CC BY
17
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
81
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
МОДИФИКАЦИИ МЕТОДОВ ВОЗМОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ С ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ОПТИМАЛЬНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ ПОИСКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЯЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФАКТОРОВ ВНЕШНЕЙ
СРЕДЫ
Гусев Евгений Леонидович
Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ИПНГ СО РАН, г. Якутск, Россия, Профессор кафедры прикладной математики Института математики и информатики Северо-Восточного Федерального университета, г. Якутск, Россия
MODIFICATIONS OF THE METHODS OF POSSIBLE DIRECTIONS WITH THE DEFINITION OPTIMAL SEARCH DIRECTIONS FOR SOLVING INVERSE PROBLEMS OF THE FORECASTING DEFINING CHARACTERISTICS COMPOSITE STRUCTURES UNDER INFLUENCE EXTREME FACTORSEXTERNAL MEDIA
Gusev Evgeny Leonidovich, Professor, doctor of Physics and Mathematics, Leading research worker; Institute of Oil and Gas Problems of the Siberian Branch, Russian Academy of Science, Yakutsk, Russia;
Professor of Department of the Applied Mathematics, Institute of Mathematics and Informatics, North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia;
АННОТАЦИЯ
Приведены модификации методов возможных направлений с определением оптимальных направлений поиска для решения обратных задач прогнозирования определяющих характеристик полимерных композитных конструкций при воздействии экстремальных факторов внешней среды.
ABSTRACT
It is considered the modifications of the methods of possible directions with the definition optimal search directions _ for solving inverse problems of the forecasting defining characteristics of a polymer composite structures under influence of the extreme factors external media.
Ключевые слова: полимерные композиционные конструкции, методы возможных направлений, долгосрочное прогнозирование, экстремальные климатические факторы, прочность.
Keywords: polymeric composite structures, methods of possible directions, long-term forecasting, extreme climatic factors, strength.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований - грант № 13-08-
00229.
Введение. Одной из основных проблем при разработке различных конструкций, машин и механизмов является создание надежных методов количественной оценки их работоспособности [1, 2]. Композиционные материалы и конструкции, как правило, постоянно находятся под влиянием статических и динамических нагрузок, на которые дополнительно накладывается влияние экстремальных факторов внешней среды. Вследствие этого возникает важная проблема разработки математических методов прогнозирования определяющих характеристик композиционных конструкций под влиянием эксплуатационных нагрузок и экстремальных факторов внешней среды.
1. Общая постановка задачи прогнозирования ресурса работоспособности объектов. Общая постановка задачи о прогнозировании ресурса работоспособности объектов изложена в работе В.В. Болотина [2]. В соответствии с работой [2] состояние конструкции в момент вре-мени t
характеризуется вектором повреждений Т , который удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению
dW _ dt
f{v,q{t)):
(1.1)
где — векторный процесс, описывающий условия эксплуатации.
Будем предполагать, что применима гипотеза об автомодельности процесса накопления повреждений [3]:
dW _ dt
(1.2)
Для интерпретации векторов и ) необходимо использовать информацию о реальных объектах и условиях их эксплуатации.Специфика исследуемых задач прогнозирования определяющих характеристик композиционных конструкций приводит к тому, что для этих задач подход экстрапо-ляции в традиционной постановке является малоэффективным. Как отмечено в ряде работ [3-7] принципиальное усовершенствование подхода экстраполяции может быть достигнуто на основе выбора математической модели с ориентацией на физические представления.
2. Математические модели, описывающие воздействие на композиционные конструкции экстремальных климатических факторов и эксплуата-тационных нагрузок. Модели, описывающие зависимость изменения прочности R композиционных конструкций при воздействии климатических факторов в общем виде могут быть представлены в форме функциональных зависимостей следующего вида:
82
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
R (Ui’ U2 э***:’ t )= П + ФП u2,..., Un; Ґ ) . (2i)
В этих обозначениях: R — остаточная прочность композита, R0 - прочность композита в исходном состоя-
u, U2,..., u „
нии; 12 п — параметры композита и внешней
среды, отражающие характеристики упрочнения (степень упрочнения, скорость упрочнения), устойчивость композита к росту поврежденности, агрес-сивность внешней среды и т.д.
В предположении, что принятая модель (2.1) достаточно адекватно опи-сывает зависимость изменения прочности композиционной конструкции от воздействия экстремальных факторов внешней среды, задача заключается в восстановлении вектора параметров модели (2.1)
U = (u1,u2,...,u )
v 1 2 n/ на осно-вании ряда проведенных
_ AR
экспериментов в течение первых m лет. Обозначим 1 - экспериментальные средние значения функции
AR = R-R0
^ на экспе-риментальных образцах после t-го года ( t=1,2, .. ,,m). Тогда в качестве критерия эффективности целесообразно выбрать среднеквадратическое отклонение аппроксимации экспериментальных данных
AR AR ( u; t)
от теоретических значений v 7 :
1 m _ 2
J(u) = S2 = -0ar(u;t)-AR) .
m t=1 (2.2) 3. Сведение задач прогнозирования изменения определяющих характеристик композиционных конструкций под воздейстием экстремальных климатических факторов и эксплуатационных нагрузок к экстремальным задачам. В случае, когда полученные экспериментальные данные достаточно адекватно отображают структуру зависимости изменения определяющих характеристик композиционных конструкций от воздействия экстремальных климатических факторов и эксплуатационных нагрузок и получены с незначительными погрешностями, несущественно искажающими закономерности поведения реальных зависимостей, задача восстановления параметров моделей изменения определяющих характеристик ком-позици-онных конструкций от воздействия экстремальных климатических факторов и эксплуатационных нагрузок может быть сведена к решению следующей экстремальной задачи:
J (u*) = min J (u).
' * u
*
u =|
(3.1)
(* * * \ ui> u2 ’. ..’ un )
Вектор параметров , достав-
ляющих минимум критерию эффективности (3.1), соответствует модели вида (2.1), которая определяет зависимость изменения определяющих характеристик композиционной конструкции от воздействия экстремальных климатических факторов и эксплуатационных нагрузок, наиболее близкую к реальной.
Проблема нахождения действительно глобального минимума многопараметрических функций со сложной структурой представляет собой достаточно сложную проблему. Как правило, при решении проблем такого рода находится некоторое неулучшаемое решение, которое существенно может отличаться от действительно оптимального решения. Вследствие этого, восста-новленные зависимости, описывающие изменение определяющих
характе-ристик от воздействия экстремальных климатических факторов и эксплуатаци-онных нагрузок, могут значительно отличаться от зависимостей, соответству-ющих восстановленным оптимальным параметрам.
4. Модификации методов возможных направлений (МВН) с опреде-лением оптимальных направлений поиска для решения обратных задач прогнозирования изменения определяющих характеристик композици-онных конструкций. В работе [8] был предложен метод поиска экстремума многопараметрических функций с оптимальным выбором параметров для решения обратных задач прогнозирования определяющих характеристик композиционных конструкций при воздействии экстремальных климатических факторов и эксплуатационных нагрузок. Существо предложенного в работе [11] подхода состоит в том, что в окрестности очередного p-го приближения (р=0, 1,2,...) вычисляется направление, в малой окрестности которого наблюдается наибольшее уменьшение показателя эффективности J(u).Далее, на основе решения специальной нелинейной однопараметрической задачи находится оптимальная величина шага вдоль выбранного направления, при котором наблюдается наибольшее уменьшение показателя эффективности J(u). Для задач, в которых абсолютные минимумы показателей эффективности расположены на направлениях, вдоль которых наблюдается наиболее значительное их убывание, предлагаемый подход будет являться достаточно эффективным. Однако в наиболее распространенных ситуациях, связанных с решением задач прогнозирования, зависимость показателей эффективности J(u) от определяющих параметров, имеют достаточно сложную структуру, при которой абсолютные минимумы могут не находиться вдоль направлений, вычисленных указанным способом. В соответствии с этим возникает важная проблема обобщения предложенного в работе [8] подхода на более сложный круг задач прогнозирования, описываемых моделями, в которых зависимость показателей эффективности J(u) от определяющих параметров u1, u2, ...,un имеет усложненную структуру.
В рассматриваемой работе предлагается обобщение предложенного в [8] подхода на более сложный круг задач прогнозирования, описываемых моделями, в которых зависимость показателей эффективности J(u) от определяющих параметров u1, u2, ...,un имеет усложненную структуру. Обобщение для решения обратных задач прогнозирования изменения прочности полимерных композиционных конструкций при воздействии эксплуатационных нагрузок и экстремальных климатических факторов внешней среды связано с развитием и модификацией методов возможных направлений с определением оптимальных направлений поиска, не связанных с направлением градиента. Общая схема методов возможных направлений (МВН) с определением оптимальных нап-равлений поиска может быть представлена в виде следующей многоэтапной процедуры.
I этап. Вычисление оптимального направления по-
иска
up , p =
*
l
для
0,1,2,3,...
очередного
р-го
приближения
1.1. Пусть р-ое приближение к глобально-опти-
u
мальному
решению
(* * * \ u1 , u2 ,..., un )
u
= (uf,up,...,up), p = 0,1,2,3,..
*
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
83
1.2. Произвольное возможное направление может
/
1,
быть задано единичным вектором , проекции
которого на оси координат равны соответственно
п
a,a2,....,an a === ==-,= Za = =
12 n. При этом i=1
1.3. Моделируется достаточно большое количе-
Q = |/|
ство единичных векторов ' > с равномерным законом распределения, задающих определенные направления в
Т7п
многомерном векторном пространстве .
1.4. Для каждого направления, задаваемого определенным единичным вектором ^ є Q Е оценивается его перспективность по определенному критерию пер-
w(l\
v '. Такой критерий перспективности
спективности
W(I)
4 ', в частности, может отражать минимальное значение исследуемого показателя эффективности вдоль рассматриваемого направления ^ є ^, найденное на основе упрощенной процедуры оптимизации вдоль выбранного
направления, например упрощенной процедуры локальной оптимизации, или упрощенной процедуры нелокальной оптимизации вдоль выбранного направления, не требующих значительных затрат времени. Найденное с помощью таких упрощенных процедур минимальное значение функции принимается за оценку перспективности
w(J)
рассматриваемого направления .
1.5. Условно-оптимальное направление поиска
Г
p на р-ом приближении (p=0,1,2,...) находится из решения следующей экстремальной задачи:
ж(г;)=чипж(Г),(р=о,ід...)
II этап. Глобальная оптимизация показателя эффективности вдоль выбранного условно-оптимального
Г
направления поиска p и построение следующего (р+1)-го приближения к глобально-оптимальному решению.
II.1. Производится разложение показателя эффективности J(u) в ряд Тейлора в окрестности p-го приближения:
J(u) = J(up)+^J^ ^ (и-ир} + -(и-ир} д } (и-ир} + ...
dl У ’2у ’ дї дї у ’
Т d2J(up)
дї дГ
p p
(4.1)
В этих обозначениях
і.
dj(up)/di
- производная первого порядка от показателя эффективности J(u) в точке
up по направлению
dJ(up)
дї
(VJ(a'). ?) = £
І=1
dJ(up)
б U;
a; =
z
i=1
dJ (up) d u
cos <p=.
(4.2)
_ t = (a,,a2,...,a), Ifl = 1
В этих обозначениях: 41 2 ' 1 1
- единичный направляющий вектор оси l
a = cos р= (/ = 1,...,п); фх,ф2,...,фп
Ои1,Ои2,...,
между осью 1 и осями
d2J(up)/дї2
Аппроксимирующая функция Jm(u) в окрестности р-го приближения будет иметь значительно более простую структуру по сравнению с исходным показателем эффективности J(u), но может сохранять основные зако-- углы номерности поведения исходного показателя эффективно-Ou сти J(u) в окрестности р-го приближения.
п ; I.3 Решается вспомогательная задача поиска мини-
Jm{up) = rnmJm{u).
производная второго порядка от пока- мума функции Jm(u):
зателя эффективности J(u) в точке up по направлению
/ •
d2J(up) ”"d2J(up) ^2т.
“ ZZ ,, I aiak = rTV2J{up)r.
В случае, когда m<2 вспомогательная задача поиска минимума функции Jm(u) может быть решена в аналитическом виде. В этом случае:
а!
~1к=1 дигдЫк
(4.3)
V2 J (up)-
В этих обозначениях - матрица вторых
частных производных от показателя эффективности J(u) на р-ом приближении.
II.2. Аппроксимация показателя эффективности торов J(u) в окрестности p-го приближения (р=0,1,2,...) отрезком ряда Тейлора (4.3) с точностью до слагаемых m-го порядка малости:
(4.5)
II.4. Строится однопараметрическое семейство век-
{u(P)}
по
формуле:
J(u) = Jm(u) + o (||u - uf ), m = 1,2,...
(4.4)
\P)=UP + /3[йр -up), Q</3<\.
II.5. Решается однопараметрическая задача минимизации:
J (uPp )) = їтп J (p)).
(4.6)
84
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
II.6. Следующее (р+1)-е приближение принимается
■p=и (К).
равным:
Итерационный процесс заканчивается при достижении результирующего решения, которое не удается улучшить с помощью описанной процедуры. Предложенный метод возможных направлений с определением оптимальных направлений поиска для решения обратных задач прогнозирования изменения прочности полимерных композитных конструкций позволяет преодолеть основные недостатки методов, в которых улучшение показателей эффективности может осуществляться только в направлении градиента. В соответствии с этим изложенный метод будет являться эффективным для более сложного круга задач прогнозирования, описываемых моделями, в которых зависимость показателей эффективности J(u) от определяющих параметров u1, u2, .. ,,un имеет значительно более усложненную структуру.
В структуру предлагаемого метода ВН включены такие дополнительные возможности, как дополнительные процедуры генерации значительного числа возможных направлений поиска, задаваемых единичными векторами
І Є Q =
{'}
углы
которых с координат-
Ou,, Ou2,..., Ou
1 “ 2' ' n
ными осями 1 J n представляют собой мно-
жество случайных величин с равномерным законом распределения; дополнительные процедуры сравнительной оценки перспективности выделяемых возможных направ-
„ w\r)
лений по специально построенным критериям и
нахождения оптимального направления поиска. Вследствие этого разработанный подход позволяет находить существенно более эффективные решения в усложненных
задачах прогнозирования, в которых глобально- оптимальные решения не находятся на градиентных направлениях.
Список литературы
1. Уржумцев Ю. С., Черский И. Н.Научные основы инженерной климато-логии полимерных и композитных материалов//Механика композитных материалов, 1985, № 4, с. 708-714.
2. Болотин В. В. Прогнозирование ресурса машин н конструкций. М., 1984. 312 с.
3. Булманис В.Н., Ярцев В.А., Кривонос В.В. Работоспособность конструкций из полимерных композитов при воздействии статических нагрузок и климатических факторов// Механика композитных материалов, 1987, № 5, с. 915-920.
4. Карпухин О.Н. Определение срока службы полимерного материала как физико-химическая проблема// Успехи химии, 1980, № 8, с. 1523-1553.
5. Булманис В.Н., Старцев О.В. Прогнозирование изменения прочности поли-мерных волокнистых композитов в результате климатического воздействия. Препринт, - Якутск, 1988. - 32 с.
6. Бокшицкий М.Н. Длительная прочность полимеров. М: Химия, 1978. 312 с.
7. Филатов И.С., Бочкарев Р.Н. Некоторые проблема оценки и прогнозиро-вания климатической устойчивости полимерных материалов//Методы оценки климатической устойчивости полимерных материалов, Якутск, ЯФ СО АН СССР, 1986, с. 11-20
8. Гусев Е.Л. Применение методов поиска экстремума с оптимальным выбором параметров для решения обратных задач прогнозирования изменения прочности полимерных композитов//Международный журнал «PROSPERO», Москва, 2015, (18), № 6 с. 66-70.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Драбо Алексей Игоревич
Канд. техн. наук, преподаватель ВУНЦВВС «ВВА» (г. Воронеж)
Пигарев Андрей Евгеньевич Канд. геогр. технических наук, доцент ВУНЦ ВВС «ВВА» (г. Воронеж)
Шеманаев Кирилл Владимирович
аспирант РГГМУ (г. Санкт-Петербург)
АННОТАЦИЯ
В статье рассматривается операционное исчисление как альтернативный подход к решению дифференциальных уравнений и их систем, используемых в задачах анализа и прогноза погодных условий. Приводится постановка задачи аналитического решения уравнения теплопроводности как аналога уравнения притока тепла в нетурбулентной атмосфере.
ABSTRACT
The operational calculus as an alternative approach to the solution of differential equations and their systems used for the analysis and forecast of weather conditions is discussed in the article. We present formulation of the problem analytical solution of the heat equation as an analogue of the heat equation to the nonturbulence atmosphere.
Ключевые слова: операционное исчисление; дифференциальные уравнения; аналитическое решение; анализ; прогноз; уравнение притока тепла; атмосфера.
Key words: operational calculus; differential equations; analytical solution analysis and prediction of weather conditions; analysis; forecast; heat equation.
Процессы, происходящие в атмосфере, описываются дифференциальными уравнениями и их системами. Нахождение аналитических решений этих уравнений с использованием современного аппарата высшей математики
достаточно проблематично, что обусловлено сложностью этих уравнений. В настоящее время осуществляется переход от дифференциальных уравнений к уравнениям в конечных разностях на основе использования различных
