CC BY
26
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 536.631
Р. А. БРАЖЕ, В. С. НЕФЁДОВ
МОДИФИЦИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ ЭЙНШТЕЙНА ТЕПЛОЕМКОСТИ СУПРАКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛАНАРНЫХ И НАНОТУБУЛЯРНЫХ СТРУКТУР
Предложена двумерная модель теплоёмкости Эйнштейна однослойных 2Влистов и нанотрубок. Рассчитаны частоты, температуры Эйнштейна и теплоёмкости однослойных 20листов и нанотрубок.
Ключевые слова: теплоёмкость, температура Эйнштейна, углеродные нанотрубки, супракристалли-ческие структуры.
Углеродные нанотрубки являются перспективным материалом для наноэлектроники, так как обладают высокой электро- и теплопроводностью [1].Для оценки теплопроводности однослойных нанотрубок необходимо знать их теплоёмкость. Мы предполагаем, что выгоднее использовать двумерную модель теплоёмкости для углеродных нанотрубок, так как для таких структур понятие «толщина» становится неопределённым. В данной работе предложена двумерная модель, основанная на квантовой теории теплоёмкости Эйнштейна. С помощью данной модели можно рассчитать теплоёмкость графеновых и супракристаллических 20листов и нанотрубок [2].
В рамках модели теплоёмкости Эйнштейна твёрдое тело представляет собой совокупность одинаковых гармонических осцилляторов, которые колеблются независимо друг от друга с одинаковой частотой со, а энергия осцилляторов квантована по Планку [3].
В случае двумерной модели задача сводится к тому, чтобы вычислить среднюю энергию колебаний атома по одному из двух взаимно перпендикулярных направлений. Умножив результат на число атомов и на 2 (число степеней свободы), получаем полную тепловую энергию. Средняя энергия квантового осциллятора
г-\ _ /?СО
^ ' ~ е/;Ш/(кТ) ^ >
(1)
где /г - приведённая постоянная Планка; к - постоянная Больцмана; Т - абсолютная темпе-
Браже Р. А., Нефёдов В. С., 2012
ратура [3].
В одном моле твёрдого тела содержится ЫА атомов, следовательно, полная тепловая энергия одного моля, определяемая колебаниями решётки, равна
Е=2Ыа(Е) - 2Иа е^']- 1 .
(2)
Двумерная молярная теплоёмкость при постоянном объёме С2 = с1Е/с1Т найдётся как
С2 = (ел*- I)2 кТ .
Нсол
,ьа1кг
(3)
В случае высоких температур кТ » йсо
С2 ~ 2ЫАк = Ж, (4)
где К - универсальная газовая постоянная.
В случае низких температур кТ « /гсо
С2 = 2ЛгАк
Ни)
кТ
е-
Ш
кТ
(5)
Температура, при которой начинается
быстрый спад теплоёмкости, называется
характеристической температурой Эйнштейна (9Е). Она определяется из следующего выражения [3]:
йсо ь=квц.
(6)
В формулу (6) для температуры Эйнштейна входит частота колебаний осциллятора, которую можно записать для двумерного случая в виде
(7)
7Г г
СОц — со тал ~
где уЬ -скорость распространения продольной волны; а* - расстояние между двумя ближайшими атомами, совершающими колебания в противоположных направлениях.
В таблице представлены расчётные параметры углеродных 20листов и нанотру-бок. Данные для а* и уЬ берутся из работ [4, 5]. Зависимости двумерной молярной теплоёмкости от температуры для графеновых и супра-кристаллических 20листов и нанотрубок представлены на рис. 1. При этом считается, что со = соЕ.
При низких температурах модель теплоёмкости Эйнштейна лучше, чем модель Дебая, описывает теплоёмкость твёрдых тел, в узлах
кристаллической решётки которых находятся более одного атома. Это связано с тем обстоятельством, что в сложных кристаллических решётках имеется несколько акустических ветвей колебаний, и приходится вводить для каждой из них свою температуру Дебая. В теории теплоёмкости Эйнштейна рассматриваются только оптические моды колебаний, частота которых слабо зависит от волнового числа.
Расчётные параметры углеродных 2Блистов и нанотрубок
Параметр (С)6 (С)44 (С)бЗ(б) (С)бЗ(12) (С)б64 (С)б34
а*, нм 0,246 0,343 0,372 0,638 0,738 0,593
V/,, 103 м/с 37,4 31,9 6,3 20,9 37,7 7,3
соЕ, Ю^с1 47,7 29,2 5,3 10,3 16,0 3,9
0е, К 3625 2219 403 783 1216 296
Рис. 1. Температурная зависимость молярной теплоёмкости супракристаллических 2Элистов и нанотрубок в сравнении с графеновыми: 1 - (С)6, 2 - (С)44, 3 - (С)63(6), 4 - (С)63(12),
5 - (С)664, 6 - (С)634
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Hone, J. Thermal conductivity of singlewalled carbon nanotubes / J. Hone, M. Whitney, C. Piskoti, A. Zettl // Phys. Rev. B.- 1999. - V. 59. -№4. - P. R2514.
2. Браже, P. А. Супракристаллические нанотрубки / P. А. Браже, А. А. Каренин // Радиоэлектронная техника : межвуз. сб. науч. тр. -Ульяновск, 2010.-С. 148-155.
3. Павлов, П. В. Физика твёрдого тела / П. В. Павлов, А. Ф. Хохлов. - М. : Высшая школа, 2000. - 494 с.
4. Браже, Р. А.Упругие волны в углеродных 20-супракристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев, Р. М. Мефтахутдинов // ФТТ- 2011. - Т. 53. -Вып. 8.-С. 1614-1617.
5. Браже, Р. А. Упругие характеристики углеродных 20-супракристаллов в сравнении с графеном / Р. А. Браже, А. А. Каренин, А. И. Кочаев, Р. М. Мефтахутдинов // ФТТ. - 2011. -Т. 53. - Вып. 7. - С. 1406-1408.
Браже Рудольф Александрович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой «Физика» УлГТУ. Имеет публикации в области компьютерного материаловедения.
Нефёдов Вадим Сергеевич, аспирант кафедры «Физика» УлГТУ.
9
