CC BY
45
МОТИВАЦИЯ КАК ФАКТОР ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВАЗНАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ У УЧАЩИХСЯ У-1Х КЛАССОВ СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЫ
© 2012 Сулейманов Г.Г., Шихалиев Х.Ш.
Дагестанский государственный педагогическийуниверситет
Рассмотрена проблема качества математических знании учащихся V-IX классов сельской школы, где обучение ведется на русском, неродном для детей, языке, показана роль приемов мотивации в повышении качества знаний школьников.
The article deals with the problem the quality of the 5-9th-form pupils’ knowledge at rural schools where the education is in Russian, non-native language for children. The authors show the role of methods of motivation in increasing the quality of schoolchildren’s knowledge.
Ключевые слова: мотивация, сельская школа, обучение математике, качество знаний.
Key words: motivation, rural school, teaching the Mathematics, quality of knowledge.
Решение образовательной,
познавательной и воспитательной задач в процессе обучения математике на уровне требований времени невозможно без реализации концепции личностноориентированного подхода, без учёта индивидуальных особенностей учащихся при обучении математике, где роль активизации мыслительной деятельности школьников при обучении предмету особенно важна.
В мотивации, исходя из нашей практики, мы обращаем внимание на непосредственную бытовую потребность в математических знаниях и опосредованную потребность в математических знаниях для познания как самой математики, так и других предметов школьного образования.
К примеру, тема «Пропорция» должна служить у учащихся опорой для решения задач практического и производственного содержания. Например, известен рецепт для изготовления варенья (на 5 кг вишни требуется 4 кг сахара). Возникает вопрос: Сколько килограммов сахара
требуется для изготовления варенья из 12 кг вишни? Обозначив требуемое количество сахара через х, получим:
отношение масс вишен должно равняться отношению масс сахара, то есть, имеем пропорцию: 5 : 12 = 4 : х => х = (12 • 4) : 5 = 9,6 (кг). Учащиеся чаще затрудняются в выборе действия при решении задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби; при применении пропорции в решении этих задач такие сомнения исчезают. Например, решается задача: «Израсходовано 750 рублей, что составляет 3/4 всех имеющихся денег. Сколько было денег первоначально?» Осмысление содержания задачи приводит к пропорции: все имеющиеся деньги
составляют 4 части, а израсходованные -3 части. Неизвестна первоначальная сумма. Обозначив её через х, составим равенство между отношением денег и отношением им соответствующих частей: 3 : 4 = 750 : х => х = (750 • 4) : 3 = 1000 (руб.). Мотивация, побуждая узнать что-то новое, становится одним из основных средств познания,
приобретения знаний, расположения
школьника к учёбе. В частности,
учащиеся не так успешно воспринимают формулу вычисления площади
треугольника (как половину
произведения длины любой его стороны
и высоты на эту сторону). Когда они сталкиваются с вопросами измерения площадей участков треугольной или других форм, разбивая фигуры на треугольники, заинтересованность
школьников повышается. Значит, нужно доказать теорему о вычислении площади треугольника, зная только вычисление площади прямоугольника (длину умножить на ширину). Подобная предварительная подготовка к доказательству данной теоремы
повышает активность учащихся в этой деятельности. Ставится вопрос: как
переделать данный треугольник в прямоугольник или же дополнить данный треугольник до прямоугольника?
При этом активность учащихся всего класса усиливается. В первом варианте треугольник преобразуется в
прямоугольник, при этом ничего не выбрасывается и ничего дополнительно не используется (рис. 1а). Требуется
доказать, что 8Д=1/2-|АВ|-|СО|. Площадь такого треугольника равна площади прямоугольника АВЕР (рис. 1а), длина которого совпадает со стороной АВ треугольника, а ширина в 2 раза меньше высоты СБ треугольника, то есть 8цАВБР =8 А АВС = |АВ| • |АР| = 1/2 |АВ|
• |СБ|.
С
Р ^ Е
Рис. 1.
прямоугольника (рис. 16), имеем:
8цАВБР =8цАБСР +8ц,БВБС. Площадь каждого из этих прямоугольников состоит из площадей двух равных треугольников: 8цАВБР = |АВ| • |АР| = 8цАБСР + 8цБВБС = |АВ| • |АР |=> 2 • 8ААБС + 2 • 8АБВС = |АВ| • |АР| => 2 • 8ААВС = |АВ| • |АР| => 8ААВС =1/2 |АВ|
• |АР|, где |АР| = |СБ|, что и требовалось доказать. Такой аналитико-синтети-ческий подход к рассуждениям при доказательстве теоремы,
сопровождаемый геометрическими
изображениями, способствует и прочному закреплению усвоенного, и развитию умений и навыков применения этих знаний на практике. Понятие «вектор» трудно усваивается учащимися, поскольку первоначальное его восприятие начинается с отрезка, имеющего свое направление. Однако понимание нужно углубить
мотивационными средствами, говоря о множестве таких отрезков, имеющих такую же длину и такое же направление. Подобное толкование понятия - один и тот же вектор может быть расположен на любом месте плоскости или пространства - интригует учащихся и активизирует их учебную деятельность. Другими
словами, вектор, воспринятый
учащимися как конкретный
направленный отрезок, окружён
бесконечным множеством таких же векторов - «невидимок», причем любой из этих «невидимок» может проявляться в нужном случае. Подобное осмысление и восприятие понятия «вектор» на первоначальном этапе становятся
средством дальнейшего усвоения всего материала о векторах и применения их как средства решения задач и доказательства теорем. Приведём ряд примеров. Пусть даны два вектора: и
Ср (рис. 2а).
Во втором случае, в случае
дополнения данного треугольника до
в
в с
р
Рис. 2.
С помощью этих векторов можно образовать третий вектор, совмещая конец одного из них с началом другого, при этом возможны два варианта (рис. 26,
в). Конец вектора др совмещен с
началом вектора £р (рис.26), началом первого и концом второго векторов образуется третий вектор др, который называется суммой данных векторов: др + £р = др . На рисунке 2в слагаемые векторы переставлены местами: конец —^
вектора (^р совмещен с началом вектора др ; началом первого и концом второго образован третий вектор ^р:
£Р + др = £Р . Нетрудно убедиться в
том, что и вектор др , и вектор £р
одинаковые: их длины равны и
направление одинаковое. Примером реального содержания такой картины может быть выталкивание застрявшего в грязи автомобиля двумя лицами. Подобные упражнения выполняются учащимися увлеченно и осознанно. Более того, как следствие сложения векторов, появляется действие умножения вектора
на число, если слагаемые векторы одинаковые (рис. 3).
А В М
-------►-------►-------►-------►
Рис. 3.
АВ+АВ+АВ+АВ = 4 • АВ = АМ
Последнее равенство свидетельствует
О ТОМ, ЧТО векторы др И
параллельны, то есть при умножении вектора на число получается вектор, параллельный данному вектору, но направление изменится в
противоположную сторону, если
умножается на отрицательное число, а параллельность сохраняется в любом случае. Такое мотивационное пояснение нельзя оставлять без подкрепления практическим примерами. Например, с помощью векторов легко доказывается ряд теорем, в частности, теорема о средней линии треугольника: «Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна её половине», то есть нужно доказать истинность равенства: [АВ] || [МР] , |МР| = 0,5 • |АВ| (рис. 4).
С
Рассуждения при доказательстве простые. Поскольку точки М и Р являются серединами сторон по
построению, ТО векторы ДС И £Р
равны: дС = 2.МС и СВ = 2 • СР ■
Вектор АВ = АС + СВ = 2 • МС + 2 • СР =
= 2(МС + СР) ^ АВ = 2 • МР
Последнее равенство свидетельствует и о параллельности отрезков [АВ], [МР], и о соотношениях их длин. Что и
требовалось доказать.
b
2,2 a -b
а - b
а+Ь (а -Ь)(а+Ь)
Рис.5
Мотивация при обучении математике в сельской национальной школе располагает учащихся и к поиску применения приобретенных знаний для познания другого, еще непознанного материала. Например, тождественное преобразование а2 - Ь2 = (а + Ь) (а-Ь) прочно не фиксируется в сознании учащегося, поскольку они не знают, для чего нужно такое преобразование. Поэтому мы поясняем возможные функции такого преобразования: для
вычисления числовых выражений вида 172 - 132 = 30 • 4 = 120. Для сокращения дробей, для иллюстрации площадей. Например, а2 - площадь квадрата со
стороной а единиц, Ь2 - площадь квадрата со стороной Ь единиц, а выражение а2 -Ь2 означает площадь прямоугольника, длина которого равна а + Ь единиц, а ширина равна а — Ь единиц, что можно изобразить с помощью геометрических фигур (рис. 5).
Одним из важнейших направлений решения обозначенной проблемы служит интенсификация учебного процесса, разработка и внедрение таких форм и методов обучения, которые
предусматривали бы целенаправленное развитие мыслительных способностей учащихся. Поэтому мы опирались на широкое внедрение в практику обучения мотивационного подхода к познанию. Учащихся интересуют такие задачи,
которые решаются с помощью математических знаний, полученных на уроках. Например, изучается теорема синусов: «Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла в треугольнике есть число постоянное». Другими словами, длины сторон треугольника пропорциональны синусам противоположных этим
Л , .Л
сторонам углов: а : sinb : sin^g =c : sin с.
Смысл этой теоремы воспринимается учащимися тогда, когда предлагается для решения задача: Определить высоту
полета самолёта в тот момент, когда данный самолет пролетает над городом, к примеру, над Махачкалой.
С
Рис. 6.
Одновременно из разных мест города, расстояние между которыми равно определённому числу, например, 3 км, смотрят на этот самолёт и определяют величины углов между направлениями зрений на самолёт и поверхностью земли. Схематично такая картина представляется следующим образом: наблюдательные точки А и В находятся на земле, а точка С - самолёт (рис. 6).
Величина угла С равна 110°. Составляем пропорцию на основании теоремы синусов: |ВС| : 8т30° = |АВ| :
8ш110о => |ВС| = (3^т30°) : 8т110° => |ВС| ~ 1,6 (км); или же |АС|:8ш40°= |АВ|: 8ш110° => |АС| =(4^т40°):8т110°=>|АС| я 2,1(км). Значит, самолёт отдален от точки В в тот момент на 1,6 км, а от точки А на 2,1 км.
Востребованность приобретаемых знаний привлекает внимание учащихся к изучаемому материалу и дает импульс
для осознания доказательства теоремы. В данном случае можно предложить различные варианты доказательства, что воспринимается учащимися хорошо. В частности, сложные рассуждения не требуются, если опираться на формулу вычисления площади треугольника через синус угла и длин двух его сторон, между которыми задан угол, что можно записать относительно любых двух сторон:
1) SAABC=0,5ab sin £; 2 ) SAAEC = /-ac
. sin B ; 3)SAAEC= /•be.sin A . Сравнивая правые части этих трёх равенств между собой, получим: ab sin £ =ас sin B = be sin A .
Разделив число (a- b -с) на каждое из этих выражений, получим:
ab с ab с ab с
---------~ = -----X----= ------X----^
ab ■ sin C sin B-ac sin A-be
^ c : sin C = b : sin B = a : sin A .
Что и требовалось доказать.
После доказательства этой теоремы и осознания её прикладного значения у учащихся появляется желание определить расстояние до Луны и других небесных тел. Главное даже не в этом, а в том, что учащиеся проявляют интерес к следующей теореме - теореме косинусов. Они задают вопросы: где можно
применять эти знания? При таком интересе учащихся к данным теоремам, можно провести обобщающую беседу по этим темам. Прежде чем приступить к доказательству теоремы косинусов: «Квадрат длины любой стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними», в национальной школе желательно
провести словарную работу. Например, спросить: Что означает смысл выражения «без удвоенного произведения?» Нельзя ли эту мысль выразить иначе? Тогда как прочитать теорему в этой новой формулировке? В каких случаях целесообразно применять эту теорему? и т. д. В частности, словосочетание «без удвоенного произведения» имеет смысл «минус удвоенное произведение?»
(нужно вычитывать произведение этих сторон, умножив его на 2). После такой мотивационной и словарной работы доказательство теоремы воспринимается в национальной школе лучше и осознанно. Проще всего можно доказывать эту теорему после разъяснения скалярного произведения двух векторов, принимая стороны треугольника за векторы. Доказать: 1) а2
= Ь2 + с2- 2 Ьсс°8 А (рис.6); 2) Ь2 = а2 +
с2-2ас с°8 В ; 3) с2 = а2 + Ь2- 2-а-Ь с°8 С .
Доказательство. Докажем истинность первого равенства (другие равенства доказываются аналогично). Примем с за начало векторов и выразим вектор св через два других вектора:
СВ = СА + АВ . Найдём скалярный квадрат этого вектора:
(СВ- СВ)2 = (СА+ АВ) ■ (СА+ АВ) = с
= СА- СА+ АВ• АВ + 2 • СА- АВ (1).
В этом равенстве имеются два скалярных квадрата и одно скалярное произведение двух векторов, угол между которыми тупой:
2 • СА- АВ = 2 • |СА| ■ | АВ| • ^(180° - А)
^ 2 СА- АВ = -2Ьс с°э А (2).
Подставляя это значение в формулу
(1), получим: а2 = Ь2 + с2-2 Ьс- с°8 А , чт0
и требовалось доказать. Из доказанных теорем синусов и косинусов видно, что первую теорему удобно использовать, когда известны два угла и одна сторона, а вторую теорему - когда известны две стороны и угол между ними. Эти теоремы, дополняя друг друга, используются при решении задач на тему «Треугольники». Более того, теорема косинусов позволяет доказать теорему, обратную теореме Пифагора, расширяя её функции, охватывая остроугольный и тупоугольный треугольники.
Мотивация на уроках математики в сельской национальной школе способствует повышению качества знаний школьников по математике,
снижению формализма в усвоении применять эти знания в познании и
знаний и выработке умений учащихся практике решения задач.
Примечания
1. Мышкис А. Д. К методике прикладной направленности при обучении математике // Математика в школе. 1988. № 2. С. 12. 2. Сулейманов Г. Г. Образцы практических упражнений и задач прикладного направления. Махачкала, 2006. 24 с. 3. ШихалиевХ. Ш. Геометрия на плоскости 5-9. Махачкала : ДГПУ, 2007. 350 с.
Статъя поступила вредакцию 18.02.2012 г.
