Дробный анализ порядка 1/2 на основе подхода Адамара Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.3

ДРОБНЫЙ АНАЛИЗ ПОРЯДКА 1/2 НА ОСНОВЕ ПОДХОДА АДАМАРА

В.А. Чуриков

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Рассмотрены экспоненты, тригонометрические и гиперболические функции в дробном анализе порядка 1/2. Даны графики рассматриваемых функций.

В качестве модели дробного анализа рассмотрим ветвь рационального дробного анализа, в котором порядки дифференцирования и интегрирования принимают значения равные 1/2. Данный анализ представляет одну из рациональных ветвей дробного анализа, рассматриваемого в работе [1].

Ряд частной экспоненты ехр1/2х можно получить как частный случай из дробной экспоненты

exP, х = £

1 Г(™):

для порядка 5=1/2.

Значения гамма-функций можно преобразовать, используя формулы Г(т+1)=т!, Г(т+1/2)=л/-(1.3.5...(2т-1))/2и, тогда для экспоненты ехру2х получим ряд

eXPl/2 х =£

+1+

2х

х

- + — +

1 Г(и/2) уП Л/Л 1!

22 х3/2

х2 23 х5/2 х3 + — +-= + — +■

24 х1П

1-з4п 2! 1-3-5>Л 3! 1-3-5 • 7уЩ

25 х9/2

х

+-+-7=

4! 1-3 - 5 - 7 - 9-Л

+...

Далее, перемножив числа в коэффициентах ряда, получим разложение в ряд

eXP1/2 х =

•Jn

+1+■

2 х1'

х 4 х3/2 х2

•>П ' 1! ' 3лЛ + 2! +

8 х5

х 16 х

г +-+

х4 32х + — +-

г+ ...

15-Л 3! \05-Jn 4! 945л/л

Переписав вместе члены ряда с целыми и с дробными порядками, получим

( х х2 х3 4 \

eXP 1/2 х =

Л х х х х 1+— + — + — + — 1! 2! 3! 4!

(х-1/2 2х' +

22 х3/2

23 х5/2

-П уП 1-3УП 1-3 - 5УП

24 х1П 25 х9 2

1-3 - 5 - 7лП 1-3 - 5 - 7 - 9лП

+...

^1/2 х =\ £

2"х"

-1(2« +1)!!

24 х3

1 „ 22 х 23 х2

- + 2 +-+-+ -

х 1-3 1-3 - 5 1-3 - 5 - 7

25 х4

- +... +-

2"х"

- +...

1-3 • 5 • 7 • 9 (2и +1)!!

Тогда экспоненту ехру2х, кратко можно записать как ехр1/2х=ехр х+4/х

Легко убедиться, что функцию можно получить из экспоненты ехр х, действуя на неё оператором дифференцирования д-1/2х:

д ~1/2х: ехр х=^1/2Х.

Тогда будет справедлива формула ехр1/2х=ехрх+д ~1/2х: ехрх=(1+д-1/2х)ехр х.

Производная порядка 1/2 от функции 4\рХ будет равна д _1/2х:41/2х=ехрх.

Оператор дифференцирования д ~1/2х должен переводить экспоненту ехр1/2х саму в себя. В этом можно легко убедиться почленным дифференцированием ряда:

д ~1/2х: ехр1/2х=ехр1/2х.

Производную порядка 1/2 от экспоненты ехр1/2х можно найти, используя форму ехр1/2х=ехрх+41/2х: д-1/2х: ехр1/2х=д ~1/2х: (ехр х+41/2х)=41/2х+ехр х=ехр1/2х.

Подействовав дважды оператором д-1/2х на экспоненту, ехр1/2х, получим опять экспоненту ехр1/2х: д ~1/2х: д-1/2х: ехр1/2х=ехр1/2х.

Легко проверить, что производная первого порядка от экспоненты ехр1/2х не переводит её в саму себя, т. е., д-1х:ехр1/2х^ехр1/2х.

Найдём производную д-1х: ехр1/2х. Вначале рассмотрим производную первого порядка д^х^х

d_1х: ^1/2(х) = -

2 х1'

23 х5/2

2\П 4n yfn 1 - 3 - 5УП

Г, 4 7/2

2 х

о 5 9/2

2 х

В первой части получается экспонента ехр х, а во второй части стоит ряд, который обозначим как функцию 41/2х.

Функцию 41/2х перепишем, выделив общий сомножитель тт~1/2х1/2

1-3 - 5 - 7-Л 1-3 - 5 - 7-9л/Л

Или окончательно получаем

d:^/2(х) = ll/2(х) -

+ ...

2л/Л

Это значит, что производная первого порядка d-X exp1/2x будет

+

Известия Томского политехнического университета. 2008. Т. 312. № 2

х-3/2 х-3/2

ё~1х: ехр1/2 х = ех +11/2 (х)--= ехр1/2 х---т=.

2л/ п 2у/ п

Аналогично можно получить формулы для высших производных целочисленного порядка

, 2 х-3/ 2 3х-5/ 2

а х: ехр1/2 х = ехр1/2 х -

d 3х: exp1/2 x = exp1/2 x -

22Jk

x-3/2 3x-5/ 2 3 • 5 x-7/2

2-Jñ 22yjñ 23

,-n ^ (-1)''(2i-1)!! - —1/2

d x :exp1/2 x = exp1/2 x + — )— . x

i=1 vn 2'

exp1/2 x

x-3/2 3x-5/2 3 • 5 x-1'2 3 • 5 • 7 x-9/2

2\fn 22~Jn 23y/n 24\fn

3 • 5 • 7 • 9 x" 25-[л

- +...

Расписав более подробно, получим

/ да n/9

d_1x: exp1/2 x = d^1x: I ^

-1 Г(п/2 +1)

d x: |1 + —+—+— +—... | + ^ 1! 2! 3! 4!

(x-1/2 2x1/2 22 x3'2 +—^ +-;= +

d 'x:

23 x5/2

1 34n 1 3 • 54л

24 x7/2

25 x9/2

13 • 5 • 7л/П 1 3 • 5 • 7 • 94п

+...

exp1/2(-x) = £

(-x)"

1 Г(п/2 +1) nt- Г(п/2 +1)

=x-

=z

'nxn/2

1 Г(п/2 +1)

(-x)-

Jn

-+1+

x 4( - x)3/2 x2 ---+ —-+-+

2(-x)1' i \¡n 1! 3\¡ñ

2!

8(-x)5

x3 16( - x)"2 x4 32( - x)9'2

---+—1—т= + — +—1—т= +... =

\5*Jñ 3! 105^ 4! 945 Jñ

'x-m л 2'x1/2 - +1 +

x 4'x3/2 x2 8'x5'2

*Jn

4n 1! 3-Jn 2! 15>/П

x 16'x

x4 32'x

3! 1057П 4! 945-у/П

+... =

' , 2'x

Г+ 1 +

x 4'x x x2 8'x1/2 x2 -+—+ -

•Jxñ 4n 1! Ъ-Jn 2! 15л/П

x3 16'x1/2 x3 x4 32'x1/2 x4

3! 105Vn 4! 945л/П

■ +...

^ (ix)n/2 (ix)-112 2(ix)1/ 2 exp1/2 ix = ^——-= ,_ +1 + +

-11Г (n/2 +1) 4П

4П

ix 22(ix)3/2 x2 23 (ix)5/2 ix3 24 (ix)7/2

+ —+—---+— .—--+- .—+

1! 1 3sjn 2! Ь3 • Wn 3! Ь3 • 5 • 7-Jn

x4 25(/x)9/2 x-1/2 ,

+-+-—-T= + ... = ... ,— + 1 +

2/1/2 x1/2

4! 1 3 • 5 • 7 • 9yfn

2\[ñ yfn

ix 22 ii1/2x3/2 x2 23 imx512 ix

+— +

1! 1 3s[ñ 2! 1 3 • 5s[ñ 3!

24ii1/2x7'2 x4 25 ii1'2 x9'2

r +-+-;= + ...

Рассмотрим далее экспоненту с отрицательным аргументом exp1/2(-x)

\n/2 да (-1)П/2 x/2

Ь3 • 5 • 7л/П 4! Ь3 • 5 • 7 • 9л/П

На основе дробной экспоненты можно легко получить некоторые элементарные функции для ветви дробного анализа порядка í=1/2, в частности гиперболические и тригонометрические функции на основе формул, введённых в [1].

Для гиперболических синуса shV2x и косинуса ch1/2x порядка í=1/2 легко получить формулы

ch1/2x = chx + ^2(^1/2 (x) + (-x))' sh1/2x = shx + i (£/2 (x) - ЕцП (- x)).

Для тригонометрических синуса sin1/2x и косинуса cos1/2x порядка í=1/2 будут следующие соотношения

cos1/2 x = cos x + ('x) + £1/2 (-'x)),

sin1/2 x = sinx + ^(£/2(ix) -^1/2 (-ix)).

2/

Другие гиперболические и тригонометрические функции, обозначения которых соответствуют общепринятым, только с нижним индексов í=1/2, указывающих на порядок ветви дробного анализа

th1/2x = ^ ,cth1/2 x = , ch1/2 x Sh1/2 x

sch.,, x = —1—,csch,,,, x = 1

ch1/2x

sh1/2 x

sin1/. x cos^ x

tg1/2 x = ——, ctg1/2 x ^ 1/2 ;

cos1/2x

sin1/2 x

Ряд для экспоненты с мнимой переменной expy2ix будет

Графики некоторых рассмотренных функций представлены на рис. 1-5, где для сравнения приведены графики функций традиционного анализа. Графики функций ехр1/2х, ехр х, ^1/2х, ехр1/2(-х), ехр(-х), ^1/2(-х) даны на рис. 1. Графики функций бш^х ео81/2х, б1пх, соъх изображены на рис. 2. Графики функций Бес1/2х, ео8ее1/2х, Бесх, соБесх показаны на рис. 3. Графики функций 1§1/2х, представлены на рис. 4, а функций ^/Х с1§х - на рис. 5.

п=

n=-

ехр1/2(-х)/ /

\£/2х уу

^~"""----__ехр(-х)

-1 5 -1 -0.5 □ 0 5 1 1.5

Рис. 1. Графики функций ехр]/2х, ехр1/2(-х), ^х, %щ(-х), ехрх, ехр(-х)

Рис. 2. Графики функций Б'т\р.х, соБу2х, бпх, собх

Рис. 3. Графики функций Бес^х, соБес/гх, Бесх, соБесх

Рассмотрим полиномы интегрирования порядка 1/2 СДх), которые появляются при интегрировании функций оператором ¿Р/2х, а при дифференцировании дают ноль

ад

С1/2 (х) = X ^-"+1/2 = а1Х~т + Х"3/2 +

-5/2 . -7/2 . , - п+1/2

+а3 х + а4 х + ... + апх

^"1/2х:С1/2(х)=0. Неопределённый интеграл порядка 1/2 от некоторой функции Дх) можно в общем виде записать ^/2х:Дх)=^1/2)(х)+С1Д(х).

У О

Рис. 4. Графики функций 1ду2х, 1дх

Рис. 5. Графики функций с1ду2х, сдх

Здесь ^1/2)(х) - первообразная порядка 1/2 функции Дх).

Подводя итоги, отметим, что элементарные функции в дробном анализе порядка 1/2 требуют более углубленных исследований, итоги которых будут приведены в последующих работах.

п=1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чуриков В.А. Дробный анализ на основе оператора Адамара // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т. 312. - № 2. - С. 16-20.

Поступила 07.11.2007г.