Модификация метода Монте-Карло (модель мягких ядер) для прямого моделирования течения разреженного газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.5, 533.72

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО (МОДЕЛЬ МЯГКИХ ЯДЕР) ДЛЯ ПРЯМОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

© 2018 В.В. Никонов

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П, Королева

Статья поступила в редакцию 16.02.2018

В статье решается задача прямого численного моделирования течения разреженного газа методом Монте -Карло. Рассмотрены четыре варианта задачи одномерного течения газа с помощью оригинального метода Монте-Карло и его модификации. По результатам численного моделирования можно сделать вывод, что модифицированный метод Монте-Карло более быстр по сравнению с оригинальным методом.

Ключевые слова: разреженный газ, прямое моделирование, численное моделирование, метод Монте-Карло, одномерное течение.

ВВЕДЕНИЕ

Первый вероятностный метод моделирования течений с поверхностями отражения был введен Haviland и Lavin [1] и назывался метод тестовых частиц Монте-Карло.

Данный метод применялся для моделирования течений без столкновений и имел дело со сложными течениями, которые включают многоповерхностные отражения. При моделировании переходных режимов становится необходимым вычислять типичные межмолекулярные столкновения в дополнение к молекулярно-по-верхностному взаимодействию.

Метод, учитывающий межмолекулярные столкновения, был в первый раз применен Bird к задаче релаксации однородного газа [2], и назывался метод моделирования Монте-Карло. Далее данный метод был применен Bird к моделированию задачи о распространении ударной волны [3]. Hammersley и Handscomb [4] установили, что методы Монте-Карло работают в области экспериментальной математики, которая связана с теорией вероятности. Они также применили термин «прямое моделирование» к расчету вероятностных задач данным методом. В настоящей работе используется дальнейшее развитие метода прямого моделирования Монте-Карло (ПММК) [5, 6].

1. ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА МЕТОДА

В работе рассматриваются схемы метода ПММК для случая одномерного течения, хотя для частиц вычисляются все три компоненты

Никонов Валерий Владимирович, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры конструкции и проектирования летательных аппаратов. E-mail: v_nikonov@mail. т

скорости, но учитываются перемещения частиц только вдоль оси ОХ. В методе, описанном в [5], область течения разбивается основной и вспомогательной однородными сетками. Основная сетка имеет квадратные ячейки, при этом в каждой ячейке содержится несколько подъячеек вспомогательной сетки. В начальный момент времени в ячейках сетки располагаются частицы случайным образом с компонентами скорости: Vj = umacos0coscp,

v2 = uma cos 0 sin ф, (1)

v3 = umasin0.

Здесь

a = V-ln(R'b (2)

где R' - случайная величина из диапазона R'e(0,I)

>

Ф = 27rR', (3)

0 = 7C(R'-X), (4)

um=V2kT»/mm, (5)

где k - постоянная Больцмана, Г, -температура течения, mm - молекулярная масса.

После чего частицы перемещаются со своей скоростью за шаг по времени At в новое положение

х1 =xw+v1wAt. (6)

Если частицы вылетают за расчетную область, то они удаляются. При этом, если число частиц становится меньше максимального числа частиц, то новые частицы добавляются в течение. После этого заполняются вспомогательные массивы, ставящие в соответствие каждой ячейке сетки несколько частиц, которые в ней находятся. Причем в оригинальной программе Bird [5] заполняется также массив, ставящий в

соответствие каждой подъячеике сетки частицы газа, которые в ней находятся. В предлагаемой модифицированной программе данный шаг отсутствует, так как вспомогательная сетка с подъячейками была исключена из схемы метода ПММК.

На следующем шаге алгоритма вычисляются скорости после столкновения частиц. В оригинальной программе [5] выбирается пара частиц для столкновения из подъячеек, ближайших к рассматриваемой ячейке, методом случайного выбора, но в пределах одной ячейки сетки. В предлагаемой модифицированной схеме метода пары частиц выбираются сразу из рассматриваемой ячейки сетки методом случайного выбора, что сильно упрощает алгоритм.

Компоненты относительной скорости двух столкнувшихся частиц 1 и т определяются следующим образом

] = 03). (7)

,

Относительная скорость частиц по модулю определится как

V* =.

2 . 2 . 2 ■ + u2+u3

(8)

Если выполняется условие

|(Х 1|< 0.001,

(9)

то расчет ведется по модели твердых ядер, в противном случае расчет выполняется по модели мягких ядер. Здесь а - величина обратная параметру разброса в модели мягких ядер.

Промежуточные величины скорости для модели мягких ядер рассчитываются с помощью следующих формул;

и * и созх + сЬтхзтф,

и2 * = и2 cos х + sin %('v * и3 cos ф - UjU2 sin ф) / d

,(Ю)

и3* = и3 cos х - sin x(v * u2 cos ф + UjU3 sin ф) / d

i

где _

d = yju;+u¡ , (íi)

ф = 27tR' , (12)

cosx = 2R'a -1. (13)

Скорости частиц после столкновения вычисляются по скоростям центра масс частиц 1 и m до столкновения и скоростям, определяемым по формулам (10),

vji =

Vji+V^+Uj*

V-,+У- и * -

-^-] = (1,3). (14)

После этапа столкновений частиц следует этап вычисления параметров потока. Параметры потока, как и в [5], рассчитываются каждые че-

тыре шага по времени. Скорость потока в к -ой ячейке сетки определяется следующим образом

Vjk =

m=l

jkm

М„

(15)

ГДе Vjkm ~~ )_ая компонента скорости т -ной частицы в к -ой ячейке сетки;

- число образцов для измерений в к-ой ячейке сетки.

На этом численная схема метода завершается и происходит переход к следующему шагу по времени.

2. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Было рассмотрено четыре варианта течения:

1) Одномерная область, открытая с обеих границ, в которой в начальный момент времени размещались частицы со случайными скоростями. С левой границы области в нее добавлялись частицы со случайными скоростями, а с правой частицы могли свободно вылетать из нее. Расчет производился по модели мягких ядер, величина, обратная параметру разброса, принимается равной а = 0.1.

2) Такое же течение, как в первом случае, величина, обратная параметру разброса, а = 0.5 .

3) Такое же течение, как в первом случае. С левой границы области в нее добавлялись частицы со скоростями 400 м/с плюс скорость случайного блуждания, а = 0.1.

4) Такое же течение, как в третьем случае, когда а = 0.5.

Расчетная область представляла собой отрезок длиной 1 м. Однородная сетка состояла из 50 ячеек и 400 подъячеек. Температура газа в области [в выражении (5)] равнялась 300 К. Время моделирования составляло 2 с.

В модифицированном методе ПММК удалось добиться снижения времени счета на 22 %.

На рис. 1-4 представлены результаты, полученные с помощью оригинального метода ПММК в сравнении с результатами модифицированного метода.

ВЫВОДЫ

По численным результатам моделирования методом ПММК рассмотренных задач можно сделать вывод, что модифицированный метод ПММК позволяет получать результаты аналогичные результатам оригинального метода Bird [5], при этом его алгоритм более прост. Кроме того, удалось добиться снижения времени счета на 22%.

V,

х

Рис. 1. Распределение скорости для первого варианта течения: —Д— - метод ПММК Bird [5], —Э--модификация метода ПММК Bird

Рис. 2. Распределение скорости для второго варианта течения: —А— - метод ПММК Bird [5], —□--модификация метода ПММК Bird

V,

Рис. 3. Распределение скорости для третьего варианта течения: —Д— - метод ПММК Bird [5], —Э--модификация метода ПММК Bird

V,

01 0.2 0.3 0.4 0.5 06 0.7 0.8 0.9

Рис. 4. Распределение скорости для четвертого варианта течения: —А--метод ПММК Bird [5], —В---модификация метода И ММ К Bird

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Haviland, J. К. Applications of the Monte Carlo method to heat transfer in a rarefied gas / J.K. Haviland, M.L. Lavin if Phys. Fluids, V.5. 1962. Pp. 1399-1405.

2. Bird, G.A. Approach to translational equilibrium in rigid sphere gas / G.A. Bird // Phys. Fluids. Vol. 6. 1963. P. 1518-1519.

3. Bird, G.A. Shock wave structure in a rigid sphere gas /

4.

6.

G.A, Bird// Rarefied gas dynamics (ed. J.H. cle Leeuw). Vol. 1.1965. Academic Press. New York. - P.216-222. Hammersley, J.M. Monte Carlo methods / J.M. Hammersley, D.C. Handscomb - Wiley. New York. 1964. Bird, G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows / G.A. Bird. Clarendon press. Oxford. 1994.

Bird, G.A. The DSMC method / G.A. Bird. The University of Sydney. 2013.

MONTE-CARLO METHOD (SOFT SPHERE MODEL) MODIFICATION FOR DIRECT SIMULATION OF DILUTE GAS FLOW

© 2018 V.V. Nikonov

Samara National Research University named after Academician S.P. Korolyov

The problem of direct numerical simulation of dilute gas flow by Monte-Carlo method is solved. Four variants of the problem of one-dimensional gas flow are considered. For calculation the original Monte-Carlo method and its modification are used. It is shown, that the modificated Monte-Carlo method is faster in comparing with the original one.

Keywords: dilute gas, direct simulation, numerical simulation, Monte-Carlo method, one-dimensional flow.

Valeriy Nikonov, Candidate of Technics, Senior Lecturer at the Aircraft Construction and Design Department. E-mail: v_nikonov@mail. ru