Начально-краевая задача для уравнений динамики вращающейся жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.977, 519.626

Начально-краевая задача для уравнений динамики вращающейся жидкости

© А. А. Гурченков1

1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва 105005, Россия.

Исследованы колебания вязкой несжимаемой жидкости, которая заполняет полупространство, ограниченное плоской стенкой, и вращается вначале как твердое тело вместе со стенкой под действием внезапно начинающихся продольных колебаний. Приведено точное решение начально-краевой задачи для уравнений Навье—Стокса в случае течения жидкости, индуцированного плоской пластиной. Вычислен вектор касательных напряжений, действующих на пластины со стороны жидкости. Показано, что при отсутствии вращения решение переходит в известное решение задачи о нестационарном движении жидкости, ограниченной перемещающейся плоской стенкой. Исследованы квазигармонические колебания пластины и движение с постоянным ускорением. В частном случае гармонических колебаний и предположении о перпендикулярности оси вращения плоскости пластины показано совпадение с результатами, полученными К. Тарнлей. Сформулированы выводы об асимптотическом поведении решений.

Ключевые слова: вязкая жидкость, уравнения Навье—Стокса, начально-краевая задача, пограничные слои.

Введение. Задачи динамики тел с полостями, содержащими жидкость, относятся к числу трудных задач классической механики и связаны с именами выдающихся механиков и математиков, таких как Г. Ламб, Г. Стокс, Л. Гельмгольц, Ж. Пуанкаре и др.). Из отечественных ученых необходимо отметить работы Н.Е. Жуковского, С. Л. Соболева, А.Ю. Ишлинского, Г.С. Нариманова, В.В. Румянцева и др.

Общая постановка задачи динамики твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость, принадлежит Н.Е. Жуковскому. Было доказано, что движение жидкости определяется движением тела, а само движение тела совершается так, как если бы жидкость была заменена эквивалентным твердым телом. При этом для определения движения жидкости в полости необходимо решить некоторые стационарные краевые задачи, зависящие только от геометрии полости.

Решение этих задач (потенциалы Жуковского) позволяют найти для данной полости компоненты тензора присоединенных масс. Движение тела с полостью, содержащей идеальную жидкость при потенциальном движении, оказывается эквивалентным движению твердого тела, тензор инерции которого складывается из тензора инерции исходного тела и тензора присоединенных масс для данной полости.

Таким образом, задача динамики тела с жидкостью разбивается на две части. Первая часть, зависящая только от геометрии полости, сводится к решению краевых задач и расчету тензора присоединенных масс, вторая — обычная задача динамики твердого тела — к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задачи динамики тел с полостями, содержащими вязкую жидкость [1, 2], значительно сложнее, чем в случае идеальной жидкости. Рассматривают их главным образом в линейной постановке. Эти задачи актуальны при изучении динамики космических аппаратов, которые для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей равномерно закручиваются на орбите вокруг некоторой оси, а также при проектировании быстровращающихся роторов, центрифуг, гироскопов с жидким наполнением [3]. Кроме того, поведение жидкости в условиях невесомости или малой гравитации влияет на поведение космического корабля.

Одновременно с изучением задачи о движении тела с полостью, содержащей жидкость, встала проблема устойчивости такого движения. У. Кельвин установил, что вращение волчка будет устойчивым, если полость сжата в направлении оси вращения, и неустойчивым, если волчок имеет слегка вытянутую форму. Х. Андерсен [4] исследовал характеристическое уравнение для малых колебаний твердого тела с жидкостью вблизи равномерного вращения, при этом полостью являлся эллипсоид, а жидкость внутри полости была идеальной и совершала однородное вихревое движение. В многочисленных работах по этой тематике можно выделить три направления:

1) исследование линеаризованных уравнений движения с помощью методов теории малых колебаний и спектральной теории операторов [5-7];

2) исследование полных нелинейных уравнений движения, основанное на применении и развитии второго метода Ляпунова [8, 9];

3) экспериментальные исследования.

Наиболее трудным аспектом задачи динамики тел с полостями, содержащими вязкую жидкость, является учет ее вязкости. Экспериментально установлено, что при быстром вращении движение вязкой жидкости в полости не отличается от движения идеальной жидкости в основной массе, за исключением тонкого пристеночного слоя, толщина которого мала.

Поле скоростей V вязкой жидкости можно представить в виде нормальной и касательной компонент: V = д„ + Ит. При этом нормальная компонента вязкой жидкости совпадает с нормальной компонентой скорости, полученной из решения задачи для идеальной жидкости. Что касается касательной компоненты, то она быстро за-

тухает в пограничном слое. Следовательно, задача сводится к определению поля скоростей vT. В силу того что прилегающий к стенке пограничный слой тонок, элемент поверхности dS с нормалью можно моделировать плоской стенкой, которая ограничивает полупространство с вязкой жидкостью, вращающейся вокруг неперпендикулярного ей направления с угловой скоростью cCq и движущейся со

скоростью vr в своей плоскости.

Нестационарный пограничный слой на вращающейся пластине. Пусть бесконечная пластина H вращается вместе с жидкостью в пространстве с угловой скоростью cCq = const и движется в своей

плоскости со скоростью и (t). Пластина ограничивает полупространство Q, заполненное несжимаемой жидкостью с плотностью р и кинематической вязкостью v. Жидкость находится в поле массовых сил с потенциалом U.

Свяжем с пластиной декартову систему координат Oxyz с ортами

ex, ey, ez таким образом, что плоскость Oxz совпадет с ее плоскостью, а ось Oy будет направлена перпендикулярно пластине внутрь жидкости.

Уравнения движения жидкости в системе Oxyz, а также граничные и начальные условия имеют вид

Cq X (Cq X r) + 2Cq xV + — + (V V)V = - - VP + VU + vAV;

dt р

divV = 0, r e Q; (1)

V(r, t) = и (t), r e H, t > 0, V(r, t)

^ 0, | r да, t > 0;

V(г ,0) = 0, г е 0,

где г — радиус-вектор относительно полюса О; V — скорость жидкости; г — время; Р — давление.

Решение уравнений (1) будем искать в виде

Р = ^(®о х г )2 +Ри + рд(у, г); V = Vx (у, г )ёх + Vz (у, г ё,

Тогда система (1) распадается на следующие две подсистемы:

дУ - д^ -

— + 20(ёу хУ) = V = и(г), у = о, г > 0;

дг ду2 (3)

VI^о, у^да, г>о, V(у,0) = о, у>о,

где О = щ0еу, и

= 2К(щ х ёу ),

ду

д(у, г) ^ 0, у ^ю, г > 0.

(4)

При этом поле скоростей определяется из уравнений (3), а поле давлений — из уравнений (4) по найденному полю скоростей. Решение системы (3) ищем в форме

V (у, г) = Ж (у, г) Бт 2Ог - Ж (у, г) х еу соб 2Ог; Ж (у, г) = Жх (у, г )ё + Ж, (у, г )ё,

(5)

где Ж (у, г) — неизвестная функция.

Подставляя соотношения (5) в (3), получаем для определения Ж следующую задачу:

дЖ с2Ж — = ——

дг ду

Ж(0, г) = и (г)Б1п2Ог+ё(г) х ё(г) х ёу соБ2Ог, г > 0; (6)

\Ж(у, г)| ^ 0, у ^ю, г > 0, Ж(у,0) = 0, у > 0.

Решение уравнений (6) представляет собой известное выражение [10]

Ж (0, г)

2у[л— 0 (г - г)3

Ж (у, г) = \ (г Г)32ехр

у

4—(г - г)

с1г.

(7)

Используя формулу (7), из уравнений (5) находим поле скоростей жидкости в виде

V(у.г) = тМ Т^ехр

2^ЖУ 0 (г -г)3/2

у

4—(г - г)

сСг.

Здесь

Т(г, г) = и (г) СОБ 2О(г - г) + и (г) х еу б1п 2О(г - г) .

(8)

(9)

Решая уравнения (4) с правой частью, полученной с учетом выражений (8), (9), находим поле давлений

Ч(У, г) = ^ —(щ0 х ёу )|

т (г, г)

(г -г)1/2

ехр

у

4— - г)

сг.

(10)

Вектор касательных напряжений, действующих со стороны жидкости на пластину, определяется выражением [11]

1 V / = I у=о.

су

(11)

Подставив скорость V вида (8) в формулу (11), после простых, но громоздких вычислений получим

/

Ж

с

' г(г,X) Г сг

(X -г)

1/2

-ёг +

Т(0,X)

41

(12)

Соотношения (8)—(10) и (12) полностью решают поставленную задачу. При отсутствии вращения решение переходит в известное решение задачи о нестационарном движении жидкости, ограниченной перемещающейся плоской стенкой [12].

В частном случае гармонических колебаний и в предположении о перпендикулярности оси вращения плоскости пластины показано совпадение с результатами, полученными в работе [13].

Для дальнейшего анализа удобно представить поле скоростей и вектор касательных напряжений в комплексной форме. Введем комплексные векторы скорости жидкости и пластины, а также комплексный вектор напряжений:

У = Уг + ; и = и; + шх; / = + 1/х. Из выражений (8)-(12) находим

V =

У

и(г)

ехр

-2Щ -г) -

У

4у(Х - г)

2Ж 0 (X -г)3/2

с

- & г я" {и(г) ехр [20(Х - г)]} / = -Р\\~ [ ---ёг.

ёг;

Ж

(X -г)

1/2

(13)

(14)

(15)

Продольные квазигармонические колебания пластины. Пусть пластина колеблется в своей плоскости со скоростью

и = е

-ш

(Л.

с+Л2е-Ш

) ■

(16)

где а — коэффициент затухания; Ау (у = 1,2) — комплексные постоянные; с — частота колебаний.

В этом случае поле скоростей и вектор напряжений могут быть выражены через специальные функции. Подставляя выражение (16) в (14) и (15), находим

V = е-2о у А, ег ехр

г (

- Р 0-

у

2 Л

4—в

ёв

в

3/2 '

7=1

/ = е~'2Ог у Ару еР7г Гехр(-р&)в0|,

(17)

(18)

где Р12 = -а + /(2О±щ) (знаки «+» и «-» соответственно для индексов «1» и «2»); в = г -г.

Входящий в выражение (18) интеграл

г

3 = Г ехр(-рв)в"1/2 ёв 0

заменой переменных £ = ^рв, Яе д/р > 0 приводится к виду

31 = — ■ ег^Трг, \р

где егГ х = | е

Входящий в выражение (17) интеграл

32 =

у

2У[л—

' ( Г ехр - рв-

у

2

0 V

4—в

Св

в

3/2

(19)

не приводится к табличному виду [14] и требует специального приема вычисления. Запишем

2 ( .. Л2

рв +

у

4—в

4Тв-

у

2—в

-ул1р; Яе^/р > 0. —

Замена переменных

у

2—в

= С в (19) дает

Г уГ 2 ю

32 = е »— -= I ехр 2 ^

2—I

( Г~ Л2

'р ^+с

— 2С

ас.

(20)

I p y

Полагая J----+ C = E, представим интеграл (20) в следующем

у 2С

виде:

yjp 2

-Г J е"5 di+Jr

Ыж y J Vr

y p J

p " - ? +•— 2?J dC

\2

77= 2^1 vy

У

С

2

22

Вычисляя (19) по другой схеме, имеем

(21)

рв +

y

2 (

4—в

y

2—в

4p0 + yJP, Re>/P > 0.

Замена переменных —= С приводит (19) к виду 2V ув

j = e"yvp j е

2-Jvt

2СМУ

dC.

(22)

Полагая в (22) E = С , имеем

V Ь 2С\ у

j2 = е~— j e-e2 de-еу-г j— j е с2 .

ыж Vj ^ яг— y с

2d —J dC

24—

(23)

Складывая (21) и (23), получаем выражение (19), записанное через специальные функции:

J2 = ^е-yVу erfc

l£ г

y

■■Jpt 1 + -^e^ у erfc

2—t

]P Г

y

22—

-4P\, (24)

где erfc x = 1 - erf x.

С учетом (17) и (24) выражения для скорости и вектора касательных напряжений могут быть представлены так:

-пог 2

V = ■

"у А ер7

7=1

у,^ .( у

егБс

2—г

-у1— .( у

+е " — егБс

(25)

} = -р4у

е-2Юг у аа^Тр; ■ер

7=1

й(0)е

-2Юг

(26)

Представляет интерес рассмотреть поведение решения, учитывая,

что

егБс

+Л/р7\ —0 при г— ю, КеЛ р;>0; 2л—г у1 ^

егБс

-^р/ I — 2 при г —^ ю, Ке^р"> 0.

(27)

у

2—

Асимптотические выражения для поля скоростей и сил трения имеют вид

(

V = е

-а

А1 е

щ-у. -р1

— + А2 е

-Ш-ул1—

Л

а ^ 0;

(28)

/ = -рл— е-а (Д ^ еШ + А2 л/р! е-Ш).

Структура пограничных слоев. Исследуем подробнее выражение (28). Введем для удобства следующие обозначения:

к\,2 =

2О±ш

$1,2 =

л/2—

2—

а2 + (2О±ш)2

ч1/2

(29)

ч 2а2 + (2О±ш)2 у

а2 + (2О + ® )2

1/4

Здесь знак «+» соответствует индексу «1», а знак «-» — индексу «2». С учетом (29) поле скоростей (28) может быть записано в виде

V = е

а

у у

Де 4 -%у) + АА2 е $2 е-Ш-к2у)

(30)

1

Полученное решение представляет собой суперпозицию двух волн с волновыми числами к у (у = 1,2) и частотой с, распространяющихся вдоль оси Оу навстречу одна другой и экспоненциально затухающих на расстояниях порядка 8у . Решение (30) равномерно пригодно для всей области как в нерезонансном, так и в резонансном случае (20 = с). Действительно, при 20 = с

к = 4^(а2 + 1602)-), 8 = — (2а2 + 1602;

' к '

к2 = 0,

т. е. в резонансном случае волна, набегающая на пластину, отсутствует, но решение продолжает затухать в глубь жидкости. Однако при а = 0, 82 ^да и решение становится непригодным при у ^<х>, так как толщина одного из пограничных слоев неограниченно возрастает. Этот эффект отсутствия колебательного решения при с = 20 обсуждается в работе [13]. Важным следствием из приведенного анализа является тот факт, что затухание снимает трудности, отмеченные в работе [13]. В этом смысле оно играет аналогичную роль, что и отсос жидкости с поверхности пористой пластины, рассмотренный в работах [15-19].

Согласно выражениям (25) и (27), при с = 20 и а = 0 установившееся решение, равномерно пригодное во всей занятой жидкостью области, имеет вид

V = А1 ес ехр . (31)

Решение (31) носит колебательный характер. Расстояние от пластины, на котором это отличие становится существенным,

у = 0 ^^)1/2 ]. Когда угловая скорость сс0 вращения пластины перпендикулярна ее плоскости, выражение (31) переходит в полученное в работе [13] решение для этого случая.

Исследуем экспоненциально затухающее движение пластины. Положим в соотношениях (25), (26)

с = 0, А1 + А2 = А, а = 2/0 - а,

тогда поле скоростей и вектор касательных напряжений имеют вид

V =1 Ae-at 2

г

'v erfc

y

2-Jvt

-yfot

+ e

л v erfc

y

22

/ = -p4oV-Aef(Jot )e-at, ReVo>0.

В дальнейшем обратим внимание на установившееся решение и его характеристики. Используя асимптотическое представление дополнительной функции ошибок при г — ю, найдем

V = Ae

- y^°-at.

f = -

ovA e

-at

Аналогичным образом на основе общего решения (8) могут быть рассмотрены другие случаи нестационарного движения пластины.

Заключение. Таким образом, если искать решение в виде (2), то нелинейная система трехмерных нестационарных уравнений Навье— Стокса распадается на две подсистемы, одна из которых служит для определения поля скоростей, а другая — поля давления. Подстановка вида (5) убирает «роторный» член из уравнений (1) и приводит систему (3) к уравнению теплопроводности, что позволяет получить точное решение для поля скоростей и давления.

Для случая движения пластины в своей плоскости со скоростью, определяемой формулой (16), поле скоростей выражается через специальные функции. При г — ю поле скоростей представляет собой суперпозицию двух волн, распространяющихся по оси Оу навстречу одна другой и экспоненциально затухающих на расстояниях 5;.

ЛИТЕРАТУРА

1. Olendraru C., Seller A. Viscous Effects in the Absolute-Convective Instability of the Batchelor Vortex. FluidMech, 2002, vol. 459, pp. 371-396.

2. Serre E., Pulicani J.P. A Three-Dimensional Pseudospectral Method for Rotating Flows in a Cylinde. Comput. Fluids, 2001, vol. 30, no. 4, pp. 491-519.

3. Гурченков А.А. Устойчивость жидконаполненного гироскопа. ИФЖ, 2002, т. 75, № 3, с. 6-11.

4. Andersson H. Swirling Flows. Euromech and Ereaftac Colloquium. 16-20 Sept. 2001. Bergen, Norway. Ercoftac Bull, 2002, vol. 52, pp. 31-36.

5. Гурченков А.А. Динамика завихренной жидкости в полости вращающегося тела. Москва, Физматлит, 2010, 221 с.

6. Афанасьев К.Е., Стукалов С.В. Циркуляционное обтекание стационарным плоскопараллельным потоком тяжелой жидкости конечной глубины со свободной поверхности. ПМТФ, 2000, № 3, с. 87-94.

7. Гринспен Х. Теория вращающихся жидкостей. Ленинград, Гидрометеоиз-дат, 1995, 496 с.

8. Алексин В.А. Моделирование влияния параметров турбулентности набегающего потока на течение в нестационарном пограничном слое.

Изв. РАН. МЖГ, 2003, № 6, с. 64-77.

9. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика и анализ областей неустойчивости вращения деформируемого ИСЗ корневым методом. Изв. РАН. МТТ, 2000, № 4, с. 3-17.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T.VI. Москва, Наука, 1988, 736 с.

11. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Москва, Дрофа, 2003, 840 с.

12. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. Москва, Гостех-издат, 1958, 517 с.

13. Thornely CL. On Stokes and Rayleigh Layers in a Rotating system. Quart. J. Mech. andAppl.Math, 1968, vol. 21, no. 4, pp. 451-461.

14. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. Москва, Физматгиз, 1962, 1232 с.

15. Гурченков А. А. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками. ПММ, 2002, т. 66, вып. 2, с. 251-256.

16. Гурченков А.А., Носов М.В. Устойчивость ротора с вязкой жидкостью. Москва, ВЦ РАН, 2005, 85 с.

17. Гурченков А.А. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками при наличии поперечного потока. ПМТФ, 2001, № 4, с.48-51.

18. Гурченков А.А. Неустановившиеся пограничные слои на пористых пластинах вращающейся щели при наличии вдува (отсоса) среды. ЖВМ и МФ, 2001, т. 41, № 3, с. 443-449.

19. Гурченков А.А. Диссипация энергии в колеблющейся полости с вязкой жидкостью и конструктивными неоднородностями. Док. РАН. 2002, т. 382, № 4, с. 470-473.

Статья поступила в редакцию 21.02.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

А.А. Гурченков. Начально-краевая задача для уравнений динамики вращающейся жидкости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 2. URL: http://engjournal.ru/catalog/appmath/hidden/603.html

Гурченков Анатолий Андреевич — профессор кафедры «Высшая математика», д-р. физ.-мат. наук; автор более 100 научных работ, 10 из которых монографии; сфера научных интересов: управление вращательными твердыми телами с низким наполнением, устойчивость динамических систем с жидкостью. e-mail: challenge2005@mail.ru.