Моделирование прямого скачка уплотнения модифицированным методом Монте-Карло Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК533.5: 533.72

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОГО СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

© 2019 В.В. Никонов

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва

Статья поступила в редакцию 11.06.2019

В статье решается задача прямого численного моделирования прямого скачка уплотнения модифицированным методом Монте-Карло. Получено распределение плотности и скорости в скачке с помощью модифицированного метода. Результаты сравниваются с результатами оригинального метода. Результаты, полученные с помощью модифицированного метода Монте-Карло, практически совпадают с результатами оригинального метода. При этом время расчета задачи сократилось на 18 процентов.

Ключевые слова: разреженный газ, прямой скачок, прямое моделирование, численное моделирование, метод Монте-Карло, одномерное течение.

ВВЕДЕНИЕ

Первый вероятностный метод моделирования течений с поверхностями отражения был введен Haviland и Lavin [1] и назывался метод тестовых частиц Монте-Карло.

Этот метод применялся для моделирования течений без столкновений и имел дело со сложными течениями, которые включают многоповерхностные отражения. При моделировании переходных режимов становится необходимым вычислять типичные межмолекулярные столкновения в дополнение к молекулярно-поверх-ностному взаимодействию.

Метод, учитывающий межмолекулярные столкновения, был в первый раз применен Bird к задаче релаксации однородного газа [2] и назывался метод моделирования Монте-Карло. Далее этот метод был применен Bird к моделированию задачи о распространении ударной волны [3]. Hammersley и Handscomb [4] установили, что методы Монте-Карло работают в области экспериментальной математики, которая связана с теорией вероятности. Они также применили термин «прямое моделирование» к расчету вероятностных задач данным методом. В настоящей работе используется дальнейшее развитие метода прямого моделирования Монте-Карло (ПММК) [5, 6].

1. ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА МЕТОДА

В работе рассматриваются схемы метода ПММК для случая одномерного течения, хотя для частиц вычисляются все три компоненты скоро-

Никонов Валерий Владимирович, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры конструкции и проектирования летательных аппаратов. E-mail: v_nikonov@mail.ru

сти, но учитываются перемещения частиц только вдоль оси Ox. В методе, описанном в [5], область течения разбивается основной и вспомогательной однородными сетками. Основная сетка имеет квадратные ячейки, при этом в каждой ячейке содержится несколько подъячеек вспомогательной сетки. В начальный момент времени в ячейках сетки располагаются частицы случайным образом с компонентами скорости: v1 = umacos 9 cos ф

v2 = umacos 9 sin ф, v = u asm9

(1)

Здесь

где R' -

R'e (0,1)

a = V" ln(R') , (2)

случайная величина из диапазона

ф = 2xR', 9 = <R'->2),

Um =>/2kT /mm ,

(3)

(4)

(5)

где к - постоянная Больцмана, Т - температура течения, тт - молекулярная масса.

После чего частицы перемещаются со своей скоростью за шаг по времени At в новое положение

X1 = Xм + V/. (6)

Если частицы вылетают за расчетную область, то они удаляются. При этом если число частиц становится меньше максимального числа частиц, то новые частицы добавляются в течение. После этого заполняются вспомогательные массивы, ставящие в соответствие каждой ячейке сетки несколько частиц, которые в ней находятся. Причем в оригинальной программе

Bird [5] заполняется также массив, ставящий в соответствие каждой подъячейке сетки частицы газа, которые в ней находятся. В предлагаемой модифицированной программе данный шаг отсутствует, так как вспомогательная сетка с подъячейками была исключена из схемы метода ПММК [7].

На следующем шаге алгоритма вычисляются скорости после столкновения частиц. В оригинальной программе [5] выбирается пара частиц для столкновения из подъячеек, ближайших к рассматриваемой ячейке, методом случайного выбора, но в пределах одной ячейки сетки. В предлагаемой модифицированной схеме метода [7] пары частиц выбираются сразу из рассматриваемой ячейки сетки методом случайного выбора, что сильно упрощает алгоритм.

Компоненты относительной скорости двух столкнувшихся частиц l и m определяются следующим образом

Uj = " Vjm j = (13) . (7)

у

Относительная скорость частиц по модулю определится как

a/uF

v* = -

2 . 2 . 2 " + u2 + u3

(8)

Если выполняется условие

|а-1| <0.001,

(9)

то расчет ведется по модели твердых ядер, в противном случае расчет выполняется по модели мягких ядер. Здесь а - величина обратная параметру разброса в модели мягких ядер.

Промежуточные величины скорости для модели мягких ядер рассчитываются с помощью следующих формул:

u1 * = u1 cos х + d sin x sin ф

)

u2 * = u2 cos x + sin x(v*u3 cos ф - u1u2 sin ф) / d, (10) u3* = u3 cos x - sin x(v*u2 cos ф + u1u3 sin ф) / d

)

где

d = V u2 + u32, (ii)

ф = 2^1', (12)

cos x = 2R ,а-1. (13)

Скорости частиц после столкновения вычисляются по скоростям центра масс частиц l и m до столкновения и скоростям, определяемым по формулам (10),

vji =

Vj l + Vj m + uj* 2

v, + v - u * -

v^= jl jm j , j = (1,3). (14)

jm

2

После этапа столкновений частиц следует этап вычисления параметров потока. Параметры

потока, как и в [5], рассчитываются каждые четыре шага по времени. Скорость потока в к -ой ячейке сетки определяется следующим образом

Mk

_ I

Т7 _ m=1

Vjk =

v

jkm

M„

(15)

где v

jkm

- j -ая компонента скорости

т -ной частицы в к-ой ячейке сетки; Мк - число образцов для измерений в к -ой ячейке сетки.

На этом численная схема метода завершается и происходит переход к следующему шагу по времени.

2. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Был рассмотрен прямой скачок уплотнения в одномерной области х е [-0,3; 0,3] м. Граница разрыва параметров течения находилась при х = 0. В начальный момент времени в ней размещались частицы с полем скорости, которое соответствовало скачку, на него накладывалось случайное поле скорости теплового движения частиц. С левой границы области в неё добавлялись частицы со случайными скоростями плюс скорость набегающего потока, а на правой границе ставилось условие зеркального отражения. Параметры потока до скачка равнялись Р1 = 6,64 6 кг/ м3, У = 446,11 м/с, Т = 293 К, после скачка рп = 1,0495552 -10-5 кг/м3, Уп = 282,2310 м/с, Тп = 407,8105 К. Расчет производился по модели мягких ядер, величина, обратная параметру разброса, принималась равной а = 0,6015 . Однородная сетка состояла из 300 ячеек и 1800 подъячеек. Температура газа в области [в выражении (5)] равнялась до скачка Т1, после скачка Тп. Время моделирования составляло 0.6009193 с. Максимальное число частиц равнялось 20000.

На рисунках 1, 2 представлены результаты, полученные с помощью оригинального метода ПММК [5], в сравнении с результатами модифицированного метода [7]. Из рисунков видно, что две линии, соответствующие представленным методам, сливаются в одну. Для оценки совпадения результатов была произведена выборка для скорости в пяти точках рассматриваемой области, которая приводится в таблице 1. Из результатов таблицы видно, что численные результаты двух методов практически совпадают. При этом в модифицированном методе ПММК удалось добиться снижения времени счета на 18 %.

Рис. 1. Распределение плотности в скачке уплотнения: -----метод ПММК Bird [5],--модификация метода ПММК

Рис. 2. Распределение скорости в скачке уплотнения: ----метод ПММК Bird [5],--модификация метода ПММК

Таблица 1. Сравнение скоростей модифицированного и оригинального методов

X, м Vi, м/с [5] Vi, м/с [7]

-0.20 445.48 445.37

-0.10 432.84 432.22

0.00 345.47 344.83

0.10 288.57 289.13

0.20 282.45 282.84

ВЫВОДЫ

По численным результатам моделирования методом ПММК прямого скачка уплотнения можно сделать вывод, что модифицированный метод ПММК [7] позволяет получать результаты, практически совпадающие с результатами оригинального метода Bird [5], при этом его алгоритм более прост. Кроме того, удалось добиться снижения времени счета на 18 %.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Haviland, J.K. Applications of the Monte Carlo method to heat transfer in a rarefied gas / J.K. Haviland, M.L. bavin // Phys. Fluids. 1962. v5. pp. 1399-1405.

2. Bird, G.A. Approach to translational equilibrium in

rigid sphere gas / G.A. Bird // Phys. Fluids. 1963. Vol. 6. P. 1518-1519.

3. Bird, G.A. Б^ск wave structure in a rigid sphere gas /

G.A. Bird // Rarefied gas dynamics (ed. J.H. de Leeuw). 1965. Vol. 1. Academic Press. New York. P.216-222.

4. Hammersley, J.M. Monte Carlo methods / J.M. Hammersley, D.C. Handscomb - Wiley. - New York. 1964.

5. Bird, G.A. Molecular gas dynamics and the direct

simulation of gas flows / G.A. Bird. - Clarendon press. - Oxford. 1994.

6. Bird, G.A. The DSMC method / G.A. Bird. - The

University of Sydney. 2013.

7. Никонов, В.В. Модификация метода Монте-Карло

для прямого моделирования течения разреженного газа / Никонов, В.В. // Известия СНЦ РАН. 2017. т. 19. N 1. Самара. с. 183-186.

NORMAL SHOCK SIMULATION BY MODIFICATED MONTE-CARLO METHOD

© 2019 V.V. Nikonov

Samara National Research University named after Academician S.P. Korolyov

The problem of direct numerical simulation of normal shock by Monte-Carlo method is solved. Density and velocity distribution in shock by modificated method are obtained. For calculation the original Monte-Carlo method and its modification are used. It is shown, that the modificated Monte-Carlo method is able to obtain very good results in comparing with the original one. By the way executive time is reduced at 18 percent.

Keywords: dilute gas, shock, direct simulation, numerical simulation, Monte-Carlo method, one-dimensional flow.

Valeriy Nikonov, PhD, Senior Lecturer of Aircraft Construction and Design Department. E-mail: v_nikonov@mail.ru