CC BY
77
УДК 004.94
Исаев Р.А.
Брянский государственный технический университет, г. Брянск, Россия
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЭКСПЕРТНОЙ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ НЕЧЕТКОЙ КОГНИТИВНОЙ МОДЕЛИ
АННОТАЦИЯ
Предложена модификация метода парных сравнений Саати, основанная на использовании альтернативной шкалы оценки превосходства. Выявлены и продемонстрированы преимущества альтернативной шкалы перед классической шкалой в контексте задачи назначения весов нечетких когнитивных карт. Для предложенной шкалы рассчитан случайный индекс согласованности.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Нечеткие когнитивные модели; нечеткие когнитивные карты; метод парных сравнений.
Isaev R.A.
Bryansk State Technical University, Bryansk, Russia
MODIFIED PAIRWISE COMPARISON METHOD FOR EXPERT ESTIMATION OF A FUZZY COGNITIVE MODEL PARAMETERS
ABSTRACT
This paper proposes the modification of the Saaty's pairwise comparison method based on the use of alternative scale of superiority. We demonstrate advantages of alternative scale over the classical scale in the context of assigning weights for fuzzy cognitive maps. We also present the random consistency index for that scale.
KEYWORDS
Fuzzy cognitive models; fuzzy cognitive maps; pairwise comparison method. Введение
Одним из подходов к моделированию слабоструктурированных систем, широко применяемым в настоящее время, является когнитивныи подход. В соответствии с определением, приведенным в [1], данныи подход ориентирован на разработку формальных моделеи и методов, поддерживающих интеллектуальныи процесс решения проблем благодаря учету в этих моделях и методах когнитивных возможностеи (восприятие, представление, познание, понимание, объяснение) человека при решении управленческих задач. В качестве основного инструмента исследования систем, применяемого в рамках когнитивного подхода, выступают так называемые когнитивные модели.
Когнитивные модели и нечеткие когнитивные модели: основные понятия
В общем случае когнитивная модель основана на формализации причинно-следственных связеи, которые имеют место между факторами, характеризующими исследуемую систему. Результатом формализации является представление системы в виде причинно-следственнои сети, называемои когнитивнои картои и имеющеи вид:
G = < E, W >,
где E = {ei, e2,..., en} - множество факторов (называемых также концептами), W - бинарное отношение на множестве E, которое задает набор связеи между его элементами. Данная причинно-следственная сеть называется когнитивнои картои моделируемои системы.
Элементы ei и ej считаются связанными отношением W (обозначается (e^, ej) eW или
ejWej) , если изменение значения концепта ei (причины) приводит к изменению значения концепта ej (следствия). В соответствии с терминологиеи когнитивного моделирования, в этом случае
говорят, что концепт ei оказывает влияние на концепт ej. При этом если увеличение значения переменной состояния концепта-причины приводит к увеличению значения переменной состояния концепта-следствия, то влияние считается положительным («усиление»), если же значение уменьшается - отрицательным («торможение»). Тем самым, отношение W можно
представить в виде объединения двух непересекающихся подмножеств Ж = Ж+ и Ж", где М + -множество положительных, а W- - множество отрицательных связеи. Сами концепты при этом могут задавать как относительные (качественные) показатели, такие как популярность, социальная напряженность, так и абсолютные, измеримые величины - численность населения, стоимость и т.п.
Развитием классического понятия когнитивнои карты является понятие нечеткои когнитивнои карты Силова [6], основанное на весьма естественном предположении о том, что взаимовлияния между концептами могут различаться по интенсивности, и кроме того, интенсивность любого влияния может изменяться с течением времени. Для учета данного обстоятельства вводится показатель интенсивности влияния, и от «обычного» (классического) отношения мы переходим к нечеткому отношению W, элементы wij которого характеризуют направление и степень интенсивности (вес) влияния между концептами е\ и ej■.
wij = w(ei , ej),
где w - нормированньш показатель интенсивности влияния (характеристическая функция отношения Ш), обладающии следующими своиствами:
а) -1 < wij < 1;
б) wij = 0, если е\ не зависит от ej (влияние отсутствует);
в) wij = 1 при максимальном положительном влиянии е\ на е;, т.е. когда любая реализация изменении в системе, связанных с концептом е;, однозначно определяется деиствиями, связанными с концептом е\;
г) wij = -1 при максимальном отрицательном влиянии, т.е. когда любая реализация изменении, связанных с концептом е;, однозначно сдерживается деиствиями, связанными с концептом ег;
д) wij принимает значение из интервала (-1, 1) при промежуточнои степени положительного или отрицательного влияния.
Легко видеть, что нечеткая когнитивная карта допускает весьма наглядное представление в виде взвешенного ориентированного графа, вершины которого соответствуют элементам множества Е (концептам), а дуги - ненулевым элементам отношения М (причинно-следственным связям). Каждая дуга имеет вес, задаваемым соответствующим значением wij. Само отношение М представимо в виде матрицы размерности пхп (где п - число концептов в системе), которая может рассматриваться как матрица смежности данного графа и называется когнитивнои матрицеи.
Процесс когнитивного моделирования начинается с построения когнитивнои карты исследуемои системы на основе информации, получаемои от экспертов. На следующем этапе происходит непосредственно моделирование, основными целями которого являются формирование и проверка гипотез о структуре исследуемои системы, позволяющих объяснить ее поведение, а также выработка стратегии поведения в тои или инои ситуации с целью достижения заданных целевых состоянии.
Задачи, решаемые с помощью когнитивного моделирования, можно разделить на две
группы:
1. Задачи структурно-целевого анализа:
• нахождение факторов, оказывающих наиболее значимое влияние на целевые;
• выявление противоречии между целями;
• выявление циклов обратнои связи.
2. Задачи динамического анализа (сценарного моделирования):
• саморазвитие («что будет, если ничего не делать?»);
• управляемое развитие:
о прямая задача («что будет, если ...?»); о обратная задача («как сделать, чтобы ...?»). В частности, с помощью сценарного моделирования можно осуществлять поиск альтернативных решении по приведению моделируемои системы в целевое состояние. Целевое состояние описывается набором значении целевых факторов, а альтернативное решение представляет собои набор допустимых воздеиствии на управляемые факторы.
Одним из наиболее важных и при этом наиболее сложных этапов в процессе построения нечеткой когнитивной карты является так называемая параметрическая идентификация, т.е. определение весов связеи (интенсивностеи влияния) между концептами.
Некоторые концепты могут задавать количественные параметры исследуемои системы, и, следовательно, иметь числовые переменные состояния. Если при этом имеется статистическая информация о значениях этих переменных, то эту информацию можно использовать для идентификации весов связеи между такими концептами. Таким образом, для идентификации параметров нечеткои когнитивнои карты можно использовать статистические методы. Один из таких методов, основанныи на применении модели множественнои регрессии, предложен в работе
[4].
В условиях отсутствия статистических данных основным источником информации при построении карты являются эксперты, и для параметрическои идентификации применяются экспертные методы, которые делятся на прямые и косвенные. Прямые методы предполагают непосредственное (явное) задание весов экспертом. Косвенные методы используется для снижения влияния субъективизма при задании весов, и в их основе лежит разбиение общеи задачи определения весов на ряд более простых подзадач. Примерами косвенных методов являются метод парных сравнении Саати, метод множеств уровня Ягера и метод Черчмена-Акоффа. Описание этих методов применительно к задаче определения весов нечеткои когнитивнои карты можно наити в монографии [2]. В даннои работе предлагается модификация метода парных сравнении, основанная на использовании альтернативнои шкалы оценки превосходства.
Метод парных сравнений как способ назначения весов НКК
В методе парных сравнении [5] эксперт должен попарно рассмотреть для выбранного концепта все непосредственно связанные с ним концепты (при этом рассматриваются раздельно концепты, влияющие на данныи, и концепты, испытывающие влияние со стороны данного). В каждои паре требуется определить концепт, связь с которым имеет большии вес. Таким образом формируется матрица D, называемая матрицеи парных сравнении, где dij показывает, насколько влияние на концепт (со стороны концепта) ei сильнее влияния на концепт (со стороны концепта) ej. Матрица парных сравнении обладает следующими своиствами: dii = 1 и dij = 1/dji.
Полученная матрица проверяется на согласованность. Для этого вычисляются индекс согласованности CI и отношение согласованности CR:
CI = Amax ~ П , CR = —, n ~1 CIS
где CIS — среднее значение согласованности как случаинои величины, полученное экспериментальным путем, Amax — наибольшее собственное число матрицы. Значения CR > 0,1, как правило, дают основания сделать вывод о несогласованности матрицы D, и эксперту предлагается скорректировать свои оценки.
Искомьш вектор весов связеи W определяется как собственным вектор матрицы D при наибольшем собственном числе Amax:
DW = AmaxW.
Последнии этап вычислении — нормализация данного вектора путем деления на максимальныи элемент и его умножение на коэффициент силы связеи. Альтернативная шкала оценки степеней превосходства
В дополнение к классическои шкале для оценки степенеи превосходства в методе парных сравнении можно предложить альтернативную шкалу, содержащую дробные значения (табл. 1).
Таблица 1. Значения классической и альтернативной шкал
Словесное описание Классическая шкала Альтернативная шкала
Равное влияние 1 9/9
Совсем незначительное превосходство 2 9/8
Незначительное превосходство 3 9/7
Почти значительное превосходство 4 9/6
Значительное превосходство 5 9/5
Почти явное превосходство 6 9/4
Явное превосходство 7 9/3
Почти абсолютное превосходство 8 9/2
Абсолютное превосходство 9 9/1
Рассмотрим преимущества предлагаемои шкалы перед классическои шкалои в контексте задачи назначения весов НКК.
Одним из таких преимуществ является более высокая чувствительность альтернативнои шкалы при оценивании невысоких степенеи превосходства одного влияния над другим. Взамен, однако, теряется чувствительность при оценивании очень высоких степенеи превосходства. Таким образом, перед проведением каждои процедуры парных сравнении следует определять, что в данном случае актуальнее, и на основании этого выбирать тип шкалы. Далее приведены примеры процедур парных сравнении с использованием обеих шкал, которые демонстрируют, что использование альтернативнои шкалы обеспечивает более тонкую настроику небольших степенеи различия весов.
Пусть при сравнении двух влиянии необходимо выразить минимальную (из возможных в даннои шкале) степень превосходства одного влияния над другим. В условиях классическои шкалы получаем результат, представленныи на рис. 1 (здесь и далее приведены снимки экрана при работе с системой поддержки принятия решений «ИГЛА» [3]).
Матрица парных сравнений для концепта
1 2 В Вес связи
► 1 0.9
2 1/2 1 0.45
Коэффициент сипы связей: С1,t Сравнение пары связей:
Сила связи с концептом "Концепт 1" совсем незначительно превосходит силу связи с концептом "Концепт 2"
Коэффициент согласия: О
Суждения согласованы
0 Концепт обработан
Рис. 1. Задание весов двух связей с использованием классической шкалы
Используя альтернативную шкалу, получаем более адекватные оценки (рис. 2). Матрица парных сравнений для концепта
1 2 Вес связи
► 1 0,9
2 8/9 1 03
Коэффициент силы связей: Сравнение пары связей:
О, Эй
Сила связи с концептом "Концепт 1"совсем незначительно превосходит сипу связи с концептом "Концепт 2"
Коэффициент согласия: О
Суждения согласованы
I I Концепт обработан
Рис. 2. Задание весов двух связей с использованием альтернативной шкалы
Теперь пусть при сравнении трех влиянии необходимо выразить минимальную (из возможных в даннои шкале) степень превосходства первого влияния над вторым, а второго - над третьим. При этом необходимо достигнуть согласованности матрицы парных сравнении. В условиях классическои шкалы получаем результат, представленным на рис. 3. Используя альтернативную шкалу, в данном случае также получим более адекватные оценки (рис. 4).
Другим преимуществом предлагаемои шкалы является то, что ее числовые оценки лучше соответствуют своим словесным описаниям. Это особенно хорошо заметно на примере транзитивных влиянии. Так, в классическои шкале, если А незначительно превосходит В, а В незначительно превосходит С, то полная согласованность будет достигнута, если эксперт укажет,
9 9 81 9
что А абсолютно превосходит С. В предлагаемои же шкале —■— = — ~ —, то есть два незначительных
превосходства по транзитивности дают значительное превосходство, а не абсолютное, что более реалистично.
Наконец, используя классическую шкалу, иногда бывает проблематично получить согласованную матрицу парных сравнении. Рассмотрим следующии пример. Эксперт указал, что сила первои связи значительно превосходит силу второи связи, а сила второи значительно превосходит силу третьеи. Оценивая превосходство первои связи над третьеи, эксперт может использовать оценку не выше 9, и такая матрица не будет согласованнои (CR = 0,1126 > 0,1), что продемонстрировано на рис. 5.
Матрица парных сравнений дли концепта
1 2 3 а Вес связи
► 1 1
2 1/2 1 2 0,63
3 1/2 1/2 1 0.3969
Коэффициент силы связей: 1,00 Сравнение пары связей:
Сила связи с кониептим "Кониепт 1" совсем незначительно превосходит силу связи с концептом "Концепт 3"
Коэффициент согласил: С.0516
Суждения согласованы
1^1 Кониептобработан
Рис. 3. Задание весов трех связей с использованием классической шкалы Матрица парных сравнений дли кониепта
1 2 3 Вес связи
► 1 1 9/В 9/3 1
2 а/э 1 9/3 0,9245
3 а/э 3/9 1 0.3547
1.00 :
Коэффициент силы связей: Сравнение пары связей:
Сила связи с кониептим "Кониепт 1" совсем незначительно превосходит силу связи с кониептом "Кониепт 3"
Коэффициент согласия: С, [ЮЗЗ
Суждения согласованы
1^1 Кониепт обработан
Рис. 4. Задание весов трех связей с использованием альтернативной шкалы
Матрица парных сравнений для концепта
1 2 3 Вес связи
► 1 1 5 9
2 1/5 1 5 0.2311
3 1/5 1/5 1 0,079
Коэффициент силы связей: 1,00 Z Сравнение пары связей:
I
Сила связи с кониептом "Кониепт 1" абсолютно превосходит силу связи с концептом "Кониепт 3"
Коэффициент согласия: С,1126
'_;лкдени я не согласованы
Рис. 5. Невозможность достижения согласованности с использованием классической шкалы
В то же время, используя альтернативную шкалу, для рассмотренной ситуации легко получить согласованную матрицу (СЯ = 0,0016 < 0,1), что продемонстрировано на рис. 6. Матрица парных сравнений дли концепта
1 2 3 Вес связи
► 1 1 9/5 9/3 IH
2 5/9 1 9/5 0,57
3 3/9 5/9 1 0,3249
Коэффициент силы связей: Сравнение пары связей:
1.00 :
II i i i i i I |
Сила связи с кониептом "Кониепт 1" равна силе связи с кониептом "Концепт 1"
Коэффициент согласия: С, 0016
Суждения согласованы
Рис. 6. Достижение согласованности с использованием альтернативной шкалы
Для альтернативнои шкалы был рассчитан случаиныи индекс согласованности (табл. 2). Также были подтверждены значения случаиного индекса согласованности для классическои шкалы, представленные в [5].
Таблица 2. Значения случайного индекса согласованности для обеих шкал
Порядок матрицы 3 4 5 6 7 8 9 10
Случайный индекс согласованности для классической шкалы 0,52 0,88 1,11 1,25 1,34 1,4 1,45 1,49
Случайный индекс согласованности для альтернативной шкалы 0,205 0,333 0,417 0,475 0,517 0,547 0,571 0,59
Обобщенная шкала оценки степеней превосходства. Поскольку не во всех ситуациях целесообразно использование шкалы с девятью степенями превосходства, можно предложить обобщение шкалы 9/9, 9/8, ..., 9/1, сохраняющее похожие своиства, на случаи произвольного количества степенеи превосходства.
Пусть шкала включает в себя п степенеи превосходства, включая равнозначность. Тогда численные значения этих степенеи (в порядке увеличения степени) могут быть вычислены по формуле:
п ■ 1
а, =--—г, где I = 1, ..., п.
п +1 -1
В случае п = 9 получаем уже рассмотренную шкалу 9/9, 9/8, ..., 9/1. Или, например, для случая п = 5 будет получена следующая шкала (в скобках указана возможная словесная интерпретация степенеи превосходства):
• 5/5(равнозначность);
• 5/4 (незначительное превосходство);
• 5/3 (значительное превосходство);
• 5/2 (явное превосходство);
• 5/1 (абсолютное превосходство).
Основное своиство данного семеиства шкал применительно к задаче назначения весов связеи нечеткои когнитивнои карты состоит в следующем. При сравнении двух влиянии вес большего из них будет установлен равным коэффициенту силы связеи к. Тогда вес меньшего будет
в общем случае равен — к, где а^ - степень превосходства большего влияния над меньшим,
а
выраженная в предложеннои шкале. Заметим, что функция
гг„ 1 п +1 -; п +1 1 .
/ (') = —=-=---1
а{ п п п
является линеинои. Таким образом, при увеличении степени превосходства большего влияния над меньшим, вес меньшего уменьшается линеино, что может оказаться удобным при назначении весов. Пример для п = 5 приведен в табл. 3.
Таблица 3. Возможные веса влияний, полученные при использовании шкалы с пятью степенями превосходства
Степень превосходства Вес меньшего влияния в общем случае Вес меньшего влияния при к = 0,5
5/5 k 0,5
5/4 0,8*k 0,4
5/3 0,6*k 0,3
5/2 0,4*k 0,2
5/1 0,2*k 0,1
Выводы и дальнейшие направления исследований
Предлагаемый в данной работе модифицированный метод парных сравнений обладает рядом преимуществ перед классическим и может быть использован в задачах параметрическои идентификации нечетких когнитивных моделеи. В настоящее время выполняется комплекс исследовании, связанным с апробациеи предложенного метода при построении нечетких когнитивных карт для задач автоматизации проектирования технических объектов и моделирования организационно-управляющих систем.
О научном руководителе:
Подвесовский Александр Георгиевич, заведующий кафедрой «Информатика и программное обеспечение» Брянского государственного технического университета, кандидат технических наук, доцент.
Литература
1. Авдеева, З.К. Когнитивное моделирование для решения задач управления слабоструктурированными системами (ситуациями) / З.К. Авдеева, С.В. Коврига, Д.И. Макаренко // Управление большими системами. - 2007. - Вып. 16. -С. 26-39.
2. Ерохин, Д.В. Стратегическое управление инновационнои деятельностью предприятия: монография / Д.В. Ерохин, Д.Г. Лагерев, Е.А. Ларичева, А.Г. Подвесовскии. - Брянск: БГТУ 2010. - 196 с.
3. Коростелев, Д.А. Система поддержки принятия решении на основе нечетких когнитивных моделеи «ИГЛА» / Д.А. Коростелев, Д.Г. Лагерев, А.Г. Подвесовскии // Одиннадцатая национальная конференция по искусственному интеллекту с международным участием КИИ-2008: Труды конференции. - В 3-х т. - Т. 3. - М.: ЛЕНАНД, 2008. - С. 329336.
4. Подвесовскии А.Г., Исаев Р.А. Применение множественного регрессионного анализа для параметрическои идентификации нечетких когнитивных моделеи // Информационные технологии интеллектуальнои поддержки принятия решении (ITIDS'2016): труды IV междунар. конф. - Уфа: УГАТУ 2016. - Т. 2. - С. 28-33.
5. Саати, Т. Принятие решении при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. Пер. с англ. / Науч. ред. А.В. Андреичиков, О.Н. Андреичикова. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 360 с.
6. Силов, В.Б. Принятие стратегических решении в нечеткои обстановке / В.Б. Силов - М.: ИНПРО-РЕС, 1995. - 228 с.
References
1. Avdeeva, Z.K. Kognitivnoe modelirovanie dlya resheniya zadach upravleniya slabostrukturirovannymi sistemami (situatsiyami) / Z.K. Avdeeva, S.V. Kovriga, D.I. Makarenko // Upravlenie bol'shimi sistemami. - 2007. - Vyp. 16. - S. 26-39.
2. Erokhin, D.V. Strategicheskoe upravlenie innovatsionnoy deyatel'nost'yu predpriyatiya: monografiya / D.V. Erokhin, D.G. Lagerev, E.A. Laricheva, A.G. Podvesovskiy. - Bryansk: BGTU, 2010. - 196 s.
3. Korostelev, D.A. Sistema podderzhki prinyatiya resheniy na osnove nechetkikh kognitivnykh modeley «IGLA» / D.A. Korostelev, D.G. Lagerev, A.G. Podvesovskiy // Odinnadtsataya natsional'naya konferentsiya po iskusstvennomu intellektu s mezhdunarodnym uchastiem KII-2008: Trudy konferentsii. - V 3-kh t. - T. 3. - M.: LENAND, 2008. - S. 329-336.
4. Podvesovskiy A.G., Isaev R.A. Primenenie mnozhestvennogo regressionnogo analiza dlya parametricheskoy identifikatsii nechetkikh kognitivnykh modeley // Informatsionnye tekhnologii intellektual'noy podderzhki prinyatiya resheniy (ITIDS'2016): trudy IV mezhdunar. konf. - Ufa: UGATU, 2016. - T. 2. - S. 28-33.
5. Saati, T. Prinyatie resheniy pri zavisimostyakh i obratnykh svyazyakh: Analiticheskie seti. Per. s angl. / Nauch. red. A.V. Andreychikov, O.N. Andreychikova. - M.: Izdatel'stvo LKI, 2008. - 360 s.
6. Silov, v.b. Prinyatie strategicheskikh resheniy v nechetkoy obstanovke / V.B. Silov - M.: INPRO-RES, 1995. -228 s.
Поступила: 20.09.2016
Об авторе:
Исаев Руслан Александрович, аспирант кафедры «Информатика и программное обеспечение» Брянского государственного технического университета, [email protected].
