CC BY
224
Lukyanova Lyudmila Mikhailovna, doctor of technical sciences, professor, computer science and control systems department, Kaliningrad State Technical University, academician, International Academy of Informatization (IAI). Tel. +7 (4012) 995-942.E-mail: llm_llm@mail.ru
УДК 621.391
© М.В. Харинов
АЛЬТЕРНАТИВА ИЕРАРХИЧЕСКОМУ МЕТОДУ ОЦУ ДЛЯ ЦВЕТОВОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ
В работе предлагается способ кластеризации пикселей и сегментации изображений на основе метода Уорда, названный RW-методом (Repetitive Ward's method), который, в случае серых изображений, трактуется как альтернатива иерархическому методу Оцу.
Ключевые слова: кластеризация пикселей, сегментация цветового изображения, слияние, метод Уорда, разделение, метод Оцу, иерархия, суммарная квадратичная ошибка, минимизация, выпуклая последовательность, инвариантность, изоморфизм, изотонное преобразование.
M.V. Kharinov
AN ALTERNATIVE TO HIERARCHICAL OTSU METHOD FOR COLOR IMAGE
In the paper the technique of pixel clustering and image segmentation basing on Ward's method that is complementary to hierarchical Otsu method in the case of gray images, is proposed and is named as RW-method (Repetitive Ward's method).
Keywords: pixel clustering, color image segmentation, merging, Ward's method, division, Otsu method, hierarchy, total squared error, minimizing, convex sequence, invariance, isomorphism, isotone transform.
Введение
Работа продолжает серию статей [1, 2] и др. по формализации понятия сегментации для автоматического выделения объектов в системах машинного зрения. При этом мы развиваем логику разделения изображения на «объекты», которые «видит» компьютер, избегая догадок по поводу моделирования, скажем, зрения насекомого, животного или человека, которого возможно привлечь для обучения технической системы. Определить «объекты», не ссылаясь на неформализованное зрительное восприятие, позволяют известные методы кластеризации пикселей, в частности, сегментации изображений посредством вычисления оптимальных и квазиоптимальных кусочно-постоянных приближений изображения, которые минимально отличаются от него по среднеквадратичному отклонению и или
суммарной квадратичной ошибке Е = 3Na2, где N - число пикселей изображения, а коэффициент 3 учитывает число цветовых R, G, В компонент.
В нашей интерпретации «объекты» описываются кластерами пикселей изображения, состоящими из нескольких связных сегментов, и содержат единственный сегмент как при традиционной сегментации, но только в частном случае. В отличие от традиционного понимания результатом кластеризации/сегментации является не единственное разбиение изображения на «объекты», а бинарная иерархия кластеров пикселей. В бинарной иерархии любой кластер, отличный от тривиального, разделяется на пару вложенных по заданному алгоритму, а тривиальные кластеры из одинаковых пикселей считаются неделимыми. Из кластеров бинарной иерархии формируются разбиения изображения на любое число кластеров от 1 до g0, где g0 - общее число неделимых кластеров в изображении. Разбиения, в свою очередь, порождают кусочно-постоянные приближения изображения посредством усреднения пикселей внутри кластеров. Характерной особенностью нашего обобщения понятия сегментации является то, что каждому из 2g0 -1 кластеров автоматически присваивается уникальный идентификатор - «обозначение объекта», экземплярами которого в разбиениях помечаются пиксели изображения. При этом в каждой из трех цветовых компонент изображения пиксель помечается неотрицательным целым числом из определенного диапазона. Метками служат значения пикселей целочис-
ленного инвариантного представления, которое в первоначальной версии разработано в [3] для задач стеганографии, в текущей версии описано в [2] для серого изображения и обобщается на случай цветового изображения в настоящей статье.
Замечание 1. При вычислениях на компьютере используются целые значения пикселей исходного изображения. Однако смысл дальнейших рассуждений сохраняется и для вещественных значений пикселей.
1. Постановка задачи
В статье формулируется и решается задача построения преобразования H цветового изображения (и, v, w) из трех однокомпонентных изображений и, v и w в инвариантное представление H (и, v, w) со следующими общими свойствами инвариантности и симметрии.
Добавление к пикселям любой цветовой компоненты вещественного числа не влияет на инвариантное представление:
H(и, v, w) = H(и + cR, v + cG, w + cB ), (1)
где cR, cG, cB - тривиальные матрицы из одинаковых пикселей.
Умножение пикселей каждой цветовой компоненты на вещественное положительное число а > 0 не влияет на инвариантное представление:
H (и, v, w) = H (а- u, а- v,a■ w). (2)
Преобразование H коммутирует с преобразованиями P :
ИР = PH , (3)
где под преобразованием P можно понимать: а) произвольную перестановку цветовых компонент; Ь) преобразование цветовой компоненты в негатив; с) масштабирование изображения посредством дублирования пикселей.
Перестановочность аргументов означает, что функция преобразования цветовой компоненты зависит только от двух других компонент и не зависит от номера компоненты:
Ии у : И(ы, V, w)=(Hvwu, Ии му, Ии^),
причем не меняется при перестановке индексов: Ииу = Иу и. При этом преобразование цветовой компоненты серого изображения из одинаковых компонент совпадает с преобразованием данной цветовой компоненты при двух других тривиальных:
Ис,си = Иили, (4)
где с — тривиальная матрица из одинаковых пикселей, например, из одних 0. Таким образом, программная реализация преобразования И трехмерного изображения поддерживает и преобразование одномерной компоненты в составе серого изображения из трех одинаковых цветовых компонент или монохромного изображения при обнулении остальных.
Характерным результатом преобразования И цветового изображения (и, у, w) является получение серого изображения (Иу ки, Ии ^у, Ии ^) с совпадающими цветовыми компонентами:
И^и = Ии^ = Ии^ . (5)
Преобразование любой из цветовых компонент в негатив, коммутирующее с преобразованием И , вообще говоря, нарушает (5). Поэтому обсуждаемый результат не является тривиальным и позволяет выделить изображения, отличающиеся от тройки произвольных матриц свойством (5).
2. Инвариантное представление для цветового изображения
Построение инвариантного представления И (и, V, w) цветового изображения (и, у, w) выполняется по компонентам и сводится к последовательному кодированию заданной бинарной иерархии кластеров пикселей цветового изображения по алгоритму итеративного разделения кластеров пикселей квазиоптимальных кусочно-постоянных приближений, который описан в [2]. Согласно алгоритму, в неотрицательных целых значениях пикселей каждой цветовой компоненты запоминается последовательность разделений нетривиальных кластеров на пары вложенных, которая кодируется целым числом в диапазоне [о, 2Ч+Х — 2], где д — максимальное число делений, выполненных при вычислении того или иного кластера пикселей в очередном кусочно-постоянном приближении.
Замечание 2. В [2] величина q интерпретируется как максимальное значение целочисленной оценки количества информации в пикселе кусочно-постоянного приближения изображения.
При этом кодированная иерархия кластеров трехмерных пикселей предыдущих приближений воспроизводится посредством итеративного деления четных значений пикселей любой из компонент инвариантного представления нацело на 2 и делением нечетных значений нацело на 4 с последующим удвоением [2, 3].
Одна и та же иерархия кластеров кодируется в цветовых компонентах инвариантного представления неодинаково, так как учитывает средние яркости. Целые значения пикселей цветовой компоненты инвариантного представления формируются при разделении данного кластера надвое по результатам сравнения средних значений яркости вложенных кластеров. В случаях, когда данный нетривиальный кластер разделяется на вложенные кластеры с совпадающей средней яркостью, вложенные кластеры различаются по геометрическому признаку, например, по номеру первого пикселя в порядке построчной развертки. Указанными случаями совпадения кластеров по средней яркости исчерпывается специфика получения инвариантного представления для цветового изображения по сравнению с его построением для монохромного или серого изображения [2].
Трехмерные значения пикселей инвариантного представления H {и, v, w) служат обозначениями кластеров или «объектов». С точностью до отмеченных случаев совпадения средних яркостей в парах кластеров целые значения пикселей инвариантного представления просто перекодируют вещественные значения средней яркости пикселей кусочно-постоянных приближений.
По сравнению со случаем серых изображений эффект получения квазиоптимальных кусочно-постоянных приближений цветового изображения определяется не только снижением, но и выравниванием числа градаций средней яркости пикселей в цветовых компонентах. Покомпонентная перекодировка средних яркостей пикселей приближения в целые значения пикселей инвариантного представления H{и, v, w) усиливает эффект за счет того, что в инвариантном представлении H{и, v, w) при начальном числе кластеров (в пределах первой пятерки-десятка) совпадают сами R, G, B компоненты, и оно получается серым.
3. Кластеризация и сегментация
Для получения бинарной иерархии кластеров применяется агломеративный метод Уорда [4], согласно которому производится итеративное попарное слияние кластеров из условия минимального приращения суммарной квадратичной ошибки AEmerge= min, где приращение
АEmerge = E{1 u 2) - E{1) - E{2) суммарной квадратичной ошибки E при слиянии кластеров 1 и 2 с
числом пикселей n1, n2 выражается через квадрат евклидова расстояния Ц -12||2 между трехмерными средними яркостями I1, 12 в виде:
II/ -1 II2
AE = 11/1 1211 > 0 . (6)
^^merge 1 1 _
-+-
n1 n2
Именно выражение (6) служит критерием слияния сегментов изображения в версиях [1, 5] модели сегментации Мамфорда-Шаха [6], и либо с аддитивной добавкой, либо с дополнительным множителем используется в версиях [7, 8] модели. В отличие от модели Мамфорда-Шаха, в нашей модели сегментации минимизация суммарной квадратичной ошибки E достигается не только за счет слияния смежных сегментов изображения, а выполняется на множестве всевозможных пар кластеров.
Компьютерные вычисления выполняются в терминах структуры динамических деревьев Слейто-ра-Тарьяна [9]. При этом в оперативной памяти сохраняется вся иерархия кластеров пикселей изображения, рассматриваемая в порядке от больших кластеров к меньшим. Устанавливается, что нетривиальные кластеры разделяются на пары тех вложенных кластеров, слиянием которых они получены. Контролируется условие обработки каждого кластера пикселей как самостоятельного изображения. Бинарная иерархия из 2g 0 -1 кластеров задается в виде компактной последовательности разбиений пикселей изображения на 1, 2, 4,...,g0 кластеров. Компактная последовательность разбиений содержит минимальное число повторяющихся тривиальных кластеров и формируется посредством разделения надвое всех нетривиальных кластеров в очередном разбиении, которое содержит вначале един-
ственное множество пикселей изображения. Если последовательность разбиений формируется посредством разделения в очередном разбиении единственного кластера, который выбирается из условия минимизации результирующего значения суммарной квадратичной ошибки E, то получаемые разбиения содержат последовательное число 1, 2, 3,...,g0 кластеров, встречающихся с максимальным числом повторений.
Характерно, что по построению тройки значений суммарной квадратичной ошибки, описывающие последовательное разбиение того или иного кластера пикселей на один, два и три вложенных, образуют выпуклую последовательность. При этом свойство выпуклости последовательных значений Eg
сохраняется для компактной последовательности разбиений, а также для разбиений пикселей изображения на последовательное число 1, 2, 3,..., g 0 кластеров:
E + E
E < 1 IE+1, i = 2,3,...,go -1. (7)
Для обеспечения традиционной сегментации цифрового изображения на связные сегменты предусмотрена коррекция кластеров пикселей по числу сегментов. Коррекция кластеров выполняется в алгоритме итеративного разделения кластеров пикселей на пары вложенных и уменьшения числа сегментов за счет реклассификации пикселей неизолированных сегментов из одного вложенного кластера в другой. Очередность сегментов, пиксели которых исключают из кластера 1 и относят к кластеру 2, определяется условием минимального приращения суммарной квадратичной ошибки AEcorrect = min . Приращение AEcorrect суммарной квадратичной ошибки E при реклассификации k
пикселей выражается через расстояния ||/ — ij и ||l —12|| между трехмерной средней яркостью I исходного кластера и средними яркостями I1, 12 вложенных кластеров формулой:
AE =М2Т—1М1Т, (8)
correct 1111
—+— ---
k n2 k n1 где «j, n2 — число пикселей в кластерах 1 и 2 .
При коррекции вложенных кластеров множества пикселей в них меняются. Поэтому обе иерархии множеств пикселей вложенных кластеров приходится каждый раз обновлять, обрабатывая кластеры как самостоятельные изображения. Свойство (7) выпуклости последовательности значений Eg суммарной квадратичной ошибки при коррекции кластеров, вообще говоря, нарушается, если не поддерживается программно.
Важно, что для реализации предлагаемого способа кластеризации/сегментации цветового изображения достаточно единственной программы, которая выполняет кластеризацию трехмерных пикселей с коррекцией числа сегментов в кластерах за счет учета распределения пикселей по координатам. Благодаря свойству (4), покомпонентное снижение числа градаций в изображении обеспечивается той же самой программой посредством любого из двух представлений изображения из одномерных пикселей как частного случая цветового.
Единая программная реализация обеспечивается тем, что вычисления опираются на формулы (6) и (8), которые явно не учитывают порядок пикселей по яркости. В следующем разделе в качестве альтернативы нашему способу на этапе обработки однокомпонентного или серого изображения исследуется гистограммный метод Оцу [10-12], который является одним из немногих методов, гарантирующих эффективную минимизацию суммарной квадратичной ошибки E . Но метод Оцу существенно использует упорядочение пикселей по яркости, что препятствует его обобщению для цветовых изображений.
4. Частный случай серого изображения
В случае серого изображения иерархические множества кластеров пикселей, вычисляемые программой для предварительного снижения числа кластеров в отсутствие коррекции, очевидно, совпадают с множествами, полученными в результате последующей кластеризации. Более того, результаты кластеризации по методу Уорда на множестве всех пар кластеров совпадают с ее результатами на множестве пар последовательных кластеров, упорядоченных по возрастанию средней яркости пикселей. Поэтому метод Уорда можно заменить простейшим гистограммным методом [13] кластеризации
пикселей посредством слияния последовательных диапазонов яркости, если в методе [13] вместо применяемого критерия слияния кластеров по минимуму произведения внутриклассовой и межклассовой дисперсий использовать критерий &Emerge = min, где &Emerge раскрывается в (6).
В нашей реализации поддерживается запоминание иерархии кластеров пикселей изображения, причем на любые множества, не обязательно отвечающие столбцам гистограммы, что без изменения способа генерации приближений и инвариантных представлений обеспечивает возможность замещения предлагаемой иерархии кластеров другой. В качестве альтернативы мы рассматриваем иерархический метод Оцу, который состоит в точной минимизации суммарной квадратичной ошибки посредством разделения надвое рабочего диапазона яркости пикселей [10] и итеративном повторении вычислений для вложенных диапазонов. В отличие от мультипорогового метода Оцу [2, 11] для вычисления оптимальных приближений, иерархический метод Оцу, подобно предлагаемому RW-методу, обеспечивает аппроксимацию оптимальных кусочно-постоянных приближений иерархическими приближениями.
В сравнении с общим случаем цветового изображения инвариантное представление серого изображения в нашем RW-методе, равно как и в иерархическом методе Оцу, характеризуется дополнительным свойством изоморфизма, согласно которому средние яркости пикселей в кусочно-постоянных приближениях изображения взаимно однозначно преобразуются в целые значения пикселей инвариантных представлений изотонным преобразованием с сохранением порядка яркостей. Благодаря изоморфизму по яркости, приближения в исходном и инвариантном представлении воспринимаются как эквивалентные изображения одних и тех же объектов. Для приближений и инвариантных представлений, полученных с использованием коррекции кластеров по числу сегментов, изоморфизм нарушается при достаточно большом числе кластеров. Однако сходство по визуальному восприятию обычно сохраняется.
Сопоставление RW-метода с иерархическим методом Оцу на примере обработки стандартного серого изображения «Лена» из 256x256 пикселей графически иллюстрируется на рис. 1.
а
60 50 40 30 20 10 0
10
100
1000
10000
100000
1
Рис. 1. Сопоставление методов по качеству приближений а (вверху) и числу сегментов п (внизу)
в зависимости от числа кластеров g
На каждом из графиков рис. 1 представлено по четыре пары зависимостей. Сплошными кривыми показаны зависимости, описывающие наш RW-метод. Ближайшие или сливающиеся с ними пунктирные кривые описывают метод Оцу. По горизонтальной оси в логарифмическом масштабе отложено число кластеров g в приближениях изображения. Верхние графики, в зависимости от g , показывают значения среднеквадратичного отклонения приближения от изображения, а нижние графики в логарифмическом масштабе по обеим осям показывают число n сегментов в приближениях изображения.
На рис. 1 нижняя пара кривых описывает последовательность значений среднеквадратичного отклонения а изображения от кусочно-постоянных приближений, полученных в результате иерархической кластеризации пикселей без коррекции кластеров по числу сегментов. Верхняя пара кривых описывает сегментацию изображения посредством кластеризации пикселей с безусловной online коррекцией, при которой каждое разделение очередного сегмента изображения на пару кластеров пикселей сопровождается снижением числа сегментов в каждом кластере до единственного сегмента. Две промежуточные пары кривых описывают минимизацию значений а с online коррекцией по числу кластеров, прерываемой по правилу останова, при котором реклассификации из кластера в кластер не подлежат пиксели неизолированных сегментов с уникальным в пределах данного кластера значением установленного параметра. Вторая снизу пара кривых отвечает правилу останова по средней яркости, при котором сохраняются сегменты с неповторяющейся средней яркостью. Предпоследняя пара кривых отвечает правилу останова по площади, при котором сохраняется разбиение кластера на сегменты с уникальной площадью, большинство которых обычно отличается от других сегментов данного кластера и по средней яркости.
Графики в нижней части рис. 1, описывающие число сегментов в обсуждаемых кусочно-постоянных приближениях, по сравнению с графиками в верхней части рисунка следуют в обратном порядке. Нижняя прямая описывает число сегментов для случая сегментации изображения посредством безусловной коррекции кластеризации пикселей, в результате которой число сегментов совпадает с числом кластеров. Верхняя пара кривых описывает кластеризацию пикселей RW-методом и иерархическим методом Оцу без коррекции по числу сегментов. Общим эффектом коррекции является подавление лавинообразного возрастания числа сегментов с ростом числа кластеров. В иллюстрируемом рис. 1 примере, в результате коррекции общее число тривиальных кластеров, на которое разделяется множество пикселей, разительно меняется от 216, равного исходному числу градаций яркости, до 49053, достигаемому при безусловной коррекции и равному числу сегментов из одинаковых пикселей в изображении «Лена».
Устойчивая относительно коррекции согласованность результатов кластеризации/сегментации по сравниваемым методам минимизации суммарной квадратичной ошибки E или среднеквадратичного отклонения а , иллюстрируемая графиками рис. 1, позволяет считать их взаимно-дополнительными в случае серого изображения и применять наш RW-метод в качестве альтернативы методу Оцу, причем не только для серых, но и для цветовых изображений.
5. Наглядные примеры обработки
Рис. 2 иллюстрирует эффект коррекции на примере обработки стандартного серого изображения «Лена» из 256x256 пикселей.
Рис. 2. Коррекция кластеризации пикселей по числу сегментов на первой итерации инвариантного представления изображения в двух градациях яркости (результаты обработки нормализованы)
Слева на рис. 2 в уменьшенном формате показано изображение. В колонках справа показаны его приближения в инвариантном представлении, полученные нашим Я^-методом (в левой колонке) и иерархическим методом Оцу (в правой колонке). Верхние приближения построены без коррекции, нижние - с коррекцией при правиле останова для сегментов уникальной площади.
Характерно, что при близком качестве аппроксимации (судя по графикам рис. 1) двухградацион-ные представления, полученные по Оцу, заметно отличаются от представлений, полученных Я^-методом. По визуальному восприятию снижение числа сегментов в нижних представлениях по сравнению с верхними менее заметно. При этом коррекцию можно использовать для подавления шумов.
Рис. 3 демонстрирует эффект получения серого инвариантного представления на примере цветового изображения «Лена» из 512x512 пикселей.
Рис. 3. Эффект получения серого инвариантного представления (крайнего справа) для цветового изображения (крайнего слева)
На рис. 3 в центре показано цветовое приближение изображения в 8 цветах (из 8 кластеров пикселей), полученное посредством первоначального снижения числа тонов в каждой цветовой компоненте до 32 при общем снижении цветов в исходном изображении от 148279 до 4953. Справа показан результат перекодировки 8 цветовых яркостей приближения в яркости инвариантного представления, которое оказывается серым.
Примечательно, что совместный учет цветовых компонент обеспечивает эффект подавления шумов в результирующих приближениях и инвариантных представлениях, что упрощает применение нашего Я^-метода как с коррекцией, так и без коррекции (рис. 3) к цветовым, а также мультиспек-тральным изображениям.
При внимательном рассмотрении рис. 3 можно заметить, что сходные визуальные объекты (глаза) помечаются одинаковыми наборами сгруппированных целых значений пикселей. Более наглядно эффект выделения визуально воспринимаемых объектов демонстрируется на рис. 4.
Рис. 4. Выделение визуально воспринимаемых объектов в инвариантном представлении (внизу, фрагмент)
цветового изображения (вверху)
На рис. 4 вверху в уменьшенном масштабе показано изображение из 4672x3104 пикселей, обрабатываемое при дистанционном анализе популяций северного оленя [14]. Внизу показан фрагмент его инвариантного представления из 1224x828 пикселей, разделенных на 7 кластеров.
Инвариантное представление, иллюстрируемое фрагментом на рис. 4, имеет 7 цветов, пять из которых серые, а в паре других значение в ^-компоненте несколько отличается от совпадающих значений в G и В компонентах. Визуальные объекты составляют сгруппированные сегменты из серых пикселей максимальной и минимальной яркости.
В целом, обрабатывать исходные цветовые изображения предложенным RW-методом оказывается проще, чем серые (п. 4), которые содержат меньший объем доступных для анализа данных.
Заключение
Таким образом, в нашей интерпретации, компьютер «видит» на изображении иерархию вложенных изображений «объектов», пиксели которых автоматически помечаются «формальными именами объектов» в виде целых значений пикселей инвариантного представления. Визуально воспринимаемые объекты описываются характерными сочетаниями сегментов из именованных пикселей изображения. Нахождение подобных сочетаний в инвариантном представлении решает проблему «локализации объектов» [15] и упрощает постановку и решение задачи распознавания цифровых изображений.
Если в [2] мы рассматривали инвариантное представление изображения в контексте проблемы целочисленной оценки количества информации в пикселе изображения, то в настоящей статье обобщили его на случай цветового изображения в контексте проблемы выделения объектов. Для сокращения объема и упрощения изложения мы опустили обсуждение сопутствующего обобщения для цветового изображения целочисленной оценки количества информации и представления количества информации [2], которое планируется выполнить в самостоятельной статье.
Литература
1. Харинов М.В. Модель локализации объектов на цифровом изображении // Вестник Бурятского государственного университета. 2013. №9. С. 182-189.
2. Харинов М.В. Количество информации в пикселе цифрового изображения // Вестник Бурятского государственного университета. 2013. №2. - С. 95-104.
3. Харинов М.В. Запоминание и адаптивная обработка информации цифровых изображений. - СПб.: Изд-во С-Пб. ун-та, 2006. - 138 с.
4. Ward J.H., Jr. Hierarchical grouping to optimize an objective function // J. Am. Stat. Assoc. 1963. - Vol. 58, Issue 301. - P. 236-244.
5. Бугаев A.C., Хельвас А.В. Поисковые исследования и разработка методов и средств анализа и автоматического распознавания потоковой информации в глобальных информационных системах. Шифр «Лацкан» // Отчет по НИР. М.: МФТИ, 2001. Том 1. 140 с.
6. Mumford D., Shah J. Boundary detection by minimizing functionals, I // Proc. IEEE Comput. Vision Patt. Recogn. Conf., San Francisco. 1985. P. 22-26.
7. Koepfler G., Lopez C., Morel J. A Multiscale Algorithm for Image Segmentation by Variational Method // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1994. Vol. 31, № 1. P. 282-299.
8. Redding N.J., Crisp D.J., Tang D.H., Newsam G.N. An efficient algorithm for Mumford-Shah segmentation and its application to SAR imagery // Proc. Conf. Digital Image Computing Techniques and Applications (DICTA'99). 1999. P. 35-41.
9. Galiano P., Kharinov M., Vanurin S. Application of Sleator-Tarjan dynamic trees in Monitoring system for Arctic region based on remote sensing data // Information Fusion and Geographic Information Systems (IF&GIS' 2013) / Proc. of the 6th International Workshop on Information Fusion and Geographic Information Systems: Environmental and Urban Challenges, 12-15 May, 2013, St. Petersburg: Springer, LNG&C, 2014. P. 137-147.
10. Otsu N. A Threshold Selection Method from Gray-Level Histograms // IEEE Transactions on systems, MAN, and CYBERNETICS. January 1979. Vol. SMC-9, № 1. P. 62-66.
11. Ping-Sung Liao, Tse-Sheng Chen, Pau-Choo Chung A Fast Algorithm for Multilevel Thresholding // J. Inf. Sci. Eng. 2001. Vol. 17 (5), - P. 713-727.
12. Singh K. C., Satapathy L. M., Dash В., Routray S. K. Comparative Study on Thresholding //International Journal of Instrumentation Control & Automation (IJICA). 2011. Vol. 1. №. 1. - P. 73-77.
13. Arifin A. Z., Asano A. Image segmentation by histogram thresholding using hierarchical cluster analysis // Pattern Recognition Letters. 2006. Vol. 27. №. 13. - P. 1515-1521.
14. Михайлов В.Ю., Харин Я.В. К вопросу о построении системы распознавания и подсчета животных на аэрофотоснимках. Ч. 1: Анализ методов распознавания // Информационно-управляющие системы. 2011. № 2. С. 2-28.
15. Визильтер Ю. В., Желтов С. Ю. Проблемы технического зрения в современных авиационных системах // Механика, управление и информатика. 2011. № 6. С. 11-44.
Харинов Михаил Вячеславович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории прикладной информатики Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации, тел. (812) 328-1919, е-mail: khar@iias.spb.su
Kharinov Mikhail Vyacheslvovich, candidate of technical sciences, senior researcher, laboratory of applied informatics, St. Petersburg Institute for Informatics and Automation RAS, tel. (812) 328-1919, е-mail: khar@iias.spb.su
