; (9)
- при x = n / 2
a 1 cos (0,5bp) + a 2 sin (0,5bp) -
-a 1 cos (b (0,5p - L)) - a 2 sin (b (0,5p - L)) = = A cos(0,5bp) + B sin(0,5bp). (10)
Отримаш два рiвняння розв'язуються сумю-но вiдносно a 1 та a 2, i розв'язок мае вигляд
a, = 0,5
де x ( n) - вектор, елементами якого е значення виразу на iнтервалi 1 < n < N, для якого потрiб-но здшснити пряме швидке перетворення Фур'е; x (n) - вектор, елементами якого е комплексш числа, дшсна i уявна частина яких вщповщае коефщентам a (k) i b (k) в оберне-ному швидкому перетвореннi Фур'е, розписа-ному, коли x ( n) дорiвнюе
- B + A sin (bL) - B cos (bL) sin (bL)
a 2 = 0,5
A + A cos (bL) + B sin (bL) sin (bL)
(11)
(12)
Дал^ маючи розв'язок для загального члена тригонометричного ряду, формули (11) i (12) застосовуються для ушх члешв, а шсля цього для знаходження вертикально! нерiвностi здш-снюеться обернене швидке перетворення Фур'е.
n=1
Даш для практичного розрахунку взято зi дань тсля перетворення у цифровий вигляд для с^чки, що вщповщае дiлянцi стиково! коли право! нитки показана на рис. 3. Оцшка осщань довжиною 585 м для двох ниток. Оцшка ос> для лiво! нитки показана на рис.4
□ 1□□ 200 300 400 500 600
Ввдстэыь, м
Рис. 3. Оцшка освдань для право!' нитки
Рис. 4. Оцшка оадань для л1во! нитки
Зпдно з прийнятим припущенням нерiвнос-т з довжиною меншою 2,7 м вщкидаються. Не-рiвностi вiдкидаються фшьтращею вiдповiдних частот. Внаслiдок вiдкидання вищих частот утворюеться певна похибка. Для отримання графiкiв похибки використовуеться залежшсть (4). Похибка для право! нитки показана на схемi рис. 5, похибка для лiво! нитки - на схемi рис. 6. 1з графiкiв похибок видно, що максима-льнi похибки становлять 7 % для право! нитки i 10 % для лiво!, що значно менше похибки вихь дних даних. Вщносна середньоквадратична похибка становить 2 % для право! нитки i 3 % для лiво!.
Для остаточно! перевiрки знаходимо розра-хунковий перекiс (рис. 7) через рiзницю осiдань i порiвнюеться з вимiряними за даними (рис. 8). При визначенш похибки у знаходженш перекосу розрахунковим способом слщ врахувати такi фактори:
• лшп осiдань на стрiчцi у зонах стиюв ма-
ють вигляд рiзких стрибкiв, у яких ширина запису в тку рiвна товщинi лши. Це озна-чае, що точнють визначення положення ш-кiв рiзко залежить вiд графiчно! точностi запису. Похибка визначення розмщення р> зких осщань (розмщення стиюв) виявляе себе при обчисленш розрахункового перекосу, що показано на рис. 9 - у складi гра-фша похибки iснуе ряд рiзких стрибюв; • графiк розбiжностi розрахункового та вимь ряного перекосiв (рис. 9) мае дещо викрив-лений вигляд - це наслщок приведення графшв порiвняно незначно! довжини до центральних осей.
1з врахуванням цих факторiв можна вважа-ти, що максимальна похибка (без врахування стикових зон та похибки центрування) стано-вить 20-30 %, а вщносна середньоквадратич-на - 8 %.
Ввдстэнь, м
Рис. 6. Похибка для л ¡во!' нитки
Рис. 7. Розрахунковий перекос
□ 100 200 300 400 500 600
Ввдстань, м Рис. 8. Вим1ряний перек1с
Рис. 9. Розб1жшсть мгж розрахунковим та вим1ряним перекосом
Знаходження виду вертикально!' нерiвностi за допомогою чисельного способу
При використанш чисельного способу знаходження вертикально! нерiвностi заздалегiдь приймаеться, що оцiнка осiдання поза межами дослщжуваного iнтервалу рiвна нулю. На рис. 10 показана розрахункова схема.
Рiвняння (4) у дискретному виглядi можна переписати так:
Уi - Уг-М = /г ,
(13)
де уг - значення вертикально! нерiвностi в де-якiй i-й точцi;
/г - значення оцшки осiдання в >й точцi; Записуючи рiвняння (13) для кожно! точки на усьому дослщжуваному iнтервалi, одержимо систему рiвнянь
У 0 — у-16 = /0, У 1 - У -15 = /Х,
У 2 - У-14 = /2 , (14)
Уп У п-16 = /п.
Зпдно з ранiше прийнятим припущенням вертикальна нерiвнiсть для точок з вщ'емними
iндексами (рис. 10) рiвна нулю. Тому систему (14) можна записати так:
У 0 = / o,
У16 = /1б, У 17 - У 1 = /17 ,
У п - У п-16 = /п.
(15)
Знаходячи в кожному рiвняннi вертикальну нерiвнiсть, система (15) записуеться у виглядi:
У 0 = / o,
У16 = /16, У 17 = /17 - У 1,
У п /'п У п-16.
(16)
Таким чином, цей шдхщ, на вiдмiну вiд по-переднього, дае можливiсть безпосередньо отримувати вертикальну нерiвнiсть. Результати знаходження вертикально! нерiвностi чисель-ним i тригонометричним способами з велкою точнiстю збпаються.
■ \ ■ \ Л Л Л"I ' I
- 1 3 I 4 I-
23 2 I 251 -6У X)
-Ц-1 I
Рис. 10. Розрахункова схема для чисельного методу
1
Висновок
У цш робот було з прийнятною точнiстю знайдено вертикальну нерiвнiсть колiï в залеж-ностi вщ вимiрiв вагона-колiевимiрника. Маючи вертикальш нерiвностi по обох рейкових нитках, обчислено розрахунковий переюс та порiвняно його з вимiряним.
Однак перед використанням отриманих ре-зультатiв у динамiчних моделях взаемодiï колiï та рухомого складу потрiбно ще з'ясувати ряд додаткових питань:
• врахувати припущення про вщносшсть ви-мiрiв вiдносно кузова вагона, введене у фо-рмулi (4);
• на стрiчцi вагона-колiевимiрювача фшсу-ються осщання i перекоси. З кожного iз цих видiв запису може бути знайдена вертикальна нерiвнiсть з рiзною точнiстю для рiз-них вцщв нерiвностей. Тому виникае пи-тання знаходження остаточного виду вер-тикальноï нерiвностi, у якiй було б врахо-вано як осщанш, так i перекiс. Для виршення цiеï поблеми можна поставити таю завдання:
- збiльшити точнiсть знаходження вертикально!' нерiвностi через осщання за рахунок врахування вищих частот;
- з'ясувати яю типи нерiвностей краще вра-ховуе осщання, а якi перекоси; • знайдена будь-яким способом вертикальна нерiвнiсть мютить складовi прогину вiд ди-намiчно! взаемодi! колi! з вагоном-колiе-вимiрником, залежить вiд модуля пружнос-тi колi! та наявностi люфив мiж шпалою та баластом, зазорiв мiж рейкою та шпалою. Тому перед виршенням прямо! задачi -знаходженням зусиль та прогину в залеж-ност вiд вертикально! нерiвностi та будь-якого рухомого складу, потрiбно вирiшити обернену задачу - знайти реальну вертикальну нерiвнiсть в залежносп вiд прогину та заданого рухомого складу, яким е вагон-колiевимiрник.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Способ измерения геометрических характеристик пути. О. П. Ершков, М. Г. Зак, О. Г. Денисенко и др. - М.: АС 1749330 А1 // Сборник ЦНИИТЭИ. -1971. - № 10. - С. 28.
2. Техшчш вказ1вки до розшифрування запиав кол1евим1рювальних вагошв / Щд ред. В. Сушкова. -К.: Транспорт Украши, 1997.
3. Дьяконов В. Г. МаИаЪ: Учебный курс. - СПб.: Питер-пресс, 2001.
