CC BY
24
УДК 004.942 Сочнев Алексей Николаевич,
к. т. н., доцент кафедры робототехники и технической кибернетики, Сибирский федеральный университет, Политехнический институт, т. 8-913-049-29-00, e-mail: [email protected]
Рубан Анатолий Иванович,
д. т. н., профессор, заведующий кафедрой информатики, Сибирский федеральный университет, Институт космических и информационных технологий, тел. (391) 291-22-34, e-mail: [email protected]
МОДИФИКАЦИЯ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ СЕТЕЙ ПЕТРИ
A. N. Sochnev, A. I. Ruban
VECTOR-MATRIX MODELS PETRI NETS BASED MODIFICATION
Аннотация. В представленной статье приведены основные уравнения динамики сетей Петри, доработанные в соответствии с классической теорией управления. Основной идеей статьи является разделение вектора состояния и выходного вектора сети Петри. Обоснована необходимость учета состояний как позиций, так и переходов сети. Предложен соответствующий формальный математический механизм для решения этой задачи. Приводятся примеры использования предложенных уравнений для имитационных экспериментов с сетевыми моделями. Использование предлагаемых уравнений позволяет на основе анализа выходного вектора модели корректировать управляющее воздействие. На основе анализа значений выходных переменных могут решаться задачи адаптации к внешней среде и оптимизации. Учет состояний переходов сети дает дополнительные возможности оптимизации процессов на основе качественных характеристик функционирования элементов системы.
Ключевые слова: сеть Петри, матрично-векторные модели, оптимизация систем.
Abstract. The article presents the basic equations of the Petri nets dynamics, modified in accordance with the classical control theory. The main idea of the article is the separation of the state vector and the output vector of Petri nets. The necessity of taking into account the positions of states and transitions network is proved. An appropriate formal mathematical mechanism for solving this problem is proposed. Examples of using the proposed equations for simulation experiments with network models are given. Using the proposed equations and the analysis of the output vector pattern allows to adjust the control action. On the base of the analysis of the values of output variables, the problem of adaptation to the environment and optimization can be solved. The state of the net transition gives additional opportunities to optimize processes based on the qualitative characteristics of the functioning of the system elements.
Keywords: Petri net, matrix-vector models, systems optimization.
Матричные уравнения состояния
Современная теория автоматического управления оперирует с векторно-матричными моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т. е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры [1]. Для получения векторно-матричной модели исследуемая динамическая система представляется в виде «черного ящика» с некоторым числом входных и выходных каналов (рис. 1, а).
Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы.
Входные переменные, или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Они характеризуются вектором входа
u
= k
u„
где г - число входов.
Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия. Представляются вектором выхода
У
= \Уг
У 2
Ут
где m - число выходов.
Переменные состояния, характеризующие внутреннее состояние системы, представляются вектором
х
= k
х,„
где п - число переменных состояния.
Таким образом, совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа u, совокупность выходов как вектор у, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, - в виде вектора состояния x (рис. 1, б).
Ul Xi У1
U2 У2
X2
Ur Ут
Xn
а) б)
Рис. 1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде «черного ящика»
]
]
]
Информатика, вычислительная техника и управление
m
Состояние системы - это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т. е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. Собственно, система, ее входы и выходы - это три взаимосвязанных объекта, которые в каждой конкретной ситуации определяются соответственно математической моделью системы, заданием множеств входных и выходных переменных. Векторно-матричные модели в непрерывном времени Матричное уравнение, определяющее выходные переменные в зависимости от x(t) и u(t), называют уравнением выхода. При этом динамическая система описывается в векторно-матричной форме [2].
x = A(t)x + B(t)u , y = C(t)x + D(t)u . Переход к стационарным моделям позволяет оперировать с коэффициентными матрицами, т. е. со стационарными уравнениями
x[k +1] = A • x[k ] + B • u[k +1], y[k] = C • x[k] + D • u[k], где А - функциональная матрица размером n*n, называемая матрицей состояния системы (объекта);
В - функциональная матрица размером n*r, называемая матрицей управления (входа);
С - функциональная матрица размером m*n, называемая матрицей выхода по состо-
янию;
(1)
В - функциональная матрица размером т*г, называемая матрицей выхода по управлению.
Запись уравнений состояния в виде (1) приводит к стандартной форме структурной схемы модели объекта управления (рис. 2).
Очень часто В = 0, т. е. выход непосредственно не зависит от входа. Далее будет рассматриваться именно такой вариант. В дальнейшем под векторно-матричной моделью объекта (системы) будем понимать описание ее динамического поведения в классе стационарных дискретных систем. Векторно-матричная модель объекта имеет единую форму представления, что значительно облегчает алгоритмизацию и компьютерную реализацию проектных процедур и проектных операций структурно-параметрического синтеза и анализа систем управления.
Матричное описание сетей Петри Наиболее универсальным средством представления динамических систем любой сложности являются сети Петри (СП) так как они позволяют представлять цикличные, параллельные и ветвящиеся процессы [3, 4]. Различные модификации СП позволяют вводить такие характеристики динамических процессов, как временная и пространственная упорядоченность, иерархичность. Сеть Петри (рис. 3) формально описывается набором вида
Я — {Р, Т, Б, ц о},
где Р — {р } - непустое конечное множество пози-
ций;
Т = {^.} - непустое конечное множество переходов;
Б = Б - Б - отношение инцидентности позиций и переходов;
ц0 : Р ^ Я + - начальная маркировка сети;
Я+ - множество целых неотрицательных
чисел.
Матрица инциденций позволяет определить уравнение, формирующее механизм изменения маркировки сети
ц[к + \] = ц[к ]+Б ■ ы[к ], (2)
где и[к] - вектор-столбец длины |Т|, имеющий единственный ненулевой элемент в позиции ], равный 1 и, соответственно, определяющий, какой из переходов срабатывает на текущем такте управления. Структура модели, соответствующая уравнению (2), представлена на рис. 4.
ц[к+1]
Рис. 4. Структурная схема модели на основе сети Петри
Условие срабатывания переходов сети имеет
вид
Б- ■ и[к]< ц[к]. Модификация матричного описания сетей Петри
Анализ основного уравнения динамики сетей Петри показывает, что в нем отсутствует основная матрица коэффициентов (параметров) А , отсутствуют перекрестные связи и усиление сигнала. Вторым отличием является отсутствие в уравнении динамики сети Петри формального правила учета действия возмущений на систему. Так как в большинстве реальных систем возмущения присутствуют, то необходим механизм их включения в модель. И, наконец, третий важный недостаток - это отсутствие в явном виде выходного вектора объекта в модели. В конечном итоге все перечисленные недостатки отдаляют теорию сетей Петри от общей теории управления и делают проблематичным применение принципов и методов теории управления и оптимизации к сетевым моделям [5].
Вектор маркировки позиций сети определяет количественное состояние модели. В то же время
для реализации оптимального управления желательно оценивать ещё и качественные характеристики, влияющие на целевую функцию. Для контроля качественного состояния требуется определить состояние переходов. Состояния переходов сети предлагается определять на основе подсчета количества тактов управления, в течение которых переход занят.
Динамику модели объекта управления предлагается определять следующими уравнениями
xp [k +1] = Ap ■ xp [к] + B ■ u[k] (3)
yp[k +1] = Cp ■ xp[k +1] x [k +1] = At ■ x[k] + E ■ u[k] у1 [k +1] = C ■ xt [k +1]
у = {yp, yl }•
Здесь xp - вектор состояния позиций (маркировка), yp - выходной вектор позиций сети, B -
t
матрица инцидентности сети, x - вектор состояния переходов, y - выходной вектор переходов сети, y - общий выходной вектор, A p - матрица
состояния позиций модели, At - матрица состояния переходов модели, E - единичная матрица размером Щ х Щ , Cp, Ct - матрицы выхода по
состоянию позиций и переходов соответственно.
Условие срабатывания переходов имеет вид x[k] - B ■ u[k] > 0.
Примеры моделей систем
Наиболее типичной сферой применения условно-событийных моделей является моделирование дискретных производственных систем. Такие модели позволяют решать задачи исследования, оптимизации и непосредственного управления производством [6, 7]. По указанной причине ниже приводятся два примера моделей дискретных производственных систем, построенных на основе приведенных теоретических положений.
Пример 1. Имеется технологический агрегат (станок), осуществляющий обработку изделий, а также и робот-манипулятор, осуществляющий установку заготовок и снятие готовых изделий с агрегата. Такую систему можно назвать типовым модулем производства, если допустить, что транспортные операции могут выполняться не только роботом, но и вручную [8].
Модель описанной системы приведена на рис. 5. Пояснения к элементам модели приведены в табл. 1.
Информатика, вычислительная техника и управление
ш
p5
pi
©
Рис. 5. Сетевая модель первой системы Назначение элементов модели
Т а б л и ц а 1
Функциональное назначение позиций сети
Позиция Назначение
pi Входной накопитель заготовок
p2 Заготовка в станке
p3 Готовая деталь в станке
p4 Выходной накопитель деталей
p5 Состояние станка (свободен/занят)
p6 Состояние робота (свободен/занят)
Функциональное назначение переходов сети
Переход Назначение
ti Установка заготовки (роботом) в станок
t2 Обработка заготовки
t3 Снятие детали (роботом) со станка
Анализ представленной системы привел к выводу о целесообразности контроля двух выходных переменных: у - объема готовой продукции (сумма маркировок позиций р3 и р4) и у2 - загрузки робота-манипулятора (суммарная занятость пере-
ходов t1 и t2).
В программе Mathcad были реализованы матричные уравнения изменения состояний (рис. 6) и получены значения вектора маркировки сети (рис. 7) [9, 10].
pn_xyz (x) :=
pn_xyz — augment (x1^ , ypT , ytT) for j e 1 .. n
for i e 1 .. nt
for k e 1 .. nt
uk — uk
u - 1
for k e 1 .. np
u — u - (inB u^^l
for i e 1 .. nt if u. = 1
x — x — inBu + outB u yp — Cx
y^ — yp
yt — At yt + Eu
for k e 1 .. nt
u, — О k
pn_xyz — stack (pn_xyz , augment Рис. 6. Листинг программы № 1 MathCAD
(xT , ypT , ytT ))
pn_xyz(x) =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1п 11
1 8 п п п 1 1 п 1 1 1 1
2 7 1 п п п 1 п 2 1 1 2
3 7 п 1 п п 1 1 2 2 1 3
4 7 п п 1 1 1 1 2 2 2 3
5 6 1 п 1 п 1 1 3 2 2 4
6 6 п 1 1 п 1 2 3 3 2 5
7 6 п п 2 1 1 2 3 3 3 5
8 5 1 п 2 п 1 2 4 3 3 6
9 5 п 1 2 п 1 3 4 4 3 7
1п 5 п п 3 1 1 3 4 4 4 7
11 4 1 п 3 п 1 3 5 4 4 8
12 4 п 1 3 п 1 4 5 5 4 9
13 4 п п 4 1 1 4 5 5 5 9
14 3 1 п 4 п 1 4 6 5 5 1п
15 3 п 1 4 п 1 5 6 6 5 11
Рис. 7. Вектор маркировки модели № 1 (состояния 0, 1, ..., 14)
Пример 2. Модель производственной системы, состоящей из двух параллельно работающих станков, обслуживаемых одним транспортным устройством (роботом). Модель описанной системы приведена на рис. 8. В представленной модели позиции pl и p 6 моделируют накопитель с заготовками двух различных типов, позиции p4 и p9 - накопитель с готовыми изделиями. Для того чтобы ограничиться определением одной общей матрицы инцидентности, в модели исклю -чены позиции, инцидентные одновременно по входу и выходу к одному и тому же переходу.
Соответственно, робот моделируется не одной позицией, как в предыдущей модели, а двумя - pli и p12. Назначение других элементов модели легко определить сравнением с предыдущим примером. Выходные переменные модели (вектор y ) представлены в табл. 2.
Результаты моделирования (рис. 9) в точности соответствуют уравнениям (3). Общий вектор результатов моделирования в программе образован векторами xp, x(, y . Видно, что на каждом шаге контролируются значения выбранных переменных выхода модели.
p5
pi
p6
p4
Рис. 8. Сетевая модель второй системы Заключение
Сформулированные в представленной статье уравнения динамики, не изменяя фундаментальных принципов функционирования сетей Петри, расширяют выразительные свойства сетевых моделей объектов управления. В них явным образом выделяются переменные состояния (маркировка сети) и выходные переменные объекта. Предусмотрена возможность добавления в сетевую модель собственной динамики путем определения
0
0
Т а б л и ц а 2
Выходные переменные модели_
Обозначение Назначение Определение
У1 Общее количество заготовок в системе Сумма маркеров в позицияхр1, р2, рб, р7
У 2 Общее количество готовых изделий в системе Сумма маркеров в позициях р3, р4, р8, р9
У 3 Общая загрузка робота Суммарная занятость переходов 11, 13, t4, tб
рп_хуи (хр) =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
1 10 0 0 0 1 8 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 9 0 1 0 0 8 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 17 1 1
3 9 0 0 1 1 8 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 2 17 1 2
4 8 0 1 1 0 8 0 0 0 1 0 1 2 2 1 0 0 0 3 16 2 3
5 8 0 0 2 1 8 0 0 0 1 0 1 2 2 2 0 0 0 4 16 2 4
6 7 0 1 2 0 8 0 0 0 1 0 1 3 3 2 0 0 0 5 15 3 5
7 7 0 0 3 1 8 0 0 0 1 0 1 3 3 3 0 0 0 6 15 3 6
8 6 0 1 3 0 8 0 0 0 1 0 1 4 4 3 0 0 0 7 14 4 7
9 6 0 0 4 1 8 0 0 0 1 0 1 4 4 4 0 0 0 8 14 4 8
10 5 0 1 4 0 8 0 0 0 1 0 1 5 5 4 0 0 0 9 13 5 9
11 5 0 0 5 1 8 0 0 0 1 0 1 5 5 5 0 0 0 10 13 5 10
12 4 0 1 5 0 8 0 0 0 1 0 1 6 6 5 0 0 0 11 12 6 11
13 4 0 0 6 1 8 0 0 0 1 0 1 6 6 6 0 0 0 12 12 6 12
14 3 0 1 6 0 8 0 0 0 1 0 1 7 7 6 0 0 0 13 11 7 13
15 3 0 0 7 1 8 0 0 0 1 0 1 7 7 7 0 0 0 14 11 7 14
16 2 0 1 7 0 8 0 0 0 1 0 1 8 8 7 0 0 0 15 10 8
Рис. 9. Вектор маркировки модели № 2 (состояния 0, 1, ..., 14)
неединичных собственных матриц модели объекта управления.
Предметом дальнейших исследований по тематике статьи являются вопросы использования выходных переменных для организации управления объектом по эталонной сетевой модели.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воронов В.А. Теория автоматического управления. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления. М. : Высшая школа, 1977. 153 с.
2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М. : Наука, 1982. 304 с.
3. Котов В. Е. Сети Петри. М. : Наука, 1984. 236 с.
4. Питерсон Д. Теория сетей Петри и моделирование систем. М. : Мир, 1984. 264 с.
5. Емельянов В. В., Горнев В.Ф., Овсянников М.В. Оперативное управление в ГПС. М. : Машиностроение, 1990. 256 с.
6. Робототехника и гибкие автоматизированные производства. Кн. 5. Моделирование робототехниче-ских систем и гибких автоматизирован-ных производств / И. М. Макаров, В. З. Рахманкулов, В. М. Назаретов и др.; под ред. И. М. Макарова. М. : Высш. шк., 1986. 175 с.
7. Сочнев А.Н. Оперативное управление производственными системами на основе сетей Петри : дис. ... канд. техн. наук : 05.13.01. Красноярск, 2005. 153 с.
8. Зайцев Д.А. Решение задач оперативного управления дискретным производством на основе сетевых моделей Петри : автореф. дис. ... канд. техн. наук. Киев : Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова, 1991. 12 с.
9. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. М. : Высшая школа, 2005. 344 с.
10. Черняк А. А., Новиков В. А., Мельников О. И., Кузнецов А. В. Математика для экономистов на базе МаШса± СПб. : БХВ-Петербург, 2003. 496 с.
