CC BY
52
УДК 338.2 ББК 65.050 К 77
МЯГК^ ВЫЧИСЛЕНИЯ В МЕНЕДЖМЕНТЕ: УПРАВЛЕНИЕ СЛОЖНЫМИ МНОГОФАКТОРНЫМИ СИСТЕМАМИ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ АНАЛОГ-КОНТРОЛЛЕРОВ
(Рецензирована)
Крамаров Сергей Олегович,
доктор физико-математических наук, профессор, директор Института информационных систем Южного университета (ИУБиП), г. Ростов-на-Дону. Тел.: (863) 292 43 82, е-mail: [email protected]
Сахарова Людмила Викторовна,
доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики Ростовского государственного экономического университета (РИНХ), г. Ростов-на-Дону. Тел.: (989) 613 05 72, е-mail: [email protected]
Храмов Владимир Викторович,
кандидат технических наук, профессор, научный сотрудник Института информационных систем Южного университета (ИУБиП), г. Ростов-на-Дону. Тел.: (863) 292 43 82, е-mail: [email protected]
Аннотация. Предложена методика управления сложной системой на основе мягких вычислений, включающих в себя вновь разработанный математический инструментарий нечетких аналог-контроллеров. Модель аналог-контроллеров базируется на предложенном ранее аппарате многоуровневых нечетких классификаторов, позволяющих оценивать состояние системы на основе интегрирования комплекса разнородных показателей.
Ключевые слова: мягкие вычисления, нечеткие многоуровневые классификаторы, комплексная оценка, нечеткие аналог-контроллеры.
SOFT COMPUTING IN MANAGEMENT: MANAGEMENT OF COMPLEX MULTIVARIATE SYSTEMS BASED ON FUZZY ANALOG CONTROLLERS
(Reviewed)
Kramarov Sergey Olegovich,
Dr. рh.-math., Professor, Director institute of Information's system Sothern University (IMBL). Ph.: (863) 292 43 82, е-mail: [email protected]
Sakharova Lyudmila Viktorovna,
Dr. рh.-math., Professor, Associate Professor, Professor, Department of fundamental and applied mathematics of Rostov State University of economics, Rostov-on-Don. Ph.: (989) 613 05 72, e-mail: [email protected]
Khramov Vladimir Viktorovich,
Candidate technical of sciences, Professor, researcher at the Institute of information systems Sothern University (IMBL). Ph.: (863) 292 43 82, е-mail: [email protected]
Summary. The proposed method of management of complex system based on soft computing, which includes newly developed mathematical tools of fuzzy analog controllers. Model of analog controllers based on the previously proposed apparatus of the multi-level fuzzy classifiers to assess the state of the system based on the integration of complex heterogeneous indicators.
Keywords: soft computing, fuzzy multi-level classifiers, integrated assessment, fuzzy analog controllers.
В настоящее время одной из наиболее интенсивно развивающихся областей математического моделирования в управлении сложными системами является теория мягких вычислений. Термин введен в рассмотрение Лотфи Заде в 1994 г. и обозначает совокупность неточных, приближенных методов решения задач управления слабо структурированными системами, возникающих в области гуманитарных наук, робастного управления, менеджменте, биологии, медицине [1].
Изначально математический аппарат мягких вычислений (SC - Soft Computing) представлял собой совокупность моделей, методологий и алгоритмов, используемых в следующих направлениях: нечеткой логике (FL - нечеткие множества, нечеткая логика, нечеткие регуляторы), нейровычислениях (NC - нейронные сети), генетических вычислениях (GC), вероятностных вычислениях (PC). Позднее в этот инструментарий были включены рассуждений на базе свидетельств (evidential reasoning), сети доверия (belief networks), хаотические системы и разделы теории машинного обучения. Преимущество мягких вычислений по сравнению с традиционными жесткими вычислениями состоит в том, что они ориентированы на использование в условиях частичной и полной определенности, то есть для работы с неточными, неопределенными или частично истинными данными/ знаниями. Как отмечал Лотфи Заде, руководящим принципом мягких вычислений является: «терпимость к неточности, неопределенности и частичной истинности для достижения удобства манипулирования, робастно-сти, низкой стоимости решения и лучшего согласия с реальностью» [1].
Модели и системы, в которых FL, NC, GC и PC , а также классическое математическое моделирование используются в некоторой комбинации, называются гибридными моделями и системами.
Теория и методология мягких вычислений активно развивается последние 25 лет [2]. Разработан широкий класс моделей, предназначенных для анализа сложных систем на основе ряда разнородных показателей, а также управления ими на основе так называемых мягких экспертных систем. Одной из наиболее важных задач в данной области является разработка алгоритмов, позволяющих унифицировать методы расчета оценок сложных динамических систем на основе гибридно-нечетких математических моделей [3-7], а также разрабатывать
стратегию и тактику управления системами на основе полученных оценок [8-10].
В настоящей статье предложена методика управления сложной системой на основе специально разработанной теории многоуровневых [0,1]-классификаторов а также базирующихся на них универсальных аналог-контроллеров.
Теория многоуровневых [0,1]-классификаторов. Лингвистическая переменная «комплексная оценка состояния системы».
Введем в рассмотрение лингвистическую переменную:
g = «комплексная оценка состояния системы».
Универсальным множеством для лингвистической переменной является числовой отрезок [0,1], а множеством значений обеих переменной g -терм-множество из, например, пяти термов G = {G1, G2 G3, G4, G5}, условно оценивающих состояние системы:
- крайне плохо»;
G2 - плохо»;
- удовлетворительно»;
- хорошо»;
g5 - отлично».
Следует отметить, что количество термов «пять» выбрано на основании оценок по пятибалльной шкале. Очевидно, что лингвистическую оценку состояния можно осуществлять, например, на основе множества из десяти термов (десятибалльная шкала).
Следующий этап задания лингвистической переменной g = «комплексная оценка состояния системы» состоит в задании функций принадлежности для каждого из термов. Функции принадлежности стандартного пятиуровнего нечеткого [0,1]-классификатора имеют упрощенную трапециевидную форму [7] (Рисунок1).
Стандартный вид функций принадлежности каждого терма можно видеть в Таблице 1.
Значение функции принадлежности является мерой истинности терма G¡. Например, если было установлено, что g = 0,37, то ненулевое значение функции принадлежности имеют два терма: G4 = «хорошо» и G3 = «отлично». При этом ^(0,37) =0,2, //4(0,37)=0,8. То есть, для g = 0,37 оценка состояния системы «хорошо» является более истинной, чем «отлично».
Рисунок 1. Функции принадлежности подмножеств терм-множества g
Таблица 1
Функции принадлежности подмножеств терм-множества С
Терм О. Функция принадлежности нечеткого множества О.
01 - «крайне плохо» Г 1, 0<£<0,15 А [10(0,250,15 <£<0,25
О2 - «плохо» ' 1-10(0,250,15 < £ < 0,25 1, 0,25<£<0,35 10(0,450,35<я<0,45
О3 - «удовлетворительно» /"з =< 1 -10(0,45 - g), 0,35 <g< 0,45 1, 0,45<£<0,55 10(0,650,55<£<0,65
О4 - «хорошо» Ма = ' 1-10(0,650,55<g<0,65 < 1, 0,65 < g < 0,75 10(0,85-я), 0,75<я<0,85
С5 -«отлично» Г 1-10(0,85-я), 0,75<£<0,85 1, 0,85<£<1
Трапециевидное задание функции принадлежности не является единственно возможным. Как мы указывали в [8], функции принадлежности могут имеет, например, сигмовидную форму:
Ик = ехр
( Г k-i) х-- 2п \
_ 82" In 2
V 1 4 J J
<т2и =
1
82" 1п2 к = 1,2,3,4,5
Здесь п е N , натуральное число, характеризующее крутизну графика функции принадлежности. Узлы классификатора, соответственно, располагаются в точках:
— к -1
£, = , к = 1,2,3,4,5
&к 4
Графики функций принадлежности представлены на Рисунке 2.
Система функций (1) удовлетворяет условию полноты и может быть использована для построения пятиуровневого классификатора.
Очевидно, что формулы могут быть обобщены на К-уровневый классификатор формулами:
/
ßk = exP
х
V
k -1 K -1
2 (K -1)2n ln2
Лингвистические переменные «исследуемые показатели» и их уровни значимости
Пусть состояние системы оценивается на основе М разнородных показателей, для которых известны их некоторые числовые оценки (каждое из них может принимать любое действительное значение). Пусть на их основе получены значения соответствующих нечетких числовых переменных
X = (Х1 , Х2 ,..., Хм) , которые принадлежат отрезку [0,1] (методы получения соответствующих значений рассмотрим в п. 1.3).
Введем в рассмотрение лингвистическую переменную:
В = «уровень I-го показателя», / = 2,3,...,М;
Множеством значений переменной В1 является терм-множество из пяти термов
в = (в;, в2, в;, вг4, вг5}
В1 - «очень низкий уровень показателя»;
В'2 - «низкий уровень показателя»;
В'3 - «средний уровень показателя»;
В'4 - «высокий уровень показателя»;
В'5 - «очень высокий уровень показателя».
Функции принадлежности терм-множеств лингвистических переменных зададим формулой (1), как это сделано в предыдущем подпункте.
Таким образом, каждому исследуемому показателю будет сопоставлено значение функций принадлежности, относящих его к соответствующему терму лингвистической переменной. Таким образом, уже на данном этапе можно судить об оценке состоянии системы по каждому показателю.
Показатели уровня интенсификации производства, как правило, имеют различную значи-
0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/S 1 X
Рисунок 2. Система трапециевидных функций принадлежности на [0,1] -носителе
мость, поэтому необходимо задать весовые коэффициенты для каждого показателя, к{ , 7 = 1,..., N
N
(обязательное условие ^к. =1). Возможны следующие варианты: 1=1
показатели равнозначны, следовательно, имеют одинаковые веса: к1 = 1/ N ;
показатели ранжированы в порядке убывания их значимости, веса определены по правилу Фиш-берна:
2 (п -1 + 1)
к =-
(п + 1)п
веса определяются на основе долевого вклада направления: например, если интенсификация определяется по трем группам, то вес каждой группы есть 1/3; если при этом внутри группы рассматриваются два направления, то вес каждого из них будет 1/3* ^ = 1/6, и т.д.
веса определяются на основе оценок экспертов.
Расчет комплексной оценки В соответствии с правилами формирования оценок на основе 5-уровневого нечеткого классификатора, переход к весам термов лингвистической
переменной § = «комплексная оценка состояния системы» имеет вид:
N
Рг = Тк,Мг (х ) ,
I = 1,2,3,4,5
Тогда значение самой оценки у имеет вид:
5 -
& = £Ргёг ,
I=1
где §I , узлы классификатора, определены формулой (2).
Заключительный этап - вычисление //(^ и ее лингвистическое распознавание в соответствии с заданным терм-множеством О = {О1,О2,О3,О4,О5} .
Схема работы по описанному алгоритму представлена на Рисунке 2.
Как следует из определения термов, значение
оценки у < 0,5 указывает, в целом, на неудовлетворительное состояние системы в целом. В случае,
У > 0,5, но лингвистическое распознавание указывает на оценку «удовлетворительно», требуется провести анализ отдельных показателей и выбрать
из них те, для которых числовые оценки X мини-
мальны. Очевидно, что именно эти показатели приводят к снижению значения комплексной оценки, и, следовательно, именно в данных направлениях должна вестись работа по улучшению ситуации.
Разновидности нечетких многоуровневых [0,1]-классификаторов. Переход от числовых оценок показателей к числовым значениям нечетких числовых переменных
Три разновидности нечетких многоуровневых [0,1]-классификаторов
Для исследования состояния сложных объектов и систем на основе совокупности разноплановых факторов необходимы три разновидности классификаторов:
классификаторы первого типа: для статической оценки объекта;
классификаторы второго типа: для динамической оценки объекта;
классификаторы третьего типа: для оценки объекта по комплексу параметров, среди которых присутствуют как статические, так и динамические характеристики.
Классификаторы первого типа применяются в случае, если входные параметры фиксированы, то есть задан набор числовых значений:
X = (Хг , X2,..., Хм )
и для каждого из них имеется эталон для сравнения, соответствующий его оптимальному значению для исследуемой системы.
Пример 1: оценка качества работы предприятия сферы обслуживания на основе устного опроса посетителей. После посещения предприятия каждому клиенту предлагается оценить качество услуг по пятибалльной шкале по нескольким показателям, например: «ценовая доступность услуги», «скорость обслуживания», «ассортимент», «качество обслуживания» и т.д. На основе проведенного опроса формируется средняя оценка предприятия по каждому из показателей. Очевидно, что в данном примере она будет заключена на отрезке [0,5].
Классификаторы второго типа применяются в случаях, когда состояние системы рассматривается во времени, и для каждого показателя задан временной ряд его значений, а эталон отсутствует.
Пример 2: расчет комплексной оценки интенсификации производства, а также ее динамики для некоторого подразделения (отрасли, цеха и т.д.) на основе статистических значений N экономических показателей за М периодов. Заданная статистическая информация представлена в Таблице 2. В качестве показателей могут быть выбраны такие параметры, как показатели уровня интенсификации производства («совокупные затраты в расчете на единицу продукции», «стоимость производственных фондов на единицу продукции»,
Рисунок 2. Общая схема вычисления комплексной числовой оценки § на основе числовых значений X = (X,,X2,...,X„) комплекса из N показателей; здесь: к. , I = 1,..., N, - веса показателей; - узлы классификатора (фиксированы).
Таблица 2
Числовые значения показателей
Обозначение показателя Значение показателя
1-й период 2-й период 3-й период М-й период
Показатель № 1 X х3 хМ
Показатель № 2 Х- Х2 Х3 X 2 м
Показатель № N < Х3 хы м
«фондооснащенность», «энергооснащенность», «энерговооруженность» и др.), а также показатели экономической эффективности интенсификации производства («объем валового дохода», «уровень рентабельности», «фондоотдача», «производительность труда»).
Наконец, классификаторы третьего типа необходимы в случаях, когда состояние системы оценивается по двум группам показателей, для которых часть фиксированы и для них имеется эталон, а другая часть рассматриваются в динамике. Пример: оценка экологического состояния региона. Экологическое состояние местности оценивается по сложному комплексу показателей, среди которых для ряда имеются нормативы (например, допустимый уровень радиации либо содержание в воздухе вредных веществ), а для ряда рассматривается развитее процесса во времени (эрозия почвы).
Классификаторы всех трех типов работают по одному и тому же алгоритму, включающему следующие этапы:
определение лингвистических переменных для комплексной оценки и исследуемых показателей, включающее собственно разработку классификатора (терм-множество и функции принадлежности);
расчет значений нечетких числовых переменных на основе имеющихся входных статистических данных исследуемых показателей;
определение весов исследуемых показателей (ранжирование);
расчет комплексной оценки по стандартному алгоритму.
Пункт 1) и 3) определяются смыслом решаемой задачи и, как правило. варьируются. Различие классификаторов первого и второго типов проявляется во втором пункте алгоритма. Рассмотрим указанный вопрос подробнее.
Переход от числовых оценок к числовым значениям нечетких числовых переменных для классификаторов первого типа
Для классификаторов первого типа применяются специально построенные функции-трансформаторы, оценивающие «насколько показатель далек от эталонного» в виде числа из отрезка [0,1].
Например, в качестве функции-трансформатора можно взять следующие выражения [9]:
U. - U
opt
x. = ■
U+- и
opt
если U > U°p'; здесь U. - среднее значение
J opt;
i — го показателя; U°pt - его оптимальное значение для рассматриваемой системы; U+ - верхняя граница интервала допустимых значений i — го показателя;
\U. - U
opt
X =
opt
U - - и
если и1 < Ц°р'; здесь и - нижняя граница интервала допустимых значений г — го показателя.
Кроме того, в качестве функций-трансформаторов можно использовать также так называемые функции отклика систем на внешние воздействия [10] (Рисунок 3).
Рисунок 3. Стандартная колоколообразная форма кривой отклика
Максимум функции отклика по исследуемому параметру соответствует его оптимальному для системы значению. В качестве функций отклика можно использовать, например, полиномиальные функции вида:
y =
A(x - a)e(b - x)e, x e[a, b] 0, x €[a, b]
Параметры ОС , /3, A определяются на основе соотношений:
y '(c) = 0,
y(c) =1,
а также формы кривой, получаемой на основе анализа экспериментальных данных. Предполагается также, что отдельные функции отклика могут быть аппроксимированы стандартными статистическими распределениями, такими, как гамма- и бэта- распределения, распределение Лапласа, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера-Снедекора, Вейбула-Гнеденко, логнормальное и логистическое распределения и др.
Переход от числовых оценок к числовым значениям нечетких числовых переменных для классификаторов второго типа
2.3.1. Расчет рядов числовым значениям нечетких числовых переменных для темпов роста показателей
Таблица 3
Числовые значения темпов роста показателей
Обозначение показателя Темп роста показателя на интервале
1-й - 2-й периоды 2-й - 3-й периоды (М-1)-й - М-й периоды
Показатель № 1 Т2,1 = Х2 / Х1 Т3,2 = V Х2 1 II 1
Показатель № 2 Т2,1 = Х2 ! Х1 Т3,2 = Х3 ! Х2 Т2 - х2 / х2 1М ,М-1 ЛМ ' ЛМ-1
Показатель № N ТМ - хИ / хИ 2,1 2 1 ТМ - хИ / Xм 3,2 3 2 Тм - Xм / Xм 1М ,М-1 ЛМ ' ЛМ-1
Если числовые оценки исследуемых показателей представлены в виде временных рядов, а эталоны отсутствуют, то для перехода к значениям нечетких числовых переменных предложено использовать темпы роста показателей [11].
На основании данных Таблицы 2 рассчитаем вычислим числовые значения темпов роста исследуемых показателей (Таблица 3). Поскольку показатели из Таблицы 2, в силу экономического смысла, принимают только неотрицательные значения, то величины Таблицы 3, теоретически, могут изменяться от нуля до бесконечности.
числовые
значения
т/1,
1,1 - 1
Полученные
7 = 2,3,...,М , преобразуем к значениям нечетких числовых переменных путем применения одной из
функций вида: у = /(х) : [0,+оо) —> [0,1]. Например,
1
У1 = 1 -
х2 +1
или
У 2 = еХР
I 2 1
или у3 = 0,5 1 + — агсг^(1п х) I. (4)
\ п ) В результате получим числовые значения нечетких лингвистических переменных темпов роста показателей (Таблица 4).
Расчет интегрированной оценки интенсификации производства для одного показателя за М исследуемых периодов
Метод, описанный в п. 1.3 может используем для получения
= «интегрированной оценки по г -му показателю за М периодов».
В этом случае формула для вычисления весов термов лингвистической переменной имеет вид:
М-1 / . ч
Р1 = ^РкМ, (Х) , I = 1,2,3,4,5, (5)
к=1
где рк - веса каждого из рассматриваемых периодов,
Таблица 4
Значения нечетких числовых переменных темпов роста показателей
Обозначение показателя Темп роста показателя на интервале
1-й - 2-й периоды 2-й - 3-й периоды (М-1)-й - М-й периоды
Показатель № 1, х х2 г1 ЛЫ-1
2 Показатель № 2, х Х2 х 2 ЛЫ-1
Показатель № N X? Х2 X11 ЛЫ-1
Трк
=1
= 1;
в общем случае рк = 1 ( М — 1); однако, в ряде случаев «весомее» могут оказаться несколько последних периодов. Здесь, вычисления проводятся для I - й строки Таблицы 4: для них вычисляются функции принадлежности термов, записываются в виде матрицы 5 X 5, после чего ее столбцы скалярно умножаются на вектор весов периодов).
Значение интегрированной оценки ^ вычисляется по формуле:
ё1 = £ ря1 ,
(6)
1=1
где §1 , узлы классификатора, определены формулой (2).
Как и в предыдущем случае, значение оценки
< 0,5 указывает на уменьшение интенсификации производства в целом по / -му показателю (стабильный отрицательный прирост) и необходимость исправления ситуации в целом. В случае,
к+1 > 0,5, но лингвистическое распознавание указывает на «средний уровень показателя» (то есть отсутствие прироста), требуется провести анализ периодов и выбрать из них те, для которых числовые оценки х' минимальны. Именно в эти периоды имел отрицательный прирост, и необходимо попытаться выяснить, чем это было вызвано.
Таким образом, результатами расчетов по формулам данного пункта является комплекс интегрированных оценок по N показателям:
ё1, 82, ... , 8*.
Расчет комплексной оценки интенсификации производства за М исследуемых периодов
Вычисления осуществляются на основе результатов предыдущего пункта: рассчитанного комплекса интегрированных оценок по N показателям. Переход к весам термов лингвистической переменной g = «комплексная оценка состояния системы» осуществляется по следующей формуле:
Р, =Ък1ц1 ),
I = 1,2,3,4,5. (7)
(то есть для вектора (g1, g2 , ... , gN ) вычисляются функции принадлежности термов, записываются в виде матрицы 5 X 5, после чего ее столбцы скалярно умножаются на вектор весов по-
казателей). Тогда значение самой оценки g имеет вид:
ё = Х Ргёг ,
I=1
(8)
где §I , узлы классификатора, определены формулой (2).
Заключительный этап - вычисление §) и ее лингвистическое распознавание в соответствии с
заданным терм-множеством G = {01, G2, G3, G4, G5}.
Основные принципы работы нечетких аналог-контроллеров.
Выводы
Алгоритм работы нечеткого многоуровневого [0,1]-классификатора построен таким образом, что частные оценки по отдельным компонентам являются материалом для анализа комплексной оценки системы. Результатом применения метода является «балансовая таблица оценок», в которую сведены унифицированные данные по показателям и периодам. Лингвистическое распознавание итоговой комплексной оценки позволяет судить о динамике процесса интенсификации в целом, а числовое значение соответствующей нечеткой переменной -дать ему количественную оценку («насколько плохо» или «насколько хорошо»).
Как следует из описания предыдущего пункта,
итоговая комплексная оценка у, получаемая в результате применения нечеткого многоуровневого [0,1]-классификатора к вектору числовых значений
показателей
(Х1, X2,...), является функцией от-
клика системы на заданный вектор.
В то же время, классификатор построен таким
образом, что величина комплексной оценки £ заключена на отрезке [0,1] и формируется как линейная комбинация частичных оценок соответствующих числовым значениям показателей (Х1, X2,...), причем весовые коэффициенты положительны. Следовательно, мы имеем задачу нелинейной оптимизации, при этом: оптимальным значением целевой функции является единица; все частичные оценки в таком случае также должны обратиться в единицы.
Таким образом, алгоритм работы нечеткого классификатора формирует общие принципы работы нечетких аналог-контроллеров.
Для анализа частных оценок контроллера первого типа исследуется функция отклика, используемая при формировании значений нечеткой числовой переменной; устанавливается, в каких пределах должно заключаться входное значение показателя,
м-1
чтобы частичная оценка была не менее заданной величины. Для анализа частных контроллера второго типа необходимо проанализировать процесс формирования интегрированной оценки по годам и выявить тенденцию (локальный либо глобальный спад по исследуемому показателю). При обнаружении тенденции к глобальному спаду осуществляется детализация показателя; то есть, например, при исследовании интенсивности сельскохозяйственного производства, можно провести подробный анализ «критичного» показателя по дополнительным параметрам и выявить, таким образом, возможные причины спада.
Анализ «балансовой таблицы оценок» позволяет выделить показатели, понижающие итоговую оценку, а анализ оценок показателей с отрицательной динамикой помогает проследить развитие процесса и выделить периоды, в которых динамика была наихудшей. Результаты подобного исследования могут служить основой для создания комплекса программ, предназначенного для анализа сложных динамических систем, принятия управленческих решений и выработки стратегии управления системами.
ИСТОЧНИКИ:
1. Zdeh, Lotfi A.,«Fuzzy Logic, Neural Networks, and Soft Computing», Communications of the ACM, March 1994, Vol. 37 No. 3, pages 77-84.
2. Ульянов С., Литвинцева Л., Добрынин В, Мишин А. Интеллектуальное робастное управление: технологии мягких вычислений. — 1-е изд. — М: Pronet Labs, 2011. - С. 406.
3. Игнатьев, B.B. Адаптивные гибридные интеллектуальные системы управления // Известия ЮФУ. Технические науки.
4. Крамаров С.О., Смирнов Ю.А., Соколов С.В., Таран В.Н. Системные методы анализа и синтеза интеллектуально-адаптивного управления. Монография. - М.: РИОР: ИНФРА-М, 2016. - 238с.
5. Скалозуб В.В., Скалозуб В.Вл. Нечетко-статистическое и нейронно-сетевое моделирование и управление в задачах экономики // Проблемы экономики транспорта. Тез. докл. VIII межд. науч. конф. - Д.: ДИИТ, 2009. - С. 146-147.
6. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. - М.: Горячая линия-Телеком, 2004. - 452 с.
7. Недосекин А.О. Применение теории нечетких множеств к задачам управления финансами // Аудит и финансовый анализ. - 2000. - № 2. - С. 84-96.
8. Крамаров С.О., Сахарова Л.В. Управление сложными экономическими системами методом нечетких классификаторов // Научный вестник ЮИМ. - 2017. - № 2. - С. 42 - 50.
9. Стрюков М.Б., Сахарова Л.В., Чувенков А.Ф. Методика оценки пригодности агротехнических территорий для выращивания сельскохозяйственных культур на основе теории нечетких множеств // Конкурентоспособность в глобальном мире: экономика, наука, технологии. - 2017. - №6 (ч.4). -С. 176-183.
10. Малкина-Пых И.Г. Моделирование динамики чистой первичной продуктивности фитоценоза хвойного леса под влиянием острого облучения// Радиационная биология. Радиоэкология. - 1998. -т. 38, вып 2. - с. 248-255.
11. Стрюков М.Б. Методика оценки интенсивности сельскохозяйственного производства на основе теории нечетких множеств / М.Б. Стрюков, Л.В. Сахарова, Т.В. Алексейчик, Т.В. Богачев // Международный научно-исследовательский журнал (International Research Journal). - 2017. - №07 (61). Часть 4. - C. 123 - 129.
