CC BY
16
The crowd conditions of connection are determined between two rows of indexes -the part of local budget revenues in consolidated revenues of Ukraine and the part of local budget revenues in GDP. The part of local budget revenues in GDP characterized the degree of decentralization of the budgetary system of Ukraine and the degree of autonomy of local governments.
Keywords: economic and mathematical methods, budget, local governments, fiscal potential.
УДК372.851 Доц. А.Д. Кузик, канд. фн.-мат наук; доц. О.В. Меньшикова, канд. фiз.-маm наук; доц. О.М. Трусевич, канд. фiз.-маm наук; доц. О. О. Карабин, канд. фiз.-маm наук - Львiвський ДУ БЖД
МУЛЬТИМЕДШШ ТЕХНОЛОГИ У ПРОЦЕС1 ВИКЛАДАННЯ
ВИЩО1 МАТЕМАТИКИ
Поеднання традицшних i новггшх технологш у навчальному процес сприяе тдвищенню якост математичних знань студенев та покращенню тдготовки кваль фшованих спещадютсв. Показано можливост використання програмного пакета Mathcad 13 у процес викладання вищо! математики. Детально описано процес ство-рення серп кадрiв ашмацшного вщеоролика, а також описано процес ашмацп залеж-ностi форми елiпса вiд ексцентриситету та розклад функцп в ряд Фур'е. Yd етапи по-будови ашмацп зображено на рисунках.
Ключов1 слова: ашмований графш, ексцентриситет, ряд Фур'е.
Для багатьох студенпв нематематичних спещальностей вища математика е дисциплшою, складною для розумшня, сприйняття та практичного застосування. На жаль, навггь серед першокурсниюв природничих спещальностей е небагато тих, хто називае математику улюбленим предметом. Лише окрем1 студенти бачать красу та гармошю в математичнш наущ та отриму-ють задоволення вщ розв'язування щкавих задач. Але незважаючи на трудно-шд в сприйманш, вища математика була й залишаеться одшею з базових дис-циплш, як техшчних, так i багатьох нетехшчних спещальностей. Мова математики е мовою сучасно! науки, знання !! не тшьки забезпечить вщповщний св1товому р1вень загально! та професшно! культури, але й розвивае навички лопчного та алгоритм1чного мислення. Тому одним 1з головних завдань, що стоять перед вищою школою, е шдвищення якост математично! тдготовки студенлв. Одним 1з засоб1в актив1зацп штересу до вивчення математичних дисциплш е застосування шформацшних технологш у процес навчання. З метою проведення математичних дослщжень, полегшення та унаочнення викладання математики створеш так програмш пакети, як Mathematica (ф1р-ма Wolfram Research), Maple (ф1рма Waterloo Maple Inc), MATLAB (ф1рма The MathWorks), Mathcad (ф1рма MathSoft Inc) та ш.
Як окрему перевагу перел1чених програм, видшимо потужш граф1чш можливосл в1зуал1заци математичних понять та метод1в, зокрема границ функцп, апроксимаци функцп, побудови штегральних кривих диференщаль-них р1внянь за р1зних початкових умов та ш. Така наочшсть, своею чергою, допомагае кращому розумшню та засвоенню матер1алу, що сприяе защкавле-носл та актив1заци шзнавально! д1яльность
Багато шформаци щодо застосування названих програмних пакет1в та роботи в них можна почерпнути з 1нтернету, але в друкованих виданнях е ду-
же мало праць, як описували б методику застосування паке™ до вирiшення певних практичних задач. Зокрема, у робот [4] детально описано хщ розв'язування задачi Кошi для диференцiального рiвняння другого порядку та побудова графжу розв'язку i3 застосуванням пакету MathCAD.
Метою роботи е створення ашмованих графiкiв, що iлюструють деяк поняття вищо! математики за допомогою Mathcad 13. Цей пакет дае змогу ство-рювати анiмацiйнi файли з розширенням *.avi, якi можна вщтворити за допомогою стандартного програмного забезпечення, зокрема Windows Media Player.
Принцип ашмаци досить простий в роботь У системi е вбудована змшна FRAME, яка приймае цшочисельш значення вiд 0 до 9, за замовчуван-ням, з кроком 1. Будь-яка функщя, графш яко! плануеться спостерiгати в роз-витку, повинна бути функцiею ще! змшно!, що е, по сут^ просто номером поточного кадру. Ашмащя здiйснюеться шляхом створення послщовност кад-рiв. Для цього в меню "Инструменты" вибираемо "Анимация^ Запись анимации". При цьому на екраш з'явиться дiалогове вiкно (рис. 1), у якому можна задати дiапазон змши змшно! FRAME та швидюсть змiни кадрiв.
Рис. 1. Дiалогове вжно "Запись анимации " в naKemi Mathcad
На наступному етат видшяемо потрiбний фрагмент зображення, на-тискаемо кнопку "Анимация" та створюемо послiдовнiсть ашмацшних кад-piB. При цьому змшу кадрiв можна спостерiгати в спещальнш зонi вiкна "Запись анимации" (рис. 1). Чим бшьшим е кшцеве значення змшно! FRAME i вищою е частота кадpiв, тим плавшше здiйснюеться анiмацiя. При цьому збшьшуеться pозмip AVI-файлiв. Пiсля завершення процесу створення сери кадpiв ашмацшного вiдеоpолика з'явиться програвач анiмацiйних кадpiв, який дае змогу спостеpiгати змшу графжа в часi (рис. 2).
Якщо отриманий результат задовольняе розробника, то створену аш-мацiю зберпаемо. Для цього натискаемо кнопку Сохранить как... В шшому випадку спробуемо пщбрати бiльш вдалий дiапазон i швидкiсть змiни кад-piв. У процес розроблення навчальних анiмацiй потpiбно ретельно продуму-вати i шдбирати залежнiсть паpаметpiв функци, гpафiк яко! спостеpiгаеться, вiд змшно! FRAME.
Рис. 2. Анмаця побудови графша функци y=sinkx
Зауважимо, що при створенш анiмацiйних фрагменлв треба вщклю-чати Bci опци автоматичного масштабу-вання графiкiв i переходити до ручного задавання масштабу.
Видшимо ще два аспекти роботи i3 засобами ашмаци. Перший аспект по-лягае в тому, що у видшену область ашмаци можна вводити як цiлий графж, так i його частину, а також формули i написи. Якщо видено! областi немае, то кнопка "Анимация" неактивна.
Другий аспект пов'язаний з тим, що програвач файшв з розширенням AVI може також вщтворювати файли, що створеш шшими мультимедiйними системами, причому iз стереофонiчним звуковим супроводом, що дае додат-ковi можливостi у створенш навчальних програм i мультимедшних шдручни-кiв. Розглянемо детальнiше створення ашмаци таких понять вищо! математики, як ексцентриситет елiпса та ряд Фур'е.
Ексцентриситет елiпса. Аналогична геометрiя - це один iз роздiлiв ви-що! математики, який найбшьше потребуе унаочнення у процес викладання. Теоретичний матерiал багатий на графiчнi шюстраци, побудову графiкiв як на площиш, так i в просторг Використання мультимедiйноl технiки е найбшьш доцiльним саме в процес вивчення аналiтично! геометри, зокрема кривих та поверхонь другого порядку. Mathcad, як й iншi пакети програм, дае змогу створювати двовимiрнi та тривимiрнi графiки кривих i поверхонь, що вивчаються. Створимо анiмацiю, що шюструе поняття ексцентриситету елш-са. Зпдно з означенням, ексцентриситет елшса s дорiвнюе вiдношенню поло-вини фокусное" вiдстанi елiпса с до довжини бшьшо1 пiвосi а та е мiрою вдаи-лення елшса вщ кола. Обчислюеться ексцентриситет за формулою
_ c
a'
або
s =■
л/a2 - b2
a
(1)
(2)
де: а - величина велико! швоЫ, Ь - величина мало! швоЫ, с - половина фо-кусно! вiдстанi.
Зафжсуемо значення велико! швош а = 10. Величину мало! твош бу-демо змiнювати для кожного кадру. Значення ексцентриситету обчислимо за формулою (2) у виглядi команд МаШсаё:
a := 10.0
b :=
FRAME + 2
2
1 -
ь ^2
V a
Для побудови графiка елiпса за заданих значень швосей скорис-таемось параметричним рiвнянням елiпса:
х = а со8(7),
у = Ь зш(0,0 < г < 2п.
В область ашмаци включимо графш та значення ексцентриситету, яке буде перераховуватися для кожного кадру. Таким чином ми отримаемо вще-офайл, який iлюструе залежнiсть форми елшса вiд його ексцентриситету (рис. 3).
Рис. 3. Демонстращя 3anern:Hocmi форми елтса eid ексцентриситету
Ряд Фур'е. Наступна ашмащя демонструе можливють наближення функци 11 вiдповiдним рядом Фур'е. Як вщомо, якщо перiодична функщя fx) з перiодом 2п е обмеженою на вiдрiзку [ - п, п| i складаеться з монотонних частин, то ряд Фур'е ще! функцп збiжний на всш числовiй прямiй, а сума ряду дорiвнюе значенню функцп fx) в уЫх точках неперервностi fx). Якщо ж у рядi Фур'е обмежитись скшченною кiлькiстю доданкiв N (назвемо таку скш-ченну суму многочленом Фур'е степеня N), то одержимо наближене значення функци fx). Створимо в точщ ашмацш, яка шюструе, як iз збшьшенням кiлькостi доданкiв розкладу функци y = f (x) в ряд Фур'е графж цього розкладу наближатиметься до графiка функци.
Нехай задано функцш f (x) = 2x +1 на iнтервалi [-п;п]. Розкладемо 1i в ряд Фур'е. Отримаемо:
1 п 1 п
a0 =—j (2x + 1)dx =—((2 + x) = 2,
п -п П —п
1 п 1 п 2 ж 2 — j (2x +1) cos nxdx = —(2x +1) sin nx--j sin nxdx
an
п п n ^
-п —ж
п n
•cos nx
0,
1 п 1 п 2 п
bn = — j (2x +1) sin nxdx =--(2x +1) cos nx +--j cos nxdx =
п п п n —п п n —
1 / \ 2
:--((2я + 1) cos Пп — (—2п + 1) cos(—nп)) +--2 sin
пп п n2
Одержуемо ряд Фур'е задано! функци
nx
(— 1)n +1—, n=1, 2,... n
2х +1 = 1+ £ (—1)и — sin
да i 4 Л
n+1 4 ■
пх
n=1
n
Обчислення можна спростити, скориставшись можливостями Mathcad. Хоча цей пакет не мае вбудованих функцш для знаходження коефщенлв ряду Фур'е, та це можна зробити наявним шструментом штегрування.
N := 2 FRAME + 2
f(x) := (2x + 1) CoeffF(f, N) :=
R<0>^
rn
1
2-Я
— n
V 0
for n e 1.. N
f
Л
f(x) dx | )
R<n>^
J_
П J_
rn Л
f(x) -cos(n-x) dx
— П
ГП
f(x) -sin(n-x) dx
)
a := res
(R)
res := CoeffF(f,N)
<0>
„<1>
b := res
P(x) := у + ^ (an-cos(n-x) + bn-sin(n-x))
N
n = 1
Внаслщок отримуемо функцiю p(x), яка е сумою N перших доданюв задано! функцi!. Побудуемо графiки функцi! f (х) та p(x) на вiдрiзку [—п,п]. Значення N буде залежати вiд змшно! FRAME.
Рис. 4. Демонстраця замши функци рядом Фур 'е
В область ашмаци включимо графжи функцiй та значення N. Запише-мо вщеофайл з 16 кадрiв 3i швидюстю один кадр на секунду. Останнш кадр при цьому зображае наближення функцш f(x) многочленом Фур'е, складе-ним з 32 доданюв (рис. 4).
Висновки. Як бачимо, побудова ашмацшних графiкiв функцiй дае змогу унаочнити процес викладання вищо! математики, вiзуалiзувати його, а це, своею чергою, сприяе пiдвищенню якост математичних знань майбутнiх фахiвцiв, а шформатизащя навчального процесу мае бути заснована на орга-нiчному поеднанш традицiйних i новiтнiх засобiв навчання.
Лггература
1. Дубовик В.П. Вища математика : навч. поабн. / В.П. Дубовик, I.I. Юрик. - К. : Изд-во АСК., 2001. - 648 с.
2. Овчинников П.П. Вища математика. - У 2-ох ч. - Ч. II / П.П. Овчинников, Ф.П. Ярем-чук, В.М. Михайленко. - К. : Вид-во "Техшка". - 2000.
3. Алексеев Е.Р. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 5 / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова. - М. : Изд-во "НТ Пресс", 2006. - 496 с.
4. Васша Л.С. Практичш роботи з використанням MathCAD в кура "Диференщальш рiвняння" / Л.С. Васша, В.Д. Мохонько // Методичш проблеми викладання математики у вищих навчальних закладах : матер. XV мiжвуз. наук.-практ. конф., 24 лют., 2010 р. - Львiв, 2010. - С. 43.
5. Карабин О.О. Використання комп'ютерно'1 алгебри при проведенш занять з курсу вищо'1 математики для iнженерних спецiальностей / О.О. Карабин, О.В. Меньшикова, О.Ю. Чмир // Методы совершенствования фундаментального образования в школах и вузах : матер. XIV Междунар. научно-метод. конф., 21-25 сент., 2009 г. - Севастополь, 2009. - С. 49.
Кузык А.Д., Меньшикова О.В., Трусевич О.М., Карабын О.О. Мультимедийные технологии в процессе преподавания высшей математики
Сочетание традиционных и новейших технологий в учебном процессе способствует повышению качества математических знаний студентов и улучшению подготовки квалифицированных специалистов. Показаны возможности использования программного пакета Mathcad 13 в процессе преподавания высшей математики. Подробно описан процесс создания серии кадров анимационного видеоролика, а также процесс анимации зависимости формы эллипса от эксцентриситета и разложение функции в ряд Фурье. Все этапы построения анимации изображены на рисунках.
Ключевые слова: анимированный график, эксцентриситет, ряд Фурье.
KuzykA.D., Menshikova O.V., Trusevych O.M., Karabyn O.O. The use of multimedia in higer mathematics teaching process
The combination of traditional technologies and multimedia in the teaching process facilitates the increase of quality of mathematics knowledge that students have and improvement of qualified specialists preparation. The possibilities of Mathcad 13 software package usage in the process of teaching mathematics have been shown. There is a detailed description how the series of the animation video filming shots have been created and the animation process of the ellipses shape dependence on the eccentricity and finally the decomposition of the function in the Fourier row. All these stages of animation creation are accompanied with pictures.
Keywords: animation graph, eccentricity, Fourier series.
УДК 658.5:061.5 Доц. Н.Г. Мщенко, канд. екон. наук;
магкшр С.В. Титар - Львiвська КА
ПРОБЛЕМНИЙ АНАЛ1З В УПРАВЛ1НН1 РЕСУРСНИМ ПОТЕНЦ1АЛОМ ТОРГОВЕЛЬНИХ ШДПРИСМСТВ
Визначено сутнють та складовi ресурсного потенщалу торговельного тд-приемства. Обгрунтовано необхщшсть проблемного аналiзу ресурсного потенщалу
