CC BY
22
УДК 373.1.02
ПОЗНАНИЕ КАК ОСНОВА РАЗВИТИЯ ЛИЧНОСТИ ШКОЛЬНИКА
© 2013
Шихалиев Х.Ш., Хаджарова И.М.* Дагестанский государственный педагогический университет ^Московский государственный открытый университет
им. В. С. Черномырдина
В статье речь идет об организации процесса обучения математике в школе на основе взаимосвязи познаваемого объекта с различными другими объектами и материалом в целом, что становится гарантом повышения качества знаний учащихся и их интеллектуального уровня.
The article focuses on the organization of the process of teaching the mathematics in the school based on the relationship between the cognizable object and other various objects and materials in general, which is the guarantee of improving the quality of pupils’ knowledge and their intellectual level.
Ключевые слова: процесс познания, комплексный подход, обучение математике в V-IX классах, повышение качества знаний учащихся.
Keywords: cognition process, integrated approach, teaching the mathematics in the 5-9th forms, improving the quality of pupils’ knowledge.
На современном этапе развития общества школьник находится в ситуации выбора направления деятельности, проявления активности, инициативы, мобильности, характеризующих стремление к самовыражению, самоопределению и т. д. Основу учебной деятельности составляет познавательная активность, направленная на первоначальное познание понятий, обнаружение связей между ними. С этих позиций на начальном этапе необходимо обеспечить формирование системности знаний учащихся, логической последовательности в рассуждениях и т. д. Следовательно, соблюдение логики познания математических объектов и понятий представляет собой элемент не только процесса познания, но и педагогического взаимодействия, где психологи отмечают связь между уровнями актуальных и ближайших знаний. Переход от первого уровня ко второму должен быть организован доступным «мостиком», где учащийся без особой психологической нагрузки, комфортно чувствуя себя, должен перейти к ближайшему уровню актуальных знаний. Следует отметить значимость расширения совокупности актуальных знаний, можно расширить поле возможностей для перехода к уровню ближайших знаний, соблюдение которого способствует не только прочности формируемых знаний учащихся, но и выработке умений применять их в практической деятельности. Следовательно, в технологии обучения математике необходимо соблюдение методики организации познавательного процесса, сказываемой на качестве знаний школьников, свидетельством чего выступают результаты ЕГЭ не только в отдельно взятом образовательном учреждении региона, но и по всей России. С этих позиций нами раскрывается подход к организации познавательного процесса на примере решения уравнений первой и второй степеней с построением графика квадратного трехчлена.
Уравнение (неравенство) считается простым и решенным, если оно приведено к такой форме: х = а (х<а, или же х>а), где a R (С). При этом любое уравнение
(неравенство), приведенное к такой форме, применяя к нему свойства числовых равенств или неравенств, не подлежит дальнейшему исследованию.
Следует отметить, что решение уравнений и неравенств рассматривается в практике школы отдельно, хотя было бы желательным и целесообразным их совместное
исследование, поскольку на примере решения уравнений формируется схема рассуждений, целиком применимая и к решению неравенств. Уравнение вида х+Ь=0 легко приводится к простому виду переносом числа Ь из левой его части в правую часть: х=—Ь. Аналогично, уравнение ах=Ь легко приводится к простому виду делением обеих его частей на а: ах=Ь х=Ь/а, где а ^ 0. Если этот этап решения уравнений
воспринимается учащимися неплохо, то в дальнейшем, при переходе к ближайшему уровню встречаются затруднения, поскольку в практике решения уравнений этот этап хорошо не отработан в учебных пособиях. Например, уравнение может быть задано в виде: (ах+Ь)(сх+с1)=0: (1). Решение подобных уравнений опирается только на одно, знакомое учащимся со второго класса правило: произведение равно нулю, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю, то есть (ах+Ь)(сх+с1)=0 ах+Ь=0 V сх +с1=0 х= —Ь/а V х=—с1/с.
Следующий шаг - это умение привести любое другое уравнение к виду (1), поскольку решение таких уравнений теперь стало уровнем актуальных знаний. Например, требуется решить уравнение вида: Зх2+5х+2=0. (2). Связь между
уравнениями (1) и (2) заключается в том, что левая часть последнего уравнения не представлена разложением на множители. Следовательно, левую часть уравнения (2) нужно разложить на множители. А способов разложения многочлена на множители много, из которых пока учащиеся знают только три: 1) вынесение общего множителя за скобку; 2) способ группировки; 3) использование формул сокращенного умножения. Первый из этих способов невозможно применять к данному примеру - нет общего сомножителя для всех слагаемых. Для применения второго способа не хватает слагаемого, но его можно восстановить за счёт слагаемого 5х, представив его в виде суммы 5х=3х+2х: Зх2+5х+2 Зх2+Зх+2х+2 Зх (х+1) + 2(х+1) (х+1)(Зх+2).
Значит, левая часть уравнения (2) разложена на множители и приведена к уравнению вида (1), оно решается как уравнение (1): Зх2+5х+2=0 (х+1) (Зх+2)= 0 х= -1 V х=-2/3.
Часто учителя и учащиеся успокаиваются этим результатом, не рассматривая других возможных вариантов разложения левой части уравнения (2) на множители. Без рассмотрения третьего варианта разложения - это применение формул сокращенного умножения, - нельзя считать вопрос завершенным. В данном случае нужно рассмотреть такие варианты разложения: а2—Ь2=(а+Ь)(а—Ь) или же а2+2аЬ+Ь2= (а+Ь)2.
Обращая внимание учащихся на левую часть уравнения (2), нужно сразу же подчеркнуть перед ними первые два слагаемых, которые могут быть (после некоторого преобразования) приравнены к первым двум слагаемым формулы а2+2аЬ+Ь2=(а+Ь)2. Разделив правую и левую части уравнения (2) на 3, получим: Зх2+5х+2=0 х2+5х/3
+2/3=0. Второе слагаемое 5х/3 занимает место второго слагаемого в квадрате суммы двучлена: 2ав. Принимая букву а за букву х, остальной сомножитель 5/3 - за 2Ь, представим 5/3 как 2-5/6, то есть нужно во втором слагаемом видеть удвоенное произведение первого и второго слагаемых: 5х/3= 2х-5/6. Такая детализация в
сравнении выражений 5х/3 и 2аЬ необходима с целью осмысления учащимися того, что ими делается и зачем это делается. Итак, мы узнали первое слагаемое - это х, и второе слагаемое - это 5/6. Для выделения полного квадрата не хватает квадрата второго 25
слагаемого - (5/6)2= 36 _ Прибавим этого не хватающего слагаемого и одновременно вычитаем его, чтобы значение первоначального выражения не изменилось:
25 25
Зх2+5х+2=0 х2+5х/3 +2/3=0 х2+5х/3 + 36 _ 36 +2/3=0. Первые три слагаемые
последнего равенства представляют квадрат суммы: х2+5х/3 + — +2/3=0 (х+
)2- =0 (х+ )2- =0.
Используя формулу разложения а2—Ь2=(а+Ь)(а—Ь) к полученному результату, будем 5 1 5 15 1
иметь: (х+ 6 )2- 36 =о (х + 6 - 6 )( х+ 6 + 6 )=о (х+
2
3 )(х+1)=0 х=-2/Зух=-1.
Итак, рассмотрев оба варианта разложения квадратного уравнения на множители и сравнивая их между собой, подчеркиваем мобильность второго варианта, поскольку при разложении способом группировки встречается ряд трудностей при подборе не хватающего слагаемого, хотя этот прием намного упрощает процесс преобразований. Более того, при построении графика квадратичной функции часто приходится
_Ь_
выделить в ней квадрат двучлена: у=ах2+Ьх+с у=а ((х + )
Ь2-4ас Ъ Ь2-4ас
2- 4«2 ) у = а (х + 2а )2- 4а
К построению графика такой функции нужно подвести учащихся постепенно, расширяя актуальный уровень знаний за счёт усвоения ближайшего уровня. Сначала учащиеся учатся построить график функции у=х2, затем функции у=ах2, далее -у=х2+с, у = (х+р)2, у = а(х+р)2, у = а(х+р)2+с. Такая последовательность
рассмотрения фактов, вытекающих один из другого, способствует осознанию внутрипредметных связей, с одной стороны, и формированию системности в знаниях учащихся - с другой. При этом повышается познавательная способность школьников. Заметим, что при расширении зоны актуального уровня знаний учащихся системность знаний от темы к теме становится более прочной, повторяя то, что ими пройдено ранее и оперируя этим материалом многократно на различных уровнях его прохождения.
Таким образом, при соблюдении культуры познания укрепляется база актуального уровня знаний, сопровождая иллюстративными схемами (геометрическим языком), приобретаемые знания становятся прочной основой для познания и решения практических задач, учащиеся получают возможность умело использовать приобретенные знания в практике. Именно такой подход к познанию, раскрывая суть изучаемого материала в разнообразных вариантах его проявления, используя различные структурные компоненты математического языка (геометрического, алгебраического, теоретико-множест-венного, логического в сопровождении языком этноса), позволяет делать процесс обучения познавательной деятельностью учащихся, представляющей базой формирования его интеллектуального уровня развития и познания. При такой методике доминирующей особенностью становится деятельностный подход к развитию учащихся средствами комплексного восприятия. При этом учащиеся вовлечены в продуктивную творческую деятельность.
Приведем еще пример, демонстрирующий смысл сказанного. Учащиеся не всегда замечают единства различных форм записи одного и того же выражения,
а
например, а:Ь и ^ . Такие «ме- лочи» сказываются на осмыслении действий над
4 4/ з
алгебраическими выражениями. Аналогичная картина и в записях: а и при а
>0.
Обратим внимание на доказательство теоремы косинусов, которое, к сожалению, редко кто из учащихся умеет доказывать. Почему? Потому что этот вопрос не рассматривается различными способами. Если разъяснили бы доказательство этой теоремы хотя бы в двух вариантах, то сравнивая эти рассуждения между собой, учащиеся запомнили бы хоть один из этих способов. Читаем теорему косинусов: «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними».
Проводим словарную работу над текстом теоремы и поясняем смысл выражения «без удвоенного произведения», что означает «минус удвоенное произведение». С другой стороны, иллюстрируем текст теоремы на алгебраическом и геометрическом языках (рис. 1):
Требуется доказать: а2=Ь2+с2—2cb cos ^ .
Доказательство первое. На рисунке 1-а представлены два прямоугольных треугольника: ACM и МСВ. Выразим катет СМ через другие стороны дважды:
СМ2=Ь2—х2 и СМ2=а2—(с—х)2. Сравнивая правые части этих равенств, получим: Ь2
Л
—х2 = а2—(с—х)2 а2= Ь2+с2— -2сх, где х bcos ^ . Итак, получилось то, что и
Л
требовалось доказать: а2=Ь2+с2—2с bcos А .
Доказательство второе. На рисунке 1-6 стороны треугольника приняты за векторы.
Вектор СВ выразим через два других вектора: СВ =АВ-АС _ Найдем скалярный квадрат этого вектора, то есть возводим обе части этого равенства во вторую степень:
ч, ^ ^ —> —> —> —>
гп АК2 + АС2— 1 АК. AC AR- АС
2 = пп т I.; где выражение представляет скалярное
произведение двух векторов, оно равно произведению длин этих векторов на косинус
угла между ними, то есть мы получили то, что требовалось доказать: а2=Ь2+с2—2с b
COS А .
Учащиеся, сравнивая ход рассуждений в обоих доказательствах, видят, что тут недоступного нет. В первом случае мы использовали теорему Пифагора, проводя высоту в этом треугольнике, и тригонометрическую функцию угла А. Во втором случае использовали векторы и операцию сложения векторов, возведение в квадрат данного вектора. Далее можно закрепить повторением, соревнуясь в качестве освоения доказательства. В таких технологиях рассуждений проблемный характер постановки вопроса дает основание для размышления, через актуальный уровень знаний учащихся мы выходим на ближайший уровень, а далее по такой цепочке учащиеся выходят на уровень познавательных рассуждений, на уровень поискового мышления, опираясь на имеющийся у него уровень знаний. Вот в чем заключается смысл культуры познания. При такой методике у школьников появляется желание в поисках других способов доказательства, учащийся выходит на уровень мыслительной деятельности применительно к данному уровню познания.
Технология познания должна быть многоликой, как, например, наличие многих путей приезда в какое-нибудь село (город). В поисках различных методов познания объекта и доказательств теорем главную роль играют элемент самостоятельности школьника, его проблемно-поисковое расположение к постановке вопроса, его мозговой штурм на поиск решения, пусть даже этот штурм безрезультатный. Только при этом учащийся учится вступить в диалог, игровую оболочку своих умственных действий, школьник учится искусству ведения рассуждений в конкретной ситуации, искусству самовыражения и ведения диалога. В итоге у школьника формируется культура познания непознанного, опираясь на собственный багаж знаний.
Психологами, в частности Л. В. Занковым, опровергаются ссылки на недоступность сложного и обширного материала, выходящего за границы издавна сложившегося объема и содержания знаний, все зависит от того, как будет представлен материал, обучение должно строиться не только на завершенных циклах развития, но прежде всего на тех функциях, которые ещё не созрели. Именно такой подход к обучению школьников способен двигать учащихся вперед. По их мнению, обучение свою ведущую роль в умственном развитии школьника осуществляет, прежде всего, через содержание усваиваемых им знаний. «Педагогика, - пишет Д. Б. Эльконин, цитируя Л. С. Выготского, - должна ориентироваться не на вчерашний, а на завтрашний день детского развития. Только тогда она сумеет вызвать в процессе обучения к жизни те процессы развития, которые сейчас лежат в зоне ближайшего развития» [цит. по 4. С. 31]. Лежащие в зоне актуального развития знания о теореме Пифагора, или об операциях над векторами, должны работать на завтрашний день, на ближайшие уровни развития, иначе зона актуального развития теряет свои функции, эти знания должны непрерывно работать. Значит, важнейшим критерием умственного развития учащегося является соблюдение культуры познания ими в процессе обучения. Таким критерием, по нашему убеждению, является комплексное рассмотрение изучаемого материала, опираясь одновременно на несколько структурных компонентов понятия «математический язык».
Примечания
1. Выготский Д. С. Проблемы общей психологии // Сб. сочинений в 6-ти томах. Т. 1. М. : Педагогика, 1982. 480 с. 2. Шихалиев X. Ш. Алгебра 7-9: Учебно-экспериментальное пособие. Махачкала : Наука ДНЦ, 2011. 250 с. 3. Шихалиев X. Ш. Геометрия на плоскости 5-9: Учебно-эспериментальное пособие для общеобразовательной школы, Махачкала : Наука ДНЦ, 2010. 350 с. 4. Эльконин Д. Б., Давыдов В. В. Возрастные возможности усвоения знаний // Экспериментальные исследования по психологии установки. Т. III. Тбилиси : АН, 1966.
Статья поступила в редакцию 02.03.2013 г.
