Модификация коэффициента Тэйла Текст научной статьи по специальности «Математика»

ю УДК 339.133(571.54) Е.Ю. Пискунов

ББК 65.05

МОДИФИКАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ТЭЙЛА

%

Раскрываются вопросы оценки точности прогнозов, выполненных ^ с помощью математико-статистических моделей. Детально рассмотрен

коэффициент несоответствия Тэйла, его преимущества и недостатки. Выявлено, что данный показатель находит наилучшее применение для временных рядов с высокой колеблемостью. С целью расширения сферы применения предложена его некоторая модификация.

Ключевые слова: коэффициент; Тэйл; дисперсия; точность; прогноз; модель; тренд; регрессия; колеблемость.

E.Yu. Piskunov

MODIFICATION OF THEIL COEFFICIENT

The article deals with issues of assessing accuracy of forecast made by means of mathematic-statistical models. Theil’s coefficient of irrelevance, its advantages and drawbacks are studied in detail. The author determines that this coefficient can be best used for temporal series with high variability, and proposes some modification of the coefficient for a wider sphere of its application.

Keywords: coefficient; Theil; variance; accuracy; forecast; model; trend; regression; variability.

Одним из важнейших этапов прогнозирования временных рядов является оценка точности прогноза, выполненного по построенной модели [1, с. 87]. Из теории прогнозирования известно множество показателей, характеризующих качество выполненного прогноза. Одним из них яв-og f ляется коэффициент несоответствия Тэйла [2, с. 143]. В числителе этого

g показателя — среднеквадратическая ошибка прогноза, а в знаменате-

и^Л ле — корень квадратный из среднего квадрата реализации:

ОЙ " R'Tn Л \2 . „ R'Tn Л \2

Æ (P - A )2: n Vs (P - A )

ÆÂTn “ VSA

<4 у ^^х , (!)

|| VI 4!: п - "

£о | где Pt и Лг — соответственно предсказанное и фактическое (реализован-

§ное) изменение переменной. Коэффициент и = 0, когда все Pt = Лt (случай ^ I совершенного прогнозирования); и = 1, когда процесс прогнозирования

приводит к той же среднеквадратической ошибке, что и «наивная» экстраполяция неизменности приростов; и > 1, когда прогноз дает худшие н®в результаты, чем предположение о неизменности исследуемого явления.

У коэффициента расхождения Тэйла есть одно несомненное досто-

Нинство — он может быть использован при сопоставлении качества прогнозов, получаемых на основе различных методов и моделей. Однако есть и недостаток — коэффициент имеет ту же размерность, что и сам показатель прогноза. Отсюда следует, что его значение существенно зависит от колеблемости (дисперсии) прогнозируемого временного ряда. Данный недостаток проявляется при моделировании временных рядов с низкой дисперсией, когда приходится сталкиваться с такой ситуаци-со ей, что, несмотря на явно неудачно выполненный прогноз, коэффициент

принимает значение близкое к нулю, говорящее о высоком качестве выполненного прогноза.

© ЕЮ. Пискунов, 2012

%

тН

о

<М

«К1

2нё ЯЧ г

МнЗ|

нйе

«Зі

НА

ОЙ"

^ 1

5к І

^ Л £ ё§! ь Е « ^ і

8Н! й§ о

ЕнО а

£м§|

МО | £И4

нее

И

н

н

о

н

м

со

Н

Рассмотрим подобную ситуацию на конкретном примере. Имеется временной ряд Y, принимающий значения у1, ..., у36. По имеющимся данным необходимо выполнить ретроспективный прогноз на 12 моментов времени и оценить его точность.

Для начала воспользуемся трендовой моделью:

уг = 3 542,7 + 125,61г + ви при И2 = 0,77; МАРЕ = 9,4%.

Полученный по модели ретроспективный прогноз представлен на рис. 1.

(2)

(3)

-*-А^ ~m.Pt

Рис. 1. Соотношение фактическихЛ-1 и прогнозных Р-1 значений

(модель (2))

Из рассчитанных показателей качества модели (2) (Б2 = 0,77; МЛРЕ = 9,4%) видно, что прогнозные значения Pt недостаточно хорошо соотносятся с фактическими значениями отсюда, точность прогноза должна быть низкая. Однако, рассчитанный по имеющимся данным коэффициент Тэйла (и = 0,094) говорит об обратном, т.е. выполненный прогноз имеет высокую точность.

Для сравнения рассчитаем аналогичный прогноз с помощью регрессионной модели:

yt = -46,25 + 0,542xt + et, при Б2 = 0,93; МЛРЕ = 3,97%.

Из рассчитанных показателей качества регрессионной модели (3) видно, что прогноз имеет высокое качество, однако, значение коэффициента Тэйла для данной модели тоже близко к нулю (и = 0,051).

9000п--------------------------------------------

8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0

1 2 3 4 5 6

-*-Рг

7 8

— А

9 10 11 12

Рис. 2. Соотношение фактических Аг и прогнозных Рг значений

(модель (3))

%

тН

о

<М

«К1

2нё Яч >

нйе

«31

Ен^ I

ой-

^ 1

I

^ Л £ ё§|

«¡г I

8Н! й§ о

ул* ЕнО а

£м§ц

МО I £И4

нее

и

н

н

о

н

м

со

н

Подобные коллизии возникают, прежде всего, из-за того, что коэффициент не учитывает величину колеблемости фактических и прогнозных значений моделируемого показателя. Из графика, представленного на рис. 1 можно увидеть, что относительно величины каждого уровня ряда уг амплитуда колебаний достаточно невелика, о чем так же свидетельствуют коэффициенты вариации, рассчитанные по фактическим (Уа = 14,9%) и прогнозным (Ург = 7,4%) значениям. Соответственно, ввиду низкой колеблемости прогнозных и фактических значений, сумма квадратов разностей в числителе формулы (1) получается значительно меньше знаменателя данной формулы, что и приводит к искусственному занижению значения коэффициента Тэйла.

Для доказательства вышеизложенных предположений преобразуем имеющийся временной ряд, вычитая из каждого значения уг число 3 000. В результате этих преобразований динамика показателя уг перенесется в более низкий масштаб измерения, что приведет к росту колеблемости. Построив аналогичные трендовую и регрессионную модели для преобразованного временного ряда, получаем:

уг = 542,7 + 125,61г + еи (4)

при И2 = 0,77; МАРЕ = 22,5%.

-4.At-.-Pt

Рис. 3. Соотношение фактических Аг и прогнозных Рг значений

(модель (4))

Из графика, представленного на рис. 3, видно, что прогнозные значения Аг по-прежнему плохо соотносятся с фактическими Рг. Однако колеблемость показателей значительно выше предыдущего случая, о чем свидетельствуют рассчитанные коэффициенты вариации: Уа1 = 31,72% (рост в 2,12 раза); Ург = 15,13% (рост в 2,05 раза). Коэффициент Тэйла для данного прогноза составил и = 0,193, т.е. точность прогноза «снизилась» в 2,04 раза.

В свою очередь, прогноз, полученный с помощью регрессионной модели (5), по-прежнему имеет высокое качество; коэффициент Тэйла, так же как и с использованием исходных не преобразованных данных, близок к нулю (и = 0,093).

уг = 206,587 + 0,542хг + ег, (5)

при И2 = 0,93; МАРЕ = 8,88.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что коэффициент Тэйла существенно реагирует на вариацию прогнозируемой переменной. Даже при явно неудачном прогнозе коэффициент вопреки этому может показать низкое значение, объясняемое низкой вариацией признака.

%

тН

о

<М

«К1

2нё Яч >

нйе

«31

НА

ОЙ"

^ 1

5к I

«Л* ё§! ь Е

« Я41

8Н! й§ о

ЕнО а

£м§|

МО I £И4

нее

И

н

н

о

н

м

со

Н

-t.At-.-Pt

Рис. 4. Соотношение фактических Аг и прогнозных Рг значений

(модель (5))

Чтобы избежать подобного искусственного занижения коэффициента при прогнозировании процессов с низкой дисперсией, в формуле (1) необходимо учитывать колеблемость фактических и прогнозных значений моделируемого показателя. С этой целью предлагается корректировать значение коэффициента Тэйла на отношение дисперсий фактических о А и прогнозных ар значений. Тогда, формула для расчета коэффициента преобразуется следующим образом:

и =

и =

V. (Р - А )2 а

ЛА а

Л. (Р - А )2 а л/ЁА >

2 2 при а А >а Р;

22 при аА <ор.

Значения коэффициентов Тэйла, рассчитанные по классической и модифицированной формулам, представлены в таблице.

Значения коэффициентов Тэйла

Номер модели Результаты регрессии Классический и модифицированный коэффициент Тэйла, соответственно

2 уг = 3 542,7 + 125,61г + е(, при И2 = 0,77; МАРЕ = 9,4% и = 0,094; и = 0,366

3 уг = -46,25 + 0,542хг + ег, при И2 = 0,93; МАРЕ = 3,97% и = 0,046; и = 0,051

4 уг = 542,7 + 125,61г + е(, при И2 = 0,77 ; МАРЕ = 22,5% и = 0,193; и = 0,746

5 уг = 206,587 + 0,542х4 +е(, при И2 = 0,93; МАРЕ = 8,88% и = 0,093; и = 0,104

Из таблицы видно, что с использованием модифицированной формулы, значение коэффициента для трендовой модели (2) и = 0,366 уже значительно отличается от нуля, что подтверждает предшествующие предположения о низком качестве выполненного прогноза. В свою очередь, прогнозы, выполненные по регрессионным моделям, сохраняют высокое качество прогноза при использовании обеих формул, о чем свидетельствуют низкие значения как классического, так и модифицированного коэффициента Тэйла.

%

(N

тН

О

(N

Список использованной литературы

1. Ованесян С.С. Математическое моделирование в бухгалтерском учете, анализе и налогообложении / С.С. Ованесян. — Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2001. — 120 с.

2. Тэйл Г. Экономические прогнозы и принятие решений / Г. Тэйл. — М.: Статистика, 1977. — 282 с.

References

1. Ovanesyan S.S. Matematicheskoe modelirovanie v bukhgalterskom uchete, analize i nalogooblozhenii / S.S. Ovanesyan. — Irkutsk: Izd-vo BGUEP, 2001. — 120 s.

2. Teil G. Ekonomicheskie prognozy i prinyatie reshenii / G. Teil. — M.: Statistika, 1977. — 282 s.

Информация об авторе

Пискунов Евгений Юрьевич — аспирант, кафедра статистики и экономического анализа, Байкальский государственный университет экономики и права, г. Иркутск, e-mail: piskunovey@gmail.ru.

Author

Piskunov Evgeniy Yurevich — post-graduate student, Chair of Statistics and Economic Analysis, Baikal State University of Economics and Law, Irkutsk, e-mail: piskunovey@gmail.ru.

SSI

2sl

KS г

MhSI

HSS

«31

I

ОЙ"

°i<s ^ 1

Ps I

^ Л £

« tf I

8s! ИН 25 о

СнО!

£м§||

МО f

нее

н

н

о н

PQ

со

Н