Начальные представления о ветви дробного анализа порядка 3/2 Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика и механика. Физика

УДК 517.3

НАЧАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ВЕТВИ ДРОБНОГО АНАЛИЗА ПОРЯДКА 3/2

В.А. Чуриков, В.М. Шахматов

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Даны начальные представления о ветви дробного анализа порядка 3/2. Рассмотрены экспоненты, тригонометрические и гиперболические функции в дробном анализе порядка 3/2.

Ключевые слова:

Ветвь дробного анализа порядка 3/2, элементарные функции ветви порядка 3/2. Key words:

Fractional analysis branch of 3/2 power, elementary functions of the branch or 3/2 power.

В работе [1] была рассмотрена ветвь порядка 1/2 как модельная ветвь дробного анализа для порядков меньше единицы. Рассмотрим модельную ветвь рационального порядка больше единицы, но меньше двух. В этом случае удобно выбрать ветвь порядка 3/2.

Дробностепенные ряды с шагом 3/2 для данной ветви можно записать как

I

зи/2 1 = x1/2 + a |Х2 + a2 xin + a3 x5 +...

+an-1x3(n-1)/ 2-1 + anx3n/2-1 +...

exp,/2 x = I

x x _+-+ _

n=

x5 x13/2 +-+

1 Г(3и /2) Г(3 / 2) Г(3) Г(9 / 2)

x x - +-+

19/2 x11

+-+...

элементы ряда, получим

x5 27 x13/2 x8 210 x19/2 x11

exp3/2 x =--+

r + — +

5! 13!!^ 8! 19!!л/Л 11!

+... =

Г 2x1/2 24 x7/2

27 x13/2 210 x19'2 ^

4n 7!!yfn UU-Jn 19!!^"

x x x x +1 — + — + — + -

m=0

x % ' x

(3m + 2)! _I(3n-1)!

x2 x5 x8 x11 = 2! + 5! + 8! + 11! + "'

£3/2x = I

^3m+1 x 3m+1/2

= I

23n- 2 x3n-5/2

(6m + 1)!!л/П И=1(6и - 5)!!\fn

2x1/2 24 x7/2 27 x13/2 210 x19'2 - +-= +-= + -

7!!.4п 13!!л/П 19!!Vn"

2x1/

у/Л

,, 23 x3 26 x6 29 x9 23 mx3m )

x| 1 +-+-+-+ ... +-+ ... 1 =

7!! 13!! 19!! (6m +1)!! J

2x1'2 Гц 23mx3m

Ряд частной экспоненты ехр3/2х можно получить как частный случай дробного порядка 5=3/2 дробной экспоненты ехрх [2]

Г(6) Г(15/2) Г(9) Г(21/2) Г(12) Расписав гамма-функцию и перегруппировав

. .

^ 2! 5! 8! 11!

Экспоненту ехр^ можно представить как сумму двух функций - экспоненты третьего порядка ехр3х и функции 4/Л которую можно отнести к отдельному типу элементарных функций дробного анализа ехр3/2 х = £3/2х + ехр3 х,

exP3 x = I

уП IШ=0(6ш +1)!!/

Эти две функции при дробном дифференцировании порядка 3/2 циклически переходят друг в друга

ё-3/2х: ехр3/2 х = ё~3/2х(£3/2х + ехр3 х) = = ехр3 х + £3/2 х, ё~3/2х: £3/2х = ехр3 х, ё~3/2х: ехр3 х = £3/2х.

Для дифференцирования и интегрирования справедливы следующие соотношения

ё~3/2х: ехр3/2 х = ехр3/2 х, ё3/2х: ехр3/2 х = ехр3/2 х + С3/2 (х).

Если аргумент экспоненты умножается на константу Я, то будут справедливы более общие формулы

ё-3/2х: ехр3/2(Ях) = Я3'2 ехр3/2(Ях), ё3/2 х: ехр3/2(Ях) = Я~3'2 ехр3/2(Ях) + С3/2(х).

Данные формулы можно обобщить на любые функции /(Ях), Я=сош1, которые выражаются через дробностепенные ряды

ё-ъпх: /(Ях) = Я3'2 f (Ях), ё 3/2х: f (Ях) = Я~3/ 2 / (Ях) + С3/2( х).

Здесь приведён полином интегрирования С3/2(х) порядка 3/2, который выражается через ряд [2]

С3/2( x) = I

anx

= a1 x1'2 + a2x 1/2 + a3x 3/2 + a4x 5/2 +

a„=const.

и=1

и=1

Известия Томского политехнического университета. 2009. Т. 315. № 2

Через экспоненту ехр3/2х легко получить некоторые важные элементарные функции для ветви дробного анализа 3/2. Это гиперболические и тригонометрические функции порядка 3/2 на основе соотношений, введённых в [2].

Для гиперболического синуса бЦ^х и косинуса еИ3/2х порядка 3/2 получим соотношения

сЬз/2х = |(ехРз/2(х) + ехРз/2( - х)) =

Полиномы порядка 3/2 степени n можно выразить

P(3/2)|n (Х) = ^ aiX ( ) ' 1=0

ai — const, n — 0,1, 2,3..., n < ю. Или, расписав подробно,

P(3/2)|n (x) = a0 x1/2 + OjX2 + a2 x7/2 + a3x5 +...

+a . x3(n—1)/2—1 + ax'n/2—1

n—1 n

=сЬ3 X + -(^3/2( х) +^3/2( - х)),

Sh3/2Х = -2(eXРз/2(Х) - ^3/2 (-Х)) = = ^3Х + "2(^3/2(Х) -^3/2(-Х))-

Для тригонометрического синуса зт3/2х и косинуса еоз3/2х порядка 3/2 получим

COS3/2 Х = ^(^3/2 ( Х + ^3/2( -х)) = = CoSз х + ^у^Х) + ^з/2 (-'х)),

Sin3/2 Х = (eXРз/2 0Х) - eXРз/2( -Х)) = 2г

= ^пз Х + :г(£з/20Х) + ^3/2 Нх))-

Другие гиперболические и тригонометрические функции, обозначения которых соответствуют общепринятым, только с нижним индексом 3/2 (который указывает на порядок ветви дробного анализа), будут выглядеть как

Ъ. sh 3/2 X 1 Л 3/2 X

thо/лХ — , х —

3/2 3/2

ch3/2 x

sh3/2 x

sch3/2x — —1—, csch3/2x — —1—,

3/2 1 ' 3/2 1 '

ch3/2 x sh3/2 x

= sin3/2 x = cos3/2x

tg3/2 x = , ctg3/2 x = ~ ,

= 1 = _1

sec3/2x — , cos ec3/2 x — _

ехРз/2(-x) ✓ ✓ eXp3/2 x if f

\ 1 /1 А \ / / 7 /

\ехр(-x) ехр xj l Лехр3 x / f ^3/2x/! jS

ехрз x\ Y\ *х \ X ✓ W / / ///ёхрз(-x)

ехр'(-x) \v-

£■'('- x)

-3 -2

Рис. 1. Экспоненты exp(-x), expx, exp3/2x, exp3/2(-x), exp3(-x), exp3x и функции %3/2x, E 3/2(-x) оси

cos x/"- \\ Z/coS3/2 x\ sin3/2

cos,, 2x

sin,,,, x

Рис. 2. Графики функций 51П3/2Х, С053/2Х, 51ПХ, С05Х оси

Для наглядности на рис. 1и2 приведены графики некоторых рассмотренных функций, а для сравнения даны некоторые функции традиционного анализа. На рис. 1 представлены графики функций ехр3/2х, ехр3х, ехр х, §3/2х, ехр3/2(-х), ехр3(-х), ехр(-х), §3/2(-х). На рис. 2 изображены графики функций зш1/2х, еоз1/2х, б^пх, собх.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чуриков В.А. Дробный анализ порядка 1/2 на основе подхода Адамара // Известия Томского политехнического университета. - 2008. - Т. 312. - № 2. - С. 21-23.

2. Чуриков В.А. Дробный анализ на основе оператора Адамара // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т. 312. - № 2. - С. 16-20.

Поступила 24.06.2009 г.