Начальные регрессионные статистические характеристики интервалов между нулями случайных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. ВсШИС Электрон, журн. 2014. № 9. С. 132-147. '

БОГ 10.7463/0914.0726720

Представлена в редакцию: 07.09.2014

Сетевое научное издание

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 621.396.96

Начальные регрессионные статистические характеристики интервалов между нулями случайных процессов

профессор, Д.Т.Н. Хохлов В. К.1'* *:ЫюШоу20 10gvandex.ru

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В статье исследованы зависимости коэффициентов начальной регрессии (КНР) длительностей интервалов между нулями узкополосного стационарного в широком смысле случайного процесса с его энергетическим спектром. Показано, что в качестве информативного параметра, характеризующего корреляционные свойства и связанную с ними относительную ширину полосы, может быть использован начальный коэффициент регрессии интервалов между нулями. Величина КНР инвариантна к средней частоте энергетического спектра процесса и его дисперсии. Установленные свойства КНР обусловливают возможность его использования при реализации временных регрессионных способов обработки процессов в автономных информационных системах ближней локации.

Ключевые слова: коэффициент начальной регрессии, относительная ширина полосы, энергетический спектр, узкополосный случайный процесс

Введение

В автономных информационных системах (АИС) ближней локации (БЛ), решающих задачи обнаружения и распознавания сигналов, анализируемые информативные параметры сигналов часто являются нецентрированными случайными величинами или процессами на ограниченном интервале наблюдения, для которых априорно не известны математические ожидания, оценка последних часто не представляется возможной из-за высокого быстродействия систем. Динамический диапазон изменения частотных и временных параметров сигналов может лежать в пределах 40 - 60 дБ, поэтому в большинстве случаев, когда анализируемые параметры нецентрированы, в системах БЛ невозможно проведение ковариационных оценок. В [1], с учетом специфики АИС, обоснованы регрессионные алгоритмы обработки нецентрированных параметров сигналов и помех, использующие в качестве априорной информации начальные моменты случайных параметров сигналов. Известны работы, посвященные использованию интервалов между нулями случайных процессов для решения задач оценок параметров случайных процессов.

Наука йОбразо

МГТУ им. Н.Э. Баумана

В [2] исследуются распределения вероятностей интервалов между нулями случайных процессов для получения сведений о случайном процессе. В [3] анализируются гистограммы распределения интервалов между нулями для оценки частоты синусоидального сигнала на фоне шума. Актуальными являются вопросы обнаружения и распознавания случайных процессов в АИС БЛ.

Постановка задачи

При реализации нейросетевых и регрессионных алгоритмов в ближней локации в качестве априорной информации используется информация о статистической структуре сигналов и помех, получаемая путем экспериментальных и теоретических исследований. При этом при дискретизации процессов задача решается в рамках корреляционной теории. Дискретизации могут подвергаться и нестационарные реализации в предположении, что спектр каждой выборочной реализации х(?) ограничен частотой / . Тогда при

разложении нестационарных реализации по ортогональным координатам целесообразно воспользоваться векторными представлениями, связанными с понятием случайного вектора.

'О

Пусть X =

и-мерный случайный вектор, заданный вектором

V Хп у

средних ц =

и положительно определенной ковариационной матрицей

vИn у

(С С Л

С11 С 1п

с =

С

V Сп1

С

; С* = м Кх -и ~ик)].

пп У

Обозначим

К

К11

V Кп1

к1п Л

Кпп У

матрицу начальных корреляционных моментов,

где КЛ = С + ИИ , а Я = С-1 и Л = К-1 матрицы, обратные матрицам ковариационных и корреляционных моментов, - соответственно.

Расчленим вектор X на два подвектора так, что

X =

и обозначим:

Ъп = м

х(1)"

х(2) _

х(1)х(1)Т

Ц

(1)

(2)

^22 = М

х(2) х(2)Т

= М

х(1) х(2)

^ = М

х(2^х(1)

где индекс Т вверху означает транспортирование. Обозначим

£ =

'11

12

^21 £22,

блочную матрицу начальных моментов подвекторов х(1) и х(2) .При симметричной матрице К матрица £ — симметричная, т. е. £12 = £21.

Произведем невырожденное преобразование подвектора х(2)

XX(1) = вх(2)

так, чтобы остаточная сумма квадратов

¥¥ = М

{х^- Вх(2 №-ВхП2 )т ]

была минимальной. Дифференцируя остаточную сумму квадратов ¥ ¥ по В и,

приравнивая ее нулю, получаем

В = Е„Г

12£ 22>

(1)

где Е-1 - есть матрица, обратная матрице £22.

Матрицу В назовем матрицей начальных коэффициентов регрессии. В отличие от регрессии, известной из математической статистики, матрица В определяется в конечном счете через матрицу корреляционных моментов К, а не через ковариационную матрицу С.

Очень часто при реализации регрессионных систем в качестве априорной информации используются множественные начальные регрессионные представления одного нецентрированного отсчета случайной функции х на {п -1) остальных, т. е. используется линейное преобразование вида [1]

х = Е А

гкХк .

к=1 к Фг

В такой постановке задачи для положительно определенной матрицы К из (1) следует, что коэффициенты начальной регрессии (КНР) будут иметь вид

А = -Лк

Ак Л,.,. '

(2)

где Л ш, Л й — элементы матрицы Л.

Рассмотрим частную начальную регрессию между двумя отсчетами случайной функции х1 и х2 со среднеквадратическими отклонениями а 1 и а2, математическими ожиданиями / и / коэффициентом взаимной корреляции г. Матрицы моментов будут иметь вид

С =

Г гт2

а,

V Га1а2

га 1а 2

а

* = {1 - г2)

2

а,

_-2

- г{а1а2 )

- г(а1а2)

_-2

-Л

а

2

т

т

1

2

к

Г^2 V К21

К

12

2

2 У

л= (ч>?ч>2 - К]2)

%2 V -К21

-К

л

12

2

Т1 У

где ¥2 среднее значение квадрата случайной величины х . Рассмотрим начальную регрессию

Х1 = В12Х2 .

На основании равенств (1) и (2)

#12 = ^

Л

22 =

12

К12 _ °1°2Г + И1И2

Л„

'12 ¥1

&2 + ^

В =

В21 ^ 2

(4)

На основании (1) и (2) остаточное среднее значение квадрата случайной величины х1

к2

ХТ/2 _ ХТ/2 _ К12 _ \и2

Т10 Т1 ,2 Т1

Ф2

г г2 ^

1 -4^

Т1 т2 У

V

0 0 0

Если х - центрированные случайные величины, т. е. цх= ¡л2= 0, то Х1 = Ви Х2, тогда

0

коэффициент линейного преобразования центрированных случайных величин В, который в математической статистике называется частным коэффициентом регрессии:

о,

В п = г-1. о

Тогда

Х1 =^1 + В12 (Х2 ) . Остаточная дисперсия будет Д0 = о\ (1 - г2).

(5)

Выражения для центральных коэффициентов регрессии Вй, известных из математической статистики, получают из выражений для коэффициентов начальной регрессии Рш простой заменой начальных моментов центральными (2), (4) .

Из равенств (3) и (4) видно, что даже при отсутствии ковариации = тоо2 = 0 возможно предсказание одной случайной величины через другую с учетом детерминированной составляющей, тогда

_ И1И2 В12 = 2 , 2 . °2 +И2

Такое представление особенно полезно в системах ближней локации с учетом специфики подобных систем, когда принятие решения осуществляется в условиях неизвестных математических ожиданий на ограниченном интервале наблюдения и невозможно предсказание по равенству (5).

1

0

0

Обоснование начальных регрессионных статистических характеристик интервалов между нулями узкополосных стационарных случайных

процессов

Общая аналитическая зависимость входного сигнала без постоянной составляющей может быть представлена в виде

t

x(t) = E(t) cos[Jc( z)dz + ((t)],

0

где: E(t) - огибающая; c(t) - мгновенная частота; ((t) - случайная фаза.

Отметим, что в АИС информацию о мгновенной частоте и случайной фазе целесообразно получать в результате обработки интервалов между нулями входных реализаций. Для параметрических оценок в нелинейных регрессионных системах обнаружения и распознавания узкополосных случайных процессов необходимо установление зависимости коэффициентов начальной регрессии (КНР) параметров процесса от его основных характеристик, в частности от параметров энергетического спектра случайного процесса.

Исследуется связь КНР длительностей интервалов между нулями узкополосного стационарного в широком смысле случайного процесса с его энергетическим спектром.

Узкополосный стационарный в широком смысле случайный процесс на интервале принятии решения может быть представлен аналитической зависимостью

x(t) = E (t )cos[c01 - (p{t)],

где: E(t) - огибающая случайного процесса {x(t)}; (p(t) - случайная составляющая полной фазы процесса; ю0 - средняя частота энергетического спектра процесса.

Рассмотрим последовательные моменты времени t,t2,...,tk прохождения через нуль случайной реализации x(t) (рис.2.4). Количество нулей узкополосного случайного процесса {x(t)} совпадает с количеством нулей cos[c01 -((t)], поэтому, полагая

t2 - t1 = T1 , tk+1 - tk = Tk

получаем

CTk -[((tk+1 )-((tk )] = ^,

откуда

Tk = + +i )-((tk )]со-1.

Щ

Рис.1. Отрезок реализации узкополосного случайного процесса

Рассмотрим нецентрированные случайные величины:

0 0

Т1 =Т1 , =т. ,

где ¿ил и и - математические ожидания случайных величин. Для узкополосного стационарного случайного процесса

и = ит = —, (6)

»0

поэтому

Т = [р(гк+1 )-Р(гк ».

0 0

Ковариационный момент центрированных случайных величин Т1 и Т2 можно записать как

С (ц , т2) = ММ

Т1 ц2

\ ММ {[р (г, +Т1 ) - р (г,)] [р (г +Т1+Т2) -

»0

- Р(1 + Т1)]} = \мм [р^ + Т1 р^ + Т1 + Т2)- р^ + Т1 р^ + Т1)-»0

- Р(Ч )р(1 + Т1 + Т2 ) + Р(1 )р(1 + Т1 )] = ~гм [ Вр (1 ,Т1 )+

»0 р

+ вр^т )-вр(1,0)-вр(^,т1 +т2)], (7)

где Вр(г,т) - корреляционная функция случайной фазы процесса {х(?}}. (В (7) усреднение

осуществляется по случайной фазе и по случайному интервалу т между нулями стационарного случайного процесса.)

Для рассматриваемого стационарного процесса

Врь ,т) = Вр(т) (8)

и определение ковариации параметров ц и т2 сводится к вычислению суммы слагаемых вида М [Вр(т)]. Для непрерывных случайных величин можно записать

М [Вр(т)]=/ W (т)Бр(т^т, (9)

г

где Ж(т) - плотность распределения вероятностей случайной величины т .

Предполагая непрерывность и дифференцируемость корреляционной функции фазы

для процесса {х (г)} в окрестности ¿иТ= — , ее можно разложить в ряд

»0

0 т

Вр(Т)= вМ) + В'М)0 + впМУ-+ "

где В'(т) - первая производная по т в точке и = ■

—

»0

Ограничиваясь первыми двумя членами в разложении и подставляя Вр(т) в выражении (9), получаем

2

0

M[

Б,(г)]={w (г[в»в;U)r

dт =

Б, (д)| Ж (г)/г + Б, (Я )| Г (г)гг.

В уравнении (2.49) второе слагаемое равно нулю, поэтому

м [ядг)]=б, . (11)

Тогда с учетом выражений (6) и (11) выражение (7) для ковариационного момента параметров г1 и г2 приводим к виду

1

Ф1Г2 ) =

2Б„

ж

- Б.

\(о у

\(0

- Б, (о)

(12)

Аналогично можно получить выражение для ковариационного момента любых гх и

гк интервалов между нулями стационарного случайного процесса:

С (г, г ) = Л Ьв

(п

(, - к)

ж

- в„

(I - к +1)

ж

-в

(I - к -1)

ж

Дисперсию случайного параметра г определим из равенства (2.52) при ¡=к

„2 2 „г = —

Б,(0)-Б

( у

(13)

(14)

Тогда коэффициент начальной регрессии интервалов между нулями узкополосного случайного процесса на основании выражения (4) с учетом равенств (6), (13) и (14) будет иметь вид

С (г1,гк )+Ап Дг

Рц / гк / г1

2 , 2

= (2В„

(к -1)

ж

Б, (к - 2)ж + ж2}\2

_ (о _ 1

Б,(0 )-Б,

ж

\(о у

- В,

V (о у

+ ж2

(15)

Из уравнения (15) следует, что для нахождения ¡х необходимо определить корреляционную функцию Б, (г) при фиксированных значениях аргумента

г = Р —, р = 0,1,..., (к - 2), (к -1), к.

(

(16)

Выражение для В, (г) может быть получено в виде степенного ряда по г0 (г) [4, стр.463]

г (п+т 1

В,г)= Ш,-пШС2П .... (17)

1

где г1 п + — | - у - функция; г0 (т) - огибающая нормированного коэффициента

корреляции случайного процесса Причем

мо}; г02(т) = гс2(т) + г,2(т).

Ш / ш

Г(т)={(0)008(0 -»0)т»! |(»)»

0 V 0 У

ш ( ш Л 1

Г(т) = {(»^п» -»0)Т»! |(»)» ,

0 V 0 У

где £х(») - энергетический спектр случайного процесса {•(?)}.

При прямоугольном энергетическом спектре с шириной полосы А»

А»

Sx (») =

80 при »-»0 < 0 при |»-»0| >

2

А» 2

г (т) определяется выражением

Г0 (т)= ^

8Ш! Т-

А» тА»

т! "Г"

(18)

Если спектральная плотность случайного процесса аппроксимируется гауссоидой

(»-»0 )

5х (») = ^0еХР

В2

где В =

А»

то выражение для г0 (т) имеет вид

г0 (т) = ехР

А В2Т2Л

V 4 У

(19)

Обозначим относительную ширину энергетического спектра А» / »0 = а, тогда интересующие значения г(т) в соответствии с равенствами (18) и (19) получим в виде: для прямоугольного энергетического спектра

Г0 (т)= Г0

— р—

V »0 У

. ( —а |( —а

«-1р II р—а

для гауссова спектра

Г0 (т)= Г0

Г \ /

—

р— = ехр -

V »0 У V

4

а)

(20)

(21)

Коэффициентр определяется из равенства (16).

1

1

Из выражений (20) и (21) видно, что корреляционная функция случайной фазы (17), а, следовательно, и КНР длительностей интервалов между нулями (15) при значениях аргумента, определяемых уравнениями (16), для каждого из рассмотренных видов энергетических спектров являются функциями только относительной ширины полосы энергетического спектра а и не зависят от средней частоты со0.

В доплеровских системах ближней локации с узкими диаграммами направленности антенн приемо-передающего тракта относительная ширина полосы доплеровского сигнала, при прочих равных условиях, не зависит от относительной скорости, т. е. от средней частоты о0, а определяется пространственно-геометрическими свойствами объектов и параметрами приемопередающего тракта [1].

Вычислительный эксперимент

Вычислительный эксперимент проводился на ПК типа Intel L(R) Core™ Duo CPU E7300@2,66G^, 3,25 ОЗУ. По полученным зависимостям (15) и (17-19), проведены расчеты корреляционной функции фазы и КНР для гауссова и прямоугольного энергетических спектров случайных процессов с различными значениями относительной ширины полосы а . На рис.2 и рис. 3 приведены соответственно результаты расчета корреляционной функции фазы Вр{т) для стационарного случайного процесса с

гауссовым спектром и коэффициентов начальной регрессии (КНР) интервалов между нулями стационарных случайных процессов с прямоугольными и гауссовыми спектрами в зависимости от относительной ширины полосы.

Рис. 2. Зависимость корреляционной функции фазы стационарного случайного процесса от относительной ширины полосы гауссова энергетического спектра при различных сдвигах к между сечениями

Результаты расчета (рис.3) показывают, следующее:

1. КНР является убывающей функцией относительной ширины полосы

спектра узкополосного случайного процесса (для процессов с гауссовым спектром этот вывод подтвержден экспериментально);

2. удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных данных имеет место до значений а = 0,7...0,9 ;

3. влияние вида энергетического спектра на величину КНР незначительно, это свойство анализируемого параметра подтверждается сравнением расчетных зависимостей Д. /т (а) для процессов с прямоугольным и гауссовым спектрами.

а б

Рис.3. Зависимость коэффициента начальной регрессии интервалов между нулями стационарного процесса от относительной ширины полосы а гауссова энергетического спектра (а) и прямоугольного

энергетического спектра (б)

Таким образом, в качестве информативного параметра, характеризующего корреляционные свойства и связанную с ними относительную ширину полосы, может быть использован начальный коэффициент регрессии интервалов между нулями. Величина КНР (а) инвариантна к средней частоте энергетического спектра процесса

и его дисперсии. Установленные свойства КНР Дт1т (а) обусловливают возможность его

использования в качестве априорной информации при реализации временных регрессионных способов обработки сигналов [1], инвариантных к средней частоте и дисперсии входных реализаций.

Используя длительности интервалов между нулями, можно оценить среднюю частоту энергетического спектра стационарной входной реализации.

Оценка средней частоты энергетического спектра сигнала

Оценку средней частоты энергетического спектра случайного стационарного процесса на интервале принятия решения возможно осуществить путем вычисления длительности интервала времени Т, соответствующего п-интервалам между нулями входной реализации сигнала, т. е.

2жп

®0 =— ■ (22) Представим относительную погрешность оценки среднего интервала Т в виде

Т-8?.

П '

/лт

тогда с учетом (6) и (4) дисперсия относительной погрешности

»В]

2

2 2 л П

в>)-в9

г \ пл

\®о у

Для малых значений погрешность оценки средней частоты 8 ®0 на основании (22) можно представить как 8° «Зтп, тогда дисперсия оценки средней частоты

энергетического спектра с относительной полосой а узкополосного случайного процесса запишется

2

2 2 л п

в>)-В

\®о У

(23)

При достаточно больших п величиной В

( \ пл

\®о у

в выражении (23) для сигналов с

относительной полосой энергетического спектра а > 0,1-0,2, по сравнению с Вр(в)- 3,28,

можно пренебречь (рис. 3).

Поэтому дисперсию относительной погрешности оценки средней частоты энергетического спектра можно представить в виде

Б

В ]

2 / ч 0,656 0|--В(0)-0-

2 2 л п

2

п

тогда среднеквадратическое отклонение относительной погрешности

0,81

«В ]

п

Следовательно, для широкополосных процессов (а > 0,1-0.2) относительная погрешность оценки средней частоты не зависит от относительной полосы частот при обработке п > 10 интервалов между нулями реализации процесса.

Заключение

В статье обоснованы начальные статистические характеристики интервалов между нулями реализаций случайных процессов, исследованы их свойства. Показано, что в качестве информативного параметра, характеризующего корреляционные свойства и связанную с ними относительную ширину полосы, может быть использован коэффициент начальной регрессии интервалов между нулями.

Полученные результаты могут быть использованы в АИС БЛ, решающих задачи обнаружения и распознавания сигналов, когда принятие решения осуществляется в условиях неизвестных математических ожиданий на ограниченном интервале наблюдения и невозможно предсказание параметров сигналов по центральным регрессионным зависимостям.

э

Научная новизна

В разделе регрессионный анализ классической теории математической статистики [5] рассматриваются регрессионные зависимости центрированных случайных параметров при известных математических ожиданиях. В современных работах [6-10], посвященных регрессионным методам оценивания статистических зависимостей, также рассматриваются центрированные информативные параметры сигналов. В статье обоснованы начальные регрессионные статистические характеристики интервалов между нулями реализаций случайных процессов, исследованы их свойства. Показано, что начальные регрессионные статистические характеристики интервалов между нулями стационарных случайных процессов при неизвестных математических ожиданиях несут информацию об относительной ширине энергетического спектра входных реализаций и инвариантны к средней частоте спектра. Такие характеристики могут быть использованы в АИС БЛ, при ограниченных интервалах наблюдения сигналов, когда невозможно с достаточной точностью оценить математические ожидания.

Статья выполнена в рамках проекта № 1776 по заданию №8.1776.2014/К на выполнение научно-исследовательской работы в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности Минобрнауки России, а также в рамках проекта №1543, задания №2014/104 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России.

Список литературы

1. Автономные информационные и управляющие системы. В 4 т. Т. 1. Труды кафедры «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им. Н.Э. Баумана / под ред. А.Б. Борзова. М.: ООО НИЦ « Инженер», ООО «Онико-М», 2011. 468 с.

2. Baykut S., Akgul T. Zero-crossing characteristics of intrinsinc Mode Functions for fractional Gaussian noise // 2011 IEEE 19th Conference on Signal Processing and Communications Applications (SIU). IEEE, 2011. P. 1008-1011. DOI: 10.1109/SIU.2011.5929824

3. Grillo D., Pasquino N., Angrisani L., Schiano Lo Moriello R. An efficient extension of the zero-crossing technique to measure frequency of noisy signals // 2012 IEEE International Instrumentation and Measurement Technology Conference (I2MTC). IEEE, 2012. P. 27062709. DOI: 10.1109/I2MTC.2012.6229703

4. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В 3 т. Т. 1. Теория случайных процессов. М.: Советское радио, 1974. 552 с.

5. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 2012. 736 с. [Draper N.R., Smith H. Applied Regression Analysis. 3rd ed. John Wiley & Sons, Inc., 1998. 736 p.].

6. Xueqian Liu, Hongyi Yu. Support vector regression-based robust frequency estimation algorithm by instantaneous phase // IET Communications. 2014. Vol. 8, iss. 2. P. 250-257. DOI: 10.1049/iet-com.2013.0589

7. Kirshner H., Unser M., Ward J.P. On the Unique Identification of Continuous-Time Autoregressive Models from Sampled Data // IEEE Transactions on Signal Processing. 2014. Vol. 62, iss. 6. P. 1361-1376. DOI: 10.1109/TSP.2013.2296879

8. Nguyen H.D., McLachlan G.J. Asymptotic inference for hidden process regression models // 2014 IEEE Workshop on Statistical Signal Processing (SSP). IEEE, 2014. P. 256-259. DOI: 10.1109/SSP.2014.6884624

9. Fedorov A.V., Omelchenko A.V. Designing a polynomial regression experiment at researching into decision rules of signal recognition by modeling // 2013 IEEE 7th International Conference on Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing Systems (IDAACS). Vol. 1. IEEE, 2013. P. 124-128. DOI: 10.1109/IDAACS.2013.6662654

10. Kheirati Roonizi E. A New Algorithm for Fitting a Gaussian Function Riding on the Polynomial Background // IEEE Signal Processing Letters. 2013. Vol. 20, iss. 11. P. 1062-1065. DOI: 10.1109/LSP.2013.2280577

Science ^Education

of the Bauman MSTU

Science and Education of the Bauman MSTU, 2014,. no. 9, pp. 132-147.

DOI: 10.7463/0914.0726720

Received:

07.09.2014

ISSN 1994-0448

© Bauman Moscow State Technical Unversity

The Initial Regression Statistical Characteristics of Intervals Between Zeros of Random Processes

V.K. Hohlov

1,*

khokhlov201 QSyandex.ru :Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: relative width of the band, energy spectrum, coefficient initial regression, narrow-band

random process

The article substantiates the initial regression statistical characteristics of intervals between zeros of realizing random processes, studies their properties allowing the use these features in the autonomous information systems (AIS) of near location (NL). Coefficients of the initial regression (CIR) to minimize the residual sum of squares of multiple initial regression views are justified on the basis of vector representations associated with a random vector notion of analyzed signal parameters. It is shown that even with no covariance-based private CIR it is possible to predict one random variable through another with respect to the deterministic components. The paper studies dependences of CIR interval sizes between zeros of the narrowband stationary in wide-sense random process with its energy spectrum. Particular CIR for random processes with Gaussian and rectangular energy spectra are obtained. It is shown that the considered CIRs do not depend on the average frequency of spectra, are determined by the relative bandwidth of the energy spectra, and weakly depend on the type of spectrum. CIR properties enable its use as an informative parameter when implementing temporary regression methods of signal processing, invariant to the average rate and variance of the input implementations. We consider estimates of the average energy spectrum frequency of the random stationary process by calculating the length of the time interval corresponding to the specified number of intervals between zeros. It is shown that the relative variance in estimation of the average energy spectrum frequency of stationary random process with increasing relative bandwidth ceases to depend on the last process implementation in processing above ten intervals between zeros. The obtained results can be used in the AIS NL to solve the tasks of detection and signal recognition, when a decision is made in conditions of unknown mathematical expectations on a limited observation interval and there cannot be prediction of signal parameters for the known (Central) regression dependencies.

References

1. Borzov A.B., ed. Avtonomnye informatsionnye i upravliaiushchie sistemy. V 4 t. T.1. Trudy kafedry "Avtonomnye informatsionnye i upravliaiushchie sistemy"MGTUim. N.E. Baumana [Autonomous information and management systems. In 4 vols. Vol. 1. Proceedings of the Department "Autonomous information and control systems" of the Bauman MSTU]. Moscow, NITs "Inzhener" Publ., "Oniko-M" Publ., 2011. 468 p. (in Russian).

2. Baykut S., Akgul T. Zero-crossing characteristics of intrinsinc Mode Functions for fractional Gaussian noise. 2011 IEEE 19th Conference on Signal Processing and Communications Applications (SIU). IEEE, 2011, pp. 1008-1011. DOI: 10.1109/SIU.2011.5929824

3. Grillo D., Pasquino N., Angrisani L., Schiano Lo Moriello R. An efficient extension of the zero-crossing technique to measure frequency of noisy signals. 2012 IEEE International Instrumentation and Measurement Technology Conference (I2MTC). IEEE, 2012, pp. 27062709. DOI: 10.1109/I2MTC.2012.6229703

4. Levin B.R. Teoreticheskie osnovy statisticheskoi radio—tekhniki. V 3 t. T. 1. Teoriia sluchainykh protsessov [Theoretical basis of statistical radio engineering. In 3 vols. Vol. 1. Theory of stochastic processes]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1974. 552 p. (in Russian).

rd

5. Draper N.R., Smith H. Applied Regression Analysis. 3 ed. John Wiley and Sons, Inc., 1998. 736 p. (Russ. ed.: Draper N.R., Smith H. Prikladnoi regressionnyi analiz. Moscow, Finansy i statistika Publ., 2012. 736 p.).

6. Xueqian Liu, Hongyi Yu. Support vector regression-based robust frequency estimation algorithm by instantaneous phase. IET Communications, 2014, vol. 8, iss. 2, pp. 250-257. DOI: 10.1049/iet-com.2013.0589

7. Kirshner H., Unser M., Ward J.P. On the Unique Identification of Continuous-Time Autoregressive Models from Sampled Data. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, vol. 62, iss. 6, pp. 1361-1376. DOI: 10.1109/TSP.2013.2296879

8. Nguyen H.D., McLachlan G.J. Asymptotic inference for hidden process regression models. 2014 IEEE Workshop on Statistical Signal Processing (SSP). IEEE, 2014, pp. 256-259. DOI: 10.1109/SSP.2014.6884624

9. Fedorov A.V., Omelchenko A.V. Designing a polynomial regression experiment at researching into decision rules of signal recognition by modeling. 2013 IEEE 7th International Conference on Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing Systems (IDAACS), Vol. 1. IEEE, 2013, pp. 124-128. DOI: 10.1109/IDAACS.2013.6662654

10. Kheirati Roonizi E. A New Algorithm for Fitting a Gaussian Function Riding on the Polynomial Background. IEEE Signal Processing Letters, 2013, vol. 20, iss. 11, pp. 1062-1065. DOI: 10.1109/LSP.2013.2280577