Модифицированные алгоритмы и классификация аналого-цифровых преобразователей. Часть 2: мажоритарные алгоритмы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.314

модифицированные алгоритмы и классификация аналого-цифровых преобразователей1 часть 2: Мажоритарные алгоритмы

Э. П. Тихонов,

канд. техн. наук, доцент Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Предложено аналитическое описание различных модификаций алгоритмов аналого-цифровых преобразователей, включая мажоритарный и нейроноподобный принцип обработки информации, на базе которых выполнен сравнительный анализ их свойств, доведенных до численных результатов, и разработана классификационная схема аналого-цифровых преобразователей.

Ключевые слова — аналого-цифровой преобразователь, мажоритарный принцип, помехоустойчивость, медиана, фильтр, контур.

Прежде чем приступить к рассмотрению нетрадиционных модифицированных алгоритмов аналого-цифрового преобразования, целесообразно рассмотреть классификацию существующих различных типов АЦП, большинство из которых в том или ином виде уже разработаны, а некоторые из них выпускаются серийно в микросхемном исполнении. На рис. 7 представлена классификационная схема АЦП с указанием некоторых типов микросхем АЦП, выпускаемых серийно. В ней отсутствует обширный класс АЦП угол-код, который существенно отличается от класса преобразователей аналогового непрерывного сигнала в цифровой код как по алгоритму действия, так и по конструкции и поэтому требуют отдельного рассмотрения и классификации. Приведенные примеры микросхем показывают, какие алгоритмы аналого-цифрового преобразования получили в настоящее время наибольшее распространение.

Рассмотрим модификации алгоритмов преобразования, которые не нашли отражения в схеме. Среди них алгоритмы, использующие дополнительную обработку результатов сравнения уравновешивающей величины с входным сигналом или, в другой интерпретации, использующие дополнительное преобразование функции сравнения. Из возможного множества вариантов целесообразно выбрать такой алгоритм преобразова-

1 Продолжение. Начало в № 1, 2009. С. 2-9.

ния, который давал бы наибольший эффект по повышению помехоустойчивости. Понятие помехоустойчивости в данном случае включает наименьшую зависимость результатов сравнения входного сигнала с уравновешивающей величиной от импульсных и случайных непрерывных помех, которые суммируются с входным сигналом. Отметим, что процесс повышения помехоустойчивости, как правило, вступает в противоречие с требованием повышения быстродействия аналогоцифрового преобразования, так как в основе принципа повышения помехоустойчивости лежит необходимость увеличивать время обработки для получения и анализа дополнительной информации. Такое противоречие возникает как на схемотехническом уровне, так и на уровне использования информационных технологий, связанных с применением соответствующих помехоустойчивых алгоритмов обработки информации. Действительно, повышение быстродействия схемы сравнения приводит к расширению ее частотной полосы пропускания, что в свою очередь увеличивает уровень помехи. Естественно, что при использовании информационных технологий теоретически полностью освободиться от влияния помех можно только по результатам обработки неограниченного объема информации. Однако, выбрав надлежащим образом вид дополнительной обработки ограниченного числа результатов сравнения входного сигнала с уравновешивающей величиной, можно заметно ослабить воздей-

(^^"тип АЦП~^) 1

І * У і

Последовательный Параллельный Последовательно- параллельный Прочие

Поразрядного

уравновешивания

Считывания

Следящий

Время-

импульсный

Напряжение-

частота

572ПВ1

572ПВЗ

АБ677

АБ7690

АБ7691

АБ7882

АБ7892

АБ7893

АБ7895

АБ7896

АБ1674

МАХ191

AD654JR

AD654JN

К1107ПВ1

КР1107ПВЗ

КР1107ПВЗ

АБ775 АБ872А АБ875 АБ9022 АБ9042 АБ9070 АБ9040А АБ9220 АБ 1671 АБ876 АБ 7886 АБ 1382 АБ 7884

> Многотактные

> Конвейерные

АБ 7400

АБ 7701

АБ 7703

АБ 7705-АБ 7715

АБ 7718

АБ 7719

АБ 7730

АБ7730Ь

АБ 7731

АБ 7732

АБ 7796-АБ 7799

Сигма-дельта-

модуляции

Стохастический

Пространственно-

стохастический

С дополнительной обработкой

Интегрирующие

МАХ 138/139/140 572ПД13 572ПВ2 572ПВ6 1СЫ06 1СЫ26 1СЫ36

■ Рис. 7. Классификационная схема АЦП

ствие помех на снижение достоверности результатов сравнения. Учитывая особенность вида функции сравнения (см., например, [1]), в качестве дополнительной обработки результатов сравнения предлагается принять так называемую мажоритарную обработку, использование которой приводит к алгоритму вида

Е[(п + 1)Д* ]= Е(пДг) +

+ 0=1 {ф{х - Е[(п - я)Д#], ап }}, (8)

где

®^=1 {ф {х - Е [(п - в)Д# ], ап }}= ап ®^=1 {н{х - Е [(п - ^)Аt] - ап }} ап ®^=1 {^п{х-Е[(п-в1)А£]]}}

и

^=1 - ап } =

1, если Е ^ — ап} > 0,51

s=1 ,

0, в противоположном случае

или

«>8=1адп{е8} =

1, если Е^п{68} > 0

Я=1 ’

— 1 в противоположном случае

где 83 = х — Е[(п — в)Д#], d — число тактов сравнения при мажоритарной выборке результатов сравнения входного сигнала с уравновешивающей величиной и 0 < d1 < d.

Суть мажоритарного преобразования 8^=1 х х{ф{х-Е[(п-в)А#],ап}} вытекает из принципа выбора по большинству голосов выборщиков. В рассматриваемом случае голоса выборщиков

отождествляются с количеством операций сравнения, результатами которых являются значения индикаторной или знаковой функции сравнения. При этом параметр d соответствует общему числу выборщиков, в нашем случае — числу тактов или операций сравнения, причем, чтобы не попасть в ситуацию неопределенности, значение параметра d должно быть нечетным, т. е. d = 2N + 1, N = 0, 1, 2, ... . При независимом воздействии помехи и вероятности правильного срабатывания на каждом такте сравнения Р > 0,5 результат сравнения по мажоритарному принципу можно описать в соответствии со схемой Бернулли [7]. В этом случае для мажоритарного принципа сравнения вероятность правильного выбора определяется в соответствии с формулой

N+1

Pd = Е 4n+iP2N+1-; (і-pf, i=0

где C^N+i — число сочетаний из 2N + 1 по i; d = = 2N + 1.

Суть доказательства преимущества мажоритарного алгоритма для заданного параметра d состоит в следующем. Пусть помеха Е имеет гауссово распределение вероятностей с нулевым математическим ожиданием. Тогда функции сравнения будут принимать значения с вероятностями:

— для индикаторной функции сравнения

P {x + £ > E[(n — 1)Ai] + an } и

1-P{x + £ > E[(n — 1)Ai] + an },

— для знаковой функции сравнения

P{x + £ > E[(n — 1)Ai]} и

1 — P {x + £ > E[(n — 1)At ]} по формулам

h\x + £, — E[(n — 1)Ai]—an }=

1 с P^x + £, > E[(n — 1)Ai] + an}

0 c 1 — P^x + £, > E\(n — 1)Ai] + an

signjx + £, — E[(n — 1)Ai]}=

1 c P{x + £ > E[(n -1)Ai]}

-1 c 1-P{x + £ > E[(n-1)Ai]}'

При этом вероятности появления выходного сигнала высокого уровня, соответствующего единице на выходе сравнивающих устройств, при воздействии аддитивной гауссовой помехи для числа тактов сравнения d = 1 можно определить по равенству

/2

СО —

Р {0}=ф[0]^;/2П I е^

—0

где 9 = у/а^, причем 0 < 9 < 3, а параметр у равен разности значений входного сигнала и уравновешивающей величины, т. е.: у = х - (Е(пД#) + ап) для индикаторной и у = х - Е(пД) для знаковой функций сравнения; а^ — СКО помехи; Ф[9] — функция Лапласа. По определению, параметр 9 является безразмерной величиной. Пусть для определенности вероятность появления единицы на выходе СУ Р > 0,5. Нужно показать, что при мажоритарном выборе и нечетном числе тактов сравнения d > 1 вероятность правильного срабатывания функции сравнения превышает соответствующую вероятность для d = 1, т. е.

N+1

Ра (9)= Е С^+1РШ+1—(1 — Р) > Р-

1=0

Рассмотрим случай, когда d = 3, для которого вероятность правильного срабатывания определяется в соответствии с равенством

Рз (9) = сЗр3 + С32Р2 (1 —Р).

Покажем, что при мажоритарном выборе эта вероятность превышает вероятность правильного срабатывания СУ без использования мажоритарной функции сравнения. Для этого необходимо показать, что для 1 > Р{9} > 1/2 выполняется условие

с!р3 + С^Р2 (1 — Р) — Р > 0.

Решая квадратное уравнение относительно Р, получаем, что равенство нулю левой части достигается для двух значений {1; 0,5} данной вероятности Р. Эти оба значения вероятности говорят

о том, что при правильном срабатывании СУ с вероятностью единица или для случая его срабатывания с одинаковой вероятностью правильно или неправильно, равной 0,5, выигрыша при введении мажоритарного выбора нет. Однако совсем другая картина наблюдается для случая, когда выполняется строгое неравенство 1 > Р > 0,5, для которого

С Р2 + С% Р(1 — Р) — 1 > 0,

и максимум выигрыша достигается для Р = 0,75. Строгое математическое доказательство преимущества мажоритарного алгоритма для заданного параметра d > 3 достаточно громоздко и особого интереса для технического приложения не представляет, так как увеличение параметра d > 3 нецелесообразно из-за соответствующего увеличения общего времени преобразования. Кроме того, схему доказательства для параметра d = 3 можно использовать и для больших значений этого пара-

метра. На рис. 8 показаны графики вероятностей правильного срабатывания индикаторного СУ для различных d при воздействии помехи в зависимости от изменения параметра 9 (на графике 9 = х). Для сравнения на этом же графике представлена индикаторная функция сравнения в отсутствие помехи. Из анализа графиков следует:

• воздействие помехи переводит индикаторную функцию в функцию активации, присущую нейронам [8];

• с увеличением значения параметра d, а следовательно, и времени анализа функция активации нейронного типа приближается к индикаторной функции, описывающей результат сравнения для идеального случая отсутствия помех;

• эффект использования мажоритарной функции сравнения с ростом значений параметра Л равносилен эффекту, возникающему при выполнении функции сравнения для d =1 в присутствии помехи, но с соответствующим уменьшением дисперсии помехи, действующей в СУ.

Количественную оценку качества функции сравнения при воздействии помехи в зависимости от параметра d и величины у целесообразно оценить по вероятности ошибки РЛ ош срабатывания СУ в присутствии помехи в соответствии с формулой

Рл ош = Р(у > °)Р[л(у + 5) = 0] +

+ Р(у < 0)Р[Л(у + 5) = 1],

где Р(у > 0) — вероятность того, что при положительном значении разности у при воздействии помехи результат сравнения должен установиться равным единице; Р[Н(у + 5) = 0] — вероятность того, что при положительном значении разности у при воздействии помехи в действительности устанавливается результат сравнения, равный

-3 -2.5 -2 ™.5 -1 -0.5 иІ 05 1 Тб 2 25 3

■ Рис. 8. Графики вероятностей правильного срабатывания индикаторного СУ

нулю; Р(у < 0) — вероятность того, что при отрицательном значении разности у при воздействии помехи должен установиться результат сравнения, равный нулю; Р[Н(у + 5) = 1] — вероятность того, что при отрицательном значении разности у при воздействии помехи в действительности устанавливается результат сравнения, равный единице.

Динамика изменения вероятности ошибки в СУ в зависимости от изменения параметра 9 показана на рис. 9. В качестве критерия Кл повышения помехоустойчивости при фиксированной дисперсии помехи целесообразно использовать отношение

1ош

(0) d0

3

к — 3

к =“3-------------,

I Ра ош (0) d0

—3

где Р1 ош(9) и Рл ош(9) — вероятности ошибок в зависимости от изменения параметра 9 для значений Л = 1 и Л = 3, 5, 7, ... .

Расчетные значения критерия КЛ повышения помехоустойчивости для Л = 1, 3 и 5 соответственно равны 1; 1,494 и 1,868. Отсюда следует, что с ростом параметра Л темпы роста критерия повышения помехоустойчивости заметно снижаются (почти в 2 раза). Для значения параметра Л = 3 выигрыш в помехоустойчивости для определения достоверности каждого разряда в двоичном коде достигает 50 %, что является достаточно высоким показателем при увеличении числа тактов сравнения в 3 раза на один разряд.

Введение мажоритарной выборки, достаточно просто реализуемой схемотехнически на логических элементах, в каждом канале параллельного АЦП позволит в 1,5 раза увеличить его помехоустойчивость, что является существенным пока-

0.25^

І Шв-

/ §Ь Л ~- з

//005^

\\ \ — 5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 о 05

х

■ Рис. 9. Графики изменения вероятности ошибки при работе СУ в зависимости от изменения 9 при воздействии помехи

зателем повышения помехоустойчивости, учитывая низкую помехоустойчивость алгоритма аналого-цифрового преобразования параллельного действия к аддитивной помехе.

Необходимо отметить еще одну существенную особенность мажоритарных алгоритмов аналогоцифрового преобразования. Мажоритарный выбор результатов многократного сравнения существенно расширяет функциональные возможности мажоритарных АЦП. Благодаря этим возможностям расширяется и сфера применения подобных АЦП. В частности, данные АЦП позволяют преобразовывать аналоговую информацию, распределенную в пространстве, в цифровой код. При этом СУ АЦП для каждого пространственного сигнала должно иметь отдельный вход. Электроника позволяет создавать различные варианты структурных схем АЦП с мажоритарной обработкой входного пространственно распределенного сигнала (рис. 10, а и б). Таким образом, мажоритарные АЦП могут легко трансформироваться в многоканальные по входу и одноканальные по выходу АЦП с алгоритмами функционирования (8), которые математически можно представить в явном виде:

E[(n + 1) Ai] = E(nAt) + E02-n+1 x

Г d

x jl + signEsignx

l i=1

x |x; (nAi) + ti (n At) — E(n At) — Eo2-n jJ;

E[(n + 1) Ai] = E(n At) + E02—n signx

xJ E sign [xi (nAt) + £i (nAi) — E(n Ai)]J, (9)

где xi(nAt) и ^(nAt) — сигналы и помехи, распределенные в пространстве и зафиксированные в момент сравнения с уравновешивающей величиной E(nAt); i = 1, 2, ..., d, здесь d — число сравнений, выполняемых при пространственном разделении составляющих векторного сигнала. Количество СУ определяется количеством пространственных источников векторного сигнала, т. е. числом d. Мажоритарный принцип сравнения можно использовать и для других алгоритмов аналого-цифрового преобразования, например для следящего алгоритма и алгоритма считывания.

Алгоритмы (9) благодаря применению мажоритарной функции сравнения при обработке пространственно распределенного сигнала выполняют двойную функцию:

• пространственную медианную фильтрацию;

Цифровой выход

■ Рис. 10. Структурная схема АЦП с параллельной (а) и последующей мажоритарной обработкой выходных сигналов СУ (б — с коммутируемым входным сигналом): МЛС — мажоритарная логическая схема; ИОН — источник опорного напряжения; УУ — устройство управления; К — коммутатор (аналоговый мультиплексор) входных сигналов

• преобразования аналогового значения медианы многомерного сигнала в цифровой двоичный код.

Иначе говоря, алгоритмы (9) преобразуют в цифровой код медиану многомерного сигнала размерности Л. Распределение источников сигнала в пространстве не имеет значения для функционирования алгоритма. Благодаря этому открываются широкие возможности для практического применения АЦП, использующих подобные алгоритмы, так как существенно упрощаются структура и алгоритмы обработки информации в многоканальных электронных комплексах, предназначенных для решения многообразных технических задач.

Напомним [9, 10], что медианой последовательности х1 {I = 1, ..., Л} является средний по зна-

чению член последовательности при ее упорядочении по возрастанию. Для четного значения Л рекомендуется определять медиану как среднее арифметическое двух средних членов. Нетрудно убедиться в том, что в алгоритмах (9) находится скользящая или текущая медиана дискретного во времени входного сигнала, т. е. выбирается средний по значению член последовательности дискретного во времени с шагом Дí одномерного входного сигнала (рис. 11, а, б). Подобную функцию выполняют так называемые медианные фильтры. Медианные фильтры обладают рядом положительных, с точки зрения обработки информации, свойств. В частности, в отличие от алгоритма скользящего среднего медианная фильтрация сохраняет перепады между анализируемыми значениями сигналов, что имеет большое значение, например, при обработке изображений и выделении их контуров [9, 10]. Таким образом, «скользя» по нечеткому контуру изображения линейкой из Л датчиков и имея соответствующий

а)

1,10 .............................................................

1 лл —у(1)=выходнойсигналАЦП '

1,ии ::: -о- х1м=р+р1*5И2*и*к*(м*(н)));;

0,90------------------------------------*-■ х2(1)=р+р1*5іп(4*РІ*к*(М*(і-1))) .

о,8^: //\ \ т^и^сопз.

0,70 \ / \

°’60/ \ Ч/ \ .

0,50# \ А. ^ /

0,20 ^

о,іо- \ / V Эр /

--------------------------------------------------------------

0,00 .........................................................

’0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

б)

1,00

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,000 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

■ Рис. 11. Графики, иллюстрирующие работу мажоритарного алгоритма аналого-цифрового преобразования: а — одна из составляющих сигнала равна постоянной величине; б — составляющие сигнала изменяются по гармоническому закону

—#- у(1)=выходной сигнал АЦП -о- x1(t)=D+Dl*Sin(2*Pi*k*(M*(i-1))): '

n fl г x2(t)=p+p1*Sin(4*Pi*k*(M*(j-1))) ■

f ч 4-,

4

£. p . і ч.

H ч ■

4 u,

І F п

i І !

f

4

V.

А

А /і

ГТТ І І

АЦП, можно без дополнительной довольно громоздкой обработки информации получать результат медианной фильтрации контура изображения в темпе с выполнением операции аналогоцифрового преобразования.

Графики иллюстрируют работу мажоритарного алгоритма аналого-цифрового преобразования в режиме выделения и преобразования в цифровой двоичный код медианы из 3-мерного входного сигнала, составляющие которого принимают различный вид (см. рис. 11).

Мажоритарную обработку входного сигнала можно осуществить как по пространству, так и по времени в соответствии со следующими комбинированными алгоритмами:

E[(n + i +1)Ai] = E[(n + i)At] + E02—(n+1) x Г (¡1 d2

x 11 + signEEsign\xj [(n + i)At] + l j=1i=1

+ ^j [(n + i)Ai] — E[(n + i)Ai] — Eo2 n

и

E[(n + i + 1) Ai] = E[(n + i) At ] + E02—n signx

Г d! d2

X Г EEsign\xj [(n + i)Ai] +

Г j=i i=i

+1,j [(n + i)At] — E[(n + i)At]]|, (10)

где d1 и d2 — число операций сравнения, выполняемых при пространственном и последовательновременном способах поступления составляющих векторного сигнала на входы СУ. Количество СУ определяется количеством пространственных источников векторного сигнала, т. е. нечетным числом d1. Причем для каждого СУ решение об изменении уравновешивающей величины принимается после выполнения d2 нечетного числа сравнения, полученного последовательно во времени.

Комбинированный мажоритарный принцип сравнения можно использовать и для других алгоритмов аналого-цифрового преобразования, например, для следящего алгоритма получаем

E[(n + i + 1) Ai] = E[(n + i)Ai] +

idi

EEsign\xj [(n + i)Ai] + j=ii=i

+ £j [(n + i)Ai] — E[(n + i)Ai]

Таким образом, разработка комбинированных алгоритмов с использованием мажоритарной обработки результатов сравнения сигнала с уравновешивающей величиной позволяет не только улучшить метрологические характеристики АЦП, но и расширить их функциональные возможности при обработке сигналов уже на стадии выполнения основной функции — аналого-цифрового преобразования.

Окончание следует.

7. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 575 с.

8. Терехов В. А., Ефимов Д. В., Тюкин И. Ю., Антонов В. Н. Нейросетевые системы управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. 265 с.

9. Гильбо Е. П., Челпанов И. Б. Обработка сигналов на основе упорядоченного выбора. М.: Сов. радио, 1975. 344 с.

10. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Т. С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд, Г. Дж. Нуссба-умер и др.; Под ред. Т. С. Хуанга: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1984. 224 с.

уважаемые ЧИТАТЕЛИ!

Журнал «Информационно-управляющие системы» выходит каждые два месяца. Стоимость годовой подписки (6 номеров) для подписчиков России — 3600 руб., для зарубежных подписчиков — 4200 руб., включая НДС 18 % и почтовые расходы.

На электронную версию нашего журнала вы можете подписаться на сайте РУНЭБ (http://www.elibrary.ru). Подписку на печатную версию журнала можно оформить в любом отделении связи по каталогам:

«Роспечать»: № 48060 — годовой индекс, № 15385 — полугодовой индекс;

«Пресса России» — № 42476, а также используя услуги посредников:

«Издательский дом «Экономическая газета»:

Москва, тел.: (499) 152-88-51, 661-20-30, e-mail: akdi@akdi.ru, izdatcat@eg-online.ru;

«Северо-Западное Агентство «Прессинформ»»:

Санкт-Петрбург, тел.: (812) 335-97-51, 337-23-05, факс: (812) 337-16-27, e-mail: press@crp.spb.ru, zajavka@crp.spb.ru, сайт: http://www.pinform.spb.ru;

Подписное агентство «МК-Периодика» (РФ + 90 стран): тел.: (495) 681-91-37, 681-87-47, факс: (495) 681-37-98, e-mail: export@periodicals.ru, сайт: http://www.periodicals.ru;

«Информнаука» (РФ + ближнее и дальнее зарубежье):

тел.: (495) 787-38-73 (многоканальный), факс: (495) 152-54-81, e-mail: Alfimov@viniti.ru, сайт: http://www.informnauka.com;

«Артос-Гал»:

Москва, тел.: (495) 603-27-28, 603-27-33, 603-27-34, факс: (495) 603-27-28, сайт: http://www.artos-gal.mpi.ru/index.html;

«Интерпочта»:

Москва, тел.: (495) 500-00-60, 580-95-80,

e-mail: interpochta@interpochta.ru, сайт: http://www.interpochta.ru;

Краснодар, тел.: (861) 210-90-00, 210-90-01, 210-90-55, 210-90-56, e-mail: krasnodar@interpochta.ru; Новороссийск, тел.: (8617) 67-04-74;

«Коммерсант-Курьер»:

Казань, тел.: (843) 291-09-99, 291-09-47, факс: (843) 291-09-47, e-mail: kazan@komcur.ru, сайт: http://www.komcur.ru/contacts/kazan/;

«Урал-Пресс» (филиалы в 40 городах РФ): сайт: http://www.ural-press.ru;

«.ИнфоЦентр»: сайт: http://www.exponet.ru;

«SetBook»: сайт: http://www.setbook.ru;

«Emerci»: сайт: http://www.emerci.ru;

«RusMagazine.com»: сайт: http://www.rusmagazine.com/default.asp?initcode=item&itemid=15385;

«Идея» (Украина): сайт: http://idea.com.ua;

«BTL» (Узбекистан): сайт: http://btl.sk.uz/ru/cat17.html и др.