CC BY
4Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ru/
УДК 004.932 DOI: 10.34759/trd-2021-118-13
Модификация технологии расчета расстояния между парами смежных кластеров в многоуровневой пороговой обработке
Ханыков И.Г.
Федеральный исследовательский центр Российской академии наук, 14 линия В.О., 39, Санкт-Петербург, 199178, Россия e-mail: igk@iias.spb.su
Статья поступила 03.04.2021
Аннотация
Рассматривается технология реализации оригинального метода мультипороговой обработки. Приводится его идея, стратегия вычислений и расчетный пример. Выявляются недостатки оригинального метода - сложные расчетные формулы, требующие вспомогательных вычислений и отсутствие показателя, характеризующего качество очередного разбиения на кластеры. При сохранении оригинальной идеи и стратегии вычислений модификация метода мультипороговой обработки позволяет в два раза уменьшить количество сопутствующих операций по вычислению расстояний между парами смежных кластеров и оценить качество разбиений на кластеры. Устанавливается, что генерируемая модифицированным методом новая серия кусочно-постоянных разбиений является оптимальной. Приводимые расчетные примеры позволяют программисту реализовать как оригинальный, так и модифицированный вариант мультипороговой обработки с меньшими затратами времени на программирование.
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. щ/
Ключевые слова: мультипороговая обработка, среднеквадратичное отклонение,
кусочно-постоянное разбиение, полутоновые изображения, кластеры пикселей.
1. Введение
Сегментация изображений относится к стадии предварительной обработки изображений. Она подразумевает разделение изображения на непересекающиеся области по общему признаку, которым может служить яркость или цвет пикселя. От ее результатов зависят последующие стадии выделения и классификации объектов интереса, анализа и распознавания сцен, прогнозирования ситуации. Сегментация применима во многих практических областях компьютерного зрения, например в медицине [1], в фотограмметрии [2], в задачах обработки снимков дистанционного зондирования Земли [3] и т. д.
Особый интерес представляет поиск унифицированного метода сегментации [4], который:
1) позволяет сегментировать изображения любого тематического содержания;
2) обрабатывает как цветные, так и изображения из оттенков серого;
3) отличается линейной вычислительной сложностью;
4) обходит проблемы неполной и чрезмерной сегментаций;
5) обладает установленным критерием качества сгенерированного разбиения.
Метод мультипорогвой обработки [5] удовлетворяет части приведенных требований. Он не использует априорной информации об объектах интереса, что
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. щ/
позволяет сегментировать изображения любой тематики. Метод обладает линейной
вычислительной сложностью. За счет переменного числа рассматриваемых
кластеров метод генерирует множество разбиений и тем самым обходит проблему
неполной и чрезмерной сегментаций.
К сожалению, метод обрабатывает изображения только из оттенков серого. Он использует сложную формулу вычисления расстояния между парами смежных кластеров и не обладает функционалом, оценивающим качество очередного сгенерированного разбиения.
В настоящей работе решается задача модификации метода мультипороговой обработки путем замены функции измерения расстояния между парами смежных кластеров и использования среднеквадратичного отклонения а или суммарной квадратичной ошибки Е как функционала качества.
2. Краткий обзор применения методов сегментации изображений
К простейшим методам сегментации изображений относится группа методов выделения границ. Среди этих методов выделяют фильтр Собеля [6, 7], Шарра [8, 9], Робертса [10], Прюитт [11]. Принцип их исполнения подобен. При помощи процедуры свертки эти фильтры проходят по целевому изображению. Разница заключается только в используемом ядре свертки.
Более сложным по отношению к перечисленным методам является детектор границ Кэнни [12]. Он состоит из нескольких этапов, которые включают сглаживание фильтром Гаусса [13] для устранения шумов, поиск градиента при помощи ядра фильтра Собеля, подавление «не-максимумов» (точек с не
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
максимальным значением градиента), двойную пороговую фильтрацию и уточнение
границ. Схема детектора границ Кэнни является типовой, поскольку вместо фильтра
Гаусса может выступить любой другой фильтр, например медианный [14]. Вместо
ядра Собеля может быть использован любой другой оператор для поиска градиента.
Адаптивное выделение по порогу достигается при помощи метода Оцу [15]. К сожалению, методу Оцу характерная высокая вычислительная сложность, которая взрастает экспоненциально с ростом числа рассматриваемых порогов. Практически это заключается в том, что за приемлемое время метод Оцу вычислит только разбиение на два кластера (один порог). Для случая двух кластеров в ходе своего исполнения метод Оцу, варьируя значение порога, ищет минимальную сумму внутриклассовых дисперсий. И, найдя такую, присваивает значение 0 пикселям, чьи значения ниже значения найденного порога, и 255 - пикселям, чьи значения выше значения найденного порога. Помимо оригинальной версии метода Оцу существует его модификация, называемая мульти-Оцу метод [16]. Она разбивает исходное изображение на несколько уровней.
Метод Оцу и детектор границ Кэнни из-за своей простоты реализации находят применение во многих прикладных областях, например, в задаче разработке алгоритма обнаружения маркерных изображений для вертикальной посадки беспилотного летательного аппарата [17].
Приведенные в настоящей работе методы сегментации могут представлять интерес для разработки систем пассивной оптической локации [18, 19, 20], которые определяют местоположение беспилотного летательного аппарата, сопоставляя фотоснимки подстилающей поверхности с цифровой картой местности,
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ги/
составленной из ранее полученных аэрофотоснимков или спутниковых снимков
территории полета.
3. Оригинальный метод мультипороговой обработки
Идея изложенного в работе [5] метода заключается в последовательном объединении смежных пар кластеров на гистограмме яркостей. Изначально один столбец гистограммы яркости составляет один кластер. Каждый кластер характеризуется числом входящих в него пикселей и средним значением яркости. За один проход по гистограмме яркостей просматриваются все смежные пары кластеров. Для каждой пары кластеров вычисляется функция расстояния. В конце каждого прохода объединяется пара кластеров с минимальным значением функции расстояния.
В общем случае, за 256 проходов генерируется все разбиения на кластеры. В частном случае, когда число непустых уровней серого равно К < 256 и требуется найти разбиение на ? < К уровня серого, потребуется (К - ?) проходов по гистограмме яркостей.
3.1. Стратегия объединения кластеров
Пусть Ск - это к-й кластер уровней серого цвета. Кластер Ск содержит уровни серого цвета в непрерывном диапазоне. Алгоритм объединения кластеров сводится к следующему:
1) Пусть целевая гистограмма яркостей содержит К различных непустых уровней серого. В начале процесса объединения каждый кластер назначается
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
каждому уровню серого. Количество кластеров равно К и каждый кластер содержит
только один уровень серого.
2) Для /-уровневой пороговой обработки следующие шаги а), Ь), с) повторяются (К - /) раз:
a) Для каждой смежной пары кластеров вычисляется расстояние Л/я/, которое указывает на различие между смежными кластерами.
b) Пара смежных кластеров с наименьшим расстоянием объединяются в один кластер.
c) Индексы кластеров Си переназначаются, поскольку при слиянии количество кластеров уменьшается на единицу.
3) Наконец, получены / кластеры С1, С2, ..., С с расчетными пороговыми значениями уровней серого цвета 71, 72, ..., Тг.
3.2. Измерение расстояния
Для определения расстояния между двумя соседними кластерами на гистограмме яркостей используется разница между средними значениями яркостей двух кластеров и дисперсия результирующего при слиянии кластера. Чтобы измерить две вышеупомянутые характеристики, рассмотрим гистограмму яркостей как функцию плотности вероятности. Пусть задана гистограмма яркостей целевого изображения: И(2), 2 = 0, 1, ..., 255, где 2 - уровень серого, а величина И^) указывает на частоту появления пикселя с уровнем серого 2. Если определить р2 как р(2)=И(2)/~Ыгде N - общее количество пикселей в изображении, то р2 - вероятность
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ru/
появления пикселя с уровнем серого z. Также определим функцию P(Ck) для
кластера Ck следующим образом:
Тк К
Р(Ск )= £ P(z), ^Р(Ск ) = 1" (1)
z=Tk-1 + 1 k=1
Функция P(Ck) указывает на вероятность появления пикселей, принадлежащих кластеру Ck.
Расстояние между кластерами Cki и Ck2 определяется через произведение двух дисперсий:
Dist(Cki, Ск2) = of{Cki U Ck2)ajl(Cki U Ск2), (2)
где параметр &2(Ск1 U Ск2) соответствуют дисперсии между кластерами Ck1 и Ck2, а параметр о\ (Ck1 U Ск2) соответствует внутриклассовой дисперсии, получаемой при объединении кластеров Ck1 и Ck2 в один укрупненный.
Межклассовая дисперсия о?(Ск1 U Ск2) представляет собой сумму квадратов расстояний между средними значениями двух кластеров и общим средним значением обоих кластеров, и определяется следующим образом: af(Cki U Ск2)
Р(Сп) г ^ ... ,12
Р(Ск1) + Р(Ск2 )
[m(Cki) - M(Cki U Ск2)\
Р(Ск2) , (3)
+ Р(Ск1) + Р(Ск2) ^-M(Ck1UCk2 W
Р(Ск1)Р(Ск2) 2
- -"2 M^fcO - т(Ск2)]2
(P(Cki) + Р(Ск2)У
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
где т(Си) обозначает среднее значение кластера Си, вычисляемое следующим
образом:
тк
т(с*) = роЪ X гр(г) (4)
и М(Ск1 и Ск2) обозначает среднее значение укрупненного кластера из кластеров Сы
и Си2 определяемое следующим образом:
Р(Ск1)т(Ск1) + Р(Ск2)т(Ск2)
М(Ск1 и Ск2) = ( к1) п(г!с1)-„(*2) ( к2) (5)
( к1 к2) Р(Ск1) + Р(Ск2) К }
Внутриклассовая дисперсия о'2(Ск1 и Ск2) является дисперсией всех значений пикселей в объединенном кластере. Она вычисляется следующим образом:
Тк2
°КСк1иСк2) = + р(Ск2) X Х [{г- М(Ск1 и Ск2))2р(х)]. (6)
г=Тк1-г+1
3.3. Расчетный пример 1
Пусть дана гистограмма яркостей, представленная в таблице 1.
Таблица 1 - гистограмма яркостей.
2 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
И(2) 3 1 4 8 10 5 0 0 15 3 1
Составим таблицу подготовительных расчетов. Исключим пустые яркости. Перенумеруем кластеры. Сосчитаем вероятность появления отдельной яркости р(г) и отдельного кластера Р(2). Проставим среднее значение яркости по каждому
Труды МАИ. Выпуск № 118
http://trudymai. ru/
кластеру т(Си). Сосчитаем межклассовую дисперсию а2 (Ск1 и Ск2). Определим для каждой объединяемой пары кластеров новое среднее значение яркости М(Ск1 и Ск2). Сосчитаем внутриклассовую дисперсию укрупненного кластера о]2(Ск1 и Ск2). Для каждой пары смежных кластеров найдем расстояние ^¿/(С^, Си2) и выберем ту пару, которая сопутствуется минимальным расстоянием.
При вычислении внутриклассовой дисперсии укрупненного кластера <у]\.(^к1и Ск2) возникает потребность в вычислении суммы произведений вероятностей яркостей, входящих в укрупненный кластер, и квадрата разности между яркостями, входящими в укрупненный кластер, и средним значением яркости укрупненного кластера. Это второй сомножитель формулы (6):
В таблице рисунка 1 второму сомножителю формулы (6) соответствует строчка 10, названная переменной summa. Значения межклассовых дисперсий а2/ записаны в 8 строке и обозначены как «SA2_I». В 11 строке записаны значения внутриклассовых дисперсий Оа, обозначенные как «SA2_A». Значения расстояний Dist между смежными кластерами записаны в 12 строке. Желтым цветом выделено минимальное расстояние соответствующее паре кластеров 7 и 8. В клетках строк 812 столбца B таблицы рисунка 1 записаны контрольные значения «-1000», так как для первого кластера не существует предыдущего.
(7)
z=Tki-i + 1
Труды МАИ. Выпуск № 118
http://trudymai. ru/
А В с D Е F G Н 1 J
2 г lOO 101 102 103 104 105 108 109 110
3 h(z| 3 1 4 а 10 5 15 3 1
4 кластер 1 2 3 4 5 6 7 3 9
5 р(1),вер-ть пике. 0,05 0,02 0,03 0,16 0,2 0,1 0,3 0,06 0,02
5 Р(1},вер-ть пласт. 0,05 0,02 0,08 0,16 0,2 0,1 0,3 0,06 0,02
7 т, среднее класт. 100 101 102 103 104 105 10S 109 110
3 SA2_I -1000 0,1375 0,16 0,2222 0,2469 0,2222 1,6375 0,1339 0,1375
9 М, ср. глоб. класт. -1000 100,25 101,3 102,67 103,56 104,33 107,25 108,17 109,25
10 sumiría -1000 0,015 0,016 0,0533 0,0889 0,0667 0,675 0,05 0,015
11 SA2_A -1000 0Д375 0,16 0,2222 0,2469 0,2222 1,6375 0,1339 0,1375
12 Dist -1000 0,0352 0,0256 0,0454 0,061 0,0494 2,3477 0,0193 0,0352
Рисунок 1 - таблица предварительных расчетов.
На рисунке 2 штрихпунктирной линией выделены области расчетной таблицы, подвергаемые изменениям при объединении двух смежных кластеров.
А В с D Е F G Н 1 J
15 г 100 101 102 103 104 105 103 109 110
16 т 3 1 4 3 10 5 15 3 1
17 кластер 1 2 3 4 5 б 7 7 з!
13 р(г),вер-ть пике. 0,06 0,02 0,03 0,16 0,2 ОД 0,3 0,06 0,02
19 Р(г),вер-ть класт. 0,06 0,02 0,03 0,16 0,2 ОД 0,36 0,36 0,02
20 т, среднее класт. 100 101 102 103 104 105 103,17 103,17 110
21 Sn2 1 -1000 0,1075 0,16 0,2222 0,2469 0,2222 1,706 1,706 0,1676
22 М, ср. глоб. класт. -1000 100,25 101,3 102,67 103,56 104,33 107,43 Г 107,43 103,26
23 summa -1000 0,015 0,016 0,0533 0,0839 0,0667 0,3343 0,3343 0,1137
24 SA2_A -1000 0,1375 0,16 0,2222 0,2469 0,2222 1,3147 " 1,3147 0,2992
25 Dist -1000 0,0352 0,0256 0,0494 0,061 0,0494 3,096 3,096 0,0501
Рисунок 2 - первый шаг последовательности объединений смежных
кластеров.
Объединение кластеров 7 и 8 сопровождается следующими операциями: 1) Яркости 108 и 109 объединяются в один укрупненный кластер 7. Все остальные яркости, находящиеся правее объединенных, перенумеруются (клетки H17-J17).
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
2) Выполняется расчет вероятности появления Р(2) укрупненного кластера
7. Данные записываются в клетку Н19.
3) Значение вероятности Р(2) появления укрупненного кластера 7 записывается для каждой яркости, входящей в этот кластер. Данные копируются из клетки Н19 в клетку 119.
4) Рассчитывается средняя яркость т укрупненного кластера 7. Данные записываются в клетку Н20.
5) Значение средней яркости т укрупненного кластера 7 записывается в клетки каждой яркости, входящей в этот кластер. Данные копируются из клетки Н20 в клетку 120.
6) Рассчитывается значение межклассовой дисперсии а2/ для пары предыдущий-текущий кластеры (6 и 7). Данные записываются в клетку Н21.
7) Значение межклассовой дисперсии а1/ (6, 7) записывается в клетки входящих в текущий укрупненный кластер 7 яркостей. Данные копируются из клетки Н21 в клетку 121.
8) Расчет значения межклассовой дисперсии о2/ для пары текущий-следующий кластеры (7 и 8). Данные записываются в клетку 121.
9) Значение межклассовой дисперсии о2/ (7, 8) должны быть записаны в клетки входящих в кластер 8 яркостей. На данном этапе последовательного объединения смежных кластеров действие пропускается, так как в кластере 8 всего одна яркость.
10) Расчет глобальной средней яркости М, получаемой при объединении предыдущего и текущего кластеров (6 и 7). Данные записываются в клетку Н22.
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ru/
11) Значение глобальной средней яркости M(6, 7) записать в
соответствующие клетки каждой яркости текущего кластера 7. Данные копируются из клетки H22 в клетку I22.
12) Расчет глобальной средней яркости M, получаемой при объединении текущего и следующего кластера (7 и 8).
13) Значение глобальной яркости M(7, 8) должно быть записано в клетки всех яркостей кластера 8. В данном этапе это действие пропускается, так как в кластере 8 всего одна яркость.
14) Расчет сомножителя summa для пары предыдущий-текущий кластеры (6 и 7). Данные записываются в клетку H23.
15) Значение сомножителя summa(6, 7) записать во все клетки укрупненного кластера 7. Данные копируются из клетки H23 в клетку I23.
16) Расчет сомножителя summa для пары текущий-следующий кластеры (7 и 8). Данные записываются в клетку J23.
17) Значение сомножителя summa(7, 8) должно быть записано во все клетки следующего кластера 8. В данном этапе это действие пропускается, так как в кластере 8 всего одна яркость.
18) Расчет внутриклассовой дисперсии для пары предыдущий-текущий кластер а2А (6, 7). Данные записываются в клетку H24.
19) Значения внутриклассовой дисперсии о2А (6, 7) записываются в клетки всех яркостей укрупненного кластера 7. Данные копируются из клетки H24 в клетку I24.
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
20) Расчет внутриклассовой дисперсии для пары текущий-следующий
кластер а2А (7, 8). Данные записываются в клетку 124.
21) Значение внутриклассовой дисперсии а1А (7, 8) записать во все клетки следующего кластера 8. На данном этапе это действие пропускается, так как в кластере 8 всего одна яркость.
22) Рассчитать расстояние у пары предыдущий-текущий кластеры Л/^?(6,7) для каждой яркости текущего укрупненного кластера 7. Данные записываются в клетки Н25, 125.
23) Рассчитать расстояние у пары текущий-следующий кластеры Л/^?(7,8) для каждой яркости следующего кластера 8. Данные записываются в клетки 125.
24) Выбор пары кластеров, характеризующейся минимальным расстоянием. В клетке Э25 таблицы рисунка 2 желтым цветом отмечено минимальное расстояние, соответствующее паре кластеров 2 и 3.
Серия операций по объединению пары смежных кластеров 7 и 8 таблицы рисунка 1 в укрупненный кластер 7 таблицы рисунка 2 завершается определением нового минимального расстояния и соответствующей ему пары кластеров. В таблице рисунка 2 очередному минимальному расстоянию 0,0256 (клетка Э25) соответствует пара кластеров 2 и 3. Серия сопутствующих операций по объединению кластеров 2 и 3 изменяет данные таблицы рисунка 2. Измененные данные выделены штрихпунктирной линией на рисунке 3. Новый укрупненный кластер 2 состоит из двух яркостей (101, 102). Для него заново рассчитаны вероятность появления и среднее значение яркости. Рассчитаны и записаны в соответствующие клетки таблицы показатели, требующие данных от соседних
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
кластеров 1 и 3: межклассовые дисперсии, глобальные средние яркости,
внутриклассовые дисперсии и расстояния между смежными парами кластеров.
А В с D Е F G Н 1 J
33 г 100 101 102 103 104 105 108 109 110
34 h(z) 3 1 4 S 10 5 15 3 1
35 кластер 1 2 2 3 4 5 6 6 7!
36 р(г),вер-ть пике. 0,06 0,02 0,08 0,16 0,2 0,1 0,3 0,06 0,02
37 Р(г),вер-ть класт. 0,06j ОД ОД 0,16 0,2 0,1 0,36 0,36 0,02
38 т, среднее класт. 100; 101,8 101,8 103 104 105 108,17 108,17 110
39 SA2 1 -1000 0,7594 0,7594 0,3408 0,2459 0,2222 1,706 1,705 0,1676
40 М, ср. глоб. класт. -1000 101,13 101,13 102,54 103,56 104,33 107,48 107,48 108,26
41 summa -1000 ОД 375 0,1375 0,1046 0,0889 0,0667 0,8348 0,8348 0,1137
42 SA2 А -1000 0,8594 0,8594 0,4024 0,2469 0,2222 1,8147 1,8147 0,2992
43 Dist -1000 0,5526 0,6526 0,1371 0,061 0.0494 3,096 3,096 0,0501
Рисунок 3 - второй шаг последовательности объединений смежных кластеров.
Процесс укрупнения первого кластера за счет объединения с ним второго отличается от укрупнения других кластеров. Поскольку для первого кластера отсутствует предыдущий, то для него невозможен расчет межклассовой дисперсии о1/, глобальной средней яркости M, вспомогательного множителя summa, внутриклассовой дисперсии о1А и расстояния Dist. В соответствующие клетки записаны контрольное значение «-1000». Но аналогичные параметры для последующего за первым второго кластера, требующие данных от двух кластеров 1 и 2, доступны.
Серия последовательных объединений приводит расчетную таблицу данных к виду представленному на рисунке 4, в которой присутствует только два кластера 1 и 2. Желтым цветом (клетка H131) отмечено минимальное и единственное расстояние. Поскольку величина Dist должна быть больше нуля и с каждым шагом последовательного объединения только возрастает, поэтому контрольное значение
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
«-1000» не учитывается. Зеленым цветом (клетка Н129) выделено значение яркости,
которое получится при объединении двух оставшихся кластеров 1 и 2 в один
укрупненный кластер.
А В с D Е F G H 1 J
122 1 100 101 102 103 104 105 100 109 110
123 h(l) 3 1 4 s 10 5 15 3 1
124 кластер L. . . \ 1 1 1 1 1 2 2 2t
125 р(г),аер-ть пике. 0,06 0,02 0,08 0,16 0,2 0,1 0,3 0,06 0,02
126 Р(г),аер-ть пласт. 0,62 0,62 0,62 0,62 0,62 0,62 0,3B 0,38 0,38
127 т, среднее пласт. 103,1613 103,16 103,16 103,16 103,16 103p16f 108,26 100,26 100,26
123 SA2 1 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 6,1324 6,1324 6,1324-
129 М, ср. глой. пласт. -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 105,1 105,1 105.1:
130 summa -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 7,53 7,53 7,5 3j
131 S*2_A -1000 -1000 -1000 -1000 1000 -1000 7,53 7,53 7,53j
132 Dist L -looo -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 46,177 46,177 46,1771
Рисунок 4 - предпоследний шаг последовательности объединения кластеров.
Последний шаг последовательности объединений можно опустить, так как вероятность появления единого кластера равна 1. Среднее значение яркости определено на предыдущем предпоследнем шаге. Другие значения недоступны.
4. Модификация технологии мультипороговой обработки
Модификация метода мультипороговой обработки заключается в применении приращения суммарного квадратичной ошибки АЕ в качестве формулы расчета [21] расстояния между парами смежных кластеров при сохранении оригинальной идеи и стратегии объединения кластеров. Возникающее при объединении двух смежных кластеров 1 и 2 приращение суммарной квадратичной ошибки АЕ рассчитывается по формуле:
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
АЕ = \\h-hW2, (8)
пг+п2 47
где п1 и п2 - число пикселей в кластерах 1 и 2, 11 и 12 - значения средних яркостей по кластерам 1 и 2, \\ \\2- квадрат Евклидова расстояния.
Если значение АЕ указывает на приращение суммарной квадратичной ошибки при выборе смежной пары кластеров для объединения, то аккумулированное значение суммарной квадратичной ошибки Е указывает на качество текущего разбиения на кластеры. Значение суммарной квадратичной ошибки Е текущего шага разбиения вычисляется через значения предыдущего шага:
Ешаг 1 Ешаг 1-1 + АЕшаг 1-1. (9)
Индекс 1 указывает на порядковый номер шага последовательного объединения смежных пар кластеров. Он принимает целочисленные значения в
диапазоне от 1 до К-1: 1 е[1,К-1], 1 = 1,2,3____ Суммарная квадратичная ошибка
начального разбиения равна 0: Ешаг 0 = 0.
Суммарная квадратичная ошибка Е связана со среднеквадратичным отклонением а равенством:
.2 = I ,
N'
где N - число пикселей в изображении. Обе величины равносильно характеризуют качество разбиения изображения на кластеры. Для изображений из оттенков серого область допустимых значений среднеквадратичного отклонения а ограничена диапазоном [0, 127,5].
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
4.1. Расчетный пример 2
Для данных таблицы 1 рассчитаем последовательность объединений смежных пар кластеров. Начальное разбиение представлено в таблице рисунка 5. Все 9 непустых кластеров пронумерованы. Число пикселей и средняя яркость кластера (строки 5 и 6) совпадают с изначальными значениями (строки 2 и 3). По формуле 8 рассчитаны значения приращений суммарных квадратичных ошибок пар смежных кластеров. Поскольку для первого кластера не существует предыдущего, поэтому в клетку В7 записано контрольное значение «-1000». Значение суммарной квадратичной ошибки первоначального разбиения равно 0 (клетка О). Желтым цветом выделено наименьшее приращение суммарной квадратичной ошибки АЕ соответствующее объединению кластеров 1 и 2 (клетка С7).
А В с 0 Е С н 1 J К
1 ШАГ 0 гистограмма яркости
2 г 100 101 102 103 104 105 108 109 110
3 т 3 1 4 В 10 5 15 3 1
4 кластер 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 п, число гике, в класт. 3 1 4 8 10 5 15 3 1
6 1, среди .яркость пласт. 100 101 102 103 104 105 108 109 110
7 с!Е -1000 0,75 0,8 2,66567 4,44444 3,33333 33,75 2,5 0,75
8 Е 0
Рисунок 5 - Начальное разбиение.
Объединение найденной «минимальной пары» (пары кластеров, которой сопутствуется минимальное приращение суммарной квадратичной ошибки) сопровождается серией операций по модификации таблицы данных рисунка 5. Результаты первого шага объединения представлены в таблице рисунка 6. Штрихпунктирной линией выделены измененные данные. Желтым цветом
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ги/
обозначено новое найденное минимальное приращение суммарной квадратичной
ошибки.
А В С D Е F G н 1 J К
15 ШАГ 1
16 1 100 101 102 103 104 105 10В 109 110
17 Щг] 3 1 4 S 10 5 15 3 1
1S кластер 1 1 2 3 4 5 6 7 8
19 г, число пике, в класт. 4 * * 10 5 15 3 1
20 1, средн.яркость класт. 100,25 100,25 102 103 104 105 108 109 110
21 dE -1000 -1000 6,125j 2,66667 4,44444 3,33333 33,75 2,5 0,75
22 Е 0,751
Рисунок 6 - Первый шаг последовательности объединений.
Следующие сопутствующие операции совершены в ходе объединения яркостей 100 и 101 в укрупненный кластер 1:
1) Объединены кластеры 1 и 2 в укрупненный кластер 1 (клетки C18).
2) Перенумерованы последующие кластеры за укрупненным (клетки C18-
J18).
3) Подсчитано число пикселей укрупненного кластера 1 (клетка B19).
4) Значение числа пикселей кластера 1 записано во все соответствующие ячейки укрупненного кластера 1 (клетка C19).
5) Рассчитано средняя яркость I укрупненного кластера 1 (клетка B20).
6) Значение средней яркости I записано в соответствующие клетки укрупненного кластера 1 (клетка C20).
7) Для пары предыдущий-текущий кластер должно быть рассчитано значение приращения суммарной квадратичной ошибки ДЕ. Эта операция
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
пропускается, так как у первого кластера отсутствует предыдущий. В клетку В21
записано контрольное значение «-1000».
8) Значение приращения суммарной квадратичной ошибки АЕ должно быть записано во все соответствующие клетки текущего кластера. На данном шаге последовательного объединения клетку С21 записывается контрольное значение «1000»
9) Рассчитано приращения суммарной квадратичной ошибки АЕ для пары текущий-следующий кластер (1,2).
10) Значение АЕ должно быть записано во все соответствующие клетки следующего кластера 2. Операция пропущена, так как кластер 2 состоит из одной яркости.
11) Выбирается новая «минимальная пара» кластеров. Желтым цветом выделено приращение суммарной квадратичной ошибки пары кластеров 7 и 8.
12) Рассчитывается значение суммарной квадратичной ошибки текущего разбиения по формуле 9 (клетка К37).
После второго шага последовательности объединений таблица данных выглядит так, как показано на рисунке 7. Укрупнен 7 кластер за счет слияния с ним кластера 8 с яркостью 110. Рассчитаны новые значения числа пикселей, средней яркости по укрупненному кластеру 7, приращение суммарной квадратичной ошибки АЕ, возникающее при объединении кластеров 6 и 7, а также значение суммарной квадратичной ошибки текущего разбиения.
Труды МАИ. Выпуск № 118
Ьйр://1хиёуша1. ги/
А В с 0 Е Р 6 н 1 J К
30 ШАГ2
31 г 100 101 102 103 104 105 108 109 110
32 т 3 1 4 В 10 5 15 3 1
33 кластер 1 1 2 3 4 5 б| 7 А
34 п, число пике, а класт. 4 4 4 в 10 5 151 4 41
35 1, средн.яркость класт. 100,25 100,25 102 103 104 105 1081 109,25 109,251
36 с1Е -1000 -1000 6,125 2,66667 4,44444 3,33333 33,75] 4,93421 4,934211
37 Е !_____1,5! Е
Рисунок 7 - Второй шаг последовательности объединений.
На рисунках 8 и 9 приведены предпоследний и последний шаги последовательности объединения смежных кластеров пикселей.
А В с о Е р 6 н | J К
106 ШАГ 7
107 1 100 101 102 103 104 105 108 109 110
108 Щ1) 3 1 4 8 10 5 15 3 1
109 кластер | 1 1 1 1 1 1 2 2 2
110 п, число пике, в класт. \ 31 31 31 31 31 31 Г 19 19 19
111 1, средн.яркость кл а ст.! 103,161 103,161 103,161 103,161 103,161 103,161 108,263 108,263 108,263
112 с)Е ! -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 306,622 306,622 306,6221
113 Е ; 69,87776;
Рисунок 8 - седьмой шаг последовательности объединений
А В с и Е р с н 1 J к
122 г 100 101 102 103 104 105 108 109 110
123 Ь(г) 3 1 8 10 5 15 3 1
124 кластер 1 1 1 1 1 1 1 1 1
125 п, число пике, в класт. 50 50 50 50 50 50 50 50 5о!
126 1, средн.яркость класть 105,1 105,1 105,1 105,1 105,1 105,1 105,1 105,1 105,1!
127 С1Е -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000
128 Е " ---- --- ---1 375,5!
Рисунок 9 - восьмой шаг последовательности объединений
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
4.2. Сопоставление последовательностей объединений
Изменение формулы расчета расстояния с произведения межклассовой и внутриклассовой дисперсий на приращение суммарной квадратичной ошибки АЕ влияет на последовательность объединения пар смежных кластеров. В таблицах 2 и 3 записаны пошаговые распределения яркостей по кластерам пикселей оригинального и модифицированного метода. Колонки образуют непустые уровни оттенков серого цвета (яркостей). В строках записано распределение яркостей по кластерам. В каждой очередной строке число колонок уменьшается на одну объединением пар смежных яркостей. Число возможных шагов последовательного объединения равно К-1. Согласно данным таблиц 2 и 3 видно, что совпадают только тривиальные случаи первого и последнего разбиения. Распределения яркостей по кластерам у промежуточных разбиений разнятся. Как следствие различаются и средние значения яркостей по кластерам.
Преимущество использования суммарной квадратичной ошибки в том, что с каждым очередным шагом объединения пары смежных кластеров ее значение накапливается. Аккумулированное значение служит индикатором качества разбиения на кластеры. Каждому разбиению в соответствие ставится суммарная квадратичная ошибка или среднеквадратичное отклонение. Поскольку на выходе алгоритма - серия разбиений, а для каждого разбиения известна его значение целевой функции качества, то можно построить график зависимости целевой функции от числа кластеров в разбиении. График кривой считается оптимальным, если он отвечает минимально возможному значению суммарной квадратичной ошибки Е при каждом числе кластеров пикселей.
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
Таблица 2 - Пошаговое распределение яркостей по кластерам в
оригинальном методе
Яркости
Шаг 100 101 102 103 104 105 108 109 110
0 1(100) 2(101) 3(102) 4(103) 5(104) 6(105) 7(108) 8(109) 9(110)
1 1(100) 2(101) 3(102) 4(103) 5(104) 6(105) 7(108,17) 8(110) К Й рэ
2 1(100) 2(101,8) 3(103) 4(104) 5(105) 6(108,17) 7(110) О т О 43 ег
3 1(100) 2(101,8) 3(103) 4(104,33) 5(108,17) 6(110) 43 я
4 1(100) 2(101,8) 3(103) 4(104,33) 5(108,26) о о т )
5 1(100) 2(102,54) 3(104,33) 4(108,26)
6 1(100) 2(103,5) 3(108,26)
7 1(103,16) 2(108,26)
8 1(105,1)
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
Таблица 3 - пошаговое распределение яркостей по кластерам в
модифицированном методе
Яркости
Шаг 100 101 102 103 104 105 108 109 110
0 1(100) 2(101) 3(102) 4(103) 5(104) 6(105) 7(108) 8(109) 9(110)
1 1(10 1,25) 2(102) 3(103) 4(104) 5(105) 6(108) 7(109) 8(110)
2 1(101,25) 2(102) 3(103) 4(104) 5(105) 6(108) 7(109,25) К ¡з
3 1(101,25) 2(102,67) 3(104) 4(105) 5(108) 6(109,25) а о т о р
4 1(101,25) 2(102,67) 3(104,33) 4(108) 5(109,25) Е 43
5 1(101,25) 2(102,67) 3(104,33) 4(108,26) к о о т
6 1(102,06) 2(104,33) 3(108,26)
7 1(103,16) 2(108,26)
8 1(105,1)
В работе [22] описаны свойства последовательности оптимальных разбиений. При возрастании числа кластеров g от 1 до числа всего кластеров К последовательность оптимальных приближений описывается монотонной последовательностью значений Е^ которые нестрого уменьшаются от максимального значения Е1 при единственном кластере до 0 при всех пикселях, отнесенных к различным кластерам. Нетривиальным свойство оптимальных приближений является выпуклость последовательности значений Е^
Ед-1 + Ед + 1 Ед =-2-, 9 = 2,3,..., К — 1.
Нарушение выпуклости значений ошибки Еg свидетельствует об отклонении получаемых разбиений от оптимальных.
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
4.3. Экспериментальные результаты
На рисунке 10 изображен пример генерации серии разбиений стандартного тестового изображения «Лена» из оттенков серого. Размер исходного изображения -512x512 пикселей. Для данного тестового изображения доступно 164 непустых уровня оттенков серого. На рисунке 11 представлен график зависимости среднеквадратичного отклонения а от числа кластеров в разбиении.
Компьютерный эксперимент подтвердил, что генерируемая модифицированным метом последовательность значений суммарных квадратичных ошибок Е разбиений образует выпуклую кривую, а сами кусочно-постоянные разбиения являются последовательностью оптимальных разбиений.
Рисунок 10 - часть серии кусочно-постоянных разбиений тестового
изображения на кластеры пикселей
Труды МАИ. Выпуск № 118
http://trudymai. ru/
50-1-1-1-1-1-г
45 -
®
ai
20 40 60 Ю 100 120 140 160
Число кластеров
Рисунок 11 - последовательность значений среднеквадратичных отклонений, зависящих от числа кластеров в разбиениях
5. Заключение
Оригинальный метод мультипороговой обработки, применимый только для изображений из оттенков серого, использует произведение межклассовой и внутриклассовой дисперсий в качестве функции расстояния между парами смежных кластеров. В модифицированном методе сохраняется оригинальная идея и стратегия вычислений, но меняется функция вычисления расстояния между парами смежных кластеров. Вместо произведения межклассовой и внутриклассовой дисперсий используется приращение суммарной квадратичной ошибки АЕ. Эта модификация в два раза уменьшает количество сопутствующих операций по вычислению расстояния между очередной парой смежных кластеров, что значительно облегчает труд программирования.
Труды МАИ. Выпуск № 118 Ьир://1гиёута1. ги/
Применение приращения суммарной квадратичной ошибки ДЕ также
изменило порядок последовательности объединения пар смежных кластеров, значения средних яркостей по кластерам разбиений. Установлено, что генерируемая модифицированным методом мультипороговой обработки серия кусочно-постоянных разбиений является оптимальной. Об этом свидетельствует выпуклая кривая зависимости значений суммарных квадратичных ошибок Е от числа кластеров N в разбиении.
Преимущество использования суммарной квадратичной ошибки Е также в том, что с каждым очередным шагом объединения пары смежных кластеров ее значение накапливается. Аккумулированное значение (9) служит индикатором качества разбиения на кластеры, что является очередным преимуществом перед оригинальным методом.
В настоящей работе рассмотрено два расчетных примера последовательного объединения кластеров пикселей в оригинальном и модифицированном варианте над одним набором данных, что позволяет программисту реализовать оба варианта метода с минимальными затратами временных ресурсов.
Исследование выполнено в рамках бюджетной темы 0060-2019-0011 (Фундаментальные основы и технологии больших данных для социокиберфизических систем).
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ru/
Библиографический список
1. Tajbakhsh N. et al. Embracing imperfect datasets: A review of deep learning solutions for medical image segmentation // Medical Image Analysis, 2020, pp. 101693. URL: https://arxiv.org/pdf/1908.10454.pdf
2. Stathopoulou E.K., Remondino F. Semantic photogrammetry: boosting image-based 3D reconstruction with semantic labeling // The International Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences, 2019, vol. 42, no. 2, pp. 1 - 7. DOI: 10.5194/isprs-archives-XLII-2-W9-685-2019
3. Hossain M.D., Chen D. Segmentation for Object-Based Image Analysis (OBIA): A review of algorithms and challenges from remote sensing perspective // Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, 2019, no. 150, pp. 115 - 134. DOI: 10.1016/i.isprsiprs.2019.02.009
4. Khanykov I.G., Tolstoj I.M., Levonevskiy D.K. The classification of the image segmentation algorithms // International Journal of Intelligent Unmanned Systems, 2020, vol. 8, no. 2, pp. 115 - 127. DOI: 10.1108/IJIUS-07-2019-0031
5. Agus Zaina Arifin, Akira Asosno. Image segmentation by histogram thresholding using hierarchical cluster analysis // Pattern Recognition Letters, 2006, no. 27 (13), pp. 1515 - 1521. DOI: 10.1016/i.patrec.2006.02.022
6. Sobel I., Feldman G. A 3x3 Isotropic Gradient Operator for Image Processing, A Talk at the Stanford Artificial Project, 1968, pp. 271 - 272.
7. Ватутин Э.И., Мирошниченко С.Ю., Титов В.С. Программная оптимизация оператора Собела с использованием SIMD-расширений процессоров семейства x86 // Телекоммуникации. 2006. № 6. С. 12 - 16.
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ru/
8. Scharr H. Optimale Operatoren in der Digitalen Bildverarbeitung: Dissertation.
2000, URL: https://doi.org/10.11588/heidok.00000962
9. Jâhne B., Scharr H., Korkel S. Principles of filter design. In Handbook of Computer Vision and Applications, Academic Press, 1999.
10. Roberts L. Machine Perception of 3-D Solids, Optical and Electro-optical Information Processing, MIT Press, New York, 1965.
11. Samuel J. Dwyer III. A personalized view of the history of PACS in the USA // In: Proceedings of the SPIE, Medical Imaging 2000: PACS Design and Evaluation: Engineering and Clinical Issues, 2000. URL: https://doi.org/10.1117/12.386388
12. Canny J. A computational approach to edge detection // IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence, 1986, no. 6, pp. 679 - 698. DOI: 10.1109/TPAMI.1986.4767851
13. Nixon M.S., Aguado A.S. Feature Extraction and Image Processing, Academic Press, 2008, 424 p.
14. Маслов А.М., Сергеев В.В. Идентификация линейной искажающей системы с использованием ранговой обработки сигналов // Компьютерная оптика. 1990. № 6. С. 97 - 102.
15. Otsu N. A threshold selection method from gray-level histograms // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1979, vol. 9, no. 1, pp. 62 - 66.
16. Ping-Sung Liao, Tse-Sheng Chen, Pau-Choo Chung. A Fast Algorithm for Multilevel Thresholding // Journal of Information Science and Engineering, 2001, vol. 17 (5), pp. 713 - 727.
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ru/
17. Трусфус М.В., Абдуллин И.Н. Алгоритм обнаружения маркерных
изображений для вертикальной посадки беспилотного летательного аппарата // Труды МАИ. 2021. № 116. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=121099. DOI: 10.34759/TRD-2021-116-13.
18. Корнеев М.А., Максимов А.Н., Максимов Н.А. Методы выделения точек привязки для визуальной навигации беспилотных летательных аппаратов // Труды МАИ. 2012. № 58. URL: http: //trudymai.ru/published. php?ID=33061
19. Лунев Е.М., Павлова Н.В. Программно-алгоритмическое обеспечение для определения навигационных параметров беспилотного летательного аппарата на базе фотоизображения // Вестник Московского авиационного института. 2009. Т. 16. № 6. С. 111 - 119.
20. Бурага А.В., Костюков В.М. Сравнительный анализ пассивных методов измерения дальности для малого беспилотного летательного аппарата // Труды МАИ. 2012. № 53. URL: http://trudymai.ru/published. php?ID=29624
21. Khanykov I.G., Kharinov M.V., Patel C. Image Segmentation Improvement by Reversible Segment Merging // International Conference on Soft Computing and its Engineering Applications (icSoftComp), 2017, Changa, Anand, India. DOI: 10.1109/ICS0FTC0MP.2017.8280096
22. Харинов М.В., Ханыков И.Г. Оптимизация кусочно-постоянного приближения сегментированного изображения // Труды СПИИРАН. 2015. Т. 3. № 40. С. 183 - 202.
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ru/
Technology modification for distance calculation between pairs of adjacent clusters in multilevel thresholding
Khanykov I.G.
Federal Research Center of the Russian Academy of Sciences, 14th Line, 39, Saint-Petersburg, 199178, Russia e-mail: igk@iias.spb.su
Abstract
The article considers the multi-threshold images processing technology, which consists in generating a series of partitions into clusters for the original grayscale image. Each image is being assigned to its own brightness histogram, which every column is a separate cluster of pixels. A cluster is being characterized by the number of pixels it contains and the average brightness value. All pairs of adjacent clusters are being browsed while traversing over the brightness histogram. The pair of clusters with the minimum distance between them is being selected for merging at the end of the histogram traversing. In general case, 256 partitions are available by the number of the gray levels. In a special case, when the image consists of K grey levels (K < 256), and there is a need to find a partition from t levels of grey, the necessity to generate K - t partition into clusters will arise. With the original version of the multi-threshold processing method, the distance between the pairs of adjacent clusters was computed through the product of the intra-class and interclass dispersions, which requires considering the brightness histogram as a function of the probability density. The original technique is full of complex design equations. The modification proposed in the presented work allows computing the distance between the pairs of adjacent clusters by the increment of the total quadratic error. This
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ru/
modification is justified by a number of reasons. Firstly, the number of computational
operations reduces twofold. Secondly, the accumulated value of the total quadratic error,
expressed through the mean-square deviation, serves as the quality indicator of the image
partitioning to clusters. Thirdly, the set of the total quadratic errors, characterizing the
series of partitions into clusters, forms optimal sequence of partitions as evidenced by the
convex curve.
Keywords: multilevel thresholding, standard deviation, piecewise-constant partition, grayscale image, pixel clusters.
References
1. Tajbakhsh N. et al. Embracing imperfect datasets: A review of deep learning solutions for medical image segmentation, Medical Image Analysis, 2020, pp. 101693. URL: https://arxiv.org/pdf/1908.10454.pdf
2. Stathopoulou E.K., Remondino F. Semantic photogrammetry: boosting image-based 3D reconstruction with semantic labeling, The International Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences, 2019, vol. 42, no. 2, pp. 1 - 7. DOI : 10.5194/isprs-archives-XLII-2-W9-685-2019
3. Hossain M.D., Chen D. Segmentation for Object-Based Image Analysis (OBIA): A review of algorithms and challenges from remote sensing perspective, Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, 2019, no. 150, pp. 115 - 134. DOI: 10.1016/j.isprsjprs.2019.02.009
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ru/
4. Khanykov I.G., Tolstoj I.M., Levonevskiy D.K. The classification of the image
segmentation algorithms, International Journal of Intelligent Unmanned Systems, 2020, vol. 8, no. 2, pp. 115 - 127. DOI: 10.1108/IJIUS-07-2019-0031
5. Agus Zaina Arifin, Akira Asosno. Image segmentation by histogram thresholding using hierarchical cluster analysis, Pattern Recognition Letters, 2006, no. 27 (13), pp. 1515 -1521. DOI: 10.1016/j.patrec.2006.02.022
6. Sobel I., Feldman G. A 3x3 Isotropic Gradient Operator for Image Processing, A Talk at the Stanford Artificial Project, 1968, pp. 271 - 272.
7. Vatutin E.I., Miroshnichenko S.Yu., Titov V.S. Telekommunikatsii, 2006, no. 6, pp. 12 -16.
8. Scharr H. Optimale Operatoren in der Digitalen Bildverarbeitung: Dissertation. 2000, URL: https://doi.org/10.11588/heidok.00000962
9. Jähne B., Scharr H., Körkel S. Principles of filter design. In Handbook of Computer Vision and Applications, Academic Press, 1999.
10. Roberts L. Machine Perception of 3-D Solids, Optical and Electro-optical Information Processing, MIT Press, New York, 1965.
11. Samuel J. Dwyer III. A personalized view of the history of PACS in the USA. In: Proceedings of the SPIE, Medical Imaging 2000: PACS Design and Evaluation: Engineering and Clinical Issues, 2000. URL: https://doi.org/10.1117/12.386388
12. Canny J. A computational approach to edge detection, IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence, 1986, no. 6, pp. 679 - 698. DOI: 10.1109/TPAMI. 1986.4767851
Труды МАИ. Выпуск № 118 http://trudymai. ru/
13. Nixon M.S., Aguado A.S. Feature Extraction and Image Processing, Academic Press,
2008, 424 p.
14. Maslov A.M., Sergeev V.V. Komp'yuternaya optika, 1990, no. 6, pp. 97 - 102.
15. Otsu N. A threshold selection method from gray-level histograms, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1979, vol. 9, no. 1, pp. 62 - 66.
16. Ping-Sung Liao, Tse-Sheng Chen, Pau-Choo Chung. A Fast Algorithm for Multilevel Thresholding, Journal of Information Science and Engineering, 2001, vol. 17 (5), pp. 713 - 727.
17. Trusfus M.V., Abdullin I.N. Trudy MAI, 2021, no. 116. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID= 121099. DOI: 10.34759/TRD-2021-116-13
18. Korneev M.A., Maksimov A.N., Maksimov N.A. Trudy MAI, 2012, no. 58. URL: http : //trudymai. ru/eng/published.php?ID=33061
19. Lunev E.M., Pavlova N.V. Aerospace MAI Journal, 2009, vol. 16, no. 6, pp. 111 -119.
20. Buraga A.V., Kostyukov V.M. Trudy MAI, 2012, no. 53. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=29624
21. Khanykov I.G., Kharinov M.V., Patel C. Image Segmentation Improvement by Reversible Segment Merging, International Conference on Soft Computing and its Engineering Applications (icSoftComp), 2017, Changa, Anand, India. DOI: 10.1109/ICSOFTCOMP.2017.8280096
22. Kharinov M.V., Khanykov I.G. Trudy SPIIRAN, 2015, vol. 3, no. 40, pp. 183 - 202.
