CC BY
57
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 2 (1), с. 159-1 63
УДК 681.5
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ГОДОГРАФ ПРОСТРАНСТВЕННО-АПЕРИОДИЧЕСКОГО ЗВЕНА
© 2010 г. А.Б. Чернышев
Северо-Кавказский государственный технический университет,
Кисловодский филиал
Поступила в редакцию 06.04.2009
Приводится передаточная функция пространственно-апериодического звена, построенная согласно структуре типовых распределенных звеньев, разработанной И.М. Першиным. Передаточные функции выражаются через обобщенную координату, значения которой зависят от номера составляющей разложения входного воздействия в ряд Фурье по пространственным координатам. Исследуется вид модифицированного пространственного годографа распределенного апериодического звена. Приводится подробный анализ предельных значений параметров частотной характеристики, определяющих геометрическую форму модифицированного пространственного годографа.
Ключевые слова: распределённые системы, устойчивость, годограф, управляющие воздействия, обобщённая координата.
Практически все реальные объекты управления характеризуются определённой пространственной протяжённостью. Поэтому управляемые величины зависят не только от времени, но и от их распределённости по пространственной области, занимаемой объектом. Таким образом, многие объекты в природе и в обществе следует рассматривать как объекты с распределёнными параметрами [1]. В этой связи принципиально расширяется класс управляющих воздействий, прежде всего за счёт возможности включения в их число пространственно-временных управлений, описываемых функциями нескольких переменных - времени и пространственных координат. Одной из основных задач исследования автоматических систем управления является отыскание возможных состояний равновесия систем и исследование их устойчивости. Для применения частотных методов анализа и синтеза систем автоматического управления, известных из теории систем с сосредоточенными параметрами, необходимо исследовать передаточные функции и годографы типовых распределенных звеньев.
Пусть задано изображение по Лапласу входного воздействия а(х, у, s) при нулевых начальных условиях. Представим его в виде ряда Фурье по пространственным координатам: то 4
а(Хy,-0= X Xсл,у,^К,у,^у)’
^у=1^=1
где
ВП,у,1^, У) = “4^ х)с08(~~уУ) ’
ВП,у,2 (^ У)= Х)с0§(~~7У) ’
ВП, 7,3 (^ У ) = С0§(^Л Х Мп(~~У У )’ вп, у ,4(^ У) = Х )с0э(у у У);
Сп,у,^) = дл,у,^ ехр(-)- заданные функции;
2П, У ,*
пп ~ пу ^л = У> Уу = Т •
1х 1У
Передаточная функция пространственноапериодического звена, записанная с использованием обобщенной координаты, может быть представлена в виде:
1
Еб
+1
где Е6 - общий коэффициент усиления (заданное число); Пб - весовой коэффициент (пб ^ 1). Аналогичная функция для сосредото-
ченного звена
частота:
: Ж (^ ) =
1
Ts +1
Сопрягающая
®о = т = Еб
s
п
п
б
6
п
п
6
6
Тогда постоянная времени будет иметь вид:
Т = 1
Е<
G
Обобщенная координата G - непрерывная функция с областью определения [0; да), охватывающая все дискретные значения функции [2]
Gn =
( Л2 ( Л
пп
Г
V у
пп
V 1X у
+
п2п2 (/у2 + /2 ) ;
Ж ’
(п = 1, 2, 3...),
1Х, 1у - геометрические параметры объекта, П = у = п - номер составляющей ряда Фурье, 5 - оператор Лапласа. Для частотного анализа, положив 5 = 7®, получим:
1
W (О, 7®) = ■
Е,
+1
Еб
7® + Е6
1 + -
®
Еб
® г _
Е6 п6 -1 + 1 О
п п
1+
®
Ес.
Щ~1 + ±_ G пб пб
®
Ж (7®, G ) =
ЕбА
1 +
®
E62G 2
1+
®
Еб^ 2
Обозначим
X = Re[W (7®)] =
1 +
®
E62G 2 ®
У = 1т[Ж (7®)]=— Е(6Э
1+
®
E62G 2
Выразим амплитудную частотную характеристику (модуль) М (®, G) = VX 2 + У 2 :
®
М (®, G ) =
1 +
®2 Л E62G 2у
■ + -
V Е6О у
1+
®2 Л E62G 2у
1+
®
еО
1+
®
.2 Л
E62G 2
1 +
®
ЕО
1+
®
E62G 2
Для построения пространственного годографа рассмотрим предельные значения модуля для первой составляющей ряда Фурье, п = 1,
G = Gl. При начальном значении обобщенной координаты (рис. 1)
п21/2+1х2)
Gl =
/2/2
х у
получим
Ііт М (®, G) = Ііт
Функция W(7®, G) в каждой плоскости, параллельной плоскости OXY для каждого значения G, зависящего от номера слагаемого ряда
Фурье п (п = 1, да), опишет годограф при изменении круговой частоты ® от 0 до да .
Исследуем процесс формирования пространственного годографа при различных предельных значениях параметров частотной характеристики. При значении весового коэффициента п6 = 1 имеем:
= 0.
1 +
®
Е62(~12
lim М (®, G ) = 1.
®—— 0
При возрастании значения обобщенной координаты G для ® = 0 значение модуля не изменится. Очевидно, что
1
Ііт М (®, G) = Ііт -
О—х о—х
® ——0 ®—— 0
1 +
®
ЕІО2
1
п
п
6
6
1
2
2
1
2
2
п
п
6
6
п
п
6
6
1
1
2
п
п
6
6
1
2
2
п
п
6
6
1
2
2
1
® —х
® —х
Рис. 1. Годограф пространственно-апериодического звена при О = О1
Значение предела Нт М(®, G) зависит от
О—да ®—да
порядка бесконечно больших величин. В [3] показано, что этот предел равен нулю. При п6 —да функция W (7®, О) примет вид:
®
1 1 Е,
Ж (7®) = -
где
7® і ®
+1 1 + _
2
]~
6
Е,
1+
®
2
X = ■
1+
®
Е6
Е2
У = --
1+
®
ЕЛ
Ж (7®) =
Е<5
Е62 + ®2
У = -
.■ Е6®
Е62 +®2
Е6®
Е62 + ®2 .
X =
Е<5
Е62 +®2
При ® = 0 получим: X = 1, У = 0. При
® — да получим: X = 0, У = 0. Вид годографа не зависит от значения обобщенной координаты О (рис. 2).
Известно, что модифицированная амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) отличается от обычной изменением значений мнимой части в ® раз, т.е.
Re[W*(7®)] = Яе[Ж(7®)],
!т[Ж*(7®)] = ® 1т[Ж(7®)].
1
2
2
Рис. 2. Годограф пространственно-апериодического звена
Рис. 3. Модифицированный годограф пространственно-апериодического звена (п = 1)
Рис. 4. Модифицированный годограф пространственно-апериодического звена (п, — да)
Если X = Re[W(7®)], Y = 1т^(7®)], то W*(/,®) = X + j®Y . Так как при пб = 1:
X =
Еб2О 2
Е62О2 + ®2
Y = -
ЕбО®
то
W*(j, ®)= Еб>о2
Е62О2 +®2
Е62О2 +®2
,■ ЕбО®2 Е62О2 +®2
X * =
Еб2О 2
Е62О2 +®2
Y = -
ЕбО®2 Е62О2 +®2
При ® = 0 получим: X* = 1, Y* = 0. При ® — да получим: X * = 0, Y * = - ЕбО (рис. 3).
Если пб — да , то из выражения
W (7®) =
Еб2
Е6®
Е62 + ®2
имеем:
w *(/®) = Еб
Е62 +®2
Е ®2
2 2 2 2 Е6 + ® Еб + ®
где
X * =
Е2
Еб2 + ®2
Y * = -
Еб2 +®2 '
При ® = 0 получим: X* = 1, Y* = 0 . При ® —да получим: X* = 0, Y* = - Еб (рис. 4). То есть при всех значениях весового коэффици-
ента п
6
Y * = - — Г '
где г ~ сопрягающая частота:
+ ± g
- = е6 Т пб пб
Анализ пространственных годографов типовых распределенных звеньев позволяет строить годографы линейной части сложных нелинейных распределенных систем управления [4], что дает возможность исследования их абсолютной устойчивости с применением частотного критерия.
Список литературы
1. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределёнными параметрами. М.: Высшая школа, 2003. 299 с.
2. Першин И.М. Анализ и синтез систем с распределёнными параметрами. Пятигорск: РИА-КМВ, 2007. 244 с.
3. Чернышев А.Б. Определение класса систем с распределенными параметрами для модификации частотного критерия абсолютной устойчивости // Инфоком-3: Международная научно-техническая конференция. Ставрополь, 2008. С. 284-288.
4. Чернышев А.Б. Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем релейного типа // Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности и экологии: Материалы Всероссийской научно-технической конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 77-79.
1
MODIFIED HODOGRAPH OF A SPACE-APERIODIC LINK
A.B. Chernyshev
The transfer function is given of a space-aperiodic link built according to the typical distributed link structure developed in I.M. Pershin’s works. The transfer functions are expressed through a generalized coordinate whose values depend on the component number of the control action expansion in a Fourier series over spatial coordinates. The form of the modified spatial hodograph of the distributed aperiodic link is investigated. A detailed analysis is presented of limit values of frequency response parameters which determine the geometrical form of the modified spatial hodograph.
Keywords: distributed systems, stability, hodograph, control actions, generalized coordinate.
