Модификации уравнения Хилла для упрощенных моделей накопительных колец Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2012. Вып. 2

УДК 621.384.6 О. Е. Шишанин

МОДИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА

ДЛЯ УПРОЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ НАКОПИТЕЛЬНЫХ КОЛЕЦ

Для выяснения особенностей синхротронного излучения в магнитных полях ускорителей, как оказалось, необходимо было получить непрерывные решения для уравнения Хилла [1, 2]. Для этой цели градиент или поперечные составляющие магнитного поля раскладывались в ряд Фурье. В этом случае решения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами представляли собой суперпозиции синусоид и косинусоид с модулированными амплитудами. Оказалось, что ряды, входящие в эти амплитуды, выражаются через многочлены Эйлера и Бернулли. В конечном итоге была выявлена существенная зависимость спектрально-угловых распределений интенсивности излучения от вертикальных колебаний или от f3z-функции [2, 3].

После этого можно было попытаться применить данную методику для изучения динамики частиц в накопительных кольцах. Как было отмечено Видеманом [4, 5], имеется три основных вида ячеек для накопительных колец. Среди них FODO, ячейка Чесмена-Грина (DBA) и ахроматический триплет (TBA). Из них наиболее используемой является система FODO. Здесь одна ячейка формируется из разделенных между собой фокусирующих (F) и дефокусирующих (D) квадруполей, а также из поворотных магнитов (O). В дальнейшем примем в данной модели, что квадруполи имеют длину a, а магниты будут протяженностью d. Тогда длина одного периода будет L = 2a + 2d + 4l (l - расстояние свободного от поля зазора).

При таких допущениях замкнутая траектория имеет размер S = 2nR + (2a + 4l)N, где R - радиус дипольного магнита, а N - число периодов. Усредненный радиус определим как

2nR0 = 2nR + 2(a + 2l)N, 2nR = 2dN.

Это может быть записано как Ro = (1 + k)R с учетом того, что k = (a + 2l)/d. Магнитное поле диполя обозначим Hd, а компонентами квадруполя будут

Hf = -gx, HZ = gx, Hf = -gz, Hd = gz,

где g - константа линзы; индексы f и d означают соответственно фокусировку и дефокусировку. Координата x совпадает с радиальным направлением.

Приборы, установленные на одном периоде, дают для аксиальных частей магнитного поля следующее чередование:

-gx, ф € [0, aTj;

Шишанин Олег Евстропович — доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного индустриального университета. Количество опубликованных работ: 80. Научные направления: теоретическая физика, теория синхротронного излучения в периодических магнитных структурах. E—mail: [email protected].

© О. Е. Шишанин, 2012

Щ, р е [(а + 1)Т, (а + I + ¿)Т];

дх, р е [п/М, (2а + 21 + ¿)Т];

На, р е [(2а + 31 + ¿)Т, (2а + 31 + 23)Т],

где Т = 2п/(МЬ), а р - азимутальный угол.

Разложение в ряд Фурье такого магнитного поля выглядит как

4На (-1Г пу пу ,

--соэ — эш -— а —

7Г V 2 Ь

2 1 —(-1Г

—дх-81П ит\

сов у(т — г\),

где т = Мр, т = па/Ь. Приведенную формулу для Нг можно проверить для различных т. Например, при т = 0, применяя известные формулы для суммирования рядов, получим, что Нг = —дх/2. Это находится в полном соответствии с теоремой Дирихле о том, что в точке разрыва имеем полусумму значений исходной функции. Возьмем середину первого поворотного магнита; тогда т = (а + I + й/2)(2п/Ь) или т = т\ + п/2 и, как и ожидалось, Нг = На. Проверим свободные промежутки; пусть, например, т = (2а + 51/2 + ¿)(2п/Ь), это середина третьего промежутка. Тогда в конечном итоге Н =0.

В частности, при изучении, например, задачи об излучении электронов ведущее магнитное поле может быть усреднено и тогда

Нг = Ц-Яа - дхЦт),

здесь /(т) = (4/тг)п(т), а п(т) = Т,7=о /2^+1 сов(2г/ + 1)(т - п), /2„+1 = 8ш(22^11)т1 ■ Заметим сразу, что если здесь п(т) продифференцировать, то приходим к расходящемуся ряду. Вторая компонента магнитного поля после расчетов определится как Нх = —дг/(т).

В этой методике угловая скорость имеет следующий вид:

Л х 3 х2 \ 1 - — + --=2 + "Ба / Дт)(^ " ХХ)Л>

\ Ко 2 Ко ) л0 ,/

{¿о / х 3 х 95 ~ 1 + к V ~~ До ^ 2 Дд У ' Д0 где частота

еоНа еодКо 0,/г лПл м

^о =-, =-, 2а/Ь=1/(1 + к).

тос тос

Здесь использованы стандартные обозначения: ео - элементарный заряд, то - масса электрона, с - скорость света.

В линейном приближении уравнения бетатронных колебаний определятся как

¿2х 1

+ ТТ2

(1 + ЛК

х = 0. (2)

Для дальнейших расчетов удобнее ввести новые константы

1 " У 7 "/(г) ^о

^ = дДр(1 + к) д2 = 4 Сх

На пМ2 ■

Оказывается, что для накопительных колец с энергией порядка 2 ГэВ параметр Л будет превышать 1. Это будет, например, при д = 20Т/т, К = 20т, N = 6, Н^ = 1, 5Т.

Уравнение (1) с учетом введенных обозначений теперь можно переписать так:

И2 7

— +\2п(т)г = 0. (3)

Выражение (3) есть уравнение Хилла с большим параметром. Кроме того, его можно определить как дифференциальное уравнение с периодическим коэффициентом и малым параметром при старшей производной. С жестким ограничением на дифференци-руемость п(т) такие уравнения в литературе отсутствуют [6, 7]. Тем не менее, в качестве иллюстрации несколько процедур решения для уравнения (3) будут апробированы. Вначале можно взять метод ВКБ [6]. Предположим, что решение имеет вид

2 = ехр(гЛС(Л, т)) ■ ф(т),

где С(Л,т) = С0(т) + 0±(т)/Л + ... .

В этом случае вместо уравнения (3) получим выражение вида

сРф ^.^dG ¿ф

dr2 dr dr

ф = 0.

Приняв здесь во внимание только члены с Л2, можно найти Go = f у/п(т)с1т. Следующее приближение даст ф = 1/ у/п(т). Таким образом, приблизительно решение определится как

z = (1/ t/^F)) ■ ехр(г\ J yfrtfjdT) + ... .

Формально оно удовлетворяет (3) в первом приближении, но вместо п(т) решение может содержать только двойной интеграл JJ п(т)dr2.

Когда т близко к нулю, можно снова, согласно [6], применить подстановку и = Л2 т, которая приведет уравнение (3) к следующей форме:

d2z 1 ( u \

Его можно решать как уравнение с малым параметром. Учитывая предыдущие работы [1, 2], положим

z = exp(iju) • ф(и),

где

11 Yi Y2

Ф(и) = фо(и) + <t>l(u) + Д4 <h(u) + ..., 7 = Д2 + Д4 + ••• •

При различных степенях Л последовательно можно найти фо = C, где C - константа и ф! = СЛ4C21 c

^ г

Спк = У —2l/+1 cos k(2i/ + 1 )тс, ^ (2z/+ 1)" V '

а тс = и/Л2 — ti . Кроме того, исключая секулярные члены, можно определить еще произвольный параметр j

-I J-2

£Л4 V- J2U+1

2

7i = у

2 v=0

■к2 а / 4а

IlV1"^-

Асимптотика с добавленным выглядит следующим образом:

z = Сехр(г^М)[1 + А2С*21 - 2¿7iA2S,3 + ^А4С42 + (4)

где

с _ \ "" /2м+1 \ "" Л

^=0

cos 2(/х — z/)rc cos 2(/x + z/ + l)rc

(m - (M + * + 1)2

ОО г

= (2г,2++1)"в1п(2г/+1)Тс'

Как видно, решение (4) сводится снова к комбинации синусоид с расширяющимися амплитудами. Заметим, что здесь действительные слагаемые в квадратных скобках есть коэффициенты косинусоиды. Однако в (4) функция п(т) отсутствует. Данный метод позволяет сделать оценку частоты основного колебания ~ А2N7, но амплитуды будут увеличиваться.

Близкое уравнение рассматривалось также в [8] (см. § 119). Нужно заметить, что там переменная г должна быть равна интегралу у/рЩ(И. В [8] квадратный корень отсутствует; в связи с этим можно также сослаться на [9, гл. IV]. Имея в виду упоминание о двойном интеграле от п(т), введем новые переменные:

р(т) = !^ п(т)д,т2, х = J \/р(т)с1т, V = л/р{т) ■ г.

+ X2v = p(x)v, (5)

(Здесь временную переменную x не отождествлять с координатой x.) После вычислений уравнение (3) будет таким:

dx2

где 1

= Т7Г-i (4пР ~ 5Р 2(т))-

Положительным моментом этого преобразования является то, что левая часть в (5) уже не содержит периодический коэффициент. Решения равенства (5) удовлетворяют интегральному уравнению

x

v(x) = с\ cos Хх + С2 sin Хх + — J sin Х(х — t)p(t)u(t)dt,

b

в котором x и b заключены в некотором промежутке, а ci, С2 - произвольные постоянные. Полученное интегральное уравнение можно решать методом последовательных приближений. В [9] отмечается, что еще Лиувилль рассматривал более общее уравнение по сравнению с (3)(с большим параметром, но без периодического коэффициента), и оно по форме ближе к уравнению (2).

Кроме того, при изучении уравнения (3) можно также поставить вопрос о существовании точек поворота. По-видимому, здесь нет смысла рассматривать поведение

отдельной гармоники в ряде п(т). Проведенный анализ выявил интересную особенность (после суммирования рядов для разных т G [0, 2п]), что п(т) отрицательно только на участке для дефокусирующего квадруполя.

Перейдем к модели Чесмена-Грина. В этом случае в центре располагается фокусирующий квадруполь длиной ai, затем по обе стороны расходятся свободные промежутки длиной li, поворотные магниты длиной d, зазоры с l длиной, дефокусирующие квадруполи протяженностью a, зазоры с l длиной, фокусирующие квадруполи длиной a и промежутки без поля длиной I2 (см., например, в [5, фиг. 13.2]). Тогда для одного периода длина траектории L будет равна

2d + 4a + a1 + 4l + 2l1 + 2l2.

Соответствующее уравнение для вертикальных колебаний может быть выражено в следующем виде:

d2z C2 (a1 2 ^ f1 \

^ + т{т + п^СО81/т)г = 0> (6)

где C2 = (1 + к)/ш0, к = (L - 2d)/2d, а

f1 = 4 sin т2 a sin T2(a + l) sinT2(2a + l + 2l2) +

+ (-1)v sin T2a1, T2 = nv/L.

Здесь, как и раньше, параметр к представляет собой отношение длин квадруполей и свободных промежутков к длине диполей на одном периоде. По сравнению с уравнением (1) данное выражение содержит добавочную постоянную часть наряду с тригонометрическим рядом.

Уравнение для ячейки ахроматического триплета близко по форме к соотношению (6). Здесь в центре находится дефокусирующий квадруполь длиной a1, затем по бокам лежат через свободные промежутки фокусирующий квадруполь длиной a и поворотный магнит длиной d. Например, длина пути правой стороны равна

a1 + l1 + a + l2 + d + l3,

где li есть длины свободных сдвигов.

В линейном случае уравнение аксиальных колебаний запишется как

d2z С2 ~d¿2+Ñ2

2a — ai 2 ^ ( — 1)v

-J--Ь - > -/2 COS VT

L n v

v=i

z = 0, (7)

где константа C2 определена выше, а

f2 = 2 sin т2 a cos t2(211 + a + ai) — sin т2а1.

Формулы (3), (6), (7) представляют собой дифференциальные уравнения с необычными свойствами. В частности, здесь нельзя дифференцировать периодические коэффициенты, так как будет нарушена сходимость рядов. Метод Хилла [10] в данном случае также нельзя использовать, поскольку бесконечный определитель будет увеличиваться при Л >> 1. Кроме того, это задача с пограничным слоем, так как квадру-поли действуют в очень узких зонах и ответственны за появление малого параметра

при старшей производной. Но полученные уравнения, по-видимому, позволяют проводить моделирование. Принимая во внимание инжекцию частиц и другие особенности траектории, можно ввести начальные условия и решать задачу Коши. Приведенную в работе методику можно применять для изучения динамики частиц в более сложных магнитных системах.

Литература

1. Шишанин О. Е. Синхротронное излучение электрона в сильнофокусирующем магнитном поле // Журн. экспер. и теор. физики. 1993. Т. 103, вып. 4. С. 1117—1126.

2. Шишанин О. Е. Синхротронное излучение электронов в периодических слабофокусирующих магнитных полях // Журн. экспер. и теор. физики. 2000. Т. 117, вып. 5. С. 835—843.

3. Шишанин О. Е. Влияние бетатронных колебаний на магнитотормозное излучение // Журн. техн. физики. 1998. Т. 68, № 11. С. 133-134.

4. Wiedemann H. Design of low emittance storage rings // Nucl. Inst. and Meth. 1986. Vol. A246, N 1-3. P. 4-11.

5. Wiedemann H. Particle Accelerator Physics. Basic Principle and Linear Beam Dynamics. Berlin: Springer-Verlag, 1993. 445 p.

6. Найфэ А. Введение в методы возмущений / пер. с англ. М.: Мир, 1984. 535 с. (Nayfen A. H. Introduction to Perturbation Techniques.)

7. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / пер. с англ. В. Ф. Бутузова и др.; под ред. А. Б. Васильевой. М.: Мир, 1968. 464 с. (Wasow W. Asymptotic expansion for ordinary differential equations.)

8. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3, ч. 2. Изд. 10-е, стереотип. М.: Наука, 1969. 672 с.

9. Эрдейи А. Асимптотические разложения / пер. с англ. Н. Я. Виленкина. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. 127 с. (Erdelyi A. Asymptotic expansion.)

10. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа: в 2 ч. Ч. 2: Трансцендентные функции. Изд. 2-е / пер. с англ.; под ред. Ф. В. Широкова. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. 515 с. (Whittaker E. T., Watson G. N. A course of modern analysis.)

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья принята к печати 28 февраля 2012 г.