CC BY
35
Модификация метода мнимых источников с целью моделирования реального процесса первых отражений в помещении
Ш.Я.Вахитов, Д.А.Давыдов, В.М.Алешкин
В статье рассматривается модифицированный метод мнимых источников, который используется для построения картины ранних отражений в помещении. Использование метода мнимых источников предполагает последовательное появление и исчезновение отражений в точке наблюдения и зависимость энергии в точке обзора от коэффициента поглощения поверхности отражения. При модификации этого метода становится возможным пронаблюдать поведение сигналов отражений внутри определённого интервала времени и оценить плотности звуковой энергии внутри наблюдаемого интервала.
Ключевые слова: акустика, реверберация, метод мнимых источников, звуковая энергия.
The Modified Method of Image Sources for Simulating
of the Real Process of First Reflections in the Room.
By Sh.Ya.Vakhitov, D.A.Davydov, V.M.Aleshkin
The article describes the modified method of image sources, which is used to build up a definite scene of early reflections in the room. The use of image sources presumes consistent appearance and disappearance of the reflections at the observation point, and that the energy in the viewpoint is dependent of the absorption coefficient of the reflecting surface. Using a modification of this method, it becomes possible to observe the behavior of the reflection signals within a certain time interval, and density estimation of sound energy within the observed period.
Keywords: acoustics, reverberation, image source method, sound energy.
Введение
Разработки математической модели реверберационного процесса начали обретать форму в начале XX века, и первой формулой [1], описывающей реверберационную картину в помещении, можно считать формулу Сэбина (1). Она является эмпирической и основана на наблюдениях самого Сэбина за распространением звука в помещении:
ссБ
Здесь Т - время стандартной реверберации в помещении объёмом V, общей площадью ограничивающих поверхностей и средним коэффициентом поглощения а.
Сэбин считал, что акустические процессы в помещении после выключения источника звука обусловлены запаздыванием многократно отраженных волн и их постепенным ослаблением в результате поглощения энергии волн преградами. Исходной причиной этого процесса является наличие энергии, сообщенной помещению источником звука. Проблема состояла в том, что при а = 1 время реверберации Т должно быть равным нулю, чего по формуле (1) не получалось.
Метод мнимых источников
Более строгая теория разработана Эйрингом [2]. Она основана на применении методов геометрической оптики. Согласно этой теории, звуковое поле, создаваемое в помещении точечным источником звука, можно представить как звуковое поле множества мнимых источников, возникающих в результате зеркального отражения звуковых пучков от границ помещения [3]. Система некоторого числа мнимых источников, полученных в результате зеркального отражения точечного источника О от плоских границ помещения, представлена на рисунке 1.
Для построения мнимого источника надо опустить из точки О перпендикуляр на отражающую плоскость и на продолжении его отложить отрезок, равный длине перпендикуляра. Прямые, проведённые из мнимого источника 1 в точку наблюдения, после пересечения ими отражающей плоскости удовлетворяют условию равенства углов падения и
Рис. 1. Метод мнимых источников: 1 - изображение источника О, полученное в результате первого отражения, 2 -изображение, полученное в результате второго отражения, и т.д. Отрезки ОА, АВ, ВС и т.д. - расстояния пробега звукового пучка между двумя последовательными отражениями
отражения, то есть являются искомыми отраженными лучами, создаваемыми действительным источником О. Далее следует нарисовать «отражение» помещения относительно каждой из его ограждающих поверхностей и повторить подобную процедуру в отношении второго, третьего и последующих отражений.
Для расчетов введем среднюю длину I свободного пробега звукового пучка. Для помещения прямоугольной формы средний путь пробега I = 4У№, где S - суммарная площадь границ, V - объем исследуемого помещения.
Средняя длина свободного пробега звукового пучка связана со средним временем свободного пробега соотношением [4]:
4У I
(2)
Поле мнимых источников обладает двумя важными свойствами. Одно из них состоит в том, что при внезапном включении источника звука мнимые источники появляются последовательно друг за другом. После выключения источника звука мнимые источники исчезают в той же (начальной) последовательности. Другой особенностью поля мнимых источников является свойство, согласно которому акустическая мощность каждого мнимого источника зависит от коэффициента отражения и кратности отражения. Плотность акустической энергии, накопленной объемом помещения за некоторое время, можно представить как сумму энергий, вносимых в объем всеми мнимыми источниками.
Формула, полученная Эйрингом:
удовлетворяла этим требованиям: при малых значениях среднего коэффициента звукопоглощения а она переходила в модель Сэбина, а при а ^ 1 время Т ^ 0. Это обстоятельство сыграло решающую роль в том, что формула была отобрана для практических расчетов.
Нарастание количества отражений в каждом цикле может быть вычислено по следующей методике. Считая источник звука находящимся на одной из стен помещения, находим количество первых отражений, которое соответствует 5 по числу ограничивающих поверхностей; вторых отражений - в пять раз больше, то есть 52, так как каждая стена является источником отраженного звука и одновременно поверхностью отражения звуков, «излучаемых» каждой стеной. Соответственно, третьих отражений будет 53 и т.д. Следовательно, при каждом цикле отражения количество отраженных сигналов определяется числом 5к, где k - номер цикла отражений. При этом общее количество отражений выразится суммой геометрической прогрессии [5]:
Отметим, что это - общее количество отражений от начала процесса до момента завершения наблюдения, а не плот-
ность отражений, так как под плотностью следует понимать количество отраженных сигналов, складывающихся одномоментно в определенной пространственной точке помещения. Существенными являются нарастание плотности отраженных сигналов и оценка длительности интервала воздействия суммарных сигналов данной плотности. Для изучения дифференциальной структуры динамики реверберационного процесса следует изучить интервалы, в пределах которых одновременно существуют отражения нескольких «соседних» (по времени) циклов. Эти интервалы могут содержать в себе достаточно энергии для возбуждения акустической обратной связи в отдельно взятой точке помещения. Чтобы найти ответ на этот вопрос, надо суметь вычислить время существования отражений каждого цикла и интервал взаимного перекрытия этих циклов.
Модификация метода мнимых источников
Построим методику расчета плотности одновременно существующих отражений. Для примера возьмем помещение, обладающее следующими геометрическими размерами: высота к = 10 м, ширина Ь = 14,5 м, длина I = 21 м. На рисунке 2 показан фрагмент чертежа для расчета сигналов от мнимых источников. Он включает в себя, помимо непосредственно основного помещения и мнимых источников, расположенных в поясах отражений, концентрические окружности, отстоящие пространственно друг от друга на расстояние средней длины свободного пробега звука в данном помещении.
В случае помещения с вышеуказанными параметрами среднее время пробега по (2) в помещении т0 = 26,9 мс, средняя длина пробега 10 = 9,23 м.
Вычерчивая концентрические окружности с шагом, равным средней длине пробега в помещении, и центром в точке наблюдения, получаем возможность установить, какие отражения будут приходить в один и тот же временной интервал. Все точки, находящиеся внутри кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, будут отстоять от центра на одно и то же расстояние, ограниченное средней длиной пробега.
Таким образом, вычертив достаточное количество концентрических окружностей с равным шагом, можно пронаблюдать
Рис. 2. Фрагмент плана помещения для расчета плотности отражений модифицированным методом мнимых источников
поведение отражений внутри заданного интервала в разные моменты времени. Если при этом рассчитать номер мнимого помещения для каждого мнимого источника, то становится возможным установить число пересечений поверхностей данного помещения звуковым сигналом из данного мнимого источника. Знание этого числа даёт возможность рассчитать суммарные потери энергии, что, в свою очередь, позволяет рассчитать суммарный вклад всех отражений в энергию внутри наблюдаемого интервала.
Для подсчёта количества отражений в течение среднего времени свободного пробега для каждого отражения нужно установить номер и вычислить остаточную энергию [6]. Складывая эти значения безотносительно исходной энергии источника, можно установить характер поведения энергии звукового сигнала в течение наблюдаемого интервала. Если нужно определить количество сигналов, приходящих в другую точку пространственного расположения приёмника, следует поменять центр этих окружностей и повторить ту же процедуру.
Для проверки этого утверждения построим подобный чертёж для помещения, в котором приёмник звука будет находиться на более близком расстоянии к источнику, чем в первом варианте. Данное положение проиллюстрировано на рисунке 3.
При изменении положения приёмника изменяется количество мнимых источников звука, сигналы от которых приходят в один и тот же установленный выше интервал времени. Одновременно, из-за изменения координат приёмника (так как концентрические окружности изменяют своё положение относительно мнимых источников), мнимые источники могут перемещаться из одного кольца наблюдения в другое. Это приводит к перераспределению сигналов, приходящих в один интервал времени, что, в свою очередь, приводит к изменению и их количества.
Как можно видеть, в обоих промоделированных случаях в течение времени наблюдения количество одновременно существующих сигналов отражения увеличивается. Также можно наблюдать, что количество существующих
Рис. 3. Фрагмент плана помещения для расчёта плотности отражений модифицированным методом мнимых источников для второго варианта расположения
в течение одинакового интервала наблюдения отражений не остаётся постоянным для разных точек наблюдения. Данный аспект позволяет обосновать неоднородность звукового поля в процессе переотражения сигнала, и, следовательно, картины реверберационной кривой. Эта неоднородность будет проявляться изменением характера поведения реверберационной кривой в зависимости от точки наблюдения.
При использовании данного метода возможно корректно находить ту группу отражений, которая приходит одновременно, то есть участвует в формировании плотности, и, кроме того, существует возможность определять изменение плотности сигналов в пространстве расположения приёмника. Для расчётов в реальном, трёхмерном, помещении в данный метод нужно ввести третью координату для расчёта высот мнимых источников, как это делается в описании метода у его авторов. В трёхмерном помещении нарастание количества сигналов от мнимых источников будет гораздо более быстрым, так как увеличится само количество этих источников.
Заключение
Проведённое моделирование показывает несоответствие модели Эйринга реальному поведению звуковой волны в помещении и иллюстрирует неоднородность реверберационной картины в помещении в зависимости от точки наблюдения. На основании соображений, изложенных выше, можно считать достаточно обоснованным вывод о том, что математическая модель реверберационного процесса, использованная Эйрин-гом, не отображает реального характера физического явления по следующим причинам:
- хаотический процесс формирования поля отражённых сигналов, подчиняющийся стохастическим закономерностям, заменяется упорядоченным тактовым явлением, в котором отражения высокого порядка строго следуют за сигналами более низкого порядка;
- акты отражений одинакового порядка считаются приходящими одновременно от всех поверхностей, что практически невозможно и реализуемо лишь в помещении сферической формы с источником звука в центре сферы.
По этим причинам рассчитываемое по общепринятой формуле время реверберации получается одним и тем же для всего помещения и не может приниматься как достоверный показатель качества для всех слушателей в помещении. Модифицированный же метод мнимых источников, приведённый в данной статье, учитывает взаимное расположение излучателя звука и точки наблюдения. Данная особенность позволяет более достоверно оценивать плотность и, соответственно, энергию отражений в точке наблюдения с целью построения более совершенной картины изменения звукового поля в помещении. Последнее весьма важно для расчёта вероятных частот самовозбуждения системы звукоусиления (ПАОС) для любых помещений малого и среднего размеров [7].
Литература
1. Стретт, Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука / Дж.В. Стретт. - М.: Гостехтеориздат, 1955. - 504 с.
2. Eyring, C.F. Reverberation Time in "Dead" Rooms / C.F. Eyring // Journal of The Acoustical Society. - Jan. 1930, Vol.1.
- P. 217-241.
3. Allen, Jont B. Image Method for Efficiently Simulating Small-room Acoustics / Jont B. Allen, David А. Berkley // Journal of The Acoustical Society. - Jan. 1979, Vol. 65. - P. 943-950.
4. Сапожков, М.А. Электроакустика: учебник для вузов / М.А. Сапожков - М.: Связь, 1978. - 272 c.
5. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 1986. - 544 с.
6. Давыдов, Д.А. Анализ факторов адекватности пара-дигмальной математической модели реверберационного процесса реальному характеру формирования реверберации / Д.А. Давыдов, Я.Ш. Вахитов // Мир техники кино. - 2015.
- № 35. - С. 18-20.
7.Давыдов,Д.А. Экспериментальные исследования метода подавления акустической обратной связи / Д.А. Давыдов // Сборник публикаций научного журнала «Chronos» по матери-
алам I международной научно-практической конференции: «Вопросы современной науки: проблемы, тенденции и перспективы», г. Москва. - Научный журнал «Chronos». - 2016. - С. 17-20.
Literatura
1. StrettDzh.V. (lord Relej). Teoriya zvuka / Dzh.V. Strett -M.: Gostehteorizdat, 1955. - 504 s.
4. Sapozhkov M.A. Elektroakustika: uchebnik dlya vuzov / M.A. Sapozhkov - M.: Svyaz', 1978. - 272 c.
5. Bronshtejn I.N. Spravochnik po matematike / I.N. Bronshtejn, K.A. Semendyaev. - M.: Nauka, 1986. - 544 s.
6. DavydovD.A. Analiz faktorov adekvatnosti paradigmal'noj matematicheskoj modeli reverberatsionnogo protsessa real'nomu harakteru formirovaniya reverberatsii / D.A. Davydov, Ya.Sh. Vahitov// Mir tehniki kino. - 2015. - № 35. - S. 18 -20.
7. Davydov D.A. Eksperimental'nye issledovaniya metoda podavleniya akusticheskoj obratnoj svyazi / D.A. Davydov // Sbornik publikatsij nauchnogo zhurnala «Chronos» po materialam I mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferentsii: «Voprosy sovremennoj nauki: problemy, tendentsii i perspektivy», g. Moskva. - Nauchnyj zhurnal «Chronos». - 2016. - S. 17-20.
